精品解析：2024年江西省吉安市吉州区中考模拟预测数学试题

2024年吉州区初中学业水平模拟考试 数学试卷 考试时间：120分钟 全卷满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项，请将正确答案的代号填入题后括号内） 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 2. 若，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 3. 如图所示几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，下列说法错误的是（ ） A. 扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比 B. 每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50% C. 每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20% D. 每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是108° 5. 如图，正比例函数与一次函数的图象交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象如图所示，以下结论正确的个数为（ ） ①；②；③；④（为任意实数） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式：_______． 8. 已知一粒米的质量是千克，用科学记数法表示为________． 9. 如图，中，，，点，分别是，的中点，点在上，且，则________． 10. 如图，电路图上有3个开关和1个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发亮． 任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率是________． 11. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是______． 12. 如图，等边的边长为4，若点绕点旋转后，恰好与的某边上的点重合，则点的坐标是______． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，点B，C，E在同一直线上．求证：． 14. 已知菱形的边长是5，两条对角线交于点O，且的长分别是关于x的方程的两根． （1）求m的值； （2）求菱形的面积． 15. 吉安高铁站开通后，旅客在网购车票时，系统是随机分配座位的，王某和李某打算购买从吉安西到南昌西的高铁车票（如图所示，一排中的座位编号为A，B，C，D，F）．假设系统已将两人的位置分配到同一排后，在同一排分配各个座位的机会是均等的． （1）“系统分给这两个人A，G座位”是______（填“必然”或“不可能”或“随机”）事件； （2）利用画树状图或列表格，求系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率． 16. 请你仅用无刻度的直尺在下面的图中作出△ABC 的边 AB 上的高 CD． (1)如图①，以等边三角形 ABC 的边 AB 为直径的圆，与另两边 BC、AC 分别交于点 E、F． (2)如图②，以钝角三角形 ABC 的一短边 AB 为直径的圆，与最长的边 AC 相交于点 E． 17. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，，． （1）求反比例函数的解析式； （2）点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，且，求点C的坐标． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某超市需购进某种商品，每件的进价为元．该商品的销售单价不低于进价，且不高于元，在销售过程中发现，该商品的日销售量件与销售单价元之间存在一次函数关系，，之间的部分数值对应关系如下表： （1）求与之间的函数关系式； （2）设该商品的日销售利润为元，求与之间的函数关系式．当该商品的销售单价为多少元时，销售这种商品的日销售利润最大?最大利润是多少? 19. 如图1，是一款常见的海绵拖把，图2是其平面示意图，EH是拖把把手，F是把手的一个固定点，海绵安装在两片活动骨架PA，PB上，骨架的端点P只能在线段FH上移动，当海绵完全张开时，PA，PB分别与HMHN重合；当海绵闭合时，PA，PB与FH重合．已知直杆EH=120cm，FH=20cm． (1)若∠APB=90°，求EP的长(结果保留根号) (2)若∠APB=26°，求MA的长(结果保留小数点后一位) (3)海绵从完全张开到闭合的过程中，直接写出PA的中点Q运动的路径长．(参考数据：sin13°≈0.225，cos13°≈0.974，tan13°≈0.231，π取3.14) 20. 某校七、八年级各有700名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试．统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及以上为优秀），相关数据统计、整理如下：七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10； 七、八年级抽取学生的测试成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8 8 众数 a 7 中位数 8 b 优秀率 八年级抽取学生的测试成绩条形统计图 （1）填空： _______， _______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好?请说明理由（写出一条即可）； （3）请估计七、八年级学生对党史知识的掌握能够达到优秀的总人数． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. 知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c． ∵， ∴， ∴ （1）拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程． （2）解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离． 六、（本大题共12分） 23. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C． （1）求该二次函数的表达式； （2）连接，在该二次函数图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由； （3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线，分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年吉州区初中学业水平模拟考试 数学试卷 考试时间：120分钟 全卷满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项，请将正确答案的代号填入题后括号内） 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数的定义（两个非零数相乘积为1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）求解． 【详解】解：-2的倒数是-， 故选：B． 【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数等知识点的掌握． 2. 若，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】先求出k的取值范围，再根据一元二次方程根的判别式判断即可解答． 【详解】解：得，即， ∴方程根的判别式． ∴方程没有实数根． 故选A． 【点睛】本题考查解一元一次不等式、一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键． 3. 如图所示几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】俯视图是从上面观察几何体得出的平面图形，观察几何体得出答案即可． 【详解】解： 的俯视图是 ， 故选C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是掌握三视图中能看到的边用实线，看不到的边用虚线． 4. 根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，下列说法错误的是（ ） A. 扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比 B. 每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50% C. 每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20% D. 每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是108° 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形统计图中的百分比的意义逐一判断即可得． 【详解】解：A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比，此选项正确； B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子的百分比为，超过，此选项正确； C.每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占，此选项错误； D.每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是，此选项正确； 故选C． 【点睛】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数． 5. 如图，正比例函数与一次函数的图象交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】只需要找到一次函数图象在正比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵正比例函数与一次函数的图象交于点， ∴， ∴， 由函数图象可知当时，一次函数图象在正比例函数图象上方， ∴不等式的解集为， 故选B． 【点睛】本题主要考查了用图象法求不等式的解集，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 6. 二次函数的图象如图所示，以下结论正确的个数为（ ） ①；②；③；④（为任意实数） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，由抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到，则可对①进行判断；利用，得到，则，于是可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，则可对③进行判断；由于时，y有最小值，则可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ∴， ∴，所以①正确； ∵时，， ∴， ∴， ∴，所以②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， 即，所以③正确； ∵时，y有最小值， ∴（m为任意实数）， ∴，所以④错误； 综上，①②③正确， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象与性质等知识，涉及的知识点有抛物线的对称轴、抛物线与y轴的交点、二次函数的最值等，是重要考点，难度较易，掌握二次函数图象与性质是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的知识，灵活运用提公因式法和完全平方公式是解答本题的关键． 先提取公因式x，再利用完全平方公式即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 已知一粒米的质量是千克，用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，熟记科学记数法的方法是解题的关键．确定，即可． 【详解】解： 故答案为：． 9. 如图，中，，，点，分别是，的中点，点在上，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据三角形中位线的定理，得出的长，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出的长，最后根据，即可算出答案． 【详解】∵点，分别是，的中点 ∴为的中位线 ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴在 点是的中点 ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中位线定理即应用，直角三角形的性质，本题解题的关键在熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 10. 如图，电路图上有3个开关和1个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发亮． 任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】直接由概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：闭合开关或者同时闭合开关、，都可使小灯泡发光， 任意闭合其中一个开关共有3种等可能的结果，小灯泡发光的只有闭合这1种结果， 小灯泡发光的概率为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．此题比较简单，注意概率所求情况数与总情况数之比． 11. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，过作于，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是． 【详解】解：过作于， 由题意得：，，， 平分， ， ∵， ， ， ， 、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ， 的长度是． 故答案为：． 12. 如图，等边的边长为4，若点绕点旋转后，恰好与的某边上的点重合，则点的坐标是______． 【答案】，或 【解析】 【分析】如图，以为圆心，为半径作，交于，交于，交于，过作于，过作于，则，由等边，可得，，则，，；由，可知，则为的中点，，则，，，则；由，可得． 【详解】解：如图，以为圆心，为半径作，交于，交于，交于，过作于，过作于，则， ∵等边， ∴，， ∴，， ∴； ∵， ∴，则为的中点，， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴； 综上所述，点的坐标是，，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，余弦、正弦，坐标与图形等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，点B，C，E在同一直线上．求证：． 【答案】（1）； （2）证明：∵，即，且， ∴． 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，三角形外角的性质，三角形相似的判定． （1）代入特殊三角函数之，计算零指数幂，分母有理化，再化简绝对值，最后计算加减； （2）根据三角形外角的性质得到，进而得到，根据，推出，即可证明结论． 【详解】（1）解：原式 ； （2）略 14. 已知菱形的边长是5，两条对角线交于点O，且的长分别是关于x的方程的两根． （1）求m的值； （2）求菱形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的判别式及解一元二次方程． （1）根据菱形的性质得到，由一元二次方程根与系数的关系及根的判别式即可解答； （2）由（1）知m的值，代入方程，解一元二次方程，求出的值，即可解答． 【小问1详解】 解：菱形中，， 由直角三角形的三边关系可得：， 的长分别是关于x的方程的两根 ，， ∴， 整理得：， 解得：或5． 又∵， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：将m的值代入方程得：． 解得，． ∴菱形的面积． 15. 吉安高铁站开通后，旅客在网购车票时，系统是随机分配座位的，王某和李某打算购买从吉安西到南昌西的高铁车票（如图所示，一排中的座位编号为A，B，C，D，F）．假设系统已将两人的位置分配到同一排后，在同一排分配各个座位的机会是均等的． （1）“系统分给这两个人A，G座位”是______（填“必然”或“不可能”或“随机”）事件； （2）利用画树状图或列表格，求系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率． 【答案】（1）不可能 （2）系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率是． 【解析】 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，概率公式、事件的分类等知识，熟练掌握树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）一排中的座位编号为A，B，C，D，F，不存在编号为G的座位，即可得到“系统分给这两个人A，G座位”是不可能事件； （2）列出表格，得到系统分配给王某和李某相邻座位共有20种等可能的情况，其中相邻座位共有6种等可能情况，根据概率公式计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵一排中的座位编号为A，B，C，D，F，不存在编号为G的座位， ∴“系统分给这两个人A，G座位”是不可能事件， 故答案为：不可能； 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有20种等情况数，其中相邻座位的情况数有6种， 则系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率是． 16. 请你仅用无刻度的直尺在下面的图中作出△ABC 的边 AB 上的高 CD． (1)如图①，以等边三角形 ABC 的边 AB 为直径的圆，与另两边 BC、AC 分别交于点 E、F． (2)如图②，以钝角三角形 ABC 的一短边 AB 为直径的圆，与最长的边 AC 相交于点 E． 【答案】 （1）如图所示，CD 即为所求； （2）如图，CD 即为所求． 【解析】 【分析】（1）连接AE、BF，找到△ABC的高线的交点，据此可得CD； （2）延长CB交圆于点F，延长AF、EB交于点G，连接CG，延长AB交CG于点D，据此可得． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查作图-基本作图，解题的关键熟练掌握圆周角定理和三角形的三条高线交于一点的性质． 17. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，，． （1）求反比例函数的解析式； （2）点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，且，求点C的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正切值，求出，进而得到，即可求出反比例函数的解析式； （2）过点A作轴于点E，易证四边形是矩形，得到，，再证明是等腰直角三角形，得到，进而得到，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，联立反比例函数和一次函数，即可求出点C的坐标． 【小问1详解】 解：轴， ， ， ， ， ， ， 点A在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点A作轴于点E， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为， 点A、C是反比例函数和一次函数的交点， 联立，解得：或， ， ． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了锐角三角函数值，矩形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数和一次函数交点问题等知识，求出直线的解析式是解题关键． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某超市需购进某种商品，每件的进价为元．该商品的销售单价不低于进价，且不高于元，在销售过程中发现，该商品的日销售量件与销售单价元之间存在一次函数关系，，之间的部分数值对应关系如下表： （1）求与之间的函数关系式； （2）设该商品的日销售利润为元，求与之间的函数关系式．当该商品的销售单价为多少元时，销售这种商品的日销售利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1） （2）当定价为元时，日销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求一次函数的表达式即可； （2）根据日销售利润单件利润日销售量，列出与之间的函数关系式，进一步求解即可； 【小问1详解】 解：设，由题意得： 解得： ∴ 【小问2详解】 解：由题意得： 此二次函数的对称轴为直线： ∵ ∴当时，w随x的增大而增大； ∴时， ∴当定价为元时，日销售利润最大，最大利润是元 【点睛】本题考查了求一次函数的表达式、二次函数的实际应用、二次函数的性质；熟练根据题意列出相对应的函数表达式是解题的关键． 19. 如图1，是一款常见的海绵拖把，图2是其平面示意图，EH是拖把把手，F是把手的一个固定点，海绵安装在两片活动骨架PA，PB上，骨架的端点P只能在线段FH上移动，当海绵完全张开时，PA，PB分别与HMHN重合；当海绵闭合时，PA，PB与FH重合．已知直杆EH=120cm，FH=20cm． (1)若∠APB=90°，求EP的长(结果保留根号) (2)若∠APB=26°，求MA的长(结果保留小数点后一位) (3)海绵从完全张开到闭合的过程中，直接写出PA的中点Q运动的路径长．(参考数据：sin13°≈0.225，cos13°≈0.974，tan13°≈0.231，π取3.14) 【答案】(1)(120﹣10)cm；(2)15.5(cm)；(3)15.7(cm) 【解析】 【分析】(1)当海绵完全张开时，PA，PB分别与HMHN重合；当海绵闭合时，PA，PB与FH重合，得出PA=PB=FH=HM=HN=20，证明△APB是等腰直角三角形，由题意知，EH⊥MN，得出△APH也是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出PA= PH，得出PH= PA=，即可得出答案； (2)由等腰三角形的性质得出∠APH=∠BPH，得出∠APH=∠APB==13°，AH=PA•sin13°≈20×0.225=4.5，即可得出答案； (3)由直角三角形斜边上的中线性质得出HQ始终等于PA=10cm，得出Q运动的轨迹是以H为圆心，半径为10cm的90°圆弧，由弧长公式即可得出答案． 【详解】(1)∵当海绵完全张开时，PA，PB分别与HMHN重合； 当海绵闭合时，PA，PB与FH重合， ∴PA=PB=FH=HM=HN=20， ∵∠APB=90°， ∴△APB是等腰直角三角形， 由题意知，EH⊥MN， ∴△APH也是等腰直角三角形， ∴PA=PH， ∴PH=PA=×20=10， ∴EP=EH﹣PH=(120﹣10)cm； (2)∵PA=PB，EH⊥MN， ∴∠APH=∠BPH， ∴∠APH=∠APB=×26°=13°， AH=PA•sin13°≈20×0.225=4.5， ∴MA=HM﹣AH=20﹣4.5=15.5(cm)； (3)∵EH⊥MN，Q是PA的中点， ∴HQ始终等于PA=10cm， ∴Q运动的轨迹是以H为圆心，半径为10cm的90°圆弧， ∴点Q运动的路径长=≈=15.7(cm) 【点睛】本题考查了轨迹、解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、弧长公式等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 20. 某校七、八年级各有700名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试．统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及以上为优秀），相关数据统计、整理如下：七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10； 七、八年级抽取学生的测试成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8 8 众数 a 7 中位数 8 b 优秀率 八年级抽取学生的测试成绩条形统计图 （1）填空： _______， _______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好?请说明理由（写出一条即可）； （3）请估计七、八年级学生对党史知识的掌握能够达到优秀的总人数． 【答案】（1）8，8 （2） 七年级的众数是8，八年级的众数是7，七年级的优秀率为，八年级的优秀率为， ∴七年级的学生党史知识掌握得较好． （3）980人 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关知识，掌握众数，中位数的计算方法，根据数据作决策，运用样本百分比估算总体数量的方法是解题的关键． （1）根据众数，中位数的计算方法即可求解； （2）根据统计数据作决策即可； （3）根据样本百分比估算总体数据即可求解． 【小问1详解】 解：七年级抽取学生的成绩中8分出现次数最多，所以众数为8； 由图可知，八年级的中位数是第8名同学的成绩，即8， 故答案为：8；8 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人） 答：估计七、八年级学生对党史知识的掌握能够达到优秀的总人数有980人． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图所示： 是的直径， ， ， 又， ， 又． ，即， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形及相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提． （1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案； （2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 在中，，， ，则， ， ，， ， ， 设，则，， ，即， 解得或（舍去）， ． 22. 知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c． ∵， ∴， ∴ （1）拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程． （2）解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离． 【答案】（1）， 证明：作CD⊥AB于点D，AC⊥BC于点E． 在RtΔABE中，， 同理：， ． ． ． ． ． （2）米 【解析】 【分析】拓展研究：作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，根据正弦的定义得AE = csinB， AE= bsin∠BCA，CD= asinB，CD = bsin∠BAC，从而得出结论； 解决问题：由拓展探究知， 代入计算即可． 【小问1详解】 （拓展探究）略 【小问2详解】 （解答问题）解：在ΔABC中， ∴ 解得： 答：点A到点B的距离为m． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，对于锐角三角形，利用正弦的定义，得出是解题的关键． 六、（本大题共12分） 23. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C． （1）求该二次函数的表达式； （2）连接，在该二次函数图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由； （3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线，分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，分情况讨论，①过点作关于的对称点，即可求P的坐标，②轴上取一点，使得，则，设，根据勾股定理求得，建列方程，解方程求解即可； （3）设，，过点作轴于点，则，证明，根据相似三角形的性质列出比例式求得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵由二次函数，令，则， ， 过点，， 设二次函数的表达式为， 将点代入得， ， 解得， ， 【小问2详解】 二次函数的图象经过点，， 抛物线的对称轴为， ①如图，过点作关于的对称点， ， ， ， ， ②轴上取一点，使得，则，设， 则， ， 解得， 即， 设直线CD的解析式为， ， 解得， 直线CD的解析式为， 联立， 解得或， ， 综上所述，或， 【小问3详解】 的值是定值， 设，， 过点作轴于点，则， ， ， ， ， ， 即， ，， ， ， ． 即的值是定值 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，角度问题，相似三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $