7.1.2全概率公式课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.1.2 全概率公式 1.条件概率与概率的乘法公式： (1)条件概率的定义：一般地，设A ，B为两个随机事件 > 0 ，称P 为在事件A发 生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. (2)读法：一般把P(B|A)读作在事件A发生的条件下，事件B发生的概率. (3)条件概率的两种计算方法： ①在原样本空间中，先计算P(AB) ，P(A) ，再利用公式计算 得P ②若事件为古典概型 ，可利用公式P(B|A) = ，即在缩小后的样本空间中计算事件发生的概率. (4)乘法公式：①P(AB) = P(A) ∙ P(B|A). 复习回顾 Bi(i=1,2)表示事件“第i次摸到蓝球” P(R2 ) = P(R1R2 UB1R2 )= P(R1R2 ) + P(B1R2 ) = P(R1 )P(R2 | R1 ) + P(B1 )P(R2 | B1 ) = × — + × a = a + b 问题1.从有 a 个红球和b个蓝球的袋子中,每次随机摸出1个球,摸出的球不 再放回.显然,第1次摸到红球的概率为 .那么第2次摸到红球的概率是多 大？如何计算这个概率呢？ Ri(i=1,2)表示事件“第i次摸到红球” R2=R1R2UB1R2 Bi(i=1,2)表示事件“第i次去B餐厅” P(A2 ) = P(A1A2 UB1A2 )= P(A1A2 ) + P(B1A2 ) = P(A1 )P(A2 | A1 ) + P(B1 )P(A2 | B1 ) = 0.5 × 0.6 + 0.5 × 0.8 = 0.7 因此, 王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7. 小结：上述两个问题都是将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并,再由概率的加法 公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率. 问题2.某学校有A,B两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A 餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8. 计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. P(A1 ) = P(B1 ) = 0.5 Ai(i=1,2)表示事件“第i天去A餐厅” A1和B1互斥 A2=A1A2UB1A2 我们称此公式为全概率公式. 【特别提醒】(1).A1, A2, … , An 是一组两两互斥的事件; 1.全概率公式 一般地, 设A1, A2, … , An 是一组两两互斥的事件, A1 U A2 U…U An = Ω , P(Ai ) > 0, i = 1, 2, …, n, 则对任意的事件B Ω, 有 = P(A1 ) . P(B A1 ) + P(A2 ) . P(B A2 ) +…+ P(An ) . P(B An ) (2).A1 U A2 U…U An = Ω; (3) .P ( Ai ) > 0 . 例1.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6% ，第2 ，3台加工的次品率 均为5% ，加工出来的零件混放在一起. 已知第1 ，2 ，3台车床加工的零件数分别占总数的 25% ，30% ，45%. （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第i（i=1 ，2 ，3）台车床加工的概率. 解 设B =“任取一个零件为次品 ”,Ai =“零件为第i台车床加工 ”(i = 1, 2, 3), ①设事件 则Ω = A1 U A2 U A3 , 且A1, A2, A3两两互斥, 根据题意得 P(A1 ) = 0.25, P(A2 ) = 0.3, P(A3 ) = 0.45, P(B A1 ) = 0.06, P(B A2 ) = P(B A3 ) = 0.05. P(B) = P(A1 )P(B A1 ) + P(A2 )P(B A2 ) + P(A3 )P(B A3 ) = 0.25 × 0.06 + 0.3 × 0.05 + 0.45 × 0.05 A1B A2B A2 ②写概率 ③列算式 = 0.0525. A3B A3 A1 例1.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6% ，第2 ，3台加工的次品率 均为5% ，加工出来的零件混放在一起. 已知第1 ，2 ，3台车床加工的零件数分别占总数的 25% ，30% ，45%. （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第i（i=1 ，2 ，3）台车床加工的概率. 解(2)由题意知, 就是计数在B发生的条件下, 事件Ai 发生的概率. P(A1 ) = 0.25, P(A2 ) = 0.3, P(A3 ) = 0.45, P(B A1 ) = 0.06, P(B A2 ) = P(B A3 ) = 0.05, P(B) = 0.0525, A1B A2B A2 A3B A3 A1 例1 中P(Ai), P(Ai |B)得实际意义是什么？ P(Ai)是试验之前就已知的概率,它是第i台车床加工的零件所占的比例,称 为先验概率. 当已知抽到的零件是次品(B发生),P(Ai |B)是这件次品来自第i 台车床加工的可能性大小,通常称为后验概率.如果对加工的次品,要求操 作员承担相应的责任,那么 , , 就分别是第1,2,3台车床操作员应承担的 份额. 它用来描述两个条件概率之间的关系 例2.在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列。由于随机因素的干扰,发送的信号0或1 有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送 信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的. (1)分别求接收的信号为0和1的概率； A=“发送信号为0 ” B=“接收信号为0 ” (2)已知接收的信号为0,求发送的信号是1的概率. A =“发送信号为1 ” B=“接收信号为1 ” 0.5×0.05 (1)P(B) = P(A)P(B | A) + P(A)P(B | A)= 0.5 × 0.9 + 0.5 × 0.05 = 0.475 P(B) = 0.525 【规律方法】 3.一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病，在患有此种疾病的人群中通过化验有95%的人呈阳性反 应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应，某地区此种病患者占人口数的0.5%，则： (1)某人化验结果为阳性的概率为 ； 解析 A＝“呈阳性反应 ”，B＝“患有此种病 ” P(A)=P(B)P(AIB)+P(B)P(A]B) =0.5%×95%＋99.5%×1% ＝1.47%. (2)若此人化验结果为阳性，则此人确实患有此病的概率为 . (1)求此人感染此病的概率； (2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率. 解：（ 1） 设Ai ＝“此人来自第i个地区 ”，i ＝1,2,3(分别对应甲、乙、丙三个地区)， B ＝“感染此病 ”，则Ω =A1 ∪A2 ∪A3 ，且A1，A2，A3 两两互斥， （2） P38-41 课外资料相应练习 离散型随机变量及其分布列 $$