精品解析：湖南省长沙市望城区第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

2024-2025学年高二（上）入学考试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 若集合，则是（ ） A. 或 B. C. D. 3. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 4. 在四面体ABCD中，点M，N满足，，若，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知，，则 （ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子次，分别记录每次骰子出现的点数根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的是（ ） A. 甲：平均数为，中位数为 B. 乙：中位数为，众数为 C. 丙：平均数为，方差为 D. 丁：中位数为，方差为 7. 在正四棱柱中，，，设四棱柱的外接球的球心为，动点在正方形的边上，射线交球的表面于点，现点从点出发，沿着运动一次，则点经过的路径长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，边长为2的正方形ABCD中，P，Q分别为边BC，CD上的点，，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数的虚部与的实部均为2，则下列说法正确的是（ ） A. 是虚数 B. 若，则 C. 若，则与对应的点关于x轴对称 D. 若是纯虚数，则 10. 一口袋中有大小和质地相同的5个红球和2个白球，则下列结论正确的是（ ） A. 从中任取3球，恰有一个红球的概率是； B. 从中有放回的取球3次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为； C. 从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为； D. 从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为. 11. 已知平行六面体的棱长均为1，分别是棱和的中点，是上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则∥面 C. 若，则面 D. 若是线段的中点，是线段上的动点，则的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数若函数仅有一个零点，则实数m的值是______． 13. 《中国居民膳食指南（2022）》数据显示，岁至岁儿童青少年超重肥胖率高达为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取名学生，测量他们的体重单位：千克，根据测量数据，按，，，，，分成六组，得到的频率分布直方图如图所示，根据调查的数据，估计该地中学生体重的分位数是______． 14. 已知一个圆台的侧面积为，下底面半径比上底面半径大，母线与下底面所成角的正切值为，则该圆台的外接球圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上的体积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知两组各有5位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： 组：10，11，12，13，14， 组：12，13，15，14，． 假设所有病人的康复时间相互独立，从两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙． （1）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； （2）如果，事件：“甲康复时间为11天”，事件：“甲乙康复时间之和为25天”，事件是否相互独立？ 16. 如图所示，已知底面，，，且，为的中点． （1）若，求三棱锥的体积． （2）求证：； 17. 已知函数. （1）当时，函数存在零点，求实数的取值范围； （2）设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求的取值范围. 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）点在边上，且，，求面积的最小值． 19. 已知正实数集，定义：称为的平方集.记为集合中的元素个数. （1）若，求集合和； （2）若，求； （3）求证：，并指出取等条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高二（上）入学考试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式，即可化简求值. 【详解】原式 . 故选：A 2. 若集合，则是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式求出两个集合，再求两集合的交集即可. 【详解】由，得或， 解得或， 所以或， 由，得， 所以， 所以. 故选：B 3. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排除法，根据题意结合函数定义域以及函数值的符号分析判断. 【详解】由题意可知：的定义域为，故B错误； 当，先正后负，则有： 对于C：因为，则， 可知，故C错误； 对于D：因为，则，但的符号周期性变化，故D错误； 故选：A. 4. 在四面体ABCD中，点M，N满足，，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】直接利向量的线性运算求出结果． 【详解】在四面体中，由于点，满足，， 如图所示： 故， 故． 故选：C 5. 已知，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由结合两角差的正切公式求得. 【详解】由 得， 故选：A. 6. 甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子次，分别记录每次骰子出现的点数根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的是（ ） A. 甲：平均数为，中位数为 B. 乙：中位数为，众数为 C. 丙：平均数为，方差为 D. 丁：中位数为，方差为 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、方差的定义，通过举例排除ABD，由假设推理判断C． 【详解】若甲的5个点数分别是，满足选项A； 若乙的5个点数分别是，满足选项B； 若丁的5个点数分别是，平均数为4，其方差为，满足选项D； 若丙的平均数为2，又有点数6，则方差，不可能满足C，因此丙不会出现点数6， 故选：C． 7. 在正四棱柱中，，，设四棱柱的外接球的球心为，动点在正方形的边上，射线交球的表面于点，现点从点出发，沿着运动一次，则点经过的路径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】点的路径是4段长度相等的弧，求出圆心角可得弧长. 【详解】因为正四棱柱外接球的直径为其体对角线的长， 故（为正四棱柱外接球的半径）. 所以. 所以为等边三角形，所以. 所以劣弧的长为：. 所以点经过的路径长为：. 故选：A 8. 如图，边长为2的正方形ABCD中，P，Q分别为边BC，CD上的点，，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设条件可得，然后利用三角变换公式结合正弦函数的性质可求最大值. 【详解】由余弦定理可得， 整理得到， ，则， 整理得到：， 而，故， 而，故， 设， 则 ，其中为锐角且， 因为，故， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数的虚部与的实部均为2，则下列说法正确的是（ ） A. 是虚数 B. 若，则 C. 若，则与对应的点关于x轴对称 D. 若是纯虚数，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助虚数定义可得A；借助模长共识计算即可得B；借助共轭复数定义与复数的几何意义可得C；借助复数的乘法运算与纯虚数定义及模长定义即可得D. 【详解】可设复数， A选项：根据虚数定义可知A正确； B选项：，所以，则， 所以，，所以，故B不正确； C选项：若，所以，所以，， 所以，对应的点分别为和，则关于x轴对称，故C正确； D选项：因为， 且是纯虚数，所以，所以，，则， 所以，故D正确． 故选：ACD. 10. 一口袋中有大小和质地相同的5个红球和2个白球，则下列结论正确的是（ ） A. 从中任取3球，恰有一个红球的概率是； B. 从中有放回的取球3次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为； C. 从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为； D. 从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为. 【答案】AC 【解析】 【分析】A应用古典概型求概率即可；B、D由取到白球服从分布，应用二项分布概率公式求出对应事件的概率；C由题设第二次取球时剩余4个红球、2个白球即可判断. 【详解】A：任取3球恰有一个红球的概率，正确； B：由每次取到红白球概率分别为，则取到白球服从分布，则恰好有两个白球的概率，错误； C：第一次取到红球，则剩余4个红球、2个白球，故第二次取到红球的概率为，正确； D：由B分析知：，错误. 故选：AC 11. 已知平行六面体的棱长均为1，分别是棱和的中点，是上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则∥面 C. 若，则面 D. 若是线段的中点，是线段上的动点，则的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项，在，，中依次使用余弦定理即可解得； B选项，假设平面成立，由线面平行的性质可知，由平行线分线段成比例可知,找出全等三角形,可得； C选项，分别证明，由线面垂直的判定可得平面； D选项，找出全等三角形,可知当最小时，故最小，故此时三点共线，利用余弦定理求的长度即的最小值. 【详解】由题设可知，平行六面体的六个面均为一个角是的菱形，连接交于点， ​​​​​​​ 在菱形中易得,又O为中点，则， 在直角三角形中有, 在中，由余弦定理可得，解得，则， 在中，由余弦定理得,则， 在中，余弦定理可得,解得，A正确； 连接交于G，连接交于H，由于分别是棱和的中点, 可得， 连接,交于点， 则有，故， 若平面,平面,平面平面,则，故, 易得,故,与题设不符，B错误； 设与交于点，连接，因为分别是，的中点,​​​​​​​​​​​​​​则, 在菱形中易得，则， 又是中点，则，则， 过点C作，使，连接,易得， 在平面内由余弦定理得， 解得，又，，则， 则，又，则， 因为平面, 平面， 面，C正确； 由平行六面体的对称性可得,则， 当最小时，可知最小，故此时三点共线， 此时易得N为的中点， 由可得, 由B选项可知,又，则, 在中，由余弦定理可得, 解得，故的最小值是，D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：空间中的最值问题，一般情况下会利用转化到同一个平面内，将其化简为代数类问题解决往往比较容易. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数若函数仅有一个零点，则实数m的值是______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据解析式分析的单调性并画出大致图象，将问题化为与仅有一个交点，数形结合求参数值. 【详解】由函数解析式，在上递减，、上递增，且在处连续， 所以大致图象如下， 由函数仅有一个零点，即与仅有一个交点， 由图知：. 故答案为：0 13. 《中国居民膳食指南（2022）》数据显示，岁至岁儿童青少年超重肥胖率高达为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取名学生，测量他们的体重单位：千克，根据测量数据，按，，，，，分成六组，得到的频率分布直方图如图所示，根据调查的数据，估计该地中学生体重的分位数是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据频率分布直方图判断分位数的位置，然后列方程求解即可. 【详解】因为前2组的频率和为， 前3组的频率和为， 所以分位数在内， 设分位数为，则，解得. 故答案为： 14. 已知一个圆台的侧面积为，下底面半径比上底面半径大，母线与下底面所成角的正切值为，则该圆台的外接球圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意计算可得，，，再设出该圆台的外接球球心，借助球的性质得到，再代入数据计算即可得. 【详解】如图，设、分别为上下底面圆心，为母线，为点在底面的投影， 为该圆台的外接球球心， 由该圆台的侧面积为，则有， 即， 由下底面半径比上底面半径大，则有， 由母线与下底面所成角的正切值为，则有，即， 又，即有， 则，即，则， 则有， 即，即，即， 设该圆台的外接球半径为，则, 故该圆台的外接球体积. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于设出该圆台的外接球球心，从而借助勾股定理得到. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知两组各有5位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： 组：10，11，12，13，14， 组：12，13，15，14，． 假设所有病人的康复时间相互独立，从两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙． （1）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； （2）如果，事件：“甲康复时间为11天”，事件：“甲乙康复时间之和为25天”，事件是否相互独立？ 【答案】（1） （2）不相互独立 【解析】 【分析】（1）列举符合条件的基本事件，即可由古典概型的概率公式求解， （2）分别求解,即可根据相互独立事件满足的关系求解. 【小问1详解】 如果，从两组随机各选1人，样本空间，，共有25种， 甲的康复时间比乙的康复时间长的情况有，共有8种， 所以概率为； 【小问2详解】 当时，，事件的情况有，共4种 所以 事件：“甲康复时间为11天且甲乙康复时间和为25天”的情况为． 故 所以事件不相互独立． 16. 如图所示，已知底面，，，且，为的中点． （1）若，求三棱锥的体积． （2）求证：； 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用体积变换法求 （2）先证明DE⊥面，即证. 【小问1详解】 根据题意可得， ，所以， 由，得平面， 所以 【小问2详解】 连接，交DE于F， 因为CE⊥面ABC，， 所以所以和为直角三角形， 又，， 所以 所以， 又已知CE⊥底面ABC，， 所以CE⊥AB，AB⊥BC，面，所以AB⊥面， 面，所以AB⊥DE，又，所以， ，面，所以DE⊥面，又面， 所以DE⊥． 【点睛】（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查体积的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象转化能力.（2）空间几何体体积的计算常用的有公式法、割补法和体积变换法. 17. 已知函数. （1）当时，函数存在零点，求实数的取值范围； （2）设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据函数零点的定义，利用转化法进行求解即可； （2）把公共点的问题转化为方程的解的问题，结合换元法进行求解即可. 【小问1详解】 ，当时， 函数存在零点， 即在时有解， 设， 即， 即实数的取值范围为. 【小问2详解】 若函数与的图象只有一个公共点， 则关于的方程只有一解， 只有一解，令， 得关于的方程有一正数解， ①当时，方程的解为，不合题意； ②当时，则恒成立， 此方程有一正一负根，负根舍去，满足题意； ③当时，满足的情况下，因为，同号，所以得满足， 只需,且， 解得； 综上：实数的取值范围为 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）点在边上，且，，求面积的最小值． 【答案】（1）A； （2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及余弦定理化简得到，再利用余弦定理得，根据角的范围求出即可； （2）设，求得，再通过求得，进而得到，过点作的垂线，交于点，求得，结合三角形面积公式及三角恒等变换即可求解. 【小问1详解】 由题意及正弦定理得，， 由余弦定理得，， 整理得， 所以， 又，故A； 【小问2详解】 设，则， 因为，，， 由于，则， 在中由正弦定理得，，解得， 因此， 过点作的垂线，交于点，设三角形的面积为， ， 所以， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 即三角形面积的最小值为． 19. 已知正实数集，定义：称为的平方集.记为集合中的元素个数. （1）若，求集合和； （2）若，求； （3）求证：，并指出取等条件． 【答案】（1）； （2） （3） 当时，取等号 当时，取等号 当时不妨令，则 有 其中中元素的个数为个， 即， 当且仅当，此时中只有个元素．（或指出为等比数列）. 【解析】 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可； （2）由题意得和全都互质，所以，则答案可求； （3）分， 和三种情况讨论即可. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 ，要使得最小，就得使和全都互质， 当中所有元素互质的时候，， 即， 解得：就是所求的最小值； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $