第一章 空间向量与立体几何章末题型归纳总结 （八大题型）（讲义，含配套课件）-2024-2025学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何章末题型归纳总结 目录 模块一：本章知识思维导图 2 模块二：典型例题 3 题型一：空间向量的概念及运算 3 题型二：利用空间向量证明平行与垂直关系 5 题型三：利用空间向量计算距离 8 题型四：利用空间向量求线线角、线面角、二面角 11 题型五：共线与共面问题 15 题型六：立体几何存在性问题 18 题型七：非常规几何体为载体的立体几何问题 22 题型八：新定义问题 25 模块三：数学思想方法 27 ①分类讨论思想 27 ②转化与化归思想 28 ③数形结合思想 29 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 题型一：空间向量的概念及运算 例1．（2024·高二·山西临汾·期中）在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（    ） A． B． C． D． 例2．（2024·高二·天津南开·期中）在正四面体中，过点A作平面的垂线，垂足为H点，点M满足，则（    ）． A． B． C． D． 例3．（2024·高二·福建·开学考试）如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（ ） A． B． C． D． 例4．（2024·高二·全国·课后作业）在下列条件中，使P与A，B，C一定共面的是（    ） A． B． C． D． 例5．（2024·高二·全国·课堂例题）如图所示，已知，且是棱长为1的正方体，是一个长方体，为的中点，. (1)设，将向量与都用表示； (2)如果是空间中任意一个向量，怎样才能写出在基底下的分解式？ 例6．（2024·高二·江苏淮安·期中）如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，. (1)以为基底表示； (2)若，且，，，求. 例7．（2024·高二·全国·课后作业）如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求和夹角的余弦值． 题型二：利用空间向量证明平行与垂直关系 例8．（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 例9．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，棱柱中，侧棱底面，，E，F分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)设，在平面上是否存在点P，使？若存在，指出P点的位置：若不存，请说明理由. 例10．（2024·高二·天津蓟州·阶段练习）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 例11．（2024·山西·三模）如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明： 例12．（2024·河北邢台·二模）直三棱柱中，，，， (1)如图1，点E为棱上的动点，点F为棱BC上的动点，且，求线段长的最小值； (2)如图2，点M是棱AB的中点，点N是棱的中点，P是与的交点，在线段上是否存在点Q，使得面？    例13．（2024·重庆·模拟预测）已知正方体的棱长为1，在棱上运动，在线段上运动，直线与平面交于点．    (1)当为中点时，证明：平面； (2)若平面，求的最大值及此时的长． 例14．（2024·高二·山东菏泽·阶段练习）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面. 题型三：利用空间向量计算距离 例15．（2024·海南·模拟预测）如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，. (1)证明： ; (2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，点 为线段 上一点，求点到平面 的距离. 例16．（2024·高二·浙江金华·期中）如图，已知三棱柱，底面，，，为的中点. (1)证明：面； (2)若，求点到平面的距离. 例17．（2024·高二·山东淄博·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 例18．（2024·高二·全国·专题练习）直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．      (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 例19．（2024·高二·全国·课前预习）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．求直线到直线的距离． 例20．（2024·高二·浙江金华·期中）已知在棱长为4的正方体中，.    (1)求点到直线的距离； (2)求点到平面的距离； (3)在此正方体中，，则称线段的长为异面直线与的公垂线段长，也称为异面直线与的距离.试求异面直线与的距离. 题型四：利用空间向量求线线角、线面角、二面角 例21．（2024·高二·天津南开·期中）如图，平行六面体中，． (1)证明：； (2)求的长； (3)求直线与AC所成角的余弦值． 例22．（2024·贵州·模拟预测）如图，在三棱台中，平面ABC，，，． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 例23．（2024·天津蓟州·模拟预测）如图，在四棱锥中，已知棱两两垂直，长度分别为1，2，2，若，且向量与夹角的余弦值为. (1)求实数值； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 例24．（2024·高二·江西南昌·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，其中，，，平面平面.    (1)证明：平面平面； (2)若，且异面直线与所成角为45°，求平面与平面所成二面角的平面角大小. 例25．（2024·高二·天津河西·阶段练习）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，，，且. (1)求证：平面PDC； (2)求平面CPB与平面PBQ所成角的大小； (3)已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为，试确定点H的位置. 例26．（2024·高二·山东东营·开学考试）如图，六面体中，面且面，. (1)求证：平面； (2)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的余弦. 例27．（2024·高三·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，平面，，、分别是棱、的中点．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值． 例28．（2024·广西·模拟预测）在长方体中，点E，F分别在，上，且，． (1)求证：平面平面AEF； (2)当，，求平面与平面的夹角的余弦值． 题型五：共线与共面问题 例29．（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）给出下列命题，其中不正确的为（   ） A．若，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段 B．若，则是钝角 C．若，则与一定共线 D．非零向量满足与，与，与都是共面向量，则必共面 例30．（2024·高一·湖南岳阳·期末）已知，是同一平面内一组不共线的向量，对于平面内任意向量，有且只有一对实数x，y使，且当P，A，B共线时，有．同样，在空间中若三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的一组实数组，使得，且当P，A，B，C共面时，有．如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点、PC与平面ABE交于F点，设，则 ； ． 例31．（2024·高二·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，分别是的中点，在上且，在上且，判断与是否共线？ 例32．（2024·高二·上海·课后作业）如图，在四面体中，点、、分别是棱、、的中点，点、、分别是棱、、的中点，点是线段的中点．试判断下列各组中的三点是否共线：    (1)、、； (2)、、． 例33．（2024·高二·江苏连云港·阶段练习）已知，，是空间中不共面的向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值． 例34．（2024·高二·江西吉安·期末）在空间直角坐标系中，，，，． (1)求； (2)判断点，，，是否共面，并说明理由． 例35．（2024·高二·江苏宿迁·期末）在四棱柱中，，，，.    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； (3)判断直线能否是平面和平面的交线，并说明理由. 题型六：立体几何存在性问题 例36．（2024·高三·四川成都·开学考试）如图，在四棱锥中，底面. (1)若，证明：平面； (2)若，且，线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为？若存在，求出点在线段上的位置；若不存在，请说明理由. 例37．（2024·高二·江苏扬州·期中）已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，E、F、M、O分别是、、、的中点，平面． (1)求证：； (2)求点B到平面的距离； (3)在线段上是否存在点N，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由． 例38．（2024·高三·江苏南通·期中）如图，且，，且，且，平面，. (1)设面BCF与面EFG的交线为，求证：； (2)证明: (3)在线段BE上是否存在一点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为，若存在，求出P点的位置，若不存在，说明理由. 例39．（2024·河南濮阳·模拟预测）如图所示，在等腰梯形中，，，，E为CD中点，AE与BD相交于点O，将沿AE折起，使点D到达点P的位置（平面）． (1)求证：平面平面PBC； (2)若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面所成角的正弦值为，若存在，求Q在线段PB上的位置；若不存在，说明理由． 例40．（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，，． (1)证明：平面； (2)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由． 例41．（2024·高三·广东·开学考试）如图1，直角梯形中，，将直角梯形绕旋转一周得到如图2的圆台，为圆台的母线，且是的中点．    (1)在线段上是否存在一点，使平面？说明理由； (2)若为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 例42．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，分别是的中点．在线段上是否存在一点Q，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，也请说明理由． 题型七：非常规几何体为载体的立体几何问题 例43．（2024·安徽黄山·二模）如图，已知为圆台下底面圆的直径，是圆上异于的点，是圆台上底面圆上的点，且平面平面，，，是的中点，． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 例44．（2024·高二·安徽宿州·期中）如图，圆台上底面圆的半径为，下底面圆的半径为2，为圆台下底面的一条直径，圆上点C满足，是圆台上底面的一条半径，点P，C在平面的同侧，且.    (1)证明：平面平面； (2)若圆台的高为2，求直线与平面所成角的正弦值. 例45．（2024·福建龙岩·三模）如图，在四棱台中，底面四边形ABCD为菱形，平面ABCD.    (1)证明：； (2)若M是棱BC上的点，且满足，求二面角的余弦值. 例46．（2024·高三·湖南娄底·阶段练习）如图，在三棱台.中，，平面平面.    (1)求证：平面； (2)已知与相交于点，，且平面，设平面与所成角为，求的值. 例47．（2024·安徽芜湖·模拟预测）如图，已知半圆锥的顶点为，点是半圆弧上三等分点（靠近点），点是弧上的一点，平面平面，且，是中点．    (1)证明：平面平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 例48．（2024·海南海口·模拟预测）如图所示的几何体由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成，两个锥体的底面在同一平面内，BC是半圆锥底面的直径，D在底面半圆弧上，且，△ABC是等边三角形． (1)证明：平面SAC； (2)若BC＝2，，求直线CD与平面SAB所成角的正弦值． 题型八：新定义问题 例49．（2024·高二·湖北武汉·期末）对于任意向量定义运算：．若向量，向量为单位向量，则的取值范围是 ． 例50．（2024·高二·河南濮阳·阶段练习）设Ox，Oy，Oz是空间中两两夹角都为θ的三条数轴，分别是与x，y，z轴正方向同向的单位向量，若，x，y，z∈R，则把有序数对叫做向量在坐标系O-xyz中的坐标，则下列命题中，真命题的个数为 . （1）若，，则； （2）若，则； （3）若，则当且仅当x∶y=3∶1时,向量与的夹角取得最小值； （4）若，，，则三棱锥O-ABC的表面积为6+2. 例51．（2024·高二·上海徐汇·期中）在平面上，将曲线与轴围成的封闭图形记为，记绕轴旋转一周而成的几何体为，试构造圆柱与倒立的圆锥，利用祖暅原理得出的体积值为 ． 例52．（2024·辽宁·模拟预测）古代中国，建筑工匠们非常注重建筑中体现数学美，方形和圆形的应用比比皆是，在唐、宋时期的单檐建筑中较多存在的比例关系，这是当时工匠们着意设计的常见比例，今天，纸之所以流行的重要原因之一，就是它的长与宽的比无限接近，我们称这种满足了的矩形为“优美”矩形．现有一长方体，，，，则此长方体的表面六个矩形中，“优美”矩形的个数为 ． 例53．（2024·高三·河北·阶段练习）已知，，，定义一种运算：，在平行六面体中，，，. (1)证明：平行六面体是直四棱柱； (2)计算，并求该平行六面体的体积，说明的值与平行六面体体积的关系. 例54．（2024·高二·广东东莞·期中）（1）在空间直角坐标系中，已知平面的法向量，且平面经过点，设点是平面内任意一点.求证：. （2）我们称（1）中结论为平面的点法式方程，若平面过点，求平面的点法式方程. 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想 例55．（2024·高二课时练习）如图，在三棱锥中，底面为等边三角形，，且平面平面． （1）求三棱锥的体积； （2）求二面角的余弦值； （3）判断在线段上是否存在点Q，使得为直角三角形？若存在，找出所有符合要求的点Q，并求的值；若不存在，说明理由． 例56．（2024·广东广州·高二广州市协和中学校考阶段练习）如图，空间直角坐标系中，四棱锥的底面是边长为的正方形，底面OABC在xOy平面内，且抛物线Q：经过O、A、C三点．点B在y轴正半轴上，平面OABC，侧棱OP与底面所成角为． (1)求m的值； (2)若是抛物线Q上的动点，M是棱OP上的一个定点，它到平面OABC的距离为，写出M、N两点之间的距离，并求的最小值； (3)是否存在一个实数，使得当取得最小值时，异面直线MN与OB互相垂直？请说明理由． ②转化与化归思想 例57．（2024·高二单元测试）已知点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)． (1)求以AB，AC为边的平行四边形的面积； (2)若向量分别与，垂直，且，求的坐标． 例58．（2024·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校考阶段练习）在正四棱锥中，点分别是棱上的点，且，其中． (1)若，且平面，求的值； (2)若，且点平面，求的值． 例59．（2024·江苏南京·高二南京航空航天大学附属高级中学校考期中）三棱柱中，，，线段的中点为，且. (1)求与所成角的余弦值； (2)若线段的中点为，求二面角的余弦值. ③数形结合思想 例60．（2024·全国·高二专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值 (3)判断与是否垂直． 例61．（2024·全国·高二专题练习）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    例62．（2024·浙江·高二校联考期末）如图几何体为圆台一部分，上下底面分别为半径为1，2的扇形，，体积为．    (1)求； (2)劣弧上是否存在使∥平面．猜想并证明． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何章末题型归纳总结 目录 模块一：本章知识思维导图 2 模块二：典型例题 3 题型一：空间向量的概念及运算 3 题型二：利用空间向量证明平行与垂直关系 7 题型三：利用空间向量计算距离 15 题型四：利用空间向量求线线角、线面角、二面角 23 题型五：共线与共面问题 36 题型六：立体几何存在性问题 41 题型七：非常规几何体为载体的立体几何问题 52 题型八：新定义问题 60 模块三：数学思想方法 64 ①分类讨论思想 64 ②转化与化归思想 68 ③数形结合思想 72 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 题型一：空间向量的概念及运算 例1．（2024·高二·山西临汾·期中）在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为. 故选：C. 例2．（2024·高二·天津南开·期中）在正四面体中，过点A作平面的垂线，垂足为H点，点M满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在正四面体中， 因为平面，所以是的中心，连接， 则， 所以 . 故选：B. 例3．（2024·高二·福建·开学考试）如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，. 故选：A 例4．（2024·高二·全国·课后作业）在下列条件中，使P与A，B，C一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】空间向量共面定理，，若A，B，C不共线，且P，A，B，C共面，则其充要条件是； 对于A选项，由于，所以不能得出P，A，B，C共面，故A错误； 对于B选项，由于，所以不能得出P，A，B，C共面，故B错误； 对于C选项，由于，则，，为共面向量，所以P，A，B，C共面，故C正确； 对于D选项，由得， 而，所以不能得出P，A，B，C共面，故D错误． 故选：C. 例5．（2024·高二·全国·课堂例题）如图所示，已知，且是棱长为1的正方体，是一个长方体，为的中点，. (1)设，将向量与都用表示； (2)如果是空间中任意一个向量，怎样才能写出在基底下的分解式？ 【解析】（1）， （2）对于任意一个空间向量来说，只要将它的始点平移到点，然后过它的终点分别作与所在直线垂直的平面，就可以写出它在基底下的分解式. 例6．（2024·高二·江苏淮安·期中）如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，. (1)以为基底表示； (2)若，且，，，求. 【解析】（1）由图可得，; （2）由题意，， 则， 于是，由两边取平方， ， 故. 例7．（2024·高二·全国·课后作业）如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求和夹角的余弦值． 【解析】（1）由题意得， 又，，，，， 故 ， 故； （2） ， 则. 题型二：利用空间向量证明平行与垂直关系 例8．（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 【解析】如图，以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 因为， 所以， 所以平面平面． 例9．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，棱柱中，侧棱底面，，E，F分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)设，在平面上是否存在点P，使？若存在，指出P点的位置：若不存，请说明理由. 【解析】（1）由E，F分别为和的中点，得， 而平面，平面， 所以平面. （2）棱柱中，侧棱底面， 取AB中点O，中点M，连接， 则，平面，而平面，则有， 又，则，即直线两两垂直， 以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， 假设在平面上存在点P，使，设， ， ，即，显然， 由，得，因此，即，此时， 所以当时，存在唯一的点，即棱的中点，使. 例10．（2024·高二·天津蓟州·阶段练习）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点P使得平面，. 由（1）得，，平面的一个法向量为， 所以. 所以，解得. 所以当P为线段的中点时，平面. 例11．（2024·山西·三模）如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明： 【解析】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 可得 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为，且平面，所以∥平面. （2）由（1）可得：， 则，所以. 例12．（2024·河北邢台·二模）直三棱柱中，，，， (1)如图1，点E为棱上的动点，点F为棱BC上的动点，且，求线段长的最小值； (2)如图2，点M是棱AB的中点，点N是棱的中点，P是与的交点，在线段上是否存在点Q，使得面？    【解析】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 设，则， ， 故 ， 所以， 当时，取得最小值， 所以线段长的最小值为； （2）假设存在，设， ， 故， ， 设平面的法向量为， 则有，可取， 因为面，所以， 则，解得， 所以存在点在靠近点的三等分点处，使得面. 例13．（2024·重庆·模拟预测）已知正方体的棱长为1，在棱上运动，在线段上运动，直线与平面交于点．    (1)当为中点时，证明：平面； (2)若平面，求的最大值及此时的长． 【解析】（1）以为坐标原点，方向为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设， 当E，F为中点时，，有， 所以，，，有，， 所以，又平面， 所以平面． （2）由（1）可得，，， 若平面，则，，所以， 设，则， 由平面ACE，所以， 当时，，有，当时，等号成立， 所以，即， 综上，的最大值为，． 例14．（2024·高二·山东菏泽·阶段练习）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【解析】（1）根据题意可知平面平面， 平面平面， 又是正方形，所以，平面， 所以平面，从而可得，，两两垂直； 以D为原点，分别以，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 又为的中点，所以， 则， 所以，故共面． 又平面，所以平面； （2） 易知，所以； 又，可得； 又，平面， 所以平面. 题型三：利用空间向量计算距离 例15．（2024·海南·模拟预测）如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，. (1)证明： ; (2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，点 为线段 上一点，求点到平面 的距离. 【解析】（1）因为，， 所以，所以, 因为为直四棱柱， 所以, 因为，平面， 所以平面， 因为，所以平面， 因为平面，所以 （2）由（1）及题意知，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 因为，.设， 所以 所以, 设平面的一个法向量为 则， 令，则，所以 设直线 与平面 所成的角为， 则， 解得，所以 所以点到平面 的距离为 因为，所以 因为不在平面，所以平面， 因为M在线段上，所以点M到平面 的距离等价于点到平面 的距离，为 故点M到平面 的距离. 例16．（2024·高二·浙江金华·期中）如图，已知三棱柱，底面，，，为的中点. (1)证明：面； (2)若，求点到平面的距离. 【解析】（1）证明：如图 连接交于点，则为的中点， 连接，又因为为的中点， 所以，平面，平面， 所以平面. （2）如图： 以，所在的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，则， 所以，，，，， ，， 设平面的法向量， 则，所以，所以，令，， 所以，又， 记点到平面的距离为， 所以. 例17．（2024·高二·山东淄博·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【解析】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知，，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线FC到平面的距离是. 例18．（2024·高二·全国·专题练习）直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．      (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 【解析】（1）法一:证明：连接分别为的中点， 分别是的中点， ，平面，平面， 平面，平行且等于， 是平行四边形，， 平面，平面，平面， ，平面平面； 法二: 如图所示，建立空间直角坐标系， 则， ， ， ，，， 平面，平面，平面， 平面，平面，平面， 又，平面平面， （2）法一:平面与平面的距离到平面的距离． 中，，，， 由等体积可得，． 法二: 设平面的一个法向量为， 则，则可取， ， 平面与平面的距离为 例19．（2024·高二·全国·课前预习）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．求直线到直线的距离． 【解析】以点为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． 因为，， 所以，即， 所以点到直线的距离，即为直线到直线的距离． 取，又， 所以，， 所以直线到直线的距离 ． 例20．（2024·高二·浙江金华·期中）已知在棱长为4的正方体中，.    (1)求点到直线的距离； (2)求点到平面的距离； (3)在此正方体中，，则称线段的长为异面直线与的公垂线段长，也称为异面直线与的距离.试求异面直线与的距离. 【解析】（1） 如图根据正方体性质，可以如图建立空间直角坐标系，， 可以得到各点坐标．，，，，． ，，， 则点到直线的距离. （2），，， 设平面法向量为，则， 令，则，则. 则到平面的距离. （3），，， 设与的公垂线方向向量为.则， 解得，则. 则异面直线与的距离. 题型四：利用空间向量求线线角、线面角、二面角 例21．（2024·高二·天津南开·期中）如图，平行六面体中，． (1)证明：； (2)求的长； (3)求直线与AC所成角的余弦值． 【解析】（1）如图所示：以，， 为基底， 则由题意得：， 又， ， ，， ， 即 故 ； （2）由(1)知， 即 ， 故的长为； （3）， ， ； ； ； 即， 由题意可知直线与AC所成角为锐角， 故直线与AC所成角的余弦值为. 例22．（2024·贵州·模拟预测）如图，在三棱台中，平面ABC，，，． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）依题意，以点C为圆点，所在直线分别为 建立如图所示的空间直角坐标系 在三椄台 中. 因为， ， ， 所以 所以 设异面直线 与 所成角为 则， 所以， 即直线 与 所成角的余弦值是 （2）设直线 与平面 所成角为 ，则 平面 的法向量为 所以 ，令则 , 所以 所以 ， 即直线 与平面 所成角的正弦值是 . 例23．（2024·天津蓟州·模拟预测）如图，在四棱锥中，已知棱两两垂直，长度分别为1，2，2，若，且向量与夹角的余弦值为. (1)求实数值； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】（1）依题意，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，由，得，则，而， 而，显然，解得. （2）由（1）得，，设平面的法向量， 则，令，得，又， 于是， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）令平面的法向量，则，令，得， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 例24．（2024·高二·江西南昌·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，其中，，，平面平面.    (1)证明：平面平面； (2)若，且异面直线与所成角为45°，求平面与平面所成二面角的平面角大小. 【解析】（1）因为，，， 所以，，， 在中，，由余弦定理可知， 故，由勾股定理逆定理得. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）因为平面，平面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为，所以是异面直线与所成角，即， 所以，所以. 以点A为坐标原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，， 设平面的法向量为， 由， 令，则，，得， 由题意得为平面的一个法向量， 所以，则， 由图形可知，平面与平面所成二面角的平面角为锐角， 故平面与平面所成二面角的平面角大小为60°. 例25．（2024·高二·天津河西·阶段练习）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，，，且. (1)求证：平面PDC； (2)求平面CPB与平面PBQ所成角的大小； (3)已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为，试确定点H的位置. 【解析】（1）四边形ABCD是正方形， ，平面PDC，平面PDC， 平面PDC， 四边形ADPQ是梯形，，平面PDC，平面PDC， 平面PDC， 平面ABQ，平面ABQ，， 平面平面DCP， 平面ABQ，平面PDC； （2），即，，又， 以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面PBC的法向量， 则， 取，得，，得， 设平面PBQ的法向量， 则， 取，，，得， 设二面角的大小为，由图形得为钝角， 则， 为钝角，， 二面角的大小为， 平面CPB与平面PBQ所成角的大小为； （3）点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为， 设，，则，， ，， ， 解得，或舍去，线段DH的长为，又， 即， H为线段PD的四等分点靠近P点. 例26．（2024·高二·山东东营·开学考试）如图，六面体中，面且面，. (1)求证：平面； (2)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的余弦. 【解析】（1）因为面且面面且面， 所以且，在面中，，同理，在面中，， 因为，所以，又， 由余弦定理，，则， 由可得， 由面面，知， 又因为面面，所以面. （2） 取中点，连接,由题可知，且， 所以四边形为平行四边形，则，因面，故面， 又因为正三角形，所以两两垂直， 以为坐标原点，以的方向分别为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则 易得，故有，， 设面的法向量为，则有， 不妨设，则得，， 又面，故面的法向量可设为， 由题意，解得， 于是，， 设面的法向量为，则有 不妨设，得， 设直线与平面所成角为，则. 又，故，则直线与平面所成角的余弦值为. 例27．（2024·高三·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，平面，，、分别是棱、的中点．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值． 【解析】（1）如图所示，连接． 因为，分别是棱，的中点， 所以， 因为，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 则． 因为平面，平面， 所以平面． （2）因为平面， 平面, 所以， 又因为， 所以，，两两垂直， 以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题中数据可得，， ，． 设平面的法向量为， 则 令，得． 因为，, 所以平面 平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为， 则． 故， 即平面与平面的夹角的正弦值为． 例28．（2024·广西·模拟预测）在长方体中，点E，F分别在，上，且，． (1)求证：平面平面AEF； (2)当，，求平面与平面的夹角的余弦值． 【解析】（1）为长方体    平面 平面∴     又，且，平面， 平面 平面AEF    平面平面 （2）依题意，建立以D为原点，以DA，DC，分别为x，y，z轴的空直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为．则，即 令，则．． 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为 题型五：共线与共面问题 例29．（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）给出下列命题，其中不正确的为（   ） A．若，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段 B．若，则是钝角 C．若，则与一定共线 D．非零向量满足与，与，与都是共面向量，则必共面 【答案】ABD 【解析】对于A，考虑平行四边形中，满足，但不满足A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段，即A错误； 对于B，当两个非零向量的夹角为时，满足，但不是钝角，即B错误； 对于C，当时，可得，则与一定共线，可知C正确； 对于D，考虑三棱柱，令， 满足与，与，与都是共面向量，但不共面，可得D错误. 故选：ABD 例30．（2024·高一·湖南岳阳·期末）已知，是同一平面内一组不共线的向量，对于平面内任意向量，有且只有一对实数x，y使，且当P，A，B共线时，有．同样，在空间中若三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的一组实数组，使得，且当P，A，B，C共面时，有．如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点、PC与平面ABE交于F点，设，则 ； ． 【答案】 2． 【解析】， 设， 由共面，有，解得，故. 又，有， 则. 故答案为：；2． 例31．（2024·高二·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，分别是的中点，在上且，在上且，判断与是否共线？ 【解析】由空间向量的线性运算法则，可得 ，即， 又由向量的共线定理，可得与共线． 例32．（2024·高二·上海·课后作业）如图，在四面体中，点、、分别是棱、、的中点，点、、分别是棱、、的中点，点是线段的中点．试判断下列各组中的三点是否共线：    (1)、、； (2)、、． 【解析】（1） , , 所以，所以、、三点共线. （2） , , 所以，所以、、三点共线. 例33．（2024·高二·江苏连云港·阶段练习）已知，，是空间中不共面的向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值． 【解析】（1）因为三点共线，则， 又， ， 有}解得； （2）因为四点共面，则， 则， 有 解得， 所以， 当时，取到最大值 例34．（2024·高二·江西吉安·期末）在空间直角坐标系中，，，，． (1)求； (2)判断点，，，是否共面，并说明理由． 【解析】（1）由题意知，， ∴； （2）∵，，， 设，则无解， 即不存在，使得，，共面， 故点，，，不共面． 例35．（2024·高二·江苏宿迁·期末）在四棱柱中，，，，.    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； (3)判断直线能否是平面和平面的交线，并说明理由. 【解析】（1）= ==； （2）设，不为)， = 则，，共面且有公共点，则四点共面； （3）假设面面，在四棱柱中， ，面，面，则平面， 又面，面面，则； 反过来，当时，因为，则， 则确定平面 则平面， 又因为平面， 所以平面平面=， 所以是直线是面和面的交线的充要条件； 所以，当时，直线是面和面的交线； 当不平行时，直线不是面和面的交线 题型六：立体几何存在性问题 例36．（2024·高三·四川成都·开学考试）如图，在四棱锥中，底面. (1)若，证明：平面； (2)若，且，线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为？若存在，求出点在线段上的位置；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）在四棱锥中，由平面，平面，得， 又平面，则平面， 而平面，于是，由，得， 则，又平面平面， 所以平面. （2）由（1）知，过点作平面，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 假设存在点满足条件，令， ， 设平面的法向量，则，令，得， 由平面，得为平面的法向量， 由二面角的正弦值为，得， 即，而，解得， 所以点是线段上靠近点的三等分点，使得二面角的正弦值为. 例37．（2024·高二·江苏扬州·期中）已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，E、F、M、O分别是、、、的中点，平面． (1)求证：； (2)求点B到平面的距离； (3)在线段上是否存在点N，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由． 【解析】（1）因为平面，平面， 所以，又底面是正方形，则， 且与是平面内两条相交直线， 所以平面，平面，所以， 又分别是的中点，所以， 所以. （2）因为分别是的中点， 所以， 所以平面即是平面， 由（1）知平面，则平面，平面， ，则， 设点到平面的距离为，由， 得，即， 解得， 所以点到平面的距离为. （3）如图以为原点，为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且， ，， ， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得， ， ，整理得， 解得或（舍）， ，即存在点使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 例38．（2024·高三·江苏南通·期中）如图，且，，且，且，平面，. (1)设面BCF与面EFG的交线为，求证：； (2)证明: (3)在线段BE上是否存在一点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为，若存在，求出P点的位置，若不存在，说明理由. 【解析】（1）因为，，所以， 又平面，平面， 所以面，又平面，平面平面， 所以. （2）因为且，所以四边形ADGE为平行四边形， 又，所以四边形ADGE为菱形，所以AG⊥DE. 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以CD⊥面， 又面，所以，又， 平面，所以面，又面， 所以. （3）由于，，，平面，， 则以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系，如图， 于是，，设平面ABE的法向量为， 则，，令，得， 假设线段BE上存在点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为. 设，， ， 解得：. 所以线段BE上存在点P，且时,使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为. 例39．（2024·河南濮阳·模拟预测）如图所示，在等腰梯形中，，，，E为CD中点，AE与BD相交于点O，将沿AE折起，使点D到达点P的位置（平面）． (1)求证：平面平面PBC； (2)若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面所成角的正弦值为，若存在，求Q在线段PB上的位置；若不存在，说明理由． 【解析】（1）如图，在原图中连接BE，由于，，， 所以四边形ABED是平行四边形． 由于，所以四边形ABED是菱形，所以． 由于，，所以四边形ABCE是平行四边形， 所以，所以． 在翻折过程中，，保持不变， 即，保持不变． 由于，OP，平面POB， 所以平面POB，由于平面PBC， 所以平面平面PBC； （2）由上述分析可知，在原图中，， 所以，所以． 折叠后，若，则，所以， 由于，，平面ABCE， 所以平面ABCE．所以OE，OB，PO两两相互垂直． 由此以O为原点， 分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ， ，，，， 设，，， ，， 设平面AEQ的法向量为， 则，令得， 故， 设直线PC与平面AEQ所成角为θ，则 ， 所以，， ，解得， 所以，因为，， 、的中点坐标为， 即Q是PB的中点． 例40．（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，，． (1)证明：平面； (2)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由． 【解析】（1）正方形中，， 平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面，所以，， 又，，则， 又，，则，即， 又，则，，平面， ∴平面； （2）由（1）知，平面，， 以为坐标原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设点，，， ∴， ∴，故， ∴，， 设平面的法向量为， ∴， 令，则，， ∴为平面的一个法向量， 又，设平面的法向量为， ∴， 令，则，， 所以为平面的一个法向量， ∴，解得或， 则线段（不含端点）上不存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为． 例41．（2024·高三·广东·开学考试）如图1，直角梯形中，，将直角梯形绕旋转一周得到如图2的圆台，为圆台的母线，且是的中点．    (1)在线段上是否存在一点，使平面？说明理由； (2)若为线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）线段上存在一点，使平面．理由如下： 过作，垂足为为中点，又， 所以，过作一条平行的直线交于点，此时． 易知平面平面，所以平面AEFD． 同理平面，又，平面， 所以平面平面，平面， 所以平面， 故线段上存在一点，使平面，且； （2）作交下底圆于，因为， 如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系， 则， ，   ， 设平面的法向量，由得， 令，则； 设平面的法向量， 由，得，令，则． 设平面与平面的夹角为， 则． 故平面与平面夹角的余弦值为． 例42．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，分别是的中点．在线段上是否存在一点Q，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，也请说明理由． 【解析】假设在线段上存在一点，使平面． 取的中点，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ． 显然， 平面，面，则， ，解得，满足要求， 在线段上存在一点，使平面，此时点为点． 题型七：非常规几何体为载体的立体几何问题 例43．（2024·安徽黄山·二模）如图，已知为圆台下底面圆的直径，是圆上异于的点，是圆台上底面圆上的点，且平面平面，，，是的中点，． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）证明：取的中点为，连接，，， ，为中点，， 又平面平面，且平面平面，平面, 平面，，，故四边形为矩形， ，又，分别是，的中点， ， ； （2）是圆上异于，的点，且为圆的直径， ，， 如图以为原点建立空间直角坐标系，由条件知， ,0,,,4,,,0,,，， 设,,，，， 由，得，， ，， 设平面法向量为， 则，取， 设直线与平面所成角为， 则 直线与平面所成角的正弦值为． 例44．（2024·高二·安徽宿州·期中）如图，圆台上底面圆的半径为，下底面圆的半径为2，为圆台下底面的一条直径，圆上点C满足，是圆台上底面的一条半径，点P，C在平面的同侧，且.    (1)证明：平面平面； (2)若圆台的高为2，求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）取中点，连接、、， ，则 ∴且，且， ∴且， ∴四边形为平行四边形，∴，又面 ∴面，面，∴面面. （2）以O为原点，，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设面的法向量，则， 令，得，所以， 所以， 即与面所成角的正弦值为. 例45．（2024·福建龙岩·三模）如图，在四棱台中，底面四边形ABCD为菱形，平面ABCD.    (1)证明：； (2)若M是棱BC上的点，且满足，求二面角的余弦值. 【解析】（1）在四棱台中，延长后必交于一点， 故四点共面，因为平面，平面，故， 连接，因为底面四边形为菱形，故， 平面，故平面， 因为平面，所以. （2）过点A作的垂线，交与点N，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）， 设，则，由于，故， 则，， 则，，， 记平面的法向量为， 则，即，令， 则，即， 平面的法向量可取为， 则. 所以二面角的余弦值为. 例46．（2024·高三·湖南娄底·阶段练习）如图，在三棱台.中，，平面平面.    (1)求证：平面； (2)已知与相交于点，，且平面，设平面与所成角为，求的值. 【解析】（1）证明：因为平面平面，且平面平面， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，且，平面，所以平面. （2）连接，因为平面，且平面， 平面平面，所以， 因为，所以，所以， 根据棱台的性质，可得， 以为坐标原点，分别以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 又由平面，所以平面的一个法向量为， 所以， 所以. 例47．（2024·安徽芜湖·模拟预测）如图，已知半圆锥的顶点为，点是半圆弧上三等分点（靠近点），点是弧上的一点，平面平面，且，是中点．    (1)证明：平面平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）由题可得平面，又平面，则. 因，平面，平面，则平面. 又平面，平面平面 ，则. 因点是半圆弧上三等分点，则，又，则. 又，则是等边三角形，得. 又，则，即OD平分. 又，则在等腰三角形AOC中，由三线合一可知. 又平面POD，，则平面. 又平面，则平面平面. （2）取弧中点为N，连接ON. 由（1），又. 则如图建立以O为原点的空间直角坐标系. 取，则，，. 则，. 设平面 法向量为，则. 取，则，即. 又平面的法向量为，则平面与平面夹角的余弦值 . 例48．（2024·海南海口·模拟预测）如图所示的几何体由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成，两个锥体的底面在同一平面内，BC是半圆锥底面的直径，D在底面半圆弧上，且，△ABC是等边三角形． (1)证明：平面SAC； (2)若BC＝2，，求直线CD与平面SAB所成角的正弦值． 【解析】（1）因为BC是半圆锥底面的直径，，所以∠DBC＝60°， 因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB＝60°，所以． 因为平面SAC，平面SAC，所以平面SAC． （2）设S在底面上的射影为O，连接OA，OS， 由已知得O为BC的中点，所以AO⊥BC，． 因为BC＝2，，所以OB＝1，． 以O为坐标原点，分别以OA，CB，OS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 则C（0，-1，0），，B（0，1，0），，S（0，0，2）． 所以，，． 设平面SAB的法向量为， 则令x＝2，得． 设CD与平面SAB所成的角为θ， 则． 题型八：新定义问题 例49．（2024·高二·湖北武汉·期末）对于任意向量定义运算：．若向量，向量为单位向量，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意得，，， 设，则， 因为，所以，所以. 故答案为：. 例50．（2024·高二·河南濮阳·阶段练习）设Ox，Oy，Oz是空间中两两夹角都为θ的三条数轴，分别是与x，y，z轴正方向同向的单位向量，若，x，y，z∈R，则把有序数对叫做向量在坐标系O-xyz中的坐标，则下列命题中，真命题的个数为 . （1）若，，则； （2）若，则； （3）若，则当且仅当x∶y=3∶1时,向量与的夹角取得最小值； （4）若，，，则三棱锥O-ABC的表面积为6+2. 【答案】1 【解析】在（1）中，，可得，故（1）正确； 在（2）中，，故（2）错误； 在（3）中，显然当x∶y=3∶1时，与共线，此时夹角为0或π，故（3）错误； 在（4）中，由题可知，当，，时，三棱锥O-ABC为以2为棱长的正四面体，表面积为，故（4）错误. 综上，真命题的个数为1. 故答案为：1. 例51．（2024·高二·上海徐汇·期中）在平面上，将曲线与轴围成的封闭图形记为，记绕轴旋转一周而成的几何体为，试构造圆柱与倒立的圆锥，利用祖暅原理得出的体积值为 ． 【答案】 【解析】根据题意知，曲线与轴围成的封闭图形为半椭圆， 如图所示， 该平面图形绕轴旋转一周而成的几何体为， 构造圆柱与倒立的圆锥，利用祖暅原理， 可知的体积为. 故答案为：. 例52．（2024·辽宁·模拟预测）古代中国，建筑工匠们非常注重建筑中体现数学美，方形和圆形的应用比比皆是，在唐、宋时期的单檐建筑中较多存在的比例关系，这是当时工匠们着意设计的常见比例，今天，纸之所以流行的重要原因之一，就是它的长与宽的比无限接近，我们称这种满足了的矩形为“优美”矩形．现有一长方体，，，，则此长方体的表面六个矩形中，“优美”矩形的个数为 ． 【答案】4 【解析】由题意，该长方体如图所示： ，，， ，， ， ，， ，，， 此长方体的表面六个矩形中，“优美”矩形的个数为4. 故答案为：4. 例53．（2024·高三·河北·阶段练习）已知，，，定义一种运算：，在平行六面体中，，，. (1)证明：平行六面体是直四棱柱； (2)计算，并求该平行六面体的体积，说明的值与平行六面体体积的关系. 【解析】（1）证明：由题意，， ∴，，即，， ∵，是平面内两相交直线，∴平面， ∴平行六面体是直四棱柱； （2）， 由题意，，， ，所以， ，， ∴. ∴， 故的值表示以，，为邻边的平行六面体的体积. 例54．（2024·高二·广东东莞·期中）（1）在空间直角坐标系中，已知平面的法向量，且平面经过点，设点是平面内任意一点.求证：. （2）我们称（1）中结论为平面的点法式方程，若平面过点，求平面的点法式方程. 【解析】（1）平面经过点，点是平面内任意一点. , 为平面的法向量 （2）设平面的法向量为， ， 则，令则，平面的法向量为 由（1）可知，平面的点法式方程为：即 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想 例55．（2024·高二课时练习）如图，在三棱锥中，底面为等边三角形，，且平面平面． （1）求三棱锥的体积； （2）求二面角的余弦值； （3）判断在线段上是否存在点Q，使得为直角三角形？若存在，找出所有符合要求的点Q，并求的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）如图，过P作， ∵平面平面，∴平面． 在中，， ∴，∴． ∴三棱锥的体积． （2）取的中点分别为M，N，连接． 在等边中，∵O、N分别为的中点， ∴． 由（1）可知：平面， ∴，建立如图所示的空间直角坐标系． ． ∴，． 设为平面的一个法向量， 则且． ∴，令，则． ∴． ∵x轴⊥平面， ∴取作为平面的法向量． 设二面角的大小为，由图可知． ∴． ∴二面角的余弦值为． （3）在线段上存在点Q，使得为直角三角形． 设． 则，，． ①当时，则， 得，解得或1． 当时，Q与O重合， 为直角三角形，且； 当时，Q与M重合，为直角三角形，且； ②当时，则，得， 解得，不符合题意，应舍去； ③当时，则， 得，解得，不符合题意，应舍去． 综上可知：在线段上存在点Q，使得为直角三角形， 且或． 例56．（2024·广东广州·高二广州市协和中学校考阶段练习）如图，空间直角坐标系中，四棱锥的底面是边长为的正方形，底面OABC在xOy平面内，且抛物线Q：经过O、A、C三点．点B在y轴正半轴上，平面OABC，侧棱OP与底面所成角为． (1)求m的值； (2)若是抛物线Q上的动点，M是棱OP上的一个定点，它到平面OABC的距离为，写出M、N两点之间的距离，并求的最小值； (3)是否存在一个实数，使得当取得最小值时，异面直线MN与OB互相垂直？请说明理由． 【解析】（1）由四棱锥是底面边长为的正方形，则， 则， 所以； （2）因为平面OABC， 所以即为直线与平面所成角的平面角， 即， 因为点到平面OABC的距离为， 则点， 由是抛物线Q上的动点，则，即， 则， 令，设，对称轴为直线， ①当时，即当时， 函数在上单调递增， 则，此时； ②当时，即当时， 此时函数在取得最小值， 即， 此时， 综上； （3）当时，此时点与原点重合， 则直线与为相交直线，不符； 当时，则当取最小值时，， 不妨设，则， ， 则， 当异面直线与垂直时，， 即，无解， 综上所述，不存在一个实数，使得异面直线与垂直. ②转化与化归思想 例57．（2024·高二单元测试）已知点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)． (1)求以AB，AC为边的平行四边形的面积； (2)若向量分别与，垂直，且，求的坐标． 【解析】（1）因为，， 设， 则， 又因为， 所以θ＝60°， 所以以AB,AC为边的平行四边形的面积； （2）设， 则, ，， 解得或， 所以或. 例58．（2024·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校考阶段练习）在正四棱锥中，点分别是棱上的点，且，其中． (1)若，且平面，求的值； (2)若，且点平面，求的值． 【解析】（1）且， 在正四棱锥中， 可得， 即， 又平面所以存在实数使得， 即， 又且不共面， 解的. （2）由（2）可知 又且， 可得 又点平面，即四点共面 所以解得. 例59．（2024·江苏南京·高二南京航空航天大学附属高级中学校考期中）三棱柱中，，，线段的中点为，且. (1)求与所成角的余弦值； (2)若线段的中点为，求二面角的余弦值. 【解析】（1）在线段上取一点，使， 在三棱柱中，， 在中，因为，是的中点， 所以， 所以， 因为平面， 所以平面. 在中，由余弦定理得： ， 所以，所以， 以为原点，所在直线分别为轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， ，设， 因为 所以， 设直线与所成的角为， 所以. （2）因为线段的中点为， 所以 设平面的一个法向量， 因为， 所以， 令，则， 所以. 由（1）平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面 又，平面，平面， 所以平面， 所以为平面的一个法向量， 而在轴上， 所以取平面的一个法向量， 设二面角的平面角为， 由图可知：为锐角，所以. 所以二面角的余弦值为. ③数形结合思想 例60．（2024·全国·高二专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值 (3)判断与是否垂直． 【解析】（1）正方体中，， 故. （2）由题意知，， ， ， 故， 故 . （3）由题意， ， ， 故与垂直. 例61．（2024·全国·高二专题练习）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    【解析】连接，， ∵ ， ， ∴，∴， 又，∴，，三点共线． 例62．（2024·浙江·高二校联考期末）如图几何体为圆台一部分，上下底面分别为半径为1，2的扇形，，体积为．    (1)求； (2)劣弧上是否存在使∥平面．猜想并证明． 【解析】（1）由题意可知，设， 设上底的面积为，下底的面积为， 则，， 所以，解得， 在中由余弦定理可得， 所以； （2）不存在，证明如下： 证明：过作的垂线交劣弧于， 由（1）可知，所以， 以所在的直线分别为轴，建立如图所示的坐标系， 则，，，， 设， 则，，， 设平面的法向量为， 由，可得， 因为，所以， 取，则有， 如果平面，则有， 即， 即，矛盾，所以平面不成立， 故劣弧上不存在使∥平面. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$第一章 空间向量与立体几何章末题型归纳总结 01 02 03 目录 CONTENTS 思维导图 知识梳理 典型例题 01 思维导图 思维导图 02 知识梳理 知识梳理 1.空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有 和 的量 相等向量 方向 且模 的向量 相反向量 长度 而方向 的向量 共线向量(或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 或 的向量 共面向量 平行于 的向量 大小 方向 相同 相等 相等 相反 平行 重合 同一个平面 知识梳理 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 . (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在 的有序实数对(x，y)，使p＝ . (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝ .{a，b，c}叫做空间的一个基底. a＝λb 唯一 xa＋yb xa＋yb＋zc 知识梳理 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积 非零向量a，b的数量积 a·b＝ . |a||b|cos〈a，b〉 知识梳理 (2)空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).   向量表示 坐标表示 数量积 a·b _______________ 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) ________________________ 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) __________________ a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 知识梳理   向量表示 坐标表示 模 |a| ____________ 夹角 余弦值 cos〈a，b〉＝______________________ 知识梳理 4.空间位置关系的向量表示 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，那么称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则称向量a为平面α的法向量. 知识梳理 (3)空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R) l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄α l∥α n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔n＝λm(λ∈R) 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm(λ∈R) α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 知识梳理 5.异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝ |cos〈u，v〉|＝ . 知识梳理 6.直线与平面所成的角 如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线 AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝ ＝ . 知识梳理 7.平面与平面的夹角 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角. 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β 的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝ . 知识梳理 8.点到直线的距离 知识梳理 9.点到平面的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离 03 典型例题 【典例1-1】（2024·高二·山西临汾·期中）在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为． 故选：C． 题型一：空间向量的概念及运算 典型例题 【典例1-2】（2024·高二·福建·开学考试）如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，． 故选：A 题型一：空间向量的概念及运算 典型例题 【变式1-1】（2024·高二·全国·课后作业）如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． （1）求的长； （2）求和夹角的余弦值． 【解析】（1）由题意得， 又，，，，， 故 ， 故； （2） ， 则． 题型一：空间向量的概念及运算 典型例题 【典例2-1】（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 【解析】如图，以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 因为， 所以， 所以平面平面． 题型二：利用空间向量证明平行与垂直关系 典型例题 【典例2-2】（2024·高二·天津蓟州·阶段练习）如图，在长方体中，，，． （1）求证：平面平面． （2）线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，． 设平面的法向量为，则． 取，则，，所以平面的一个法向量为． 设平面的法向量为，则． 取，则，，所以平面的一个法向量为． 因为，即，所以平面平面． （2）设线段上存在点P使得平面，． 由（1）得，，平面的一个法向量为， 所以． 所以，解得． 所以当P为线段的中点时，平面． 题型二：利用空间向量证明平行与垂直关系 典型例题 【变式2-1】（2024·山西·三模）如图，在正方体中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． （1）证明：∥平面； （2）证明： 【解析】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 可得 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为，且平面，所以∥平面． （2）由（1）可得：， 则，所以． 题型二：利用空间向量证明平行与垂直关系 典型例题 【变式2-2】（2024·高二·山东菏泽·阶段练习）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 【解析】（1）根据题意可知平面平面， 平面平面， 又是正方形，所以，平面， 所以平面，从而可得，，两两垂直； 以D为原点，分别以，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 又为的中点，所以，则， 所以，故共面． 又平面，所以平面； （2） 易知，所以； 又，可得； 又，平面，所以平面． 题型二：利用空间向量证明平行与垂直关系 典型例题 【典例3-1】（2024·高二·浙江金华·期中）如图，已知三棱柱，底面，，，为的中点． （1）证明：面； （2）若，求点到平面的距离． 【解析】（1）证明：如图,连接交于点，则为的中点， 连接，又因为为的中点，所以，平面，平面， 所以平面． （2）如图：以，所在的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，则， 所以，，，，， ，， 设平面的法向量， 则，所以，所以，令，， 所以，又， 记点到平面的距离为，所以． 题型三：利用空间向量计算距离 典型例题 【典例3-2】（2024·高二·山东淄博·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求直线到平面的距离． 【解析】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，所以，， 所以直线与所成角的余弦值为． （2）由（1）知，，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离为，所以直线FC到平面的距离是． 题型三：利用空间向量计算距离 典型例题 【变式3-1】如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．求直线到直线的距离． 【解析】以点为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． 因为，， 所以，即， 所以点到直线的距离，即为直线到直线的距离． 取，又， 所以，， 所以直线到直线的距离 ． 题型三：利用空间向量计算距离 典型例题 【典例4-1】（2024·贵州·模拟预测）如图，在三棱台中，平面ABC， ，，． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）依题意，以点C为圆点，所在直线分别为 建立如图所示的空间直角坐标系 在三椄台 中．因为， ， ， 所以 所以 设异面直线 与 所成角为 则， 所以，即直线 与 所成角的余弦值是 题型四：利用空间向量求线线角、线面角、二面角 典型例题 【典例4-1】（2024·贵州·模拟预测）如图，在三棱台中，平面ABC， ，，． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （2）设直线 与平面 所成角为 ，则 平面 的法向量为 所以 ，令则 ， 所以 所以 ， 即直线 与平面 所成角的正弦值是 ． 题型四：利用空间向量求线线角、线面角、二面角 典型例题 【典例4-2】（2024·天津蓟州·模拟预测）如图，在四棱锥中，已知棱两两垂直，长度分别为1，2，2，若，且向量与夹角的余弦值为． （1）求实数值； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）依题意，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，由，得，则，而， 而，显然，解得． （2）由（1）得，，设平面的法向量， 则，令，得，又， 于是，所以直线与平面所成角的正弦值为． （3）由（2）令平面的法向量，则，令，得， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 题型四：利用空间向量求线线角、线面角、二面角 典型例题 【变式4-1】（2024·广西·模拟预测）在长方体中，点E，F分别在，上，且，． （1）求证：平面平面AEF； （2）当，，求平面与平面的夹角的余弦值． 【解析】（1）为长方体    平面 平面∴     又，且，平面， 平面 平面AEF    平面平面 （2）依题意，建立以D为原点，以DA，DC，分别为x，y，z轴的空直角坐标系， 则， 则 题型四：利用空间向量求线线角、线面角、二面角 典型例题 【变式4-1】（2024·广西·模拟预测）在长方体中，点E，F分别在，上，且，． （1）求证：平面平面AEF； （2）当，，求平面与平面的夹角的余弦值． 设平面的法向量为．则，即 令，则．． 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为 题型四：利用空间向量求线线角、线面角、二面角 典型例题 【典例5-1】（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）给出下列命题，其中不正确的为（   ） A．若，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段 B．若，则是钝角 C．若，则与一定共线 D．非零向量满足与，与，与都是共面向量，则必共面 【答案】ABD 【解析】对于A，考虑平行四边形中，满足，但不满足A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段，即A错误； 对于B，当两个非零向量的夹角为时，满足，但不是钝角，即B错误； 对于C，当时，可得，则与一定共线，可知C正确； 对于D，考虑三棱柱，令， 满足与，与，与都是共面向量，但不共面，可得D错误． 故选：ABD 题型五：共线与共面问题 典型例题 【典例5-2】（2024·高二·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，分别是的中点，在上且，在上且 ，判断与是否共线？ 【解析】由空间向量的线性运算法则，可得 ，即， 又由向量的共线定理，可得与共线． 题型五：共线与共面问题 典型例题 【变式5-1】（2024·高二·江苏连云港·阶段练习）已知，，是空间中不共面的向量，若，，． （1）若三点共线，求的值； （2）若四点共面，求的最大值． 【解析】（1）因为三点共线，则， 又， ， 有}解得； （2）因为四点共面，则， 则， 有 解得， 所以， 当时，取到最大值 题型五：共线与共面问题 典型例题 【变式5-2】（2024·高二·江西吉安·期末）在空间直角坐标系中，，，，． （1）求； （2）判断点，，，是否共面，并说明理由． 【解析】（1）由题意知，， ∴； （2）∵，，， 设，则无解， 即不存在，使得，，共面， 故点，，，不共面． 题型五：共线与共面问题 典型例题 【典例6-1】（2024·高三·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，分别是的中点．在线段上是否存在一点Q，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，也请说明理由． 【解析】假设在线段上存在一点，使平面． 取的中点，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ． 显然， 平面，面，则， ，解得，满足要求， 在线段上存在一点，使平面，此时点为点． 题型六：立体几何存在性问题 典型例题 【典例6-2】（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，，． （1）证明：平面； （2）在线段（不含端点）上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由． 【解析】（1）正方形中，， 平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面，所以，， 又，，则， 又，，则，即， 又，则，，平面， ∴平面； （2）由（1）知，平面，， 以为坐标原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设点，，， ∴， 题型六：立体几何存在性问题 典型例题 【典例6-2】（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，，． （1）证明：平面； （2）在线段（不含端点）上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由． ∴，故， ∴，， 设平面的法向量为， ∴， 令，则，， ∴为平面的一个法向量， 又，设平面的法向量为， 题型六：立体几何存在性问题 典型例题 【典例6-2】（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，，． （1）证明：平面； （2）在线段（不含端点）上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由． ∴，令，则，， 所以为平面的一个法向量， ∴，解得或， 则线段（不含端点）上不存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为． 题型六：立体几何存在性问题 典型例题 【变式6-1】（2024·高三·四川成都·开学考试）如图，在四棱锥中，底面． （1）若，证明：平面； （2）若，且，线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为？若存在，求出点在线段上的位置；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）在四棱锥中，由平面，平面，得， 又平面，则平面， 而平面，于是，由，得， 则，又平面平面， 所以平面． （2）由（1）知，过点作平面，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 假设存在点满足条件，令， ， 题型六：立体几何存在性问题 典型例题 【变式6-1】（2024·高三·四川成都·开学考试）如图，在四棱锥中，底面． （1）若，证明：平面； （2）若，且，线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为？若存在，求出点在线段上的位置；若不存在，请说明理由． 设平面的法向量，则， 令，得， 由平面，得为平面的法向量， 由二面角的正弦值为，得， 即，而，解得， 所以点是线段上靠近点的三等分点，使得二面角的正弦值为． 题型六：立体几何存在性问题 典型例题 【典例7-1】（2024·高二·安徽宿州·期中）如图，圆台上底面圆的半径为，下底面圆的半径为2，为圆台下底面的一条直径，圆上点C满足，是圆台上底面的一条半径，点P，C在平面的同侧，且． （1）证明：平面平面； （2）若圆台的高为2，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）取中点，连接、、，，则 ∴且，且， ∴且， ∴四边形为平行四边形，∴，又面 ∴面，面，∴面面． （2）以O为原点，，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设面的法向量，则， 令，得，所以， 所以，即与面所成角的正弦值为． 题型七：非常规几何体为载体的立体几何问题 典型例题 【典例7-2】（2024·福建龙岩·三模）如图，在四棱台中，底面四边形ABCD为菱形，平面ABCD． （1）证明：； （2）若M是棱BC上的点，且满足，求二面角的余弦值． 【解析】（1）在四棱台中，延长后必交于一点， 故四点共面，因为平面，平面，故， 连接，因为底面四边形为菱形，故， 平面，故平面， 因为平面，所以． （2）过点A作的垂线，交与点N，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）， 设，则，由于，故， 则，， 则，，， 题型七：非常规几何体为载体的立体几何问题 典型例题 【典例7-2】（2024·福建龙岩·三模）如图，在四棱台中，底面四边形ABCD为菱形，平面ABCD． （1）证明：； （2）若M是棱BC上的点，且满足，求二面角的余弦值． 记平面的法向量为， 则，即，令， 则，即， 平面的法向量可取为， 则． 所以二面角的余弦值为． 题型七：非常规几何体为载体的立体几何问题 典型例题 【变式7-1】（2024·海南海口·模拟预测）如图所示的几何体由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成，两个锥体的底面在同一平面内，BC是半圆锥底面的直径，D在底面半圆弧上，且，△ABC是等边三角形． （1）证明：平面SAC； （2）若BC＝2，，求直线CD与平面SAB所成角的正弦值． 【解析】（1）因为BC是半圆锥底面的直径，，所以∠DBC＝60°， 因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB＝60°，所以． 因为平面SAC，平面SAC，所以平面SAC． （2）设S在底面上的射影为O，连接OA，OS， 由已知得O为BC的中点，所以AO⊥BC，． 因为BC＝2，，所以OB＝1，． 以O为坐标原点，分别以OA，CB，OS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 则C（0，-1，0），，B（0，1，0），，S（0，0，2）． 所以，，． 设平面SAB的法向量为， 则令x＝2，得． 设CD与平面SAB所成的角为θ，则． 题型七：非常规几何体为载体的立体几何问题 典型例题 【典例8-1】（2024·高二·湖北武汉·期末）对于任意向量定义运算：．若向量，向量为单位向量，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意得，，， 设，则， 因为，所以，所以． 故答案为：． 题型八：新定义问题 典型例题 【典例8-2】（2024·高三·河北·阶段练习）已知，，，定义一种运算：，在平行六面体中，，，． （1）证明：平行六面体是直四棱柱； （2）计算，并求该平行六面体的体积，说明的值与平行六面体体积的关系． 【解析】（1）证明：由题意，， ∴，，即，， ∵，是平面内两相交直线，∴平面， ∴平行六面体是直四棱柱； （2）， 由题意，，， ，所以， ，， 题型八：新定义问题 典型例题 【典例8-2】（2024·高三·河北·阶段练习）已知，，，定义一种运算：，在平行六面体中，，，． （1）证明：平行六面体是直四棱柱； （2）计算，并求该平行六面体的体积，说明的值与平行六面体体积的关系． ∴． ∴， 故的值表示以，，为邻边的平行六面体的体积． 题型八：新定义问题 典型例题 【变式8-1】（2024·高二·广东东莞·期中）（1）在空间直角坐标系中，已知平面的法向量，且平面经过点，设点是平面内任意一点．求证：． （2）我们称（1）中结论为平面的点法式方程，若平面过点，求平面的点法式方程． 【解析】（1）平面经过点，点是平面内任意一点． ， 为平面的法向量 （2）设平面的法向量为， ， 则，令则， 平面的法向量为 由（1）可知，平面的点法式方程为： 即     题型八：新定义问题 典型例题   cos〈a，b〉＝ (a≠0，b≠0)   如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝ .   就是在直线l上的投影向量的长度，因此PQ＝＝＝ . $$