辽宁省沈阳市浑南区东北育才学校2024-2025学年高三上学期第一次模拟（开学）考试数学试题

2024-2025学年度上学期高三第一次模拟考试数学学科 一、选择题（共8小题） 1. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. －1 C. i D. －i 2. 设A，B，C，D是四个命题，若A是B的必要不充分条件，A是C的充分不必要条件，D是B的充分必要条件，则D是C的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 定义：若集合满足，存在且，且存在且，则称集合为嵌套集合．已知集合且，，若集合为嵌套集合，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：规定：①为同时与垂直的向量；②，三个向量构成右手系(如图1)；③如图2，在长方体中，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 长方体的体积 C. D. 6. 已知平面向量满足，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 根据经济学理论，企业产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响，若用表示产量，表示劳动投入，表示资本投入，表示技术水平，则它们的关系可以表示为，其中．当不变，与均变为原来的2倍时，下列说法正确的是（ ） A. 存在和，使得不变 B. 存在和，使得变为原来的2倍 C. 若，则最多可变为原来的2倍 D. 若，则最多可变为原来的2倍 8. 已知函数与其导函数为定义域均为，且满足，，，给出以下四个命题： ① ② ③函数的图象关于直线对称 ④ 其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题（共3小题） 9. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若是R上的增函数，则 B. 当时，函数有两个极值 C. 当时，函数有三个零点 D. 当时，在点处的切线与只有唯一个公共点 10. 如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上运动，则下列判断中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是 B. 平面 C. 平面与平面所成的二面角为 D. 异面直线与所成角的范围是 11. 已知随机变量X的分布列如下： 1 2 3 … n … 若数列是等差数列，则（ ） A. 若n为奇数，则 B. C. 若数列单调递增，则 D. 三、填空题（共3小题） 12. 某圆锥的侧面展开图为一个扇形，已知该扇形的圆心角为，半径为，则该圆锥的体积为______________． 13. 已知实数满足，且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是__________ . 14. 已知的内角所对的边分别为，满足，，若M为的外心，AM的延长线交BC于D，且，则=____；的面积为__________. 四、解答题（共5小题） 15. 已知不等式的解集为. （1）求不等式的解集； （2）设非空集合，若是的充分不必要条件，求的取值范围. 16. 已知中，角所对的边分别为已知. （1）求的取值范围； （2）求最大时，的面积. 17. 如图，直角梯形 ACDE 中， 、M 分别为AC、ED 边的中点，将△ABE 沿BE 边折起到△A'BE 的位置，N 为边A'C 的中点． （1）证明：MN∥平面A'BE； （2）当三棱锥的体积为，且二面角为锐二面角时，求平面 NBM 与平面BEDC 夹角的正切值． 18. 设是数列的前n项和，已知， （1）证明：是等比数列； （2）求满足的所有正整数n. 19. 已知函数， （1）已知函数的图象与函数的图象关于直线 对称，试求； （2）证明； （3）设是的根，则证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线. 2024-2025学年度上学期高三第一次模拟考试数学学科 一、选择题（共8小题） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二、多选题（共3小题） 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题（共3小题） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. ## 四、解答题（共5小题） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【18题答案】 【答案】（1）由已知得， 所以， 其中，， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）正整数n为1，2 【19题答案】 【答案】（1）. （2）证明：解法1：当 时，且 ，此时 ； 当时，且，此时 ， 故综上. 解法2：，令，在上恒成立， 故在上单调递增，即在上单调递增， 因此当时，； 当； 因此在上单调递减，在 上单调递增， 故. （3）证明：不妨取曲线 上的一点 ，设在处的切线即是 在处的切线， 则 ，得 ，则 的坐标 ， 由于，所以， 则有， 综上可知，直线的斜率等于在处的切线斜率和在处的切线斜率， 所以直线AB既是曲线在点处的切线也是曲线的切线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $