精品解析：湖北省孝感市孝昌县邹岗镇初级中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

孝昌县邹岗中学2024年秋季九年级入学摸底考试数学试题 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 下列方程①，②，③，④，⑤中，一定是一元二次方程有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列说法中错误的是（　　） A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的矩形是菱形 D. 对角线相等的四边形是矩形 3. 方程2x2﹣3x﹣＝0的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 下列计算正确的是（　　　） A. B. C. D. 5. 根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（ ） x A. B. C. D. 6. 据统计，某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5，5，6，6，6，7，7，下列说法错误的是（ ） A. 该组数据的中位数是6 B. 该组数据的众数是6 C. 该组数据的平均数是6 D. 该组数据的方差是6 7. 二次根式中，字母a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在 中，，则 的周长是（ ） A. 20 B. 25 C. 28 D. 32 10. 如图，已知函数和的图象交于点 ，则时的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 方程化成一般形式是，其中一次项系数是 ________． 12. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______． 13. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间只比赛一场），计划安排场比赛，求应邀请多少支球队参加比赛，设应邀请支球队参加比赛，则可列方程为______. 14. 已知是关于的方程的一个根，则______． 15. 已知一元二次方程x2﹣8x+15＝0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为_____． 三、解答题（共75分） 16. 计算∶ 17. 解方程： （1） （2） 18. 已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF． 19. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 20. 为促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的体育活动．为了解学生引体向上的训练成果，调查了七年级部分学生，根据成绩，分成了 四组，制成了不完整的统计图．分组： ， ， ， ． （1） 组的人数为______： （2）七年级400人中，估计引体向上每分钟不低于10个的有多少人？ （3）从众数、中位数、平均数中任选一个，说明其意义． 21. 沈阳街头随处可见单车出行，单车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，据统计2021年某区8月份租用单车次数6400辆，10月份租用单车次数10000辆． （1）若该区2021年8月至10月的单车租用次数的月平均增长率相同，求该区单车租用次数的月平均增长率是多少？ （2）若单车租用次数的月平均增长率保持不变，预计该区11月份单车次数租用　 　辆． 22. 如图，要建一个矩形仓库 ，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道 宽的门，现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完），若设为x米． （1）的长为 米（用含x的代数式表示） （2）若仓库的面积为150平米，求； （3）仓库的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由． 23. 商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件． （1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？ （2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 24. 如图， 、 、、为矩形的四个顶点，，，动点 、 分别从点 、同时出发，点 以的速度向点 移动，一直到达 为止，点 以的速度向移动． （1） 、 两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为； （2） 、 两点从出发开始到几秒时，点 和点 的距离第一次是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 孝昌县邹岗中学2024年秋季九年级入学摸底考试数学试题 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 下列方程①，②，③，④，⑤中，一定是一元二次方程有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：①，是一元二次方程； ②，含有3次项，不是一元二次方程； ③，当时，原方程不是一元二次方程； ④，含有2个未知数，不是一元二次方程， ⑤，是分式方程，不是一元二次方程， 故选A 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程，需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次． ． 2. 下列说法中错误的是（　　） A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的矩形是菱形 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形，菱形的判定方法进行判定即可. 【详解】A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形,正确. B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形,正确. C. 对角线互相垂直的矩形是菱形,正确. D. 对角线相等的四边形是矩形,错误，例如：等腰梯形. 故选D. 【点睛】要根据矩形、菱形的判定方法，进行选择．熟记矩形和菱形的判定方法是解决本题的关键. 3. 方程2x2﹣3x﹣＝0的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据一元二次方程根的判别式求出的值即可作出判断． 【详解】∵方程中，＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣）＝9+12＝21＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握判别式的符号与一元二次方程的实数根的关系是本题的关键． 4. 下列计算正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质可以判断A；根据二次根式的乘法法则可以判断B；根据算术平方根的定义可以判断C；根据二次根式的乘法法则可以判断D，从而得到答案． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质、二次根式的乘法、算术平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5. 根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（ ） x A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在该区间内有一个解，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解此题的关键． 【详解】解：令， 由表格可得：当时，，当时，， 即在范围内，的值由负变正， ∴方程的一个解的范围是． 故选：C． 6. 据统计，某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5，5，6，6，6，7，7，下列说法错误的是（ ） A. 该组数据的中位数是6 B. 该组数据的众数是6 C. 该组数据的平均数是6 D. 该组数据的方差是6 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数、平均数、中位数、方差的定义和公式分别进行计算即可． 【详解】解：A、把这些数从小到大排列为：5，5，6，6，6，7，7，则中位数是6，故本选项说法正确，不符合题意； B、∵6出现了3次，出现的次数最多，∴众数是6，故本选项说法正确，不符合题意； C、平均数是（5+5+6+6+6+7+7）÷7＝6，故本选项说法正确，不符合题意； D、方差=×[2×（5−6）2＋3×（6−6）2＋2×（7−6）2]＝，故本选项说法错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了众数、平均数、中位数、方差．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． 7. 二次根式中，字母a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，列不等式求解． 【详解】解：根据题意，得 a+2≥0，解得a≥-2． 故选：A． 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，属于基础知识． 8. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程：增长率问题(一元二次方程的应用)，因为设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，七月份生产零件50万个，所以八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，结合第三季度生产零件196万个，进行列式，即可作答． 【详解】解：∵设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，七月份生产零件50万个 ∴八月份生产零件万个，九月份生产零件万个， ∵第三季度生产零件196万个 ∴ 故选：C 9. 如图，在中，，则 的周长是（ ） A. 20 B. 25 C. 28 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角线互相平分，求出的长，再根据周长公式，进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴ 的周长是； 故选A． 10. 如图，已知函数和的图象交于点 ，则时的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，根据图象即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：∵函数和的图象交点为， ∴当时，， 故选：． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 方程化成一般形式是，其中一次项系数是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式的定义解答即可． 【详解】解：∵方程化成一般形式是， ∴其中一次项系数是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 12. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式的意义列不等式求解即可． 【详解】由题意，得 ，且， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式的意义，解题的关键是记住：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． 13. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间只比赛一场），计划安排场比赛，求应邀请多少支球队参加比赛，设应邀请支球队参加比赛，则可列方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．赛制为单循环形式每两队之间都赛一场，个球队比赛总场数，由此可得出方程． 【详解】设邀请个队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛， 由题意得，， 故答案为：． 14. 已知是关于的方程的一个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，可得，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，整体代入是解题的关键． 15. 已知一元二次方程x2﹣8x+15＝0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为_____． 【答案】11或13 【解析】 【分析】将已知方程左边的多项式分解因式，再利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到x的值，分两种情况考虑，分别求出周长即可． 【详解】解：x2﹣8x+15＝0， 分解因式得：（x﹣3）（x﹣5）＝0， 可得x﹣3＝0或x﹣5＝0， 解得：x1＝3，x2＝5， 若3为底边，5为腰时，三边长分别为3，5，5，周长为3+5+5＝13； 若3为腰，5为底边时，三边长分别为3，3，5，周长为3+3+5＝11， 综上，△ABC的周长为11或13． 故答案为11或13 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，三角形的三边关系，以及等腰三角形的性质，求出方程的解是解本题的关键． 三、解答题（共75分） 16. 计算∶ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算及二次根式的运算，熟练掌握绝对值的化简，二次根式的乘法和加法运算，零指数幂是解题的关键；根据绝对值的化简，二次根式的乘法和加法运算，零指数幂求解即可； 【详解】解：原式 ； 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握配方法和因式分解法是解题的关键； （1）根据配方法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， 18. 已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//DC，AB=DC， ∴∠BAE=∠DCF， 在△AEB和△CFD中， ， ∴△AEB≌△CFD（SAS）， ∴BE=DF． 【解析】 【分析】利用SAS证明△AEB≌△CFD，再根据全等三角形的对应边相等即可得． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 19. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程判别式的性质计算，即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系、分式方程、一元二次方程判别式的性质计算，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，得， 解得：； （2）根据题意，得：， ∵，即 ∴ 解得：或 ∵ ∴舍去 当时， ∴的值是． 【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式、一元二次方程根与系数关系、一元一次不等式、分式方程的性质，从而完成求解． 20. 为促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的体育活动．为了解学生引体向上的训练成果，调查了七年级部分学生，根据成绩，分成了 四组，制成了不完整的统计图．分组： ， ， ， ． （1） 组的人数为______： （2）七年级400人中，估计引体向上每分钟不低于10个的有多少人？ （3）从众数、中位数、平均数中任选一个，说明其意义． 【答案】（1）12 （2）180 （3） 从A，B，C，D组人数来看，最中间的两个数据是第20，21个，中位数落在B组， 说明B组靠后的成绩处于中等水平； 由于统计图中没有具体体现学生引体向上的训练成绩，只给出训练成绩的范围，无法计算出训练成绩的众数和平均数． 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）先根据C组人数除以所占百分比求出总人数，再减去B，C，D组人数即可得A的人数； （2）求出C，D组人数在样本中所占百分比，再乘以400即可得答案； （3）根据众数、中位数、平均数的意义进行解答即可． 【小问1详解】 解： （人）， A组人数为： （人）， 故答案为：12； 【小问2详解】 解： （人）， 答：估计引体向上每分钟不低于10个的有180人； 【小问3详解】 略 21. 沈阳街头随处可见单车出行，单车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，据统计2021年某区8月份租用单车次数6400辆，10月份租用单车次数10000辆． （1）若该区2021年8月至10月的单车租用次数的月平均增长率相同，求该区单车租用次数的月平均增长率是多少？ （2）若单车租用次数的月平均增长率保持不变，预计该区11月份单车次数租用　 　辆． 【答案】（1）25%；（2）12500 【解析】 【分析】（1）设该区单车租用次数的月平均增长率是x，根据等量关系：8月份租用单车次数×（1+增长率）2=10月份租用单车次数，即可列出一元二次方程，解方程即可； （2）根据：10月份租用单车次数×（1+月平均增长率）即可得11月份单车租用次数的辆数． 【详解】（1）设该区单车租用次数的月平均增长率是x，则由题意可得： 解方程，得：或（舍去） 即该区单车租用次数的月平均增长率是25%； （2）（辆） 即11月份单车次数租用12500辆； 故答案为：12500． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系并列出方程是关键． 22. 如图，要建一个矩形仓库 ，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道 宽的门，现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完），若设为x米． （1）的长为 米（用含x的代数式表示） （2）若仓库的面积为150平米，求； （3）仓库的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由． 【答案】（1） （2）米 （3）不能，见详解 【解析】 【分析】（1）因为设的长为米，则米，即可作答． （2）根据题意得到，解方程即可得到结论； （3）根据题意得到函数关系，根据判别式的情况，即可得到结论． 本题考查了实际问题与一元二次方程： 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，正确的理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：设的长为米， ∵要建一个矩形仓库 ，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道 宽的门，现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完）， ∴米， 故答案为： 【小问2详解】 解：根据题意得，， 解得： ，， 当 时，， 当时，（不合题意舍去）， ∴米； 【小问3详解】 解：根据题意得，， ∴ ∴ 则 该方程无实数解 ∴仓库的面积不能为． 23. 商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件． （1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？ （2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 【答案】（1）降价前商场每月销售该商品的利润是4800元； （2）每件商品应降价60元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解实际问题的运用． （1）先求出每件的利润．再乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润； （2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得（元）． 答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元； 【小问2详解】 解：设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元， 由题意，得， 解得：． ∵有利于减少库存， ∴ ． 答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元． 24. 如图， 、 、、为矩形的四个顶点，，，动点 、 分别从点 、同时出发，点 以的速度向点 移动，一直到达 为止，点 以的速度向移动． （1） 、 两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为； （2） 、 两点从出发开始到几秒时，点 和点 的距离第一次是． 【答案】（1）5秒 （2）从出发到秒时，点P和点Q的距离第一次是． 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题，一元一次与一元二次方程的应用，勾股定理； （1）设P、Q两点从出发开始到x秒满足条件，则，，根据梯形的面积公式求解即可； （2）设P，Q两点从出发经过t秒时满足条件，作 ，垂足为E，则，有，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为， 则，， 根据梯形的面积公式得， 解之得 ， 答： P、Q两点从出发开始到5秒时四边形的面积为； 【小问2详解】 解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是， 作 ，垂足为E，则， ∵， ∴， 由勾股定理，得， 解得（舍去）． 答：从出发到秒时，点P和点Q的距离第一次是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $