精品解析：2024年江西省南昌市中考数学模拟试题

2024年江西省南昌市中考数学模拟试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，最大的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，根据各数之间的大小关系得出答案即可． 【详解】因为， 所以最大的数是4． 故选：D． 2. 如图，是由一个长方体和一个竖直的小圆柱组成的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图． 根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案． 【详解】解：从左边看该几何体，其左视图是一列两个相邻的矩形，底层的矩形的长要大得多． 故选：C． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，正确合并同类项计算即可． 【详解】A. ， 不是同类项，无法计算，错误，不符合题意， B. ，错误，不符合题意， C. ，正确，符合题意， D. 不是同类项，无法计算，错误，不符合题意， 故选C． 4. 如图是根据南昌市2024年2月上旬的每天气温绘成的折线统计图，以下说法正确的是（ ） A. 2月上旬某天最大温差为 B. 2月上旬最高气温的众数是5 C. 2月上旬最低气温平均数是 D. 2月上旬最高气温的方差小于最低气温的方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图，中位数，众数和平均数，根据统计图的信息即可判断①；根据2月上旬最高气温和 都出现了3次，结合众数的定义即可判断②；计算出最低气温的平均数即可判断③；根据最高气温的波动比最低气温的波动要大，即可判断④． 【详解】解：A、由图中信息可知，2月1日，温差为，2月10日，温差为，最大温差不是，故本选项不符合题意； B、由图中信息可知，2月上旬最高气温的众数是5和7，故本选项不符合题意； C、2月上旬最低气温平均数是，说法正确，故本选项符合题意； D、由图中信息可知，2月上旬最高气温比最低气温的波动比大，即2月上旬最高气温的方差大于最低气温的方差，故本选项不符合题意； 故选：C． 5. 杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图是杨辉三角形的部分排列规律，则第八行从左数第三个数为（ ） A. 十五 B. 二十一 C. 二十五 D. 三十五 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，各项是按a的降幂排列的，它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和． 从第3行开始依次确定第三个数，即是完全平方公式中的第三项的系数，找到规律即可确定第八行第三个数． 【详解】解：依据规律可得到：的展开式的系数是杨辉三角第8行的数， 第3行第三个数为1， 第4行第三个数为， 第5行第三个数为， … 第8行第三个数为：． 故选：B． 6. 二次函数的图象与 轴交于，两点，点在二次函数上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与x轴的交点坐标与系数的关系，图象上点的坐标的特征，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 由已知可得，求得，再将代入可求出，，进而判断即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与 轴交于，两点， ∴a、b为方程的两个根， ∴， ∴， ∵点在二次函数上， ∴， ∴， 可得方程组， 解得， ∴，故A正确． ∴，故B正确． ∵，故C正确． ∵， ∴，即，故D错误． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. ______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据有理数的绝对值的定义解答即可． 【详解】解：； 故答案为：1． 【点睛】本题考查了有理数的绝对值，数轴上，一个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，熟知概念是关键． 8. 已知华氏温度和摄氏温度的换算关系为：摄氏温度（华氏温度，在1个标准大气压下冰的熔点为，则在1个标准大气压下冰的熔点为___． 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查求自变量的值，根据因变量和自变量的关系求解即可． 【详解】解： 摄氏温度（华氏温度， （华氏温度， 华氏温度． 故答案为：32． 9. 已知关于x的一元二次方程 的两个实数根为，，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，先根据求得，再利用根与系数的关系即可求解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 原方程为， ， 故答案为：． 10. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题，这道题大意是：快马每天行320里，慢马每天行200里，慢马先行10天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意得方程：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据路程 速度 时间列出方程即可． 【详解】解：设快马x天可追上慢马， 由题意得，， 故答案为：． 11. 如图，矩形 分割成两个矩形 和，扇形所在的圆与矩形 三边均相切，且， 为矩形中半径最大的圆，扇形和恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查圆的切线的性质，弧长的计算，矩形的判定和性质，圆锥的性质等，设的半径为 ，的半径为 ，根据圆锥的性质可得x与r的关系，设与 、 、 分别相切于点 、 、 ，连接、、，作于点 ，可证四边形，，都是矩形，进而用含r的式子表示出 和 ，可得答案． 【详解】解：设的半径为 ，的半径为 ， ， 扇形的圆心角为， 扇形和恰好能作为一个圆锥的侧面和底面， ， ， 为矩形中半径最大的圆， ， 设与 、 、 分别相切于点 、 、 ，连接、、， 四边形 是矩形，，，， ，， 四边形和四边形都是矩形， ，，， ， ， 作于点 ，则， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，的顶点 ， 的坐标分别为，，点 绕点 顺时针旋转到点 ，连接 ， ，若为直角三角形，则点 到 轴的距离为________． 【答案】4，2或 【解析】 【分析】本题考查了旋转过程中点的坐标的变化，根据特殊角的三角函数值求出与x轴的夹角是解题的关键；通过分类讨论，分三种情况逐个求解即可； 【详解】解：当，即点P与点B重合时，则P到 轴的距离为4； 当点P与点B不重合，且时，此时P在第四象限， ，，， ， ， ， 的坐标分别为，， ，， ， ， ， 和 轴夹角为， 到 轴的距离为， 当时，和 轴夹角为 ， 到 轴的距离为， 综上所述， 到 轴的距离为4，2或． 故答案为：4，2或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）已知a，b为实数，，求的值． 【答案】（1）；（2）2 【解析】 【分析】（1）首先化简二次根式，特殊角的三角函数值，然后计算加减； （2）首先将变形为，然后代入求解即可． 此题考查了二次根式的化简，特殊角的三角函数值，分式的求值，解题的关键是掌握以上运算法则． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴ ． 14. 在的正方形网格中，B，C两点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作出等腰三角形（保留作图痕迹）． （1）如图1，作以 为腰的锐角三角形 ； （2）如图2，作以 为底的锐角三角形． 【答案】（1）如图1， 即为所求（答案不唯一）． （2）如图2，即为所求（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解答本题的关键． （1）根据等腰三角形的判定按要求画图即可． （2）根据等腰三角形的判定，使 ，且满足为锐角三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 15. 2024年1月22日，一场突如其来的大雪席卷整个江西．为了发挥学生团员的先锋带头作用，某校组织部分九年级团员学生打扫积雪．学校决定在甲、乙、丙、丁四名团员志愿者中随机抽取两人． （1）“甲、乙、丙中至少有一人被抽中”是______事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”） （2）请用画树状图法或列表法，求乙、丁都被抽中的概率． 【答案】（1）必然 （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、必然事件，熟练掌握列表法与树状图法、必然事件的定义是解答本题的关键． （1）根据必然事件的定义可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及乙、丁都被抽中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，“甲、乙、丙中至少有一人被抽中”是必然事件． 故答案为：必然． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中乙、丁都被抽中的结果有：乙丁，丁乙，共2种， ∴乙、丁都被抽中的概率为． 16. 如图，一次函数与反比例函数相交于点 ，与 轴相交于点 ，其中， ． （1）求 的值； （2）求一次函数的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及由反比例函数性质求参数、待定系数法确定一次函数解析式、两点之间距离公式等知识，熟练掌握一次函数及反比例函数的图象与性质是解决问题的关键． （1）由反比例函数过点，将点代入解析式解方程即可得到答案； （2）设，如图所示，可知，由 ，利用两点之间距离公式列方程求解得到 坐标，再由待定系数法确定函数解析式即可得到答案． 【小问1详解】 解： 反比例函数过点， ，解得 ； 【小问2详解】 解：由（1）知， 设，由图可知， ， ，则， 或，解得或 （正值舍去），则， 直线 ：， 将、代入解析式得，解得， 一次函数的解析式为． 17. 正方形 和如图摆放，点 在边 上， 交 于点 ，，，连接 ，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．过点 作于点 ，根据正方形的性质证明，得，再证明，得，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，过点 作于点 ， 四边形 是正方形， ，， ，， ， ， ， 在 和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． ． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 2023年12月27日南昌东站通车运营，南昌东站以“霞鹜齐飞，祥瑞绽放”为设计理念，展现出了新时代高铁客运枢纽的活力，东站通车后旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候安检．经调查发现，某天开始安检时，已有200人排队等候，此后每分钟又增加10位旅客排队安检，而一个安检门每分钟只能办理5位旅客的安检工作．此时间段内东站排队等候安检的人数 （人）与车站开放后的时间 （分钟）的关系如图所示，其中前 分钟只开放了4个安检门． （1）求 的值； （2）由于突发情况，要求在候检旅客在13分钟内（含13分钟）动态清零，如图中 点所示，求在 分钟后至少要增设多少个安检门． 【答案】（1）5 （2）至少要增设2个安检门 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意并得到“等候安检的人数=原有排队人数+新增排队人数-办理安检的人数”是解题的关键． （1）根据“等候安检的人数=原有排队人数+新增排队人数-办理安检的人数”列关于m的方程并求解即可； （2）设在m分钟后增设a个安检门，当时实现动态清零，根据等候安检的人数为0列方程并求出t（关于a的代数式），令，求出a的取值范围并取其最小整数值即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 解得 ． 【小问2详解】 设在 分钟后增设 个安检门，当时实现动态清零． 根据题意，得， 将 代入并整理，得， 解得， 当时，解得， 为整数， 在 分钟后至少要增设2个安检门． 19. 如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台上架设测角仪 ，从 处测得塔的最高点 的仰角为，测出，台阶可抽象为线段 ，，台阶的坡角为，测角仪 的高度为，塔身可抽象成线段 ． （1）求测角仪 与塔身 的水平距离； （2）求塔身 的高度．（结果精确到 ）（参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形求解． （1）延长 交的延长线于点 ，过点 作于点 ，过点 作于点 ，则，，易得，根据勾股定理得出，最后即可解答； （2）由（1）可知，，根据题意得出，，，则，，根据，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，延长 交的延长线于点 ，过点 作于点 ，过点 作于点 ， 则，， 由题意可知，，， ， ， ， 答：测角仪 与塔身 的水平距离为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 由题意可知，，，， ， ， ， 答：塔身 的高度约为． 20. 定理证明： （1）如图1，， 是 的两条切线，切点分别为 ， ，求证：； 定理应用： （2）如图2， 是⊙ 的内接等腰三角形，，， 是 的切线，若，求四边形 的面积． 【答案】 （1）证明：如图1，连接 、 、 ， ， 是 的两条切线，切点分别为 ， ， ，， ， ， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）由切线的性质得到，再由等边对等角得到，则可证明，进而证明． （2）先证明，由切线的性质得到，则，由圆周角定理得到，则，由平行线的性质得到，则可证明，得到 ，进而可证明 是等边三角形， 是等边三角形，则四边形 是菱形，作于点 ，则，，求出，则． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，连接 、 ，则， ， ， ， 与 相切于点 ， ， ， ， ， ， ∵ ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， 四边形 是菱形， 作于点 ，则，， ， ， 四边形 的面积是． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，等边对等角，等边三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理，圆周角定理等等，正确作出辅助线是解题的关键. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为进一步落实“双减”政策，某校对七、八年级学生某天“书面作业”的时间（单位：小时）进行了随机抽样调查，共获得220名七、八年级学生“书面作业”时间数据，绘制成如下统计图表，请根据图表中的信息回答下列问题． 类别 学习时间（小时） 频数（七年级） 频数（八年级） A 15 10 B 40 25 C a 45 D 10 b （1） ， ； （2）①补全条形统计图； ②七年级甲同学说“我的学习时间是此次抽样调查中七年级所得数据的中位数”；则甲同学的学习时间在哪个范围内． （3）“双减”政策规定初中生书面作业时间不超过90分钟，已知该校七、八年级学生共有1100人，请估计该校七、八年级学生“书面作业”的时间符合规定的人数． 【答案】（1）35，40 （2）①补全条形统计图如下： ②落在“B组”，在范围内 （3）850人 【解析】 【分析】（1）根据样本中八年级学生学习时间在“ 组”所对应的圆心角的度数，求出其所占的百分比，再根据频率可求出样本中，八年级的人数，进而求出样本中七年级的学生人数，进而求出 、 的值； （2）①根据样本中七年级各组人数即可补全条形统计图； ②由中位数的定义进行计算即可． （3）求出样本中，七、八年级学生书面作业时间不超过90分钟的所占的百分比，进而估计整体中，学生书面作业时间不超过90分钟的所占的百分比，由频率进行计算即可． 本题考查条形统计图，扇形统计图，频数分布表，掌握频率是正确解答的关键． 【小问1详解】 解：由于样本中八年级学生学习时间在“ 组”所对应的圆心角为，即占调查人数的，而在“ 组”的有10人， 所以八年级所调查的学生人数为（人， 因此七年级的调查人数为（人， 所以（人，（人， 故答案为：35，40； 【小问2详解】 解：①略 ②七年级的样本容量是100，因此中位数是将这100名学生的“书面作业”从小到大排列后，则第50位，第51位数据的平均数， 因此中位数落在“ 组”，在范围内； 【小问3详解】 解：（人， 答：该校七、八年级1100名学生中，估计七、八年级学生“书面作业”的时间符合规定的人数大约为850人． 22. 某数学兴趣小组开展数学实验，探索绳子垂下时形状的变化．如图1，是一个伸缩扣，通过它可自由调节绳子的长度．如图2，是一单杠示意图，两立柱 与 之间的距离为， ，，，将带有伸缩扣的绳子两端系于单杠 上，已知，绳子自然下垂时近似呈抛物线状态，实验开始时绳子系于 ， 处，，此时，抛物线记为，兴趣小组将绳子两端分别向 ， 滑动，规定绳子两端每次滑动距离均为，直至绳子两端各到 ， 处停止，滑动过程中依次得到抛物线，，，若兴趣小组以 点为原点建立平面直角坐标系，绳子两端在滑动过程中，抛物线解析式为． （1）抛物线的解析式为： ； （2）当绳子两端系在 ， 处时，身高的小明站在单杠下，其头部刚好接触到绳子，求小明到立柱 的距离． （3）兴趣小组探究，，之间的特殊位置关系时，发现有一条与 轴平行的直线与，，只有三个交点，直接写出这条直线的解析式． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）将 代入解析式求解即可； （2）首先得到当 时，然后将代入求解即可； （3）首先求出，，，然后分别转化成顶点式求出顶点坐标，进而求解即可． 【小问1详解】 当 时，， 故答案为：； 【小问2详解】 当 时，， 小明身高1.7米， ， ， 或， 小明到立柱 的距离为或； 【小问3详解】 ，，， 与的顶点为， 直线与，，只有三个交点． 六、解答题（本大题共12分） 23. 在矩形 中， ，点 是 上一动点，连接 ，将沿 折叠，使点 落在点 处，延长 交射线 于点 ，延长交 于 ，如图1，图2． （1）直接写出与的数量关系为______； （2）如图1，求证：； （3）若，在点 从点 向点 运动的过程中． ①如图2，当时，求的长； ②当时，直接写出 的长． 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接 ，由对折可得： ，， ， ∴ 是 的垂直平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴ ∴，而 ， ∴． （3）①；②当 在 内部时，；当 在 延长线上时， 【解析】 【分析】（1）由对折可得，，再结合四边形的内角和定理与邻补角的性质可得结论； （2）如图，连接 ，先证明，结合，可得，再利用相似三角形的性质可得结论； （3）①由，可得，设，则，再利用勾股定理建立方程求解即可；②如图，当 在线段 上时，求解， ，，，结合轴对称的性质可得答案；②如图，当 在 的延长线上时，同理：，求解， ，，证明，可得，设，再进一步解答可得答案． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵将沿 折叠，使点 落在点 处， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， （舍去）， ∴； ②如图，当 在线段 上时， ∵，， ∴， ， ∴，， 由对折可得： ，，， ∴， ∴， ②如图，当 在 的延长线上时，同理：， ∵，， ∴， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，设， ∴， 解得：， ∴； 综上：当 在 内部时，；当 在 延长线上时，． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与应用，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年江西省南昌市中考数学模拟试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，最大的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 2. 如图，是由一个长方体和一个竖直的小圆柱组成的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是根据南昌市2024年2月上旬的每天气温绘成的折线统计图，以下说法正确的是（ ） A. 2月上旬某天最大温差为 B. 2月上旬最高气温的众数是5 C. 2月上旬最低气温平均数是 D. 2月上旬最高气温的方差小于最低气温的方差 5. 杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图是杨辉三角形的部分排列规律，则第八行从左数第三个数为（ ） A. 十五 B. 二十一 C. 二十五 D. 三十五 6. 二次函数的图象与 轴交于，两点，点在二次函数上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. ______． 8. 已知华氏温度和摄氏温度的换算关系为：摄氏温度（华氏温度，在1个标准大气压下冰的熔点为，则在1个标准大气压下冰的熔点为___． 9. 已知关于x的一元二次方程 的两个实数根为，，若，则的值为______． 10. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题，这道题大意是：快马每天行320里，慢马每天行200里，慢马先行10天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意得方程：_________． 11. 如图，矩形 分割成两个矩形和，扇形所在的圆与矩形三边均相切，且， 为矩形中半径最大的圆，扇形和恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的值为_____． 12. 在平面直角坐标系中，的顶点 ， 的坐标分别为，，点 绕点 顺时针旋转到点 ，连接 ， ，若为直角三角形，则点 到 轴的距离为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）已知a，b为实数，，求的值． 14. 在的正方形网格中，B，C两点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作出等腰三角形（保留作图痕迹）． （1）如图1，作以 为腰的锐角三角形 ； （2）如图2，作以 为底的锐角三角形． 15. 2024年1月22日，一场突如其来的大雪席卷整个江西．为了发挥学生团员的先锋带头作用，某校组织部分九年级团员学生打扫积雪．学校决定在甲、乙、丙、丁四名团员志愿者中随机抽取两人． （1）“甲、乙、丙中至少有一人被抽中”是______事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”） （2）请用画树状图法或列表法，求乙、丁都被抽中的概率． 16. 如图，一次函数与反比例函数相交于点 ，与 轴相交于点 ，其中， ． （1）求的值； （2）求一次函数的解析式． 17. 正方形 和如图摆放，点 在边 上， 交于点 ，，，连接 ，求的度数． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 2023年12月27日南昌东站通车运营，南昌东站以“霞鹜齐飞，祥瑞绽放”为设计理念，展现出了新时代高铁客运枢纽的活力，东站通车后旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候安检．经调查发现，某天开始安检时，已有200人排队等候，此后每分钟又增加10位旅客排队安检，而一个安检门每分钟只能办理5位旅客的安检工作．此时间段内东站排队等候安检的人数 （人）与车站开放后的时间 （分钟）的关系如图所示，其中前分钟只开放了4个安检门． （1）求的值； （2）由于突发情况，要求在候检旅客在13分钟内（含13分钟）动态清零，如图中 点所示，求在分钟后至少要增设多少个安检门． 19. 如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台 上架设测角仪 ，从 处测得塔的最高点 的仰角为，测出，台阶可抽象为线段，，台阶的坡角为，测角仪 的高度为，塔身可抽象成线段 ． （1）求测角仪 与塔身 的水平距离； （2）求塔身 的高度．（结果精确到 ）（参考数据：，，，） 20. 定理证明： （1）如图1，， 是 的两条切线，切点分别为 ， ，求证：； 定理应用： （2）如图2， 是⊙ 的内接等腰三角形，，， 是 的切线，若，求四边形 的面积． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为进一步落实“双减”政策，某校对七、八年级学生某天“书面作业”的时间（单位：小时）进行了随机抽样调查，共获得220名七、八年级学生“书面作业”时间数据，绘制成如下统计图表，请根据图表中的信息回答下列问题． 类别 学习时间（小时） 频数（七年级） 频数（八年级） A 15 10 B 40 25 C a 45 D 10 b （1） ， ； （2）①补全条形统计图； ②七年级甲同学说“我的学习时间是此次抽样调查中七年级所得数据的中位数”；则甲同学的学习时间在哪个范围内． （3）“双减”政策规定初中生书面作业时间不超过90分钟，已知该校七、八年级学生共有1100人，请估计该校七、八年级学生“书面作业”的时间符合规定的人数． 22. 某数学兴趣小组开展数学实验，探索绳子垂下时形状的变化．如图1，是一个伸缩扣，通过它可自由调节绳子的长度．如图2，是一单杠示意图，两立柱 与之间的距离为， ，，，将带有伸缩扣的绳子两端系于单杠 上，已知，绳子自然下垂时近似呈抛物线状态，实验开始时绳子系于 ， 处，，此时，抛物线记为，兴趣小组将绳子两端分别向 ，滑动，规定绳子两端每次滑动距离均为，直至绳子两端各到 ，处停止，滑动过程中依次得到抛物线，，，若兴趣小组以 点为原点建立平面直角坐标系，绳子两端在滑动过程中，抛物线解析式为． （1）抛物线的解析式为： ； （2）当绳子两端系在 ，处时，身高的小明站在单杠下，其头部刚好接触到绳子，求小明到立柱 的距离． （3）兴趣小组探究，，之间的特殊位置关系时，发现有一条与 轴平行的直线与，，只有三个交点，直接写出这条直线的解析式． 六、解答题（本大题共12分） 23. 在矩形 中， ，点 是 上一动点，连接 ，将沿 折叠，使点 落在点 处，延长 交射线 于点 ，延长交 于 ，如图1，图2． （1）直接写出与的数量关系为______； （2）如图1，求证：； （3）若 ，在点 从点 向点 运动的过程中． ①如图2，当时，求的长； ②当时，直接写出 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $