精品解析：湖南省长沙市望城区第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

2024-2025学年高二（上）入学考试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 若集合，则是（ ） A. 或 B. C. D. 3. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能是（ ） A B. C. D. 4. 在四面体ABCD中，点M，N满足，，若，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知，，则 （ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子次，分别记录每次骰子出现的点数根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的是（ ） A. 甲：平均数为，中位数为 B. 乙：中位数为，众数为 C. 丙：平均数为，方差为 D. 丁：中位数为，方差为 7. 在正四棱柱中，，，设四棱柱的外接球的球心为，动点在正方形的边上，射线交球的表面于点，现点从点出发，沿着运动一次，则点经过的路径长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，边长为2的正方形ABCD中，P，Q分别为边BC，CD上的点，，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数虚部与的实部均为2，则下列说法正确的是（ ） A. 是虚数 B. 若，则 C. 若，则与对应的点关于x轴对称 D. 若是纯虚数，则 10. 一口袋中有大小和质地相同的5个红球和2个白球，则下列结论正确的是（ ） A. 从中任取3球，恰有一个红球的概率是； B. 从中有放回的取球3次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为； C. 从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为； D. 从中有放回取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为. 11. 已知平行六面体的棱长均为1，分别是棱和的中点，是上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则∥面 C. 若，则面 D. 若是线段的中点，是线段上的动点，则的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数若函数仅有一个零点，则实数m的值是______． 13. 《中国居民膳食指南（2022）》数据显示，岁至岁儿童青少年超重肥胖率高达为了解某地中学生体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取名学生，测量他们的体重单位：千克，根据测量数据，按，，，，，分成六组，得到的频率分布直方图如图所示，根据调查的数据，估计该地中学生体重的分位数是______． 14. 已知一个圆台的侧面积为，下底面半径比上底面半径大，母线与下底面所成角的正切值为，则该圆台的外接球圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上的体积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知两组各有5位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： 组：10，11，12，13，14， 组：12，13，15，14，． 假设所有病人的康复时间相互独立，从两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙． （1）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； （2）如果，事件：“甲康复时间为11天”，事件：“甲乙康复时间之和为25天”，事件是否相互独立？ 16. 如图所示，已知底面，，，且，为的中点． （1）若，求三棱锥的体积． （2）求证：； 17. 已知函数. （1）当时，函数存在零点，求实数的取值范围； （2）设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求的取值范围. 18. 在中，内角，，对边分别为，，，且． （1）求角； （2）点在边上，且，，求面积的最小值． 19. 已知正实数集，定义：称为的平方集.记为集合中的元素个数. （1）若，求集合和； （2）若，求； （3）求证：，并指出取等条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $