精品解析：河南省信阳市光山县慧泉中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试题

2024-2025学年河南省信阳市光山县慧泉中学九年级（上）开学数学试卷 一、选择题 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项． 【详解】解：∵ 一元二次方程是只含一个未知数且最高次数为2的整式方程， 选项A: 中含有分式，不是整式方程，∴ 不符合； 选项B: 中，a可能为0，当时不是二次方程，∴ 不一定是一元二次方程； 选项C: 可化为，是整式方程，只含x且最高次数为2，∴ 符合； 选项D: 中含有两个未知数x和y，∴ 不是一元二次方程． 故选：C． 2. 方程的根的情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】将原方程整理为一般形式，然后根据一元二次方程的根的判别式分析判断即可． 【详解】解：将方程整理为一般形式， 可得， ∵， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了判断一元二次方程的根的情况，理解并掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键． 3. 若 是方程的一个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，把代入方程得到，再把代入代数式即可求解，掌握一元二次方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选： ． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标． 【详解】解：∵为抛物线的顶点式， ∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了求抛物线的顶点坐标，掌握抛物线顶点式的特点是解题的关键． 5. 已知抛物线与x轴交于，两点，则线段的长度为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是根据抛物线的对称轴求出点A的坐标； 先求出抛物线的对称轴，再根据，两点，关于直线 对称，求出A点的坐标，即可得出答案． 【详解】解： 的对称轴为， 与关于直线 对称．A点的坐标是∶， 线段的长度； 故选：B． 6. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 当x>1时，y随x的增大而减小 C. 当x<1时，y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线x=－1 【答案】C 【解析】 【分析】把二次函数化为顶点式的形式，根据二次函数的性质进行解答． 【详解】解：二次函数， A、∵此二次函数中a=2＞0，∴抛物线开口向上，故本选项错误，不符合题意； B、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故本选项错误，不符合题意； C、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，故本选项正确； D、由二次函数的解析式可知抛物线对称轴为x=1，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题二次函数图象的性质，掌握将二次函数交点式化为顶点式，并结合二次函数图象分析性质是解题关键． 7. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧．已知第一天票房约为 亿元，前三天票房累计约亿元．若每天票房的增长率都为 ，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，若每天票房的增长率都为 元，第二天的票房为元，第三天的票房为元，据此可列方程即可，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：若每天票房的增长率都为 元，则第二天的票房为元，第三天的票房为元， 由题意得，， 故选：． 8. 已知二次函数中，其函数 与自变量 之间的部分对应值如下表所示： … 0 1 2 3 4 … … 4 1 0 1 4 … 点、在函数的图象上，则当时，与的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，关键是由表格判断自变量取值范围内，函数值的大小．由表格可知，，，由此可判断与的大小． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴． 故选：B． 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数图象的性质，根据二次函数的性质首先排除B选项，再根据a、b的值的正负，结合二次函数和一次函数的性质逐个检验即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知二次函数的图象经过原点，故B选项错误； 当时，二次函数的图象开口向下，一次函数中a为负值，故D选项错误； 当时，二次函数的对称轴，一次函数与 轴的交点应该在y轴正半轴，故C选项错误； 当时，二次函数的对称轴，一次函数与y轴的交点应该在y轴负半轴，故A选项正确． 故选：A． 10. 关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1，x2，若x2＝2x1，则4b﹣3ac的最大值是（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2=-，由x2=2x1得出3x1=-，即x1=-，可解出x2，由两根之积x1x2=可得c=，代入代数式即可得到4b-3ac==4b-=-（b-3）2+6，从而求得4b-3ac的最大值是6． 【详解】解：∵关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根x1、x2， ∴x1+x2=-，x1x2=， ∵x2=2x1， ∴3x1=-，即x1=-， ∴x2=-， ∴==， ∴9ac=2b2， ∴c= ∴4b-3ac=4b-3a• =4b-=-（b-3）2+6， ∵-＜0， ∴4b-3ac的最大值是6， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是根据两根之和和两根之积，找到a、b、c之间的关系，再代入所求的式子运用配方法配方求出最大值． 二、填空题 11. 将抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+2向左平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式为___________． 【答案】y＝﹣3x2+2 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【详解】解：将抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+2向左平移1个单位长度后， 得到的抛物线解析式为：y＝﹣3（x+1﹣1）2+2，即y＝﹣3x2+2． 故答案为：y＝﹣3x2+2． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 12. 若一元二次方程可以配方成的形式，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤得出p、q的值，据此可得答案． 【详解】解：∵-6x+1=0， ∴-6x=-1， ∴-6x+9=-1+9，即， ∴p=-3，q=-8， 则p+q=-3-8=-11， 故答案为：-11． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 13. 已知一个二次函数图象开口向上，对称轴为直线 ，请写出一个满足条件的二次函数的解析式_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意，写出，且的一个二次函数解析式即可求解． 【详解】解：依题意，一个二次函数图象开口向上，对称轴为直线 的二次函数解析式为， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 14. 如图是二次函数y=ax2-x+a2-1的图象,则a的值是___.  【答案】1 【解析】 【详解】根据题图可知，将原点O（0，0）代入函数得：0= a2-1， 解得：a=±1， ∵二次函数图象开口向上， ∴a＞0， ∴a=1. 故答案为1. 15. 有一长方形条幅，长为，宽为，四周镶上宽度相等的花边，则剩余面积与花边宽度之间的函数关系式为 _____，自变量x的取值范围为 _____． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】主要考查了二次函数的实际运用．用含 的代数式表示出剩余面积的长和宽，再根据长方形的面积公式即可得到剩余面积与花边宽度之间的函数关系式，再根据花边宽度， 倍的花边宽度长方形的宽即可求得x的取值范围． 【详解】解：由题可知：剩余面积的长与宽分别为：和， 剩余面积， ，， ， 故答案为：，． 三、解答题 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】方程两边都除以 ，再开方，即可得出两个一元一次方程，最后求出方程的解即可； 移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【小问1详解】 ， ， 开方得：， 解得：，； 【小问2详解】 ， 移项，得， 配方，得， ， 开方，得， 解得：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． 17. 已知二次函数的图象如图所示． （1）求这个二次函数的解析式； （2）根据图象直接回答：当x为何值时，． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）把函数解析式设为顶点式，然后代入点进行求解即可； （2）根据当时，二次函数图象在x轴下方进行求解即可． 【小问1详解】 解：设这个二次函数解析式为， 把点代入中得：， ∴， ∴这个二次函数的解析式为 【小问2详解】 解；由题意得，当或 时，． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，图象法解不等式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 18. 已知关于 的一元二次方程： （1）求证：不论 为何实数，方程总有实数根． （2）当时，此方程的两个根分别是菱形两条对角线长，求菱形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）菱形的面积是 【解析】 【分析】（1）先计算判别式的值，再利用配方法得到，则，然后根据判别式的意义可得到结论； （2）当时，方程为，设方程的两根分别为，，则根据根与系数关系可得，然后根据菱形的面积公式求解． 【小问1详解】 证明：∵ ， ∴不论 为何实数，一元二次方程总有实数根； 【小问2详解】 解：当时，方程为， 设方程的两根分别为，， 由根与系数关系可得， ∴． ∴菱形的面积是． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．也考查了根的判别式和菱形面积的计算． 19. 如图，已知抛物线经过、两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，顶点坐标的求法，坐标系中三角形的面积以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法求得解析式． （1）将、两点代入，解得b、c即可得到解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）设点，根据三角形面积公式以及，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得到P点坐标． 【小问1详解】 将、两点代入， ， 解得， 抛物线解析式为， ， 顶点坐标为； 【小问2详解】 、， ， 设点，则， ， 当时，， 解得，， 此时或； 当时，， 此时方程无解； 综上所述，P点坐标为或． 20. 如图，在 中，，，，点P从点A出发沿边向点C以的速度移动，点Q从C点出发沿 边向点B以的速度移动． （1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使的面积为8平方厘米？ （2）点P、Q在移动过程中，是否存在某时刻，使得的面积等于 的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 【答案】（1）当2秒或4秒时，面积可为8平方厘米 （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式的求法，和一元二次方程的解的情况． （1）设x秒钟后，可使的面积为8平方厘米，用x表示出的边长，根据面积是8可列方程求解． （2）假设y秒时，的面积等于 的面积的一半，列出方程看看解的情况，可知是否有解． 【小问1详解】 设x秒钟后，可使的面积为8平方厘米，由题意得： ， 或 ， 当2秒或4秒时，面积可为8平方厘米； 【小问2详解】 不存在． 理由：设y秒时，的面积等于 的面积的一半，由题意得： ． ． 方程无实数根，所以不存在． 21. 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； （3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案： 方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元； 方案B：每件文具的利润不低于25元且不高于29元． 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由． 【答案】（1）w＝﹣10x2+700x﹣10000 （2）当单价为35元时，该文具每天的利润最大 （3）A方案利润更高，理由见解析 【解析】 【分析】（1），根据利润＝（销售单价﹣进价）×销售量，列出函数关系式即可； （2），根据（ 1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值； （3），确定两个方案的自变量取值范围，再求出利润，比较即可. 【小问1详解】 由题意得，销售量＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500， 则w＝（x﹣20）（﹣10x+500） ＝﹣10x2+700x﹣10000； 【小问2详解】 w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250． ∵﹣10＜0， ∴函数图象开口向下，w有最大值， 当x＝35时，w最大＝2250， 故当单价为35元时，该文具每天的利润最大； 【小问3详解】 A方案利润高．理由如下： A方案中：20＜x≤30， 故当x＝30时，w有最大值， 此时wA＝2000； B方案中： 故x的取值范围为：45≤x≤49， ∵函数w＝﹣10（x﹣35）2+2250，对称轴为直线x＝35， ∴当x＝45时，w有最大值， 此时wB＝1250， ∵wA＞wB， ∴A方案利润更高． 【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了列二次函数关系式，二次函数的图象和性质，求二次函数的极值等，根据等量关系列出关系式是解题的关键． 22. 如图，一小球 从斜坡 上的 点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画.若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）在斜坡 上的 点有一棵树， 点的横坐标为2，树高为4，小球 能否飞过这棵树？通过计算说明理由； （3）求小球 在飞行的过程中离斜坡 的最大高度． 【答案】（1）； （2） 小球M能飞过这棵树； 理由：当 时，， ∵， ∴小球 能飞过这棵树； （3）小球 在飞行的过程中离斜坡 的最大高度为． 【解析】 【分析】（1）根据最高点的坐标为，设抛物线解析式为，再将代入求解； （2）把 分别代入和即可得到答案； （3）根据二次函数的性质即可得到结论． 【小问1详解】 小球到达的最高的点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 把代入得，， 解得：； ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 小球 在飞行的过程中离斜坡 的高度， ∴小球 在飞行的过程中离斜坡的最大高度为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键． 23. 如图，在的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P，Q分别从点F，A出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点E时，两个点都停止运动． （1）请你在图1中，画出2秒时的线段 ； （2）如图2，在动点P，Q运动的过程中，当运动时间为何值时，？ （3）在动点P，Q运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，请求出相应的时间t；若不能，请说明理由． 【答案】（1）作图见解析 （2） （3）存在，秒或秒 【解析】 【分析】本题考查作图，坐标与图形变化——平移，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识，掌握点的运动过程． （1）根据点P、Q的运动速度求出运动的路程，再根据的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，即可画出2秒时线段即可； （2）构建方程求解即可． （3）过点Q作于H，根据勾股定理得出， ，，分三种情形，分别构建方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，点P运动的路程为：（个单位），点Q运动的路程为：（个单位）， ∵网格纸中，每个小正方形的边长都为1， ∴2秒时线段如图所示： ， 【小问2详解】 t秒时，点P运动的路程为：t个单位，点Q运动的路程为个单位， 过点Q作于H， 则个单位，个单位，个单位，个单位， 依题意得：四边形为矩形， ∴，个单位，个单位， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴个单位，个单位， ∴个单位， ， 当时 ， 解得或（舍去）． 【小问3详解】 由（2）得 个单位，个单位，个单位，个单位， 个单位，个单位，个单位， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 又由，分三种情况讨论如下： ①当时，， 整理得：， 解得：或（不合题意，舍去）， ②当时，， 整理得：， 解得：， ③当时，， 整理得：， ∵判别式， ∴方程没有实数根， ∴不存在． 综上所述：当秒或秒时，是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年河南省信阳市光山县慧泉中学九年级（上）开学数学试卷 一、选择题 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的根的情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 3. 若 是方程的一个根，则（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线与x轴交于，两点，则线段的长度为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 当x>1时，y随x的增大而减小 C. 当x<1时，y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线x=－1 7. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧．已知第一天票房约为 亿元，前三天票房累计约亿元．若每天票房的增长率都为 ，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数中，其函数与自变量 之间的部分对应值如下表所示： … 0 1 2 3 4 … … 4 1 0 1 4 … 点、在函数的图象上，则当时，与的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（　　） A. B. C. D. 10. 关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1，x2，若x2＝2x1，则4b﹣3ac的最大值是（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 二、填空题 11. 将抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+2向左平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式为___________． 12. 若一元二次方程可以配方成的形式，则代数式的值为______． 13. 已知一个二次函数图象开口向上，对称轴为直线 ，请写出一个满足条件的二次函数的解析式_______． 14. 如图是二次函数y=ax2-x+a2-1的图象,则a的值是___.  15. 有一长方形条幅，长为，宽为，四周镶上宽度相等的花边，则剩余面积与花边宽度之间的函数关系式为 _____，自变量x的取值范围为 _____． 三、解答题 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知二次函数的图象如图所示． （1）求这个二次函数的解析式； （2）根据图象直接回答：当x为何值时，． 18. 已知关于 的一元二次方程： （1）求证：不论 为何实数，方程总有实数根． （2）当时，此方程的两个根分别是菱形两条对角线长，求菱形的面积． 19. 如图，已知抛物线经过、两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 20. 如图，在 中，，，，点P从点A出发沿边 向点C以的速度移动，点Q从C点出发沿 边向点B以的速度移动． （1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使的面积为8平方厘米？ （2）点P、Q在移动过程中，是否存在某时刻，使得的面积等于 的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 21. 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； （3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案： 方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元； 方案B：每件文具的利润不低于25元且不高于29元． 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由． 22. 如图，一小球 从斜坡上的 点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画.若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）在斜坡上的 点有一棵树， 点的横坐标为2，树高为4，小球 能否飞过这棵树？通过计算说明理由； （3）求小球 在飞行的过程中离斜坡的最大高度． 23. 如图，在的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P，Q分别从点F，A出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点E时，两个点都停止运动． （1）请你在图1中，画出2秒时的线段 ； （2）如图2，在动点P，Q运动的过程中，当运动时间为何值时，？ （3）在动点P，Q运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，请求出相应的时间t；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $