精品解析：湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题

2024-2025：师大梅溪湖九年级上学期入学考试数学试卷 时量：120分钟 总分：120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 年1月3日，我国的嫦娥四号探测器成功在月球背面着陆，标志着我国已经成功开始了对月球背面的研究，填补了国际空白．月球距离地球的平均距离为38.4万千米，数据38.4万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．根据科学记数法的表示形式为的形式，其中 ，n为整数，即可求解． 【详解】解：38.4万用科学记数法表示为． 故答案为：B 2. 下列计算正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质以及运算法则逐项判断即可． 【详解】A、，故错误； B、非同类二次根式，不能加减，故错误； C、，故正确； D、，故错误； 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的化简与运算，熟练掌握运算法则和基本性质是解题关键． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 了解某班学生的身高情况，适宜采用抽样调查 B. 数据3，5，4，1，1的中位数是4 C. 数据5，5，4，1，1的众数是1和5 D. 甲、乙两人射中环数的方差分别为，，说明乙的射击成绩比甲稳定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了抽样调查与普查，方差的意义以及中位数、众数的定义，正确把握相关定义是解题关键． 直接利用方差的意义以及中位数的定义和众数的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、了解某班学生的身高情况，适宜采用全面调查，故此选项不符合题意； B、数据3，5，4，1，1的中位数是3，故此选项不符合题意； C、数据5，3，5，4，1，1的众数是1和5，正确，故此选项符合题意； D、甲、乙两人射中环数的方差分别为，，说明甲的射击成绩比乙稳定，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 一元二次方程的根的情况是(　　) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式 ，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 5. 如图，在 中， 是 的中线，E、F分别是 、 的中点，连接，已知，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中线和中位线的性质，掌握中线和中位线的性质是解题的关键；根据中线的性质可得，再由中位线的性质求解即可 【详解】 是 的中线，， E、F分别是 、 的中点， 是 的中位线， 故选：． 6. 将正比例函数 的图象向上平移1个单位，得到图象的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将正比例函数 的图象向上平移1个单位后所得直线的解析式为：， 故选：C． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知函数图象平移的法则． 7. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定条件是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填，原说法正确，不符合题意； B、有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填，原说法正确，不符合题意； C、有一组邻边相同的平行四边形是菱形，则（3）处可填，原说法正确，不符合题意； D、菱形的对角本身相等，（4）处填 不能得到四边形是正方形，原说法错误，符合题意； 故选：D． 8. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. y随x的增大而减小 B. 当 时，y有最大值 C. 若点，都在抛物线上，则 D. 经过第一、二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的增减性，可判断A，B；再由二次函数的对称性，可判断C；求出抛物线的对称轴为直线 ，最低点为，与y轴交于正半轴，可判定D，即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，y随x的增大而减小，故A选项错误，不符合题意； 当 时，y有最小值 ，故B选项错误，不符合题意； ∵点，都在抛物线上，， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线 ，最低点为， ∵，且， ∴抛物线与y轴交于正半轴， ∴抛物线经过第一、二、四象限，故D选项正确，符合题意； 故选：D 9. 大庆中考体育项目中包括长跑，很多同学跑完后会感到疲劳，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，未运动时，体内血乳酸浓度通常在以下；如果血乳酸浓度降到以下，就基本消除了疲劳，大庆市体育科工作者根据实验数据，绘制了一幅图象，它反映了考生进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化，下列叙述错误的是（    ） 图中实线表示采用慢跑活动方式放松时血乳酸浓度的变化情况；虚线表示采用静坐方式休息时血乳酸浓度的变化情况． A. 体内血乳酸浓度和时间是变量 B. 当时，两种方式下的血乳酸浓度均超过 C. 采用静坐方式放松时，运动员大约后就能基本消除疲劳 D. 运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 【详解】解：A、体内血乳酸浓度和时间均是变量，原说法正确，故选项A不合题意； B、当时，两种方式下的血乳酸浓度均超过，原说法正确，故选项B不合题意； C、采用静坐方式放松时，运动员大约后才能基本消除疲劳，原说法错误，故选项C符合题意； D、运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松，原说法正确，故选项D不合题意； 故选：C． 10. 如图，在中， 相交于点O，．过点A作的垂线交 于点E，记长为x， 长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作交 的延长线于点F，证明，得到，由勾股定理可得，，，则，整理后即可得到答案． 【详解】解：过点D作交 的延长线于点F， ∵的垂线交 于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∴， 由勾股定理可得，， ， ∴， ∴ ∴ 即，解得， ∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是， 故选：C 二．填空题（共6小题） 11. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，直接利用平方差公式分解因式即可. 【详解】解：， 故答案为： 12. 抛物线的顶点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标，直接把抛物线解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 13. 如图，在中，是 的平分线， ，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，根据四边形是平行四边形得到 ， ，得到，根据角平分线得到，即可得到，得到，即可得到答案 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ， ， ∴， ∵是 的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， 故答案为：． 14. 三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是________． 【答案】6或10或12 【解析】 【分析】首先用因式分解法求得方程的根，再根据三角形的每条边的长都是方程的根，进行分情况计算． 【详解】由方程，得=2或4． 当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6； 当三角形的三边是4，4，4时，则周长是12； 当三角形的三边长是2，2，4时，2+2=4，不符合三角形的三边关系，应舍去； 当三角形的三边是4，4，2时，则三角形的周长是4+4+2=10． 综上所述此三角形的周长是6或12或10． 故答案为：6或10或12 15. 如图，直线和直线相交于，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据函数图像比较函数值的大小，确定对应的自变量的取值范围，观察函数图像得到在点 的左边，直线都在直线的上方，据此求解． 【详解】解：∵直线和直线相交于， ∴观察图像可知：关于的不等式的解集为． 故答案为：． 16. 为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是______． 【答案】2009 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，理解题意是解答的关键．设这位参与者的出生年份是x，从九个数字中任取一个数字为a，根据题意列二元一次方程，整理得，根据a的取值得到x的9种可能，结合实际即可求解． 【详解】解：设这位参与者的出生年份是x，从九个数字中任取一个数字为a， 根据题意，得， 整理，得 ∴， ∵a是从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字， ∴x的值可能为1209，1309，1409，1509，1609，1709，1809，1909，2009， ∵是为庆祝中国改革开放46周年，且参与者均为在校中学生， ∴x只能是2009， 故答案为：2009． 三．解答题（共9小题） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用直接开平方的方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【解析】 【分析】先去括号、再合并同类项将原式进行化简，然后将代入计算即可解答． 【详解】解：， ， ； 当时，原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算、化简求值等知识点，正确利用整式混合运算法则化简成为解题的关键． 19. 在八下书本49页中，我们得到了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，完成以下证明过程： 已知：如图，D、E分别是 的边 ， 的中点； 求证： 且． 证明：如图，延长到点F，使，连接，， ． ∵ ______，， ∴四边形是平行四边形，（ ）（填推理的依据） 平行且等于 ，∴ 平行且等于 ． ∴四边形是平行四边形，（ ）（填推理的依据） ∴ 平行且等于 ．又∵，∴ ，． 【答案】；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形为平行四边形是解题的关键．先证四边形是平行四边形，则 平行且等于 ，得 平行且等于 ．再证四边形是平行四边形，得 平行且等于 ，即可得出结论． 【详解】证明：如图，延长到点F，使，连接，， . ∵，， ∴四边形是平行四边形，（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（填推理的依据） 平行且等于 ， ∴ 平行且等于 . ∴四边形是平行四边形，（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据） ∴ 平行且等于 . 又∵， ∴ ，. 故答案为：；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 20. 为了解本校九年级学生的体质健康情况，胡老师随机抽取32名学生进行了一次体质健康测试，规定分数在75分以上为良好．根据测试成绩制成统计图表． 组别 分数段 人数 A 2 B 5 C a D 12 请根据上述信息解答下列问题： （1）补全条形统计图，并求 ； （2）样本数据的中位数位于 组； （3）该校九年级学生有960人，估计该校九年级学生体质健康测试成绩为良好的有多少人？ 【答案】（1）见解析，13 （2）C （3）750人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表，画条形统计图，中位数的定义，样本估计总体，从统计图中获取信息是解题的关键． （1）用32减去表格中其他数据，求得a的值，再补全统计图即可； （2）根据中位数的定义求解； （3）用样本估计总体，用960乘以C，D人数的占比即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，， 补全统计图如下： 【小问2详解】 解：∵一共有32人， ∴把这组学生的成绩按照从低到高排列，中位数为第16名和第17名成绩的平均数， ∵，， ∴第16、17名学生的成绩都在C组， ∴样本数据的中位数位于C组； 【小问3详解】 解：解：， 答：估计该校九年级学生体质健康测试成绩为良好的有750人． 21. 如图，已知抛物线与轴交于点 两点，过点作轴的平行线交抛物线于 两点． （1）求的长； （2）结合图像，直接写出当时，的取值范围是 ． 【答案】（1）3 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像上点的特征、二次函数与不等式等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）根据题意可知，对于抛物线，令，并解得的值，即可确定点 的坐标，然后计算的长； （2）结合函数图像以及点 的坐标，即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵轴，且经过点， ∴， 对于抛物线，令， 可得，解得，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 由（1）可知，，， ∴结合图像可知，当时，的取值范围是或． 故答案为：或． 22. 每年5月的第二个星期日为母亲节，很多同学会买鲜花送给妈妈．在某花店，小敏买的3束百合和2束康乃馨共花了145元；小明买的2束百合和3 束康乃馨共花了130元． （1）求每束百合和每束康乃馨的售价； （2）某社团打算在该花店购买两种花一共90束，且购买百合的数量不少于康乃馨数量的一半．请设计一种购买方案，使购买花束的总费用最少，并求总费用最少为多少元． 【答案】（1）每束百合35元，每束康乃馨20元 （2）购进百合30束，康乃馨60束时，购进花束的总费用最少，最少费用为2250元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键． （1）设每束百合m元，每束康乃馨n元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进百合x束，总费用为w元，则购进康乃馨束，根据列出关于x的一元一次不等式求得x的取值范围，再列出w关于x的一次函数，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每束百合m元，每束康乃馨n元， 根据题意，得， 解得， 答：每束百合35元，每束康乃馨20元； 【小问2详解】 解：设购进百合x束，总费用为w元，则购进康乃馨束， ∵购进百合的数量不少于康乃馨数量的一半， ∴， 解得， 根据题意，得， ∵ ， ∴w随x的增大而增大． ∴ 当时，w取最小值，(元)， ∴． 答：购进百合30束，康乃馨60束时，购进花束的总费用最少，最少费用为2250元． 23. 如图，菱形的对角线 相交于点 ，过点作 ，且 ，连接 ． （1）求证：四边形 为矩形： （2）连接．若，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 为平行四边形， ∴四边形 为矩形； （2） ． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握特殊平行四边形的性质和判定定理是解题的关键． （1）首先根据菱形的性质得 ， ，再结合已知条件，得 ，结合 ，可知四边形 是平行四边形，进而得出结论； （2）由（1）可知， ， ，根据勾股定理可求得 ，由菱形面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知， ， ， ， 菱形的面积 ． 24. 阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： （1）若实数a，b满足：，则_______，_______； （2）若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值； （3）已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键： （1）根据题意，得到实数a，b是方程的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到，进而得到，代入，求出的值，再根据根与系数的关系，进行求解即可； （3）构造一元二次方程，得到 是它的两个实数根，得到，将进行配方，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得a，b是方程的两个根， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 由题意，得：，， ∴， ∴， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 当时，，解得： ， ∴， ∴， ∴ ； 综上：或 ； 【小问3详解】 ∵， ∴， 又∵， ∴ 是一元二次方程的两个实数根，， ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 25. 如图，抛物线与x轴交于A、B（A在B的左边），与y轴负半轴交于C，且． （1）求a，c的值； （2）如图1，点D是抛物线在第四象限内图像上一点，点P是y轴上一点，P点坐标是，点D是直线与该抛物线唯一的公共点，直线与该抛物线交于M，N两点，若， ①求出D点的坐标； ②求出t的值． （3）在（2）的条件下，如图2，连接 和 ，在抛物线上是否存在点Q使，若存在，求出Q点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）， （2）①；② ， （3） 【解析】 【分析】（1）先求出A、C两点的坐标，再将A、C两点的坐标代入中，利用待定系数法即可求出a、c的值； （2）①由，得抛物线的表达式为 ．设，联立 和得一元二次方程，由可求出的值，进而求出D点的坐标． ②过点作轴的平行线交于点 ，求出E点坐标是，则可得 ．设 ， 两点的横坐标是，，联立 和，可得 ，则可得，，进而可得的值， ，即可求出t的值． （3）由、、可得、，又由，，得，则可得，则，则可得．求出直线的表达式为，再与抛物线 联立，求出交点坐标，即可得Q点的坐标． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 把，分别代入中得， ， 解得：，． 【小问2详解】 解：①∵，， ∴抛物线的表达式为： ． 设：， 联立， 则， 两个函数只有唯一公共点， ， ， 解得：或， 点在第四象限， ， ， ∴， 解得 ，， ∴． ②过点作轴的平行线交于点 ， ， 点横坐标是2， 点坐标是， ， 设： ， 两点的横坐标是，， 联立， 得：， 则，， ， ， ， ， 两边平方得， ，． 【小问3详解】 解：延长交轴于点 ，过D点作 轴于H点，设与y轴的交点为G点． 将代入直线的解析式中得：， 得， 由得:， ，， 又， ， ，， ∵ ，且， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的表达式为：， 则， 解得， ∴直线的表达式为：， 联立， 得，， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数，二次数与几何的综合运用．用待定系数法求二次函数的表达式，求三角形面积，全等三角形的判定和性质，求一次函数表达式．正确的作出辅助线，掌握“三角形的面积 水平宽 铅垂高”是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025：师大梅溪湖九年级上学期入学考试数学试卷 时量：120分钟 总分：120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 年1月3日，我国的嫦娥四号探测器成功在月球背面着陆，标志着我国已经成功开始了对月球背面的研究，填补了国际空白．月球距离地球的平均距离为38.4万千米，数据38.4万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是(　　) A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 了解某班学生的身高情况，适宜采用抽样调查 B. 数据3，5，4，1，1的中位数是4 C. 数据5，5，4，1，1的众数是1和5 D. 甲、乙两人射中环数的方差分别为，，说明乙的射击成绩比甲稳定 4. 一元二次方程的根的情况是(　　) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 如图，在 中， 是 的中线，E、F分别是、 的中点，连接，已知，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 将正比例函数 的图象向上平移1个单位，得到图象的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 8. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. y随x的增大而减小 B. 当 时，y有最大值 C. 若点，都在抛物线上，则 D. 经过第一、二、四象限 9. 大庆中考体育项目中包括长跑，很多同学跑完后会感到疲劳，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，未运动时，体内血乳酸浓度通常在以下；如果血乳酸浓度降到以下，就基本消除了疲劳，大庆市体育科工作者根据实验数据，绘制了一幅图象，它反映了考生进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化，下列叙述错误的是（    ） 图中实线表示采用慢跑活动方式放松时血乳酸浓度的变化情况；虚线表示采用静坐方式休息时血乳酸浓度的变化情况． A. 体内血乳酸浓度和时间是变量 B. 当时，两种方式下的血乳酸浓度均超过 C. 采用静坐方式放松时，运动员大约后就能基本消除疲劳 D. 运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松 10. 如图，在中， 相交于点O，．过点A作的垂线交 于点E，记长为x， 长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题） 11. 分解因式：_______． 12. 抛物线的顶点坐标为__________． 13. 如图，在中，是 的平分线， ，，则_________． 14. 三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是________． 15. 如图，直线和直线相交于，则关于的不等式的解集为______． 16. 为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是______． 三．解答题（共9小题） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 在八下书本49页中，我们得到了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，完成以下证明过程： 已知：如图，D、E分别是 的边 ，的中点； 求证： 且． 证明：如图，延长到点F，使，连接，， ． ∵ ______，， ∴四边形是平行四边形，（ ）（填推理的依据） 平行且等于 ，∴ 平行且等于 ． ∴四边形是平行四边形，（ ）（填推理的依据） ∴ 平行且等于 ．又∵，∴ ，． 20. 为了解本校九年级学生的体质健康情况，胡老师随机抽取32名学生进行了一次体质健康测试，规定分数在75分以上为良好．根据测试成绩制成统计图表． 组别 分数段 人数 A 2 B 5 C a D 12 请根据上述信息解答下列问题： （1）补全条形统计图，并求 ； （2）样本数据的中位数位于 组； （3）该校九年级学生有960人，估计该校九年级学生体质健康测试成绩为良好的有多少人？ 21. 如图，已知抛物线与轴交于点 两点，过点作轴的平行线交抛物线于 两点． （1）求的长； （2）结合图像，直接写出当时，的取值范围是 ． 22. 每年5月的第二个星期日为母亲节，很多同学会买鲜花送给妈妈．在某花店，小敏买的3束百合和2束康乃馨共花了145元；小明买的2束百合和3 束康乃馨共花了130元． （1）求每束百合和每束康乃馨的售价； （2）某社团打算在该花店购买两种花一共90束，且购买百合的数量不少于康乃馨数量的一半．请设计一种购买方案，使购买花束的总费用最少，并求总费用最少为多少元． 23. 如图，菱形的对角线 相交于点，过点作 ，且 ，连接 ． （1）求证：四边形 为矩形： （2）连接．若，求菱形的面积． 24. 阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： （1）若实数a，b满足：，则_______，_______； （2）若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值； （3）已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围． 25. 如图，抛物线与x轴交于A、B（A在B的左边），与y轴负半轴交于C，且． （1）求a，c的值； （2）如图1，点D是抛物线在第四象限内图像上一点，点P是y轴上一点，P点坐标是，点D是直线与该抛物线唯一的公共点，直线与该抛物线交于M，N两点，若， ①求出D点的坐标； ②求出t的值． （3）在（2）的条件下，如图2，连接 和 ，在抛物线上是否存在点Q使，若存在，求出Q点坐标，若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $