精品解析：湖南省益阳市万源教育集团 2024-2025学年九年级上学期开学数学试题

2024年下期万源教育集团九年级上册开学考试数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共10小题，共30分） 1. 已知函数是反比例函数,且当x<0时,y随着x的增大而增大,则m的取值范围是( ). A. m≥-3 B. m ＜-3 C. m＞-3 D. m =-3 2. 反比例函数（）的图象如图所示，则的值可能是（ ） A. 5 B. 12 C. D. 3. 若点、、在反比例函数图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x，y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是（　　） A B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为( ) A. 2 B. 1 C. 0 D. 6. 已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是( ) A. B. C. 或 D. 或 7. 已知：如图1，在平行四边形中，，，，沿的方向以速度为匀速平移得到；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动速度为，当停止平移时，点Q也停止运动，如图2，设运动时间为，则t的值为（ ）s时，． A. B. C. D. t不存在 8. 设一元二次方程 的两根为 ，则 的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 3 9. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 10. 一元二次方程，配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，共24分） 11. 如图，的直角顶点A在反比例函数（）的图像上，顶点B在x轴负半轴上，顶点C在反比例函数（）的图像上，斜边交y轴于点D，若轴，，面积为6，则的值为_________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为8，点B在y轴上，点C在反比例函数上的图像上，则k的值为________； 13. 若关于x的方程的一个根是，则m的值为______． 14. 已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为_____． 15. 设，是方程的两个实数根，则的值为________． 16. 已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为_______． 17. 如图，点A、D分别在函数、的图像上，点B、C在x轴上，若四边形ABCD为正方形，点A在第二象限，则A的坐标为______． 18. 如图，过原点的直线交双曲线于A、B两点，点C在x轴上，且，若的面积为6，则k的值为_____________． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A(-1，n)，B(2，-1)两点，与y轴相交于点C． （1）求一次函数与反比例函数表达式； （2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积． 20. 如图，的直角边在轴上，，边交轴于点，点在反比例函数第一象限的图象上，所在直线的解析式为，其中点，． （1）求反比例函数和所在直线的解析式； （2）将的边直角边沿着轴正方向平移个单位长度得到线段，线段与反比例函数的图象交于点，问当为何值时，四边形是平行四边形？ 21. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 22. 如图，动点M在函数图象上，过点M分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图象于点B、C，作直线，设直线的函数表达式为． （1）若点M的坐标为，①求直线的函数解析式；②点D在x轴上，点E在y轴上，且以点B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D、E的坐标； （2）连接，试探究点M在运动过程中，的面积是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 23. 某种服装，平均每天可以销售20件，每件赢利44元，在每件降价幅度不超过30元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要赢利1900元，每件应降价多少元？ 24. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）若是该方程的根，求代数式的值． 25. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 26. 已知关于的一元二次方程：． （1）求证：这个方程总有两个实数根； （2）若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年下期万源教育集团九年级上册开学考试数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共10小题，共30分） 1. 已知函数是反比例函数,且当x<0时,y随着x的增大而增大,则m的取值范围是( ). A. m≥-3 B. m ＜-3 C. m＞-3 D. m =-3 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义列出方程求解，再根据它的性质决定解的取舍． 【详解】由题意得 m2-10=-1且m-2<0， ∴m=-3. 故选D. 【点睛】本题考查了反比例函数的，以及反比例函数的图像与性质，反比例函数(k是常数，k≠0)的图像是双曲线，当k＞0，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限,在每一象限内，y随x的增大而减小；当 k＜0，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限,在每一象限内，y随x的增大而增大. 2. 反比例函数（）的图象如图所示，则的值可能是（ ） A. 5 B. 12 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象，当时，，则；当时，，则，所以，即可求解． 【详解】解：由图可知：当时，，即，则， 当时，，即，则， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数图象性质，关键是要结合函数的图象，掌握反比例函数的性质． 3. 若点、、在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值，比较后即可得出结论． 【详解】解：点，，在反比例函数的图象上， ，，， 又， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值是解题的关键． 4. 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x，y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据图形的剪切确定变化过程中的函数关系式，确定函数类型，再根据自变量及函数的取值范围确定函数的具体图象． 【详解】解：∵是剪去的两个矩形，两个矩形的面积和为20， ∴xy=10， ∴y是x的反比例函数， ∵2≤x≤10， ∴答案为A． 故选：A． 【点睛】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． 5. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为( ) A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，将代入方程是解题的关键． 6. 已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是( ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式，由根与系数的关系和题目中的关系可知和，但根据可知，m只能等于3． 【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 又∵，， ∴， ∴ 即 解得：或， ∵， ∴， 故选：A． 7. 已知：如图1，在平行四边形中，，，，沿的方向以速度为匀速平移得到；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动速度为，当停止平移时，点Q也停止运动，如图2，设运动时间为，则t的值为（ ）s时，． A. B. C. D. t不存在 【答案】D 【解析】 【分析】作于点F，于点E，利用面积法求的长，利用勾股定理计算的长，证明，列式可表示的长，根据面积公式计算△QCM是面积；根据同底等高的两个三角形面积相等得：，由已知得：，然后得到关于t一元二次方程求解即可． 【详解】作于点F，于点E， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则由勾股定理得：， ∵作，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：，， 由平移的性质得，， ∴M到的距离， ∴是面积； ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 整理得，， ∵， ∴该方程无实数根， ∴不存在某一时刻t，． 故选D． 【点睛】本题考查了平移，勾股定理、相似三角形的性质和判定，一元二次方程根的判别式，熟练掌握平移的性质和相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 8. 设一元二次方程 的两根为 ，则 的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两根为，则，，熟知此部分知识是解题关键．利用根与系数的关系，即可得出答案． 【详解】解：根据根与系数的关系，得，， ， 故选A． 9. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，观察图形，列出方程即可. 【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得： (32−2x)(20−x)=570， 故选：A 【点睛】本题考查根据题意列方程.理解题意是解题的关键. 10. 一元二次方程，配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】移项后，两边配上一次项系数一半的平方可得． 【详解】解：移项得：x2-8x=1， 配方得x2-8x+16=1+16，即（x-4）2=17， 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程－配方法，熟练掌握解一元二次方程的常用方法和根据不同方程灵活选择方法是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，共24分） 11. 如图，的直角顶点A在反比例函数（）的图像上，顶点B在x轴负半轴上，顶点C在反比例函数（）的图像上，斜边交y轴于点D，若轴，，面积为6，则的值为_________． 【答案】-4 【解析】 【分析】连接OA，OC，AC交y轴于E，根据∥轴，可证△CED∽△CAB，由相似三角形性质可求S△OAE=2S△OEC，可证AB=OE，可得S△ABC=S△AOC=6，求出S△OAE=4，S△OEC=2即可． 【详解】解：连接OA，OC，AC交y轴于E， ∵∥轴， ∴∠EDC=∠ABC，∠CED=∠A=90°， ∴△CED∽△CAB， ∴， ∴， ∴AE=AC-EC=2CE， ∴S△OAE=2S△OEC， ∵AC⊥AB，AB∥y轴， ∴AC∥x轴， ∴AB=OE， ∴S△ABC=S△AOC=6， ∴S△OAE+S△OEC=6， ∴S△OAE=4，S△OEC=2， ∴k1=-8,k2=4， ∴． 故答案为-4． 【点睛】本题考查平行线性质，三角形相似判定与性质，反比例函数系数k与三角形面积关系，掌握平行线性质，三角形相似判定与性质，反比例函数系数k与三角形面积关系是解题关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC面积为8，点B在y轴上，点C在反比例函数上的图像上，则k的值为________； 【答案】-4 【解析】 【分析】连接AC交OB于D，如图，根据菱形的性质得AC⊥OB，S△OCD=S菱形ABCO=2，再利用反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|=2，然后根据反比例函数的性质确定k的值． 【详解】解：连接AC交OB于D，如图， ∵四边形ABCO为菱形， ∴AC⊥OB，S△OCD=S菱形ABCO=×8=2， ∵CD⊥y轴， ∴S△OCD=|k|， 即|k|=2， 而k＜0， ∴k=-4． 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数的图像上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了菱形的性质． 13. 若关于x的方程的一个根是，则m的值为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出的值即可． 【详解】解：∵关于x的方程的一个根是， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为_____． 【答案】﹣3 【解析】 【分析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值即可． 【详解】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0， 整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3， 因为k≠0， 所以k的值为﹣3． 故答案﹣3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 15. 设，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】-5 【解析】 【分析】先由根与系数的关系得出x1+x2=-3，x1x2=-3，再将变形后代入进行计算即可. 【详解】∵x1、x2是方程x2+3x-3=0的两个实数根， ∴x1+x2=-3，x1x2=-3， ∴==-5， 故答案为-5. 【点睛】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 16. 已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为_______． 【答案】k=1 【解析】 【分析】由题意设方程x2+（2k+1）x+k2-2=0两根为x1，x2，得x1+x2=-（2k+1），x1·x2=k2-2，然后再根据两实根的平方和等于11，从而解出k值． 【详解】解：设方程x2+（2k+1）x+k2-2=0两根为x1，x2 得x1+x2=-（2k+1），x1x2=k2-2， △=（2k+1）2-4×（k2-2）=4k+9＞0， ∴k＞， ∵x12+x22=11， ∴（x1+x2）2-2x1x2=11， ∴（2k+1）2-2（k2-2）=11， 解得k=1或-3； ∵k＞， 故答案为k=1． 17. 如图，点A、D分别在函数、的图像上，点B、C在x轴上，若四边形ABCD为正方形，点A在第二象限，则A的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】设点B（b，0），点C（a，0）利用反比例函数图象上点的坐标特征表示AB、BC、CD，再根据正方形的性质求出b的值即可． 【详解】解：设点B（b，0），点C（a，0）， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴点A（b，），即OB＝−b，AB＝， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴点D（a，），即OC＝a，CD＝， 又∵ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD， 即＝a−b＝， 解得a＝，b＝， ∴点A， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，理解反比例函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质是正确解答的前提，设出点B，点C坐标，分别表示出正方形的边长是解决问题的关键． 18. 如图，过原点的直线交双曲线于A、B两点，点C在x轴上，且，若的面积为6，则k的值为_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据反比例函数的对称性和等腰三角形的性质得到S△ABC=2S△AOC=2=6，故可求解． 【详解】过点A作AE⊥OC，过点B作BD⊥OD， ∴S△AOE= 根据反比例函数的对称性可得AE=BD， 故S△ABC=S△AOC+S△OBC=×OC×AE+×OC×BD=2S△AOC ∵=AO ∴△AOC是等腰三角形， ∵AE⊥OC ∴E为CO中点 ∴S△AOC=2S△AOE=2×，则S△ABC=2S△AOC=2=6 ∴k=±3， ∵函数在一、三象限，故k=3 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的图象与性质． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A(-1，n)，B(2，-1)两点，与y轴相交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积． 【答案】（1）一次函数的表达式为y＝-x＋1，反比例函数的表达式为y＝-；（2）S△ABD＝3． 【解析】 【分析】（1）先把B点坐标代入中求出m，得到反比例函数解析式为，再利用解析式确定A点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）先利用一次函数解析式确定，利用关于x轴对称的性质得到，则轴，然后根据三角形面积公式计算即可； 【详解】解：(1)∵反比例函数的图象经过点B(2，－1)， ∴m＝－2．…… ∵点A(－1，n)在的图象上，∴n＝2．∴A(－1，2)． 把点A，B的坐标代入y＝kx＋b，得 解得， ∴一次函数的表达式为y＝－x＋1，反比例函数的表达式为； (2)∵直线y＝－x＋1交y轴于点C，∴C(0，1)． ∵点D与点C关于x轴对称，∴D(0，－1)．∵B(2，－1)，∴BD∥x轴． ∴S△ABD＝×2×3＝3． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题知识点，准确理解待定系数法求解析式是关键． 20. 如图，的直角边在轴上，，边交轴于点，点在反比例函数第一象限的图象上，所在直线的解析式为，其中点，． （1）求反比例函数和所在直线的解析式； （2）将的边直角边沿着轴正方向平移个单位长度得到线段，线段与反比例函数的图象交于点，问当为何值时，四边形是平行四边形？ 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、图形的平移、平行四边形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）先求出所在直线的解析式为，再求出点，由点在反比例函数第一象限的图象上即可得到反比例函数的解析式； （2）求出，由平移的性质得到，，得到当时，四边形是平行四边形，求得点的纵坐标为，则利用求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴所在直线的解析式为， ∵，， ∴点C的横坐标是1，当时，， ∴， ∵点在反比例函数第一象限的图象上， ∴； ∴反比例函数的解析式为. 【小问2详解】 当时，， ∴， 由平移的性质得到，， 由题意得， ∴当时，四边形是平行四边形， 由（1）知反比例函数的解析式为， 点在反比例函数第一象限的图象上，点的横坐标为， 点的纵坐标为， ， 解得， 即当为2时，四边形是平行四边形． 21. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题． 【小问1详解】 解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为． 将点和点的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 不等式的解集为：或． 【小问3详解】 解：将代入得，， 点的坐标为， ， ． 将代入得，， 点的坐标为， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点坐标为． 22. 如图，动点M在函数的图象上，过点M分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图象于点B、C，作直线，设直线的函数表达式为． （1）若点M的坐标为，①求直线的函数解析式；②点D在x轴上，点E在y轴上，且以点B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D、E的坐标； （2）连接，试探究点M在运动过程中，的面积是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）（1）①；②，或，； （2）的面积是定值，定值为． 【解析】 【分析】（1）①根据点的坐标即可求出，． 再利用待定系数法即可求出直线的函数表达式；②设，，分情况讨论：当四边形为平行四边形时，利用平行四边形的性质即可求出，，进一步可求出，；当四边形为平行四边形时，同理利用平行四边形的性质即可求出，，进一步可求出，； （2）延长与轴交于点，设，则表示出，，，，，，利用即可求出的面积是定值，定值为． 【小问1详解】 解：①∵点的坐标为，轴，轴， ∴，， 把代入中，得， ∴， 把代入中，得， ∴． 把、的坐标都代入中，得 ， 解得， ∴直线的函数表达式为：； ②设，， 当四边形为平行四边形时， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴，， 当四边形为平行四边形时， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴，． 综上，，或，； 【小问2详解】 解：的面积是定值． 延长与轴交于点， 设，则，，， ∴，，，，， ∴ ． ∴的面积是定值，定值为． 【点睛】本题考查点的坐标，一次函数和反比例函数的综合，平行四边形的性质，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，平行四边形的性质． 23. 某种服装，平均每天可以销售20件，每件赢利44元，在每件降价幅度不超过30元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要赢利1900元，每件应降价多少元？ 【答案】6元 【解析】 【分析】设每件应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售该服装获得的利润＝每件的利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设每件应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每件应降价6元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）若是该方程的根，求代数式的值． 【答案】（1）详见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先根据一元二次方程根的定义得到，再把展开得到，然后利用整体代入的方法计算． 【小问1详解】 证明：∵， ∴不论m何值，该方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：把代入方程得， 即， ∴． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式和整体代入是解题的关键． 25. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1）该款吉祥物2023年4月份到6月份销售量的月平均增长率为 （2）当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款吉祥物2023年4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，根据增长率问题的等量关系列方程求解即可； （2）设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为8400元列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物2023年4月份到6月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物2023年4月份到6月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元． 26. 已知关于的一元二次方程：． （1）求证：这个方程总有两个实数根； （2）若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的定义等， （1）运用根的判别式、平方数的非负性进行判断求证即可； （2）根据等腰三角形的定义，分类讨论，①当时，即方程两根相等；②当或者时，即是原方程的一个根；分析计算求出的三边长，计算得出的周长即可； 熟练掌握解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键． 【小问1详解】 解：在关于的一元二次方程中，，，， ∴ ， ∵ ∴无论取何值，这个方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根， ①当时，即方程两根相等， ∴， 解得：， ∴方程可化为：， 解得：， ∴， ∴三边为长分别为，，， ∵， ∴不符合三角形三边关系，不能构成三角形，故舍去； ②当或者时，即是原方程的一个根， 把代入得：， 解得：， ∴原方程可化为：， 解得：或， 即的两腰长为，底边长为， ∴的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$