精品解析：江西省宜春市丰城中学2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题

丰城中学2024-2025年上学期初二数学入学考试试卷 本试卷总分值为120分 考试时长为120分钟 考试范围：第11--13章 一．选择题（共6小题，18分） 1. 2022年暑假期间，国家高度重视预防溺水安全工作，要求各级各类学校积极落实防溺水安全教育，以下与防溺水相关的标志中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义直接求解即可． 【详解】解：由选项可得，只有D选项能找到一条直线，使得这个图形沿着直线对折后能完全重合， 故选：D． 【点睛】题目主要考查轴对称图形的定义，理解轴对称图形的定义是解题关键． 2. 要求画的边上的高．下列画法中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的高，根据作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或者条边的延长线作垂线，即可判断解题． 【详解】解：A、图中为边上的高，不符合题意； B、图中不是高，不符合题意； C、图中为边上的高，符合题意； D、图中为边上的高，不符合题意； 故选：C． 3. 如图，为的中线，平分，平分，，下列结论正确的有（ ） ①；②；③；④ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】由平分，平分，证明，，可判断①符合题意；为的中线，可得，而，不一定相等，可判断②不符合题意；证明，可得，可判断③符合题意；可看作是沿平移得到，可判断④符合题意． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴，故①符合题意； ∵为的中线， ∴，而，不一定相等，故②不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③符合题意； ∴， ∴可看作是沿平移得到， ∴，故④符合题意． 综上：符合题意的有：①③④． 故选B． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，平移的性质，熟练的利用平移的性质证明是解本题的关键． 4. 已知如图，平分于点A，点Q是射线上的一个动点，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线性质，含30度角直角三角形的性质，垂线段最短的应用，能得出要使最小时Q的位置是解此题的关键．根据垂线段最短得出当时，的值最小，根据角平分线性质得出，求出即可． 【详解】解：当时，的值最小， ∵平分，， ∴，， ∴， 故选：A． 5. 如图，把一副常用三角板如图所示拼在一起，延长交于，那么图中的度数是（ ）度． A. 60 B. 90 C. 100 D. 105 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键． 根据三角形的外角的性质（三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和）解决此题． 【详解】解：由题意得， ，， ． 故选：． 6. 如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由于和是等边三角形，可知，从而证出，可推知，故①正确；由得，加之，，得到，所以；故③正确；根据，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；④利用等边三角形的性质得到，再根据平行线的性质得到，于是，可知④正确． 【详解】解：①∵等边和和等边， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴；故①正确； ③∵（已证）， ∴， ∵（已证）， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴；故③正确； ②∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴；故②正确； ④∵， ∴， ∵等边， ∴， ∴， ∴， ∴．故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形判定与性质，平行线的判定与性质等知识点的运用．正确寻找三角形全等是解答本题的关键． 二．填空题（共6小题，18分） 7. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是______． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，钉在墙上的方法是构造三角形支架，根据三角形的性质即可得解，熟练掌握三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：这种固定的方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 8. 已知点和关于x轴对称，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．本题考查了关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，熟练掌握特点是解题的关键． 【详解】解：∵点和关于x轴对称， ∴， 解得， ∴． 故答案为：7． 9. 如图，是的中线，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为 _____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积问题，熟记三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键．根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形依次推导，即可解题． 【详解】解：是的中线， ， 是的中线， ， 是的中线， ， 的面积为， ， 故答案为：8． 10. 一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：，那么它的实际车牌号是：________． 【答案】K62897 【解析】 【分析】关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平的线对称． 【详解】解：实际车牌号是K62897． 故答案为K62897． 【点睛】本题考查了镜面对称的性质；解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字．也可以简单的写在纸上，然后从纸的后面看． 11. 如图，在直角坐标系中，点坐标为，的半径为1，点坐标为，点是上一动点，则的最小值为 __． 【答案】 【解析】 【分析】由点是上一动点，当，，三点共线时，即有最小值，连接交于点，过点作于点，利用勾股定理求解PA即可解答． 【详解】解：点是上一动点，当，，三点共线时，有最小值， 连接交于点，过点作于点， 点坐标为，点坐标为， ，， ． 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查求一点与圆上点距离的最值、两点之间线段最短、坐标与图形、勾股定理，会利用两点之间线段最短解决最值问题是解答的关键． 12. 已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是_____． 【答案】40°或90°或140° 【解析】 【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解． 【详解】解：①如图， 当∠DBC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线， ∵∠ABC=110°，∠DBC=90°， ∴∠ABD=20°， ∵AD=BD， ∴∠A=∠ABD=20°， ∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°； ②如图， 当∠BDC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，或当∠BDC=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，； ③如图， 当∠ABD=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线， ∵∠ABC=110°，∠ABD=90°， ∴∠DBC=20°， ∵CD=BD， ∴∠C=∠DBC=20°， ∴∠BDC=140°． 综上所述：当∠BDC的度数是40°或90°或140°时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题的关键． 三．解答题（每小题6分） 13. （1）已知a、b、c为的三边长，且b、c满足，a为方程的解，求的周长． （2）如图，，点B、F、C、E在同一条直线上，若，，求的长． 【答案】（1）17，（2）4 【解析】 【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性，以及解绝对值方程，求出a、b、c的值，再利用三角形三边关系进行判断，即可求得的周长； （2）根据可得，再根据可得到的长，从而得到的长． 【详解】解：（1）、c满足，a为方程的解， 又，，， ，，或（不满足三角形三边关系，舍去）， ，，， 的周长； （2），点B、F、C、E在同一条直线上， ， ， ． 【点睛】本题考查了平方和绝对值的非负性，以及解绝对值方程，三角形三边关系，全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 14. 一个多边形除一个内角外其余各内角的和为，求此内角的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，根据n边形的内角和公式，则内角和应是的倍数，且每一个内角应大于0度而小于180度，根据这些条件进行分析求解即可． 【详解】解：∵， ∴该内角应是度． 15. 如图，在中，，垂直平分，交于点E．若，的周长为20，求的周长 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，根据垂直平分，，得出，，由的周长为20，得到，即可求出答案．熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键． 【详解】解：∵，垂直平分，交于点E， ∴，， ∵的周长为20，， ∴， ∴的周长为． 16. 如图，，，点D在边上，，和相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴, ∴， 在和中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由得出，再利用“”证明即可； （2）由得出，，再由等腰三角形等边对等角得出，进而证得，最后利用三角形内角和定理得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 17. 如图，为等边三角形，为边上的高，点为边上的中点，请仅用无刻度的直尺按要求作图． （1）在图①中，作的平分线； （2）在图②中，以点为顶点作三角形，使所作三角形面积等于面积的． 【答案】（1） 点（三角形的三条角平分线会交于一点） （2） （或）即为所求 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的中线平分三角形的面积： （1）运用等边三角形的三线合一，故先连接交于一点，然后连接点A与该点并延长交于一点，即为点（三角形的三条角平分线会交于一点），即可作答； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积以及结合（1）的作图过程，即可作答； 灵活运用等边三角形的三线合一是解题的关键． 【小问1详解】 解：的平分线如图所示： 过程如下： 因为为等边三角形，为边上的高， 所以为的平分线， 因为点为边上的中点， 故为边的中线，为的平分线， 故先连接交于一点，然后连接点A与该点并延长交于一点，即为点（三角形的三条角平分线会交于一点） 【小问2详解】 解：连接交于一点，即点， 由（1）得，点是的中点，点是的中点， 则是的中线， 所以 因为点是的中点， 所以是的中线 则 因为为等边三角形，点是的中点，点是的中点， 所以是等边三角形， 故, 那么 （或）即为所求 四．解答题（每小题8分） 18. 如图，分别是的高线、角平分线和中线． （1）有下列结论：①；②；③；④与互余．其中正确的是_______（填序号）． （2）若，求的度数． 【答案】（1）②③④ （2） 【解析】 【分析】（1）依据分别是三角形的高线，角平分线及中线，即可得出 ，，，据此分别判断各选项即可； （2）先根据三角形的内角和求出，通过外角求出，再利用角的关系计算即可． 【小问1详解】 解：∵分别是的高线，角平分线和中线， ∴，故①错误； ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∴，与互余，故④正确； 故答案为：②③④； 【小问2详解】 解：∵分别是的高线，角平分线和中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线、高线、中线的性质以及三角形的内角和定理，熟悉相关性质是解题的关键． 19. 在正方形ABCD中，E是BC中点，F是CD上一点，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接DE，延长FE交AB的延长线于点G，过点B作交AD于点H，垂足为M，交AE于点N，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有等腰三角形． 【答案】（1）见解析；（2），，， 【解析】 【分析】（1）易证△ABE∽△ECF，可得∠BAE=∠CEF；由于∠BAE+∠BEA=90°，等量代换可得∠BEA+∠CEF=90°，结论可得； （2）易证△BEG≌△CEF，可得∠GE=EF，由于AE⊥EF，可得AE为GF的垂直平分线，所以AG=AF，△AGF为等腰三角形；易证△ABE≌△DCE，可得EA=ED，△EAD为等腰三角形；由BH⊥AF可得∠MAH+∠AHM=90°．由AD∥BC，可得∠AHM=∠HBC，因为∠ABC=90°，可得∠HBC+∠ABH=90°，所以，∠ABH=∠MAH．利用三角形的外角的性质可得∠ANH=∠HAN，△ANH为等腰三角形；同理可得△BEN为等腰三角形． 【详解】解：（1）证明：四边形为正方形， ，． 是中点， ，． ， ． ． ． ． ， ． ． （2）四边形为正方形， ，． ． 在和中， ． ． ． ， 是的垂直平分线． ． 为等腰三角形． ． ， ． ， ． ， ． ． ， ． ． 为等腰三角形． ， ． ， ． 为等腰三角形． 在和中， ． ． ． 为等腰三角形． 综上，等腰三角形有：，，，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形的全等的判定与性质，三角形的相似的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形的外角的性质．利用三角形的全等来证明线段相等是解决此类问题的重要方法． 20. 如图，已知是的角平分线，、分别是和的高． （1）请你判断与关系，并说明理由； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）垂直平分，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质得出，根据三角形全等的判定得出，求出，根据垂直平分线的判定即可得出答案； （2）根据三角形面积公式得出，求出结果即可． 【小问1详解】 解：垂直平分，理由如下： ∵是的角平分线，、分别是和的高， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的判定，三角形面积公式，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． 五．解答题（每题9分） 21. 在中，，是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点的对应点为点． （1）如图1，若点F恰好落在边上，判断的形状，并证明； （2）如图2，若点落在内，且的延长线恰好经过点，，求的度数； （3）若，当是直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）是等边三角形，理由见解析 （2） （3）的长是3或6 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质即可求出相等的角，再根据等边三角形的判定即可得到结论； （2）根据折叠的性质可，由可得，，再根据三角形的内角和定理构造方程求x即可； （3）根据题意分两种情况，再根据图形以及折叠的性质得到的长度． 【小问1详解】 是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴， 由折叠可得， ∴， ∴， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 由折叠可得， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴； 【小问3详解】 的长是3或6，理由如下： 如图，当时，点在内， ∵， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∴； 当时，点F在外， 同理可得， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，根据题意画出图形是解题的关键． 22. 如图1，已知在等腰直角中，，，，是的中点，点从A点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点，若运动时间为． （1）当时，求的长； （2）在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图2，连接，上是否存在点使得与全等，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出，再由全等三角形的判定和性质确定，，即可求解； （2）根据同角的余角相等得出，再由全等三角形的判定和性质得出，再由等量代换即可证明； （3）连接，由（2）中得出，再由三角形内角和定理确定，得出方程求解即可； 理解题意，作出相应辅助线，熟练掌握运用全等三角形的判定和性质是解题关键． 【小问1详解】 解：连接，在等腰直角中， ∵，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 ，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 【小问3详解】 存在点使得与全等，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵是钝角， ∴当与全等时，在中必有一个钝角， ∵点在线段上， ∴只能是是钝角， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 六．解答题（12分） 23. 在八年级上册“轴对称图形”一章69页中我们曾做过“折纸与证明”的数学活动．折纸，常能为证明一个命题提供思路和方法.请用你所学知识解决下列问题． 【感悟】（1）如图1，是的高线，，若，，求的长． 小明同学的解法是：将沿折叠，则点刚好落在边上的点处．…… 请你画出图形并直接写出答案：___________． 【探究】（2）如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 【拓展】（3）如图3，在四边形中，平分，，，①求证：；②若，则的长为___________． 【答案】（1）9；（2），证明见解析；（3）①证明见解析；②18 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，由可得，再由三角形外角的定义及性质可得，推出，进而得到，最后进行计算即可得到答案； （2）在上截取，连接，证明得到，，证明，再由得到，再根据三角形外角的定义及性质得出，进而得到，即可得证； （3）①在上截取，连接，证明，得到，，从而得到，进而，再由即可得证；②由①得，结合可得，从而推出是等边三角形，得出，最后由即可得到答案． 【详解】解：（1）如图，将沿折叠，则点刚好落在边上的点处， ， 由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：9； （2）， 证明：如图，在上截取，连接， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）①如图，在上截取，连接， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； ②由①得，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城中学2024-2025年上学期初二数学入学考试试卷 本试卷总分值为120分 考试时长为120分钟 考试范围：第11--13章 一．选择题（共6小题，18分） 1. 2022年暑假期间，国家高度重视预防溺水安全工作，要求各级各类学校积极落实防溺水安全教育，以下与防溺水相关的标志中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 要求画的边上的高．下列画法中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，为的中线，平分，平分，，下列结论正确的有（ ） ①；②；③；④ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 4. 已知如图，平分于点A，点Q是射线上的一个动点，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 不能确定 5. 如图，把一副常用三角板如图所示拼在一起，延长交于，那么图中的度数是（ ）度． A. 60 B. 90 C. 100 D. 105 6. 如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共6小题，18分） 7. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是______． 8. 已知点和关于x轴对称，则的值为______． 9. 如图，是的中线，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为 _____． 10. 一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：，那么它的实际车牌号是：________． 11. 如图，在直角坐标系中，点坐标为，的半径为1，点坐标为，点是上一动点，则的最小值为 __． 12. 已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是_____． 三．解答题（每小题6分） 13. （1）已知a、b、c为的三边长，且b、c满足，a为方程的解，求的周长． （2）如图，，点B、F、C、E在同一条直线上，若，，求的长． 14. 一个多边形除一个内角外其余各内角的和为，求此内角的度数． 15. 如图，在中，，垂直平分，交于点E．若，的周长为20，求的周长 16. 如图，，，点D在边上，，和相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 17. 如图，为等边三角形，为边上的高，点为边上的中点，请仅用无刻度的直尺按要求作图． （1）在图①中，作的平分线； （2）在图②中，以点为顶点作三角形，使所作三角形面积等于面积的． 四．解答题（每小题8分） 18. 如图，分别是的高线、角平分线和中线． （1）有下列结论：①；②；③；④与互余．其中正确的是_______（填序号）． （2）若，求的度数． 19. 在正方形ABCD中，E是BC中点，F是CD上一点，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接DE，延长FE交AB的延长线于点G，过点B作交AD于点H，垂足为M，交AE于点N，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有等腰三角形． 20. 如图，已知是的角平分线，、分别是和的高． （1）请你判断与关系，并说明理由； （2）若，，，求的长． 五．解答题（每题9分） 21. 在中，，是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点的对应点为点． （1）如图1，若点F恰好落在边上，判断的形状，并证明； （2）如图2，若点落在内，且的延长线恰好经过点，，求的度数； （3）若，当是直角三角形时，直接写出的长． 22. 如图1，已知在等腰直角中，，，，是的中点，点从A点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点，若运动时间为． （1）当时，求的长； （2）在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图2，连接，上是否存在点使得与全等，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 六．解答题（12分） 23. 在八年级上册“轴对称图形”一章69页中我们曾做过“折纸与证明”的数学活动．折纸，常能为证明一个命题提供思路和方法.请用你所学知识解决下列问题． 【感悟】（1）如图1，是的高线，，若，，求的长． 小明同学的解法是：将沿折叠，则点刚好落在边上的点处．…… 请你画出图形并直接写出答案：___________． 【探究】（2）如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 【拓展】（3）如图3，在四边形中，平分，，，①求证：；②若，则的长为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $