精品解析：山东省烟台市蓬莱区（五四制）2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题

蓬莱区2023-2024学年第二学期期末学业水平考试 初三数学试题 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若使算式3〇的运算结果最小，则〇表示的运算符号是（ ） A. + B. ﹣ C. × D. ÷ 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程中有实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则新图形与原图形相似的有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6. 已知直线的函数解析式是，双曲线的解析式是，则直线和双曲线在同一坐标系中的图像可能是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，这是一把折叠椅子及其侧面的示意图，线段和相交于点，点在的延长线上，测得，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，点E、F分别为、的中点，、相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是（ ） A. B. 1 C. D. 9. 如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①，②，③，④，⑤，其中与⑤相似的三角形是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ①③④ 10. 在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点的坐标分别是, ,点把线段三等分，延长分别交于点,连接, 则下列结论:; ③四边形的面积为;④,其中正确的有（ ）. A. B. C. D. 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是__． 12. 小颖初一时体重是，到初三时体重增加到，则她的体重平均每年增加的百分率为__________． 13. 如图，小树在路灯的照射下形成的投影为．若树高，树影，树与路灯的水平距离．则路灯的高度为_____． 14. 如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作轴于点B，点P在x轴上，，四边形的面积为12，则这个反比例函数的表达式为__________． 15. 已知菱形，分别以点，，，为圆心，以的长为半径画弧，分别交，，，于点，，，．若，，则图中阴影部分的面积为________． 16. 如图，将矩形绕点A旋转，使点B的对应点恰好落在上．若 连接，则的长为___________． 三、解答题（本大题共9个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 计算 （1）； （2）． 用适当的方法解方程： （3）； （4）． 卷2 18. 已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为，，． （1）以点O为位似中心，在y轴右侧画，使它与的相似比为； （2）的面积为__________； （3）若点为内一点，则点M的对应点的坐标为__________． 19. 已知关于的方程有两个不相等的实数根. （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，决出k的值；如果不存在，请说明理由． 20. 如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 21. 如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为米和米，该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场，其中和两边借助墙体且不超出墙体，其余部分用总长米的木栏围成，中间预留1米宽的通道，在和边上各留1米宽的门，设长米． （1）求的长度（用含的代数式表示，并求出的取值范围）． （2）若饲养场的面积为平方米，求的值． 22. 每年5月份的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定降价销售，但每辆轮椅利润不低于180元．全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 23. 为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． 　　 （1）求这个函数的表达式； （2）当气体体积为时，求气体压强的值； （3）若注射器内气体的压强不能超过，则其体积V要控制在什么范围? 24. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为，点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且，，一次函数的图象过点D和M，反比例函数的图象经过点D，与BC的交点为N． 求反比例函数和一次函数的表达式； 若点P在直线DM上，且使的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标． 25. 已知三角形纸片，其中，，，点E，F分别是，上的点，连接． （1）如图1，若将纸片沿折叠，折叠后点A刚好落在边上点D处，且，求的长； （2）如图2，若将纸片沿折叠，折叠后点A刚好落在边上点M处，且． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②求折痕的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蓬莱区2023-2024学年第二学期期末学业水平考试 初三数学试题 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，立方根，二次根式的减法以及完全平方公式． 根据算术平方根，立方根的定义，二次根式减法法则以及完全平方公式一一计算判断即可． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ． ，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； ． ，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 若使算式3〇的运算结果最小，则〇表示的运算符号是（ ） A. + B. ﹣ C. × D. ÷ 【答案】B 【解析】 【分析】分别把四个选项中的符号代入计算，再比较结果的大小即可． 【详解】解：3+＝3+2＝5， 3＝3﹣2＝， 3×＝3＝12， 3÷＝3÷2＝， ∵12＞5＞， ∴〇表示的运算符号是“﹣”时，运算结果最小， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算是解题的关键． 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，设设，再代入所求分式化简求解即可． 【详解】∵， ∴设， ∴， 故选：B． 4. 下列方程中有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别解各选项的方程，求解后即可判断． 【详解】解：对于，，原方程有实数根，故A符合题意； 对于，去分母得：，经检验：为原方程的增根，原方程无实数根，故B不符合题意； 对于，移项得，因此原方程无实数根，故C不符合题意； 对于，移项得，因此原方程无实数根，故D不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查的是方程有无实数根的问题，掌握各种方程的解法是解题关键． 5. 将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则新图形与原图形相似的有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】利用相似三角形和相似多边形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：如图1，可知：， ∴，， ∴； 如图2，∵正方形的边长由4变为6，对应边比值相等，对应角相等， ∴新图形与原图形相似； 如图3，∵，， 则，， ∴， ∴新矩形与原矩形不相似． 综上：新图形与原图形相似的有2个； 故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，相似多边形的判定．熟练掌握相似三角形和多边形的判定方法，是解题的关键． 6. 已知直线的函数解析式是，双曲线的解析式是，则直线和双曲线在同一坐标系中的图像可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对选项A，根据一次函数图像可判断，，根据反比例函数图像即可判断；对选项B，根据一次函数可判断，，则，根据反比例函数可判断；对选项C，根据一次函数可判断，，则，根据反比例函数可判断；对选项D，根据一次函数可判断，，则，根据反比例函数可判断． 【详解】解：A．一次函数经过第一、三象限，则，图像与y轴交于负半轴，则，故，图中反比例函数经过第一、三象限应，故此选项不合题意； B．一次函数经过第二、四象限，则，图像与y轴交于正半轴，则，故，图中反比例函数经过第一、三象限应，故此选项不合题意； C．一次函数经过第二、四象限，则，图像与y轴交于正半轴，则，故，图中反比例函数经过第二、四象限应，故此选项符合题意； D．一次函数经过第二、四象限，则，图像与y轴交于负半轴，则，故，图中反比例函数经过第二、四象限应，故此选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，熟悉两函数图像的分布与其解析式对应系数的关系是解题的关键． 7. 如图，这是一把折叠椅子及其侧面的示意图，线段和相交于点，点在的延长线上，测得，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，先根据已知条件得到，即可求得角度． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， 即， ∴， 故选：A． 8. 如图，在矩形中，，，点E、F分别为、的中点，、相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，求出，，求出，根据勾股定理求出，求出，根据三角形的中位线求出，根据相似三角形的判定得出，根据相似三角形的性质得出，再求出答案即可． 【详解】解析：四边形是矩形，，， ，，， 点E、F分别为、的中点， ，， ， ， ， ． 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记矩形的性质是解此题的关键． 9. 如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①，②，③，④，⑤，其中与⑤相似的三角形是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】两三角形三条边对应成比例，两三角形相似，据此即可解答． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则 ①△ABC的各边长分别为1、、． ②△ACD的各边长分别为1、、2 ； ③△ADE的各边长分别为2、2 、2 ； ④△AEF的各边长分别为2、2、6； ⑤△AGH的各边长分别为、2、； ∴△ABC∽△AGH，△ADE∽△AGH， 故选A． 【点睛】此题主要考查学生对三组对应边的比相等的两个三角形相似的运用．正确掌握网格中求线段长度的方法及掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 10. 在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点的坐标分别是, ,点把线段三等分，延长分别交于点,连接, 则下列结论:; ③四边形的面积为;④,其中正确的有（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】① 根据题意证明，得出对应边成比例，再根据把线段三等分，证得，即可证得结论； ② 延长BC交y轴于H，证明OA≠AB，则∠AOB≠∠EBG，所以△OFD∽△BEG不成立； ③ 利用面积差求得，根据相似三角形面积比等于相似比的平方进行计算并作出判断； ④ 根据勾股定理，计算出OB的长，根据三等分线段OB可得结论. 【详解】作AN⊥OB于点N，BM⊥x轴于点M，如图所示： 在平行四边形OABC中，点的坐标分别是, , ∴ 又∵把线段三等分， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ 即，①结论正确； ∵， ∴ ∴平行四边形OABC不是菱形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故△OFD和△BEG不相似，故②错误； 由①得，点G是AB的中点， ∴FG是△OAB的中位线， ∴， 又∵把线段三等分， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形DEGH是梯形 ∴，故③正确； ，故④错误； 综上：①③正确， 故答案为C. 【点睛】此题主要考查勾股定理、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、线段的中点，熟练运用，即可解题. 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是__． 【答案】x＞2 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：x＞2， 故答案为：x＞2． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 12. 小颖初一时体重是，到初三时体重增加到，则她的体重平均每年增加的百分率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设她的体重平均每年增加的百分率为x， 根据题意有：，解一元二次方程即可求解． 【详解】解：设她的体重平均每年增加的百分率为x， 根据题意有：， 解得：（舍去），， ∴她的体重平均每年增加的百分率为， 故答案为：． 13. 如图，小树在路灯的照射下形成的投影为．若树高，树影，树与路灯的水平距离．则路灯的高度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由已知可得，进而根据即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 14. 如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作轴于点B，点P在x轴上，，四边形的面积为12，则这个反比例函数的表达式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，反比例函数k的几何意义，求反比例函数的解析式，先设这个反比例函数的表达式为，再通过证明四边形是平行四边形，并利用平行四边形的性质及反比例函数的性质得出k的值，即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】设这个反比例函数的表达式为， ∵轴于点B， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵反比例函数图象位于第二象限， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 故答案为：． 15. 已知菱形，分别以点，，，为圆心，以的长为半径画弧，分别交，，，于点，，，．若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】设交于，根据菱形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，求出，求出，根据图形得出阴影部分的面积，再求出答案即可． 【详解】解：设交于，如图所示： 四边形是菱形，，， ，，，， ， 由勾股定理得：，即， 分别以点，，，为圆心，以的长为半径画弧，分别交，，，于点，，，， ， 阴影部分的面积 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质和扇形的面积计算，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键． 16. 如图，将矩形绕点A旋转，使点B的对应点恰好落在上．若 连接，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，解直角三角形及等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，解答本题的关键是证明和是相似三角形，此题难度不大． 作于M， 于N，先用勾股定理求出， 进而用等积法得到AM，利用三角函数及等腰三角形的性质求出，最后证明，得成比例的线段即可得到的长度． 【详解】解∶ 作于M， 于N， ， ， 矩形中，，， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 计算 （1）； （2）． 用适当的方法解方程： （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3），；（4），． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程； （1）先算二次根式的乘法，同时利用二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可； （2）根据二次根式的性质，完全平方公式和平方差公式计算即可； （3）利用因式分解法求解即可； （4）移项后利用因式分解法求解即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． （3）， ， 或， ，； （4） 或 ，． 卷2 18. 已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为，，． （1）以点O为位似中心，在y轴右侧画，使它与的相似比为； （2）的面积为__________； （3）若点为内一点，则点M的对应点的坐标为__________． 【答案】（1）图见解析 （2）14 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图−位似变换、位似图形的性质、在网格中求三角形的面积，（1）根据题意可得，，，，再依次连接即可； （2）利用分割法求三角形面积即可； （3）利用位似图形的性质求点的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； ∵，，，它与的相似比为， ∴，，， 依次连接点、、即可； 【小问2详解】 解：由图可得，， 故答案为：14； 【小问3详解】 解：∵为内一点， ∴点M的对应点的坐标为， 故答案为：． 19. 已知关于的方程有两个不相等的实数根. （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，决出k的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）且；（2）k不存在．理由见解析． 【解析】 【分析】（1）因为方程（k-1）x2+（2k-3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．得出其判别式Δ＞0，可解得k的取值范围； （2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可解的k的值． 【详解】解：（1）方程（k-1）x2+（2k-3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2， 可得k-1≠0， ∴k≠1且Δ=-12k+13＞0， 可解得且k≠1； （2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x1，x2， ∵x1+x2=0， ∴， ∴， 又∵且； ∴k不存在． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q． 20. 如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先由菱形的性质得出，再根据两个角相等的三角形相似证明即可； （2）直接利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：四边形为菱形， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ， 负值舍去． 21. 如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为米和米，该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场，其中和两边借助墙体且不超出墙体，其余部分用总长米的木栏围成，中间预留1米宽的通道，在和边上各留1米宽的门，设长米． （1）求的长度（用含的代数式表示，并求出的取值范围）． （2）若饲养场的面积为平方米，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用、一元一次不等组的求解，根据实际情境确定变量的取值范围，对方程解合理取舍是解题的关键． （1）由得，即可得出答案； （2）根据矩形的面积等于长宽建立方程，求解并检验即可． 【小问1详解】 解：由图可知，, 长米， 米， ， ，且， ． 【小问2详解】 解：饲养场的面积为平方米， 则， 即， 解得， ， 舍去， ． 22. 每年5月份的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定降价销售，但每辆轮椅利润不低于180元．全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】这天售出了64辆轮椅． 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，得出等量关系是解题关键． 设每辆轮椅降价元，利用利润=日销售量×单车利润列方程可求出x的值，根据每辆轮椅利润不低于180元即可得答案． 【详解】解：设每辆轮椅降价元，由题意， 得． 解得，． ， ． （不合题意，舍去）． （辆）． 所以，这天售出了64辆轮椅． 23. 为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． 　　 （1）求这个函数的表达式； （2）当气体体积为时，求气体压强的值； （3）若注射器内气体的压强不能超过，则其体积V要控制在什么范围? 【答案】（1） （2）气体压强为 （3）体积V应不少于 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）把代入反比例函数解析式求解即可； （3）把代入反比例函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：设， 由图可得，反比例函数图象过， ， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 当时， ， ∴气体压强为； 【小问3详解】 当时， ， 解得， ∴体积V应不少于． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为，点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且，，一次函数的图象过点D和M，反比例函数的图象经过点D，与BC的交点为N． 求反比例函数和一次函数的表达式； 若点P在直线DM上，且使的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标． 【答案】（1）反比例解析式为，直线DM解析式为；（2）P坐标为或． 【解析】 【详解】试题分析:本题主要考查一次函数的解析式,反比例函数的解析式以及一次函数图象与性质,(1)首先根据正方形性质得到A,B的坐标,再根据AD=2DB和AM=2MO求出D和M的坐标,最后代入一次函数和反比例函数中求解出解析式,(2)首先求解出N点坐标,之后求出梯形OMNC的面积,再列出△OPM的面积表达式,最后根据求解出P点的坐标. 25. 已知三角形纸片，其中，，，点E，F分别是，上的点，连接． （1）如图1，若将纸片沿折叠，折叠后点A刚好落在边上点D处，且，求的长； （2）如图2，若将纸片沿折叠，折叠后点A刚好落在边上点M处，且． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②求折痕的长． 【答案】（1） （2）①四边形是菱形．理由见解析；② 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得出，，进而得出，．由已知条件可得出，再证明，再由相似三角形的性质可得出，由勾股定理求出，则可求出． （2）①由折叠的性质得出．，，由平行线的性质得出，等量代换得出，由等边对等角得出，则，则可得出为菱形． ②过点作于点．由菱形的性质可得出，进而得出，由相似三角形的性质得出，设，求出，再证明，由相似三角形的性质得出，进一步得出，，最后根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：若将纸片沿折叠，折叠后点刚好落在边上点处． ，． ，． ， ． ，， ． ， ． ，， ， ． 【小问2详解】 四边形是菱形． 证明：若将纸片沿折叠，折叠后点刚好落在边上点处， ． ∴．，， ， ， ∴， ． ∴ 四边形是菱形． ②过点作于点． 四边形是菱形， ． ． ． 设， ． ． ，， ． ． 即 ， ． 在中， ． ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，菱形的判定以及性质，折叠的性质，平行线的性质以及勾股定理的应用等知识，掌握相似三角形的判定以及性质，折叠的性质，菱形的判定以及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $