精品解析：河南省新乡市原阳县第一高级中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

2024—2025学年高二上学期入学测试 数 学 试 卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 到x轴距离与到y轴距离之比等于的点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】设点坐标，根据距离比列方程求轨迹方程，注意范围. 【详解】设该动点为，则有，即. 故选：D 2. 若两条平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线平行可求出的值，利用平行线间的距离公式可求出的值，即可得出的值. 【详解】因为直线与平行，则， 且这两条直线间的距离为，解得，故. 故选：A. 3. 如图，二面角的度数为，其棱上有两点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，，，，，利用空间向量数量积的运算性质可求得线段的长. 【详解】由题意可知，，，，，， 则， 因为， 所以， ， 因此，. 故选：D. 4. 已知平面的一个法向量为，其中，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量求点到面的距离. 【详解】由题意可得：， 所以点到平面的距离为. 故选：C. 5. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断 【详解】 ， 故选：B 【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立 6. 已知圆的方程为，直线，点是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，当四边形的面积最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得当点到圆心的距离最小时，切线的长度最小，此时四边形的面积最小，求出点的坐标，以为直径的圆的方程，两圆相减得到直线的方程. 【详解】 由圆的方程为可知圆心，半径，点到圆心的距离最小时，切线的长度最小，此时四边形的面积最小， 所以，，所以直线的方程为， 联立，解得， 以为直径，以中点为圆心的圆方程为， 两圆方程相减可得直线的方程， 故选：D 7. 在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设正方体的外接球的球心为，球的半径为，分析可得，求出的取值范围，即可得出的取值范围. 【详解】设正方体的外接球的球心为，球的半径为， 则，可得，所以， 又 ， 当为正方体某个面的中心时，取最小值； 当与正方体的顶点重合时，取最大值. 则，所以. 故选：A. 8. 已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为 B. 直线的倾斜角为120° C. ，，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件 D. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】考虑直线截距为0时可以判断A； 先求出斜率，进而求出倾斜角，然后判断B； 先求出直线与直线垂直的等价结论，进而判断C； 设出原直线方程，再求出平移后的直线方程，进而通过两条直线重合求出答案，进而判断D. 【详解】对A，若直线过原点，则方程为：，A错误； 对B，直线斜率为：，则倾斜角为120°，B正确； 对C，直线与直线垂直，等价于或a=3，C正确； 对D，若直线斜率不存在，设直线，它沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后得到：，不与原来重合，舍去； 若直线斜率存在，设直线，它沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后得到：，因为它回到原来的位置，所以，D正确. 故选：BCD 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 已知两个向量，且，则 B. 已知，则在上的投影向量为 C. 设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据空间向量共线的知识判断A；根据投影向量计算公式判断B；根据空间向量共面的知识判断C和D. 【详解】对于A，因为，所以， 因为，所以， 解得，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，， 所以在上的投影向量为，故B正确； 对于C，设是空间中的一组基底，则不共面， 假设共面，则，显然无解，所以不共面， 则也是空间的一组基底，故C正确； 对于D，，但，则四点不共面，故D错误. 故选：ABC. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 圆与圆的公共弦长为 B. 过点作圆的切线，则切线的方程为 C. 圆与圆关于直线对称 D. 圆心为，半径为5的圆的标准方程是 【答案】AC 【解析】 【分析】求出两圆公共弦所在直线方程，再求出弦长判断A；由直线与圆相切判断B；求出两圆连心线的中垂线方程判断C；求出圆的标准方程判断D. 【详解】对于A，圆的圆心，半径，圆的 圆心，半径，显然，即两圆相交， 把两个圆的方程相减得公共弦所在直线方程，点到此直线距离 ，因此公共弦长为，A正确； 对于B，直线过点，且与相切，即切线的方程可以为，B错误； 对于C，圆的圆心，圆的圆心， 显然这两个圆是等圆，则它们关于线段的中垂线对称，而线段的中点， 直线的斜率为，于是线段的中垂线方程为，即，C正确； 对于D，圆心为，半径为5的圆的标准方程是，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 假如，，且与相互独立，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件求出，再借助全概率公式即可计算作答. 详解】因与相互独立，且，，则， 所以. 故答案为： 13. 直线经过点，且直线一个方向向量为，若直线与轴交于点，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用方向向量可得斜率为，求得直线的方程代入点可得. 【详解】由的一个方向向量为可得直线斜率为， 所以直线的方程为，即， 将代入直线方程可得，可得. 故答案为： 14. 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设. （1）试用向量表示向量； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把表示出来，然后由点E为的中点得，化简即得结果； （2）把、用表示，然后利用数量积的运算律结合已知条件即可求出结果. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 因为点E为的中点，所以 . 【小问2详解】 因为，， 所以 = 16. 已知的顶点，，且重心G的坐标为. （1）求C点坐标： （2）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.求的欧拉线的一般式方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出C点坐标，再根据重心的坐标公式可得； （2）设出外心坐标，根据外心在边AC中垂线上，及到顶点距离相等列方程可得，再根据斜率与点斜式求解即可. 【小问1详解】 设，则由重心G的坐标为，有， 解得，即, 所以C点坐标为. 【小问2详解】 设的外心，则由外心性质可得P在的中垂线上，即， 由，，， 则，即，解得，即. 又，故欧拉线的斜率为， 故的欧拉线的方程为，即. 17. 在锐角中，角的对边分别为，已知． （1）求的值； （2）若是的外接圆上一点（与位于直线异侧），且，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，结合已知得，再由余弦定理结合已知即可求解； （2）在中，运用余弦定理有，在中，结合并运用余弦定理可求得，进一步结合三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 在锐角中， 因为，所以， 而，故， 因为是锐角，所以， 由余弦定理得， 又因为，所以，整理的， 故． 【小问2详解】 在中，因为， 所以，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得，即： ，解得， 所以四边形的面积为 . 18. 如图，平面，，，，，. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）若二面角余弦值为，求线段的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依据几何体的特征可以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求出直线与平面所成角的正弦值为； （2）设，利用空间向量求得二面角的表达式，根据余弦值为可解得. 【小问1详解】 根据题意，由平面，平面， 所以，又， 可得三条线两两垂直， 以为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 则 可得 设平面的一个法向量为 则，令，可得，即可得， 设直线与平面所成的角为， 则 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问2详解】 设，则，可得 设平面的一个法向量为 则，令，可得，即 由题意得 ，解得 经检验，符合题意，所以线段的长为 19. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，，，，． （1）当点N为线段AD的中点时，求证：直线平面EFN； （2）当点N在线段AD上时（包含端点），求平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，利用空间角的向量求法求出平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的表达式，进行合理变形，结合二次函数的性质求得余弦的最值，即可求得答案. 【小问1详解】 证明：因为点N为线段AD的中点，且， 所以， 因为，且四边形ABCD为正方形，故， 所以，而平面， 故平面； 【小问2详解】 设正方形ABCD的中心为O，分别取的中点为， 设点H为线段AD的中点，由（1）知四点共面，且平面， 连接平面，故， 又平面，故平面平面， 且平面平面， 由题意可知四边形为等腰梯形，故, 平面，故平面， 故以O为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系， 因为，则， 又，故， 设到底面的距离为h， 四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，且， 故，又， 故，则， ，， 设， 设平面的一个法向量为， 则，令， 设平面的一个法向量为， 则，令， 故， 令，则， 令，则， 令，则在上单调递增， 故当时，，当时，， 故， 即平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值得取值范围为. 【点睛】难点点睛：本题考查了线面垂直的证明以及空间面面角的向量求法，解答的难点在于求出平面夹角的余弦值之后，要对其表达式进行变形，从而结合二次函数的单调性求得余弦的最值，从而得到其取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年高二上学期入学测试 数 学 试 卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 到x轴距离与到y轴距离之比等于点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 2. 若两条平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，二面角的度数为，其棱上有两点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面的一个法向量为，其中，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 6. 已知圆的方程为，直线，点是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，当四边形的面积最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为 B. 直线的倾斜角为120° C. ，，“直线与直线垂直”是“”必要不充分条件 D. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来位置，则该直线的斜率为 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 已知两个向量，且，则 B. 已知，则在上的投影向量为 C. 设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 11. 下列说法正确的是（ ） A. 圆与圆公共弦长为 B. 过点作圆的切线，则切线的方程为 C. 圆与圆关于直线对称 D. 圆心为，半径为5的圆的标准方程是 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 假如，，且与相互独立，则___________． 13. 直线经过点，且直线的一个方向向量为，若直线与轴交于点，则______. 14. 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设. （1）试用向量表示向量； （2）若，求的值. 16. 已知的顶点，，且重心G的坐标为. （1）求C点坐标： （2）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.求的欧拉线的一般式方程. 17. 在锐角中，角的对边分别为，已知． （1）求的值； （2）若是的外接圆上一点（与位于直线异侧），且，求四边形的面积． 18. 如图，平面，，，，，. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）若二面角的余弦值为，求线段的长. 19. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，，，，． （1）当点N为线段AD的中点时，求证：直线平面EFN； （2）当点N在线段AD上时（包含端点），求平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$