广东省部分学校2023届模拟预测数学试题

高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合，则（ ） A． B． C． D． 2．已知，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．某班在体育课上组织趣味游戏，统计了第一组14名学生的最终得分：13，10，12，17，9，12，8，9，11，14，15，12，10，12．这组数据的第80百分位数是（ ） A．12 B．13 C．13.5 D．14 4．在中，内角的对边分别是，若，则（ ） A． B． C． D． 5．如图，在正三棱柱中，底面边长为6，侧棱长为8，是侧面的两条对角线的交点，则直线与底面所成角的正切值为（ ） A． B． C． D． 6．已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则（ ） A． B． C． D．1 7．2022年12月3日，南昌市出土了东汉六棱锥体水晶珠灵摆吊坠，如图（1）所示现在我们通过DIY手工制作一个六棱锥吊坠模型．准备一张圆形纸片，已知圆心为，半径为，该纸片上的正六边形的中心为，为圆上的点，如图（2）所示．，分别是以为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以，为折痕折起，，使重合，得到六棱锥，则六棱锥的体积最大时，正六边形的边长为（ ） A． B． C． D．5cm 8．已知是定义域为的单调递增的函数，，且，则（ ） A．54 B．55 C．56 D．57 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A．直浅过定点 B．当时，直线与圆相切 C．当时，过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为 D．若圆上只有一个点到直线的距离为1，则 10．袋子中装有红球、黄球各个，现从中随机抽取3个，记事件为“三个球都是红球”，事件为“三个球都是黄球”，事件为“三个球至少有一个是黄球”，事件为“三个球不都是红球”，则（ ） A．事件与事件互斥且对立 B． C． D．事件与事件可能同时发生 11．若函数的定义域为，且为偶函数，的图象关于点成中心对称，当时，，则个列说法正确的是（ ） A． B．函数的值域为 C．直线与函数的图象在区间上有4个交点 D． 12．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于两点，为坐标原点，则下列结论中正确的是（ ） A．若，且，则椭圆的离心率为 B．若，且，则的离心率为 C．若对任意的直线总有，则椭圆的离心率的取值范围为 D．若存在直线，使得的等比中项为，则椭圆的离心率的取值范围为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若，则______． 14．若的展开式中的系数为80，则______． 15．已知抛物线，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，记直线的斜率分别为，若，则______ 16．已知在边长为2的菱形中，，沿对角线将折起，使平面平面，则四面体外接球的表面积为______；若为的中点，过点的平面截该四面体的外接球所得截面面积为，则的最小值为______．（本题第一空2分，第二空3分） 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） 已知函数的图象的一条对称轴为． （1）求； （2）求在上的值域． 18．（12分） 设数列的前项和为，已知，且成等差数列． （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，求使得成立的的最小值． 19．（12分） 如图，在四棱锥中，为棱的中点． （1）在直线上找一点，使得直线平面，并说明理由； （2）求二面角的余弦值． 20．（12分） 为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日继续在全省实施景区门票减免，全省国有A级旅游景区免首道门票，鼓励非国有A级旅游景区首道门票至少半价优惠，某机构为了了解游客对全省实施景区门票减免活动的满意度，从游客中按年龄40周岁及以下和40周岁以上随机抽取100人，其中年龄在40周岁及以下的有40人，且有75%的游客表示满意，年龄在40周岁以上的游客中表示满意的人数与年龄在40周岁及以下的游客中表示满意的人数相同． （1）根据统计数据完成以下列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联？ 不满意 满意 总计 40周岁及以下 40周岁以上 总计 （2）按照年龄和满意与否采用分层抽样从这100名游客中随机抽取10名，进一步了解游客对本次活动的看法，再从这10名游客中随机选取3名作为代表对本次活动提出改进措施，记选取的3名代表中“40周岁及以下表示满意”与“40周岁以上表示满意”的人数差的绝对值为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 参考公式及数据：，其中． 0.100 0.050 0.016 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 21．（12分） 设双曲线的左、右焦点分别为，且焦距为6，点在双曲线上． （1）求双曲线的方程； （2）已知是直线上一点，直线交双曲线于（在第一象限），两点，为坐标原点，过点作直线的平行线与直线交于点，与轴交于点，证明：为线段的中点． 22．（12分） 已知函数． （1）判断和的单调性； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 高三数学参考答案 1．C 因为，所以． 2．A 因为，所以复数在复平面内对应的点位于第一象限． 3．D 将14个数据从小到大排序：8，9，9，10，10，11，12，12，12，12，13，14，15，17．因为，所以第80百分位数是第12个数据，即14． 4．B 因为，所以．因为，所以，所以，所以． 5．D 取的中点，连接．因为是的中点，所以．因为平面，所以平面．因为是斜线在底面上的射影．所以即直线与底面所成的角．在正三角形中，，所以直线与底面所成角的正切值为． 6．D 因为是互相垂直的单位向量，所以，， ． 因为与的夹角为，所以，解得． 7．C 连接，交于点，则．设，则．因为所以． 六棱锥的高． 正六边形的面积， 则六棱锥的体积． 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，正六棱锥的体积最大，此时正六边形的底面边长为． 8．B 因为，所以．因为，且单调递增，所以，所以．因为， 所以，于是． 因为，所以， 因为，所以． 因为， 所以，所以． 9．BC 由得即恒过点，故A错误． 由，得或，故B正确． 若，则圆心到直线的距离．因为，所以，故C正确．若圆上只有一个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离．由，得，故D错误． 10．BCD 因为事件不可能同时发生，所以为互斥事件，但不对立，故A不正确；事件为“三个球都是红球”，与事件相同，所以B正确；事件包含三个球都是黄球、一个红球两个黄球、两个红球一个黄球，与事件对立，所以满足，故C正确，因为，所以事件与事件可能同时发生，故D正确． 11．ABD 因为为偶函数，所以， 所以，所以的图象的对称轴为．因为的图象关于点成中心对称，所以，所以，所以，所以的图像关于对称．因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以函数的周期为4，故．因为，所以，故A正确． 当时，；当时，． 结合对称轴为，可得当时，，结合周期性可知函数的值域为，故B正确．根据函数的对称性大致作出函数的图象（图略），可知直线与函数的图象在区间上有5个交点，故C错误．因为，所以，所以，故D正确， 注：在得出的图像关于直线对称，以及关于点对称后，由于时，，结合函数的图象，可以更快、更直观地解答出来． 12．AD 对于A，因为，所以．连接，令，则． 因为，所以，即，得．因为，所以，将代入，得，故A正确． 对于B，设，则， 因为，所以，所以． 因为， 所以，所以， 所以． 因为，所以，所以，则，故B错误． 对于C，因为对任意的直线总有，所以只需， 所以，得，故C错误． 对于D，设，则， 所以． 因为，所以，所以，即，则，所以，故D正确． 13． 解法一：因为，所欨． 解法二：由，解得． 14． 展开式的通项为， 所以展开式中含项的系数为． 由，得． 15．2 设，联立方程组整理得，则．因为，所以．因为，所以，解得． 16． 如图所示，易知和是等边三角形． 设空间四边形外接球的球心为，所以球心在平面和平面上的射影分别是和的中心． 记为的中点，则四边形为正方形． 因为和是边长为2的等边三角形，所以， 所以正方形的边长．连接，则， 所以空间四边形外接球的半径， 所以空间四边形外接球的表面积为． 设过点的平面为，当时，所得截面的面积最小，该截面为圆形． 连接．因为， 所以， 所以截面圆的半径为，故截面圆的面积为． 17．解：（1） ． 因为的图象的一条对称轴为， 所以，解徨． （2）由（1）知． 因为，所以． 令，则，所以， 故． 18．解：（1）因为， 所以，即． 因为成等差数列，所以． 因为，所以，解得， 所以是首项为3，公比为3的等比数列，故． （2）由（1）得． 所以． 由，得，即． 因为，所以， 故使得成立的的最小值为7． 19．解：（1）为的中点．理由如下：连接． 因为分别为棱的中点， 所以． 因为， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为， 所以平面平面． 因为平面， 所以平面． （2）因为，所以以为原点，的方向分别为轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则． 设平面的法向量为， 因为 所以令，得． 设平面的法向量为，因为， 所以令，得． 设二面角为，则为锐角，所以， 故二面角的余弦值为． 20．解：（1）由题意，抽取的100人年龄在40周岁及以下的有40人，表示满意的有30人，年龄在40周岁以上的有60人，表示满意的有30人，所以列联表如下： 不满意 满意 总计 40周岁及以下 10 30 40 40周岁以上 30 30 60 总计 40 60 100 零假设为：对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄无关联． 根据列联表中的数据，经计算得到， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05． （2）按照年龄和满意与否采用分层抽样从这100名游客中随机抽取的10名游客中，40周岁及以下表示满意的人数与40周岁以上表示满意的人数均为3， 所以随机变量可能取． ； ； ； ． 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 9 所以． 21．（1）解：因为焦距为6，所以． 将点代入的方程，得． 因为，解得， 所以双曲线的方程为． （2）证明：由（1）知，的横坐标为2，设直线的方程为，则． 联立方程组得． 设，则． 因为，所以直线的方程为． 直线的方程为 联立方程组得， 由两式相除， 得，则， 所以． 因为，所以，故为线段的中点． 22．解：（1）因为，所以． 当时，恒成立，所以在上单调递减； 当时，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 因为，所以． 令，则． 当时，；当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以，所以在上单调递减． （2）因为对任意恒成立，所以对任意恒成立， 等价于对任意恒成立． 令，则． 令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以． 因为， 所以存在，使得． 当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增． 所以存在两个极小值， 因为分别为的两根，所以， 所以， 所以． 同理可得，所以． 故实数的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $$