精品解析：陕西省西安市铁一中学2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题

2024-2025学年陕西省西安市碑林区铁一中学八年级（上）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数：、、0、、、0.1212212221…（每相邻两个1之间依次多1个2），其中无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（ ） A. B. 15 C. 0 D. 不确定 5. 如图，已知，直线分别交、于点E、F，平分交于点G，如果，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 6. 学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业题，小明看了之后，发现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急．请你帮助一下小明．如图，的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的长为（　　） A. B. C. D. 7. 老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目．把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 在式子中，若y是x的正比例函数，则m，n应满足的条件是（ ） A. B. ，且 C. ，且 D. 9. 如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度和时间之间的关系（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将矩形对折，使与边重合，得到折痕，再将点A沿过点D的直线折叠到上，对应点为，折痕为，，，则的长度为（ ） A. B. 4 C. D. 3 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 化简：___________． 12. 若，则_______． 13. 平面直角坐标系中，若点在y轴上，则点P的坐标为___________． 14. 西安市出租车的收费标准是起步价9元（行程小于或等于3千米），超过3千米每增加1千米（不足1千米按1千米计算）加收2元，则出租车费y（元）与行程x（千米）（）之间的关系式为________． 15. 如图，的面积为，的平分线与垂直，垂足为点，，那么的面积为______． 16. 如图，已知点B是边上的动点（不与A，C重合），在的同侧作等边和等边，连接，，下列结论正确的是______．（填序号） ①；②；③；④是等边三角形；⑤HB平分；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩图中共有2对全等三角形 三、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算题 （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 先化简，后求值：，其中，． 19. 如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得的周长等于．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 一个正数的两个不同的平方根分别是和． （1）求和的值； （2）求的算术平方根和立方根． 21. 已知，如图，，，，，求证：． 22. 我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），绘制出如下未完成的统计图表． 50个家庭去年月均用水量频数分布表 组别 家庭月均用水量（单位：吨） 频数 A 7 B m C n D 6 E 2 合计 50 根据上述信息，解答下列问题： （1）______，______； （2）这50个家庭去年月均用水量的中位数落在______组； （3）若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少个？ 23. 综合运用： 把完全平方公式适当的变形，如：；等，这些变形可解决很多数学问题．例如：若，求的值． 解：因为； 所以，， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）计算求值： ①若，且，求的值； ②我们知道，若，求的值； （2）如图，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，，两正方形的面积和，设，求图中阴影部分面积． 24. 【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求 的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法” 【初步感知】 （1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】 （2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度， 教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】 ( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年陕西省西安市碑林区铁一中学八年级（上）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数：、、0、、、0.1212212221…（每相邻两个1之间依次多1个2），其中无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：在实数：、、0、﹣、、0.1212212221…（每相邻两个1之间依次多1个2），其中无理数有：、﹣、0.1212212221…（每相邻两个1之间依次多1个2），共有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）． 2. 石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示为，故B正确． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式、积的乘方、多项式除以单项式、完全平方公式，根据公式和法则计算后，即可得到答案． 【详解】解：A．，故选项正确，符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 4. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（ ） A. B. 15 C. 0 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式，二次根式的化简．把化简，再根据同类二次根式，可得，即可求解． 【详解】解：∵，最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：． 故选：A 5. 如图，已知，直线分别交、于点E、F，平分交于点G，如果，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行的性质可得，，根据，可得，再根据角平分线的定义可得，问题随之得解． 【详解】∵， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，是解答本题的关键． 6. 学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业题，小明看了之后，发现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急．请你帮助一下小明．如图，的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理求出AC=5，再由等面积法求出BD即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ∵BD⊥AC， ∴△ABC的面积=， ∴BD=， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理以及三角形面积的计算，熟练掌握勾股定理及等面积法的应用是解题的关键． 7. 老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目．把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． 由题意知，共有6种等可能的结果，其中他恰好抽中水果类卡片的结果有2种，利用概率公式可得答案． 【详解】解：由题意知，共有6种等可能的结果，其中他恰好抽中水果类卡片的结果有2种， 他恰好抽中水果类卡片的概率是 故选：C． 8. 在式子中，若y是x的正比例函数，则m，n应满足的条件是（ ） A. B. ，且 C. ，且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义列出：m-1≠0，n=0．据此可以求得m，n应满足的条件． 【详解】解：∵y关于x的函数y=（m-1）x+n是正比例函数， ∴m-1≠0，n=0． 解得 m≠1，n=0． 故选：B． 【点睛】本题考查的是正比例函数的定义，即一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数． 9. 如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度和时间之间的关系（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图像的识别，根据水池下部横截面较小，固定流量注水时水位上升较快；当水面超过台阶后，上部横截面变大，水位上升速度随之减慢即可求解； 【详解】解：从图可知，水池下部横截面较小，固定流量注水时水位上升较快；当水面超过台阶后，上部横截面变大，水位上升速度随之减慢； 因此水位随时间先快后慢地上升，对应选项 C 图所示的先陡后缓的折线关系； 故选：C ． 10. 如图，将矩形对折，使与边重合，得到折痕，再将点A沿过点D的直线折叠到上，对应点为，折痕为，，，则的长度为（ ） A. B. 4 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，折叠问题，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．由折叠的性质得，，，，由勾股定理求出的长，再证四边形是矩形，即可求出的长． 【详解】解：由折叠的性质得，，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故选： A． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 化简：___________． 【答案】 【解析】 【分析】被开方数因式分解后将能开方的数开方即可化简二次根式. 【详解】， 故答案为：. 【点睛】此题考查二次根式的化简，正确掌握最简二次根式的特点并正确将被开方数因式分解是解题的关键. 12. 若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，解题的关键在于正确掌握相关运算法则．根据同底数幂的除法法则计算求解，即可解题． 【详解】解：， ， 故答案为：． 13. 平面直角坐标系中，若点在y轴上，则点P的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点在y轴上得到求解即可得到答案； 【详解】解：∵点在y轴上， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题考查坐标轴上点的特征：y轴上点x为0． 14. 西安市出租车的收费标准是起步价9元（行程小于或等于3千米），超过3千米每增加1千米（不足1千米按1千米计算）加收2元，则出租车费y（元）与行程x（千米）（）之间的关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数关系式，理解出租车的收费标准是正确解答的前提．根据出租车的收费标准，用含有x的代数式表示车费即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 15. 如图，的面积为，的平分线与垂直，垂足为点，，那么的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于，根据，为的角平分线，可得，，可证 ，则有，得，，即有，再根据，且的角平分线到与的距离相等，可得，则，再根据求解即可． 【详解】如图延长交于， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， 在与中， , ∴ ， ∴， ∴，， ∴ ∵，且的角平分线到与的距离相等， ∴， 则． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查面积及等积变换的知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 16. 如图，已知点B是边上的动点（不与A，C重合），在的同侧作等边和等边，连接，，下列结论正确的是______．（填序号） ①；②；③；④是等边三角形；⑤HB平分；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩图中共有2对全等三角形 【答案】①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 根据等边三角形的性质得到，，，则可根据“SAS”判定，可对①②进行判断；证明为等边三角形得到，则，所以，从而可对③、④进行判断．利用得到和边上的高相等，则根据角平分线的性质定理逆定理可对⑤进行判断，在上截取，连接，由“SAS”可证，可得，，可得，可判断⑥，同⑥可判断⑦；根据三角形外角的性质可判断⑧⑨；证明，，可判断⑩；即可求解． 【详解】解：∵、为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故①②正确； ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，故④正确， ∴， ∴，故③正确， ∵， ∴和边上的高相等， 即B点到和的距离相等， ∴平分，所以⑤正确； 如图，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，故⑥正确， 如图，在上截取，连接， ∵， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理得， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，故⑦正确， ∵， ∴， ∴，故⑧正确； ∴， ∴，故⑨正确； ⑩在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴图中不只有2对全等三角形，故⑩错误． 故答案为：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨． 三、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算题 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、实数的混合运算、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先根据幂的乘方、积的乘方化简，然后再合并同类项即可； （2）先根据零次幂、绝对值、负整数次幂化简，然后再计算即可； （3）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （4）直接运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 18. 先化简，后求值：，其中，． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则，完全平方公式和平方差公式． 先根据整式混合运算的运算顺序和运算法则进行化简，再将x和y的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 19. 如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得的周长等于．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点即为所求， 【解析】 【分析】此题考查了垂直平分线的崔嵬作图，垂直平分线的性质，根据垂直平分线的尺规作图步骤作的垂直平分线即可． 【详解】略 20. 一个正数的两个不同的平方根分别是和． （1）求和的值； （2）求的算术平方根和立方根． 【答案】（1）， （2）8，4 【解析】 【分析】本题主要考查平方根和立方根，熟练掌握是解题的关键． （1）根据正数的两个不同的平方根互为相反数，列一元一次方程，即可求解； （2）将（1）中结论带入，求出的值，再求算术平方根和立方根即可． 【小问1详解】 解：∵一个正数的两个不同的平方根互为相反数， ， 解得：， ， 答：，． 【小问2详解】 解：， ，， 答：的算术平方根为8，立方根为4． 21. 已知，如图，，，，，求证：． 【答案】 证明：∵∠ECB＝70°，∴∠ACB＝110°， 又∵∠D＝110°，∴∠ACB＝∠D， ∵AB∥DE，∴∠CAB＝∠E， 在△ABC和△EAD中， ∴△ABC≌△EAD ， ∴AC=ED. 【解析】 【分析】由∠ECB=70°得∠ACB=110°，再由AB∥DE，证得∠CAB=∠E，再结合已知条件AB=AE，可利用AAS证得△ABC≌△EAD，即可解答． 【详解】略． 【点睛】此题考查全等三角形判定与性质，在掌握判定定理是解题关键． 22. 我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），绘制出如下未完成的统计图表． 50个家庭去年月均用水量频数分布表 组别 家庭月均用水量（单位：吨） 频数 A 7 B m C n D 6 E 2 合计 50 根据上述信息，解答下列问题： （1）______，______； （2）这50个家庭去年月均用水量的中位数落在______组； （3）若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少个？ 【答案】（1）20，15 （2）B （3）648个 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，中位数的定义，以及用样本估计总体等知识． （1）根据C组的扇形统计图的度数即可求出n的值， 再用50减去其他组别的频数，即可求出m的值． （2）根据中位数的定义即可得出答案． （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知：， 解得：， ∴， 故答案为：20，15； 【小问2详解】 解：∵一共有50组用水量数据， ∴50组数据从小到大排列，中位数为第25位和26位的平均数，即中位数在B组． ∴这50个家庭去年月均用水量的中位数落在B组， 故答案为：B； 【小问3详解】 解：（个）， 故去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有648个． 23. 综合运用： 把完全平方公式适当的变形，如：；等，这些变形可解决很多数学问题．例如：若，求的值． 解：因为； 所以，， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）计算求值： ①若，且，求的值； ②我们知道，若，求的值； （2）如图，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，，两正方形的面积和，设，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）①；② （2）10 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式几何背景问题的解决能力，关键是能根据图形准确列式、变形，并能进行计算． （1）①根据完全平方公式可变形为进行计算；②根据完全平方公式可变形为进行计算； （2）根据完全平方公式可变形进行计算即可求解． 【小问1详解】 ①∵， ∴， ∴， ∴， ②设， ∵，， ∴， ∴， 【小问2详解】 ∵，两正方形的面积和， ∴，， ∴， ∴， ∴图中阴影部分面积为10 24. 【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求 的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法” 【初步感知】 （1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】 （2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度， 教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】 ( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 【答案】（1）；（2）； （3），，理由如下： 如图，延长，使，连接， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）如图，延长交于点．证明，得出，，再进一步结合线段的垂直平分线的性质，即可证明结论． （3）如图，延长，使，连接，证明，可得，，，再证明，可得，，在进一步可得结论． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使， ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）如图，延长交于点， ∵的中点为D， ∴， ∵由题意可得：， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴，是的垂直平分线， ∴； （3）略 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的定义与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $