第一章 空间向量与立体几何（暑假单元自测）新高二数学人教A版

**基本信息** 高中数学空间向量与立体几何单元卷，覆盖向量运算、空间位置关系、夹角距离等核心知识，通过基础题、综合题及文化情境题（如《九章算术》“刍童”），培养空间观念、推理能力与数学表达，适配暑假单元复习与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|向量线性运算、法向量、坐标对称（如第9题）|基础巩固与概念辨析，多选题考查批判性思维| |填空题|3题/15分|四点共面、平行六面体向量表示（第13题）|空间向量工具性应用，强调符号意识| |解答题|5题/77分|折叠问题（第19题）、面面夹角（第18题）|分层设计，从坐标运算到综合证明，体现数学思维与创新意识|

第一章 空间向量与立体几何 单元自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】在四面体中，为棱的中点， 则， 则. 2．已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】由，可得：， 因，则，即：，解得： 3．设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（     ） A． B．或 C． D．与相交但不垂直 【答案】B 【分析】通过计算直线的方向向量与平面的法向量的数量积，判断直线与平面的位置关系. 【详解】因为，所以， 所以或. 4．如图，在三棱柱中，与的交点为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，在中，与的交点为，所以，与互相平分， . 所以，. 5．设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，求的值（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角的坐标表示代入化简可得，结合单位向量模长，代入化简可得，进而可得. 【详解】由已知，均为单位向量，可知， 又，则； 同理，则， 代入， 即，解得， 则， 故选：C. 6．已知空间向量，，满足，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知得，两边平方利用向量的数量积运算律求解即可. 【详解】由得， 两边平方得， 又，所以， 所以. 故选：A 7．在空间直角坐标系中，已知，，，，，若线段与平面交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求解平面法向量得，即可根据共线得，进而根据垂直关系即可求解. 【详解】，，设平面的法向量为， 由，可知，且， 令，则， 所以，为平面的一个法向量， 因为在线段上， 设， 所以， 由可得： 所以，，即，所以， 故选：B. 8．在平行四边形中，设，，，沿将平行四边形折成一个直二面角，则与所成的角的余弦值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形特点建立空间直角坐标系，利用向量计算即可. 【详解】因为二面角为直二面角，为交线， 故平面平面，平面平面，又，平面， 所以底面， 以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 因为，， 所以为等腰直角三角形， 则，，，, ，, 设与所成的角为， 则. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下面四个结论中，正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若，则向量的夹角是钝角 C．已知，则在上的投影向量的模为1 D．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】AC 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A正确； 对于B，若，则向量，的夹角是钝角或，共线且反向，故B错误； 对于C，在上的投影向量的模为，故C正确； 对于D， 因为，即共面，不能作为空间的一个基底，故D错误. 10．在空间直角坐标系中，已知，则（    ） A． B．与平行且模为的向量的坐标为或 C．与夹角的余弦值为 D．在上投影向量的坐标为 【答案】BD 【分析】根据向量的坐标运算即可求解AB，根据夹角公式以及投影向量的计算公式即可求解CD. 【详解】对A， 因为，所以A错误； 对B，因为，所以，因为所求的向量与平行，且模为， 所以所求的向量为：或，即所求向量坐标为或，所以B正确； 对C，又因为， 所以与夹角的余弦值为，所以C错误； 对D在上投影向量为：，所以选项D正确． 故选：BD． 11．在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台是一个侧棱相等、高为2的“刍童”，其中，则（    ） A．该“刍童”的表面积为 B．该“刍童”中平面 C．该“刍童”外接球的球心到平面的距离为 D．该“刍童”侧棱与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【分析】如图，由题设建立空间直角坐标系，对于A，由棱台表面积计算公式结合题设可得答案；对于B，由与不垂直可判断选项正误；对于C，设外接球球心为，然后由可判断选项正误；对于D，由题设结合空间向量知识可判断选项正误. 【详解】设上下两底面的中心分别为，的中点为，的中点为， 由题意面，设分别为的中点，则， 而面，所以，所以两两垂直， 所以以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示： 对于A，因为， 过点作于点，则， ，所以， 同理过点作于点，则， ，所以， 所以侧面面积之和为， 而上下底面之和为， 所以该“刍童”的表面积为，故A正确； 对于B，由题意知四边形为矩形，， ，但，这表明了与不垂直， 所以不垂直平面（否则由线面垂直的性质得，导出矛盾），故B错误； 对于C，由对称性可知该“刍童”外接球的球心在直线上，不妨设它为， 而，所以， 由，即得，， 解得，所以该“刍童”外接球的球心到平面的距离为，故C正确； 对于D，因为， 所以， 又平面，故取平面的法向量为， 不妨设该“刍童”侧棱与平面所成角为， 则该“刍童”侧棱与平面所成角的正弦值为，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 【答案】 【分析】整理可得，结合四点共面的结论列式求解即可. 【详解】， 因为四点共面，所以，解得． 13．如图所示，在平行六面体中，，，，点M是的中点，点是上的点，且，若，则___________. 【答案】/ 【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以为基底，用基向量表示，再空间向量基本定理待定系数即可. 【详解】在平行六面体中, 因为点M是的中点，点是上的点, 所以 . 又， 由空间向量基本定理得，， 则. 故答案为：. 14．在四棱锥中，底面为矩形，，，底面，，点为棱的中点，，平面与直线交于点，则点到直线的距离为_____. 【答案】 【分析】以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，可得，结合可得，再利用点到直线的距离公式即可解出答案. 【详解】如图，建立以为坐标原点，直线，，所在直线分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系. 则, 所以， 所以,， 设平面的法向量， 则， 令，则平面的一个法向量. 设，则， 所以， 又，即，， ， 设在上的投影向量为，则， 则点到直线的距离为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知空间中三点，，. (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标； (3)求以，为邻边的平行四边形的面积. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据向量平行设出，然后根据列方程求解； （2）直接应用投影向量公式求解； （3）先求出，夹角的正弦值，利用三角形面积公式可求解 【详解】（1）由题知， 又向量与平行，设， ，解得， 于是或 （2）由（1），又， 根据投影向量公式， （3）由题知，， 设，的夹角为，则，显然， 根据夹角公式，，则， 根据三角形的面积公式， 则以，为邻边的平行四边形的面积是 16．（15分） 如图，在平行六面体中，且． (1)求的长度； (2)求证：平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，根据条件求出的值，然后利用向量基底表示出，利用向量模公式求解； （2）利用向量法证明，然后利用线面垂直判定定理证明即可. 【详解】（1）设， 由于，即，所以， 同理可得，由题意可得， 所以. （2）因为， 所以 ， 所以，同理可证， 又因为平面， 所以平面． 17．（15分） 如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点．    (1)求证：： (2)求证：平面. 【答案】(1)见解析 可得，得证. (2)见解析 【分析】（1）通过建系，写出相关点和向量的坐标，利用向量垂直的坐标公式计算即得证； （2）先求出平面的法向量，由和平面即可推得平面. 【详解】（1）证明：如图建立空间直角坐标系， 则， 则，           由，     （2）证明：设平面的法向量为，因，    则，令，可得，                因，故得，         又平面，所以，平面. 18．（17分） 如图，在四棱锥中，底面是菱形，底面，是的中点，点满足，，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）连接交于点，连接，可证得，即可证； （2）以为原点，以，的方向为轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，得，，，，，从而求出平面和平面的法向量，即可得到夹角的余弦值 【详解】（1）连接交于点，连接． 因为是的中点，，， 所以． 又，所以， 在平面中，有， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）因为底面， 以为原点，以，的方向为轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系． 因为，底面四边形为菱形，易得三角形，三角形为等边三角形． 则，，，，． 所以，，，． 设为平面的法向量，则，即，可取． 设为平面的法向量，则，即，可取． 设平面与平面的夹角为，则． 故平面与平面的夹角的余弦值为． 19．（17分） 如图，四边形中，，，，上的点满足，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且． (1)证明：平面平面； (2)点在上，若二面角的正切值为． （i）求； （ii）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)连见解析 (2)（i）（ii） 【分析】（1）先根据菱形的性质证明，再根据等边三角形的性质，及勾股定理证明，进而根据线线垂直，线面垂直的性质即可证明结论； （2）（i）结合（1），以，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，（），从而求出平面的法向量，再结合平面的法向量，根据二面角的向量求法求出的值即可； （ii）结合（i）得到，再求出平面的法向量，再根据直线与平面所成角的向量求法即可求解． 【详解】（1）接，交于点，连结． 由，且，则四边形是菱形， 则，且点是的中点，所以，， 又，则为等边三角形，所以， 所以， 又，则，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）（i）由（1）可知，，，两两垂直， 则以，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 由，，则，，， 在中，由余弦定理有，即， 则，所以， 结合（1）有，， 则，，，， 所以，，， 设，（），则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，即， 显然，是平面的一条法向量， 设二面角的平面角为， 又二面角的正切值为，则，则， 所以， 整理得，解得，或（舍去），即． （ii）结合（i）可知，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，即， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一章空间向量与立体几何单元自测卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 考前须知： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.在四面体ABCD中，E为棱BC的中点，则D1-B+C=() A.AE B.AB C.EC D.DE 2.已知a=(2,03),6=(-2,2x,且(a+b)1ā，则x=() A. B.3 c D.3 3.设ā=(1,2,3)是直线1的方向向量，元=(1，-2,1)是平面a的法向量，则() A.l⊥a B.ll∥a或lca C.llla D.1与a相交但不垂直 4.如图，在三棱柱ABC-ABC中，BC与B,C的交点为P,则4P=() B A.丽+AC+码) B.(B+C-) 1/5 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.B-4c+) D.(4+ac- 5.设空间两个单位向量OA=(m,n,0),OB=(0,n,p)与向量0C=(1l,1)的夹角都等于4，求cos∠40B的 值() A.V7±1 B.5±1 C.2达5 D. 3±1 7 7 4 4 6.已知空间向量ā，6，G满足a+26+3C=0,同=3，=V5,=1,则6-c的值为() D 7.在空间直角坐标系中，已知A(2,0,0),B(11,1),C(0,10),P(0,02),D(02,0),若线段PD与平面 PE ABC交于F点，则FD（) A.3 B.2 C.1 D.2 8.在平行四边形ABCD中，设AC⊥BC,AB=V2,BC=1,沿AC将平行四边形ABCD折成一个直二 面角B-AC-D,则AC与BD所成的角的余弦值是() A. B V6 D. 3 3 3 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下面四个结论中，正确的是() A.点A(1,-1,2)关于x0z平面对称的点的坐标是(11,2) B.若a.b<0,则向量ā，b的夹角是钝角 C.已知i=(01,),b=(0,0,-),则ā在6上的投影向量的模为1 D.设{a,6,c是空间的一个基底，则{a+6,ā+5+c,c也是空间的一个基底 10.在空间直角坐标系中，已知0(00,0)，0A=(0,-1),0B=(3,0,0),0C=(0,2,),则() A.AC⊥AB 215 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.与0A平行且模为32的向量的坐标为(0，-3,3)或(0,3，-3) 14 C.A4C与CB夹角的余弦值为7 D.O在oC上投狗益3坐标为0-号引 11.在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”，已知棱台ABCD-A'B'C'D是一个侧棱相等、 高为2的“刍童”，其中AB=2AB'=6,BC=2B'C'=8,则() A.该“刍童”的表面积为90+18√2 B.该“刍童”中BD⊥平面ACCA 59 C.该“刍童”外接球的球心到平面ABCD的距离为16 W41 D.该“台童”侧棱A4与平面ABCD所成角的正弦值为4 第二部分（非选择题共2分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.己知A,B,C,D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，P为平面外任意一点，且 PA=2PB-xPC+BD,则实数x的值为一 13.如图所示，在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=a,AD=i,A4=C,点M是AD的中点，点 N是C4上的点，且N-号C,若m=a+6+0:则x+y+: 5 A M D B A: 14.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=3,BC=2,PA⊥底面ABCD,PA=2,点M为 楼PD的中点，DN-DC,平面4MN与直线PC交于点E:则点E到直线AM的距窝为一 3/5 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知空间中三点A1,-V5,3,B(0,V2,5),C2,4) ()若向量m与B平行，且例=3，求m的坐标： (2)求向量AB在向量AC上的投影向量ā的坐标； (3)求以CB,CA为邻边的平行四边形的面积， 16.(15分) 如图，在平行六面体ABCD-4BCD中，∠CCB=∠CCD=∠BCD=60°且CB=CD=CC=2, B D (①)求CA的长度： (2)求证：CA⊥平面CBD 17.(15分) 如图，在正方体ABCD-ABCD中，棱长为2，E,F,G分别是BB,DB,AB的中点. D C B D G B ()求证：EF⊥AD, (2)求证：EF/1平面ADG 415 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥底面ABCD,M是AD的中点，点N满足 PC=3PN,PD=3,DA=DB=2. M B (I)证明：PM∥平面BDN: (2)求平面PAB与平面BDN夹角的余弦值. 19.(17分) 如图，四边形BCE中，B/CE,B=AE-CE=2,∠E-0,CE上的点D满足DE=2:以D为折 痕将aADE折起，使点E到达点P的位置，且PB=V6, D B (I)证明：平面PAD⊥平面ABCD: (2②点Q在PC上，若二面角Q-BD-C的正切值为3 PO (i求PC (i)求直线BQ与平面PBD所成角的正弦值. 5/5