精品解析：安徽省安庆市多校联考2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

数学（沪科版） （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟； 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的； 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 若，则=（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法，二次根式的化简，熟练掌握知识点是解题的关键． 由，即可求解． 【详解】解：， ∴， 故选：C． 2. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据判别式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故选B． 3. 若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和和外角和问题，设这个多边形的边数为，根据多边形的内角和公式和外角和并结合题意得出等式，计算即可得出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得：， 解得：， 故这个多边形的边数是， 故选：C． 4. 在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.5 8.3 8.1 0.15 如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【详解】去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 故选D． 5. 如图，菱形的对角线，交于点．若，，则菱形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，由四边形是菱形得，，，，，最后由勾股定理即可求解，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴菱形的周长是， 故选：． 6. 的三条边长分别为a，b，c．在下列条件中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A.由得，， 是直角三角形， 故该选项不符合题意； B.， 设， ， ， 是直角三角形， 故该选项不符合题意； C. ，， ， ， 是直角三角形， 故该选项不符合题意； D. ， 设， ， 解得：， ， 不是直角三角形， 故该选项符合题意， 故选：D． 7. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】利用数轴得出，，进而利用二次根式的性质化简求出即可． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴， 则 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键． 8. 将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是（　　） A. 5 B. C. 10﹣ D. 15﹣ 【答案】D 【解析】 【分析】过点B作BM⊥FD于点M，由已知条件易求出BC长度，由AB∥CF求出∠BCM，进而求出BM、MC，再由等腰三角形性质求出MD, 进而可得出答案． 【详解】解答：解：过点B作BM⊥FD于点M， 在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10， ∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝， ∵AB∥CF， ∴BM＝BC×sin30°＝×＝， CM＝BC×cos30°＝15， 在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°， ∴∠EDF＝45°， ∴MD＝BM＝， ∴CD＝CM﹣MD＝15﹣． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质、解直角三角形等知识点，掌握常用辅助线的作法，正确作出辅助线是解答此题的关键． 9. 如图，已知中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，点M，N为垂足，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理及其逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．本题难点是添加辅助线构造直角三角形． 根据线段垂直平分线的性质得出，的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：连接，， ∵的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 由勾股定理可得：， 故选：A． 10. 如图1，在平行四边形中，，动点P从A点出发，以的速度沿着的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知的面积y（单位：）与点P移动的时间x（单位：）之间的函数关系如图2所示，则图2中b的值为（ ） A. 34 B. 35 C. 36 D. 37 【答案】C 【解析】 【分析】首先由图②可得点P从点A运动到点B所用的时间为，再根据平行四边形的性质得，则点P从点B运动到点C所用的时间为，然后分别过点B，C作的垂线于E，交的延长与F，先求出，，然后证和全等得，据此可求出，于是可求出点P从点C运动到点A所用的时间为，进而可求解． 【详解】解：由图②可知点P从点A运动到点B所用的时间为， ∵点P运动的速度为， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ， ， ∴点P从点B运动到点C所用的时间为：， ∴点P从点A运动到点C所用的时间为：， ∴； 分别过点B，C作的垂线于E，交的延长线于F，则，如图：     由图②可知：， ∴， 即：， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ， 由勾股定理的：， ∴点P从点C运动到点A所用的时间为：， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，理解题意，读懂函数的图象，从函数图象中提取解决问题的信息，正确的作出辅助线构造全等三角形和直角三角形，灵活运用勾股定理进行计算是解答此题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若是整数，写出一个满足条件的正整数的值：_____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式特殊解，熟悉掌握二次根式的开放是解题的关键． 令时，求出的值即可． 【详解】解：∵ ∴当时，符合题意； 故答案为：（答案不唯一） 12. 体育锻炼是增强体质有效的手段，小王一学期的体育平时成绩为90分，期中成绩为94分，期末成绩为95分，若学校规定平时成绩、期中成绩、期末成绩三项得分按的比例确定最终成绩，则小王的最终成绩为________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的求法，根据加权平均数的计算方法列式进行计算是解题的关键． 【详解】解：小王的最终成绩为分， 故答案为：． 13. 如果m，n是一元二次方程的两个实数根，那么的值是____． 【答案】11 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程根的定义定义、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键 先将一元二次方程化为一般形式，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到以及方程的解可得，然后对变形后代入计算即可解答． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，即的两个不相等的实数根， ∴ ∴ ∴ ． 故答案为：11． 14. 如图，矩形中，．是上一点，且． （1）_________； （2）如图2，为上一点，于点于点，则_________． 【答案】 ①. 3 ②. 4 【解析】 【分析】（1）设，则，根据矩形的性质，在中实施勾股定理计算即可． （2）连接，根据，列式计算即可． 【详解】（1）设， ∵矩形，， ∴，， 在中，， 解得：， 故答案为：3． （2）连接， ∵，，， ∴． 解得：， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形面积计算，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． 先运用平方差与完全平方公式计算，并求绝对值，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 16. 已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点，连接DF，FG，EG，DE，求证：DF＝EG． 【答案】 由题意得点E，D分别是AC，AB的中点， ∴ED是△ABC的中位线． ∴DEBC，DE= BC． ∵F，G分别是BO，CO的中点， ∴FG是△OBC的中位线． ∴FGBC，FG=BC，． ∴DEFG， DE=FG． ∴四边形EDFG是平行四边形． ∴DF＝EG． 【解析】 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DEBC，DE=BC，FGBC，FG=BC，从而得到DEFG且DE=FG，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形DEGF是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定与性质，熟记定理并判断出四边形DEGF是平行四边形是解题的关键． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用勾股定理求出，问题随之得解； （2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，再根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， 答：居民从点A到点C将少走路程． 【小问2详解】 ∵，．， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ， ∴， 答：这片绿地的面积是． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键． 18. 如图，在矩形中，延长到，使，延长到，使，连接、、、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，即， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，再根据， ，即可求证； （2）先通过菱形的性质及勾股定理求解得到的长，再由菱形面积等于对角线积的一半即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得成功，将我国航天事业推向了新的高峰．南沙区某中学为了丰富学生们航天知识，组织全校学生进行航天知识竞赛，并随机抽取50名学生的成绩，整理成如下统计表： 分数 60 70 80 90 100 频数 2 3 15 16 14 （1）该50名同学这次竞赛成绩的中位数是________； （2）求该50名同学这次竞赛成绩的平均数； （3）若竞赛成绩90分以上（含90分）为优秀，该校有1500名学生，请估计竞赛成绩为优秀的人数． 【答案】（1）90 （2）87.4 （3）估计竞赛成绩为优秀的人数为900人 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位线、平均数、用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握平均数数和中位数的定义，注意偶数个数的中位数是中间两个数的平均数． （1）根据中位数的定义即可解答； （2）利用平均数的公式代入数据计算即可； （3）用成绩90分以上（含90分）的人数所占比例乘以1500即可． 【小问1详解】 解：将该50名同学成绩从小到大排列，该50名同学这次竞赛成绩的中位数位于第25名和第26名的平均数， 则该50名同学这次竞赛成绩的中位数是,； 【小问2详解】 解：（分） 答：该50名同学这次竞赛成绩的平均数为分； 【小问3详解】 解：（人） 答：估计竞赛成绩为优秀的人数为900人． 20. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，求代数式的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴方程总有实数根； （2）0 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据一元二次方程根的判别式计算即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，，再整理代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可得，，， ∴ ． 六、（本题满分12分） 21. 嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… （1）【特例探究】将题目中的横线处补充完整； （2）【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； （3）【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【答案】（1） （2） 解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为， 证明如下：等式左边右边； （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． （1）根据前个的规律即可得出答案； （2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：等式④：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵（均为正整数）， ∴，， ∴ ． 七、（本题满分12分） 22. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________，宽为___________； （2）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （3）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】（1）26，12 （2）剪去正方形的边长为 （3）剪去的正方形的边长为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：，， 纸盒底面长方形的长为，宽为； 【小问2详解】 解：设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴剪去正方形的边长为； 【小问3详解】 解：设剪去的正方形的边长为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴剪去的正方形的边长为． 八、（本题满分14分） 23. 如图，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点． （1）求证：； （2）求证：； （3）过A作于P点，连接，求的值． 【答案】（1） 证明：∵正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：取的中点Q，连接， ∴， ∵M、N分别为、的中点， ∴是的中位线，， ∴，， ∴， ∵正方形，， ∴， 根据（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）证明，证明即可； （2）取的中点Q，连接，证明即可； （3）过点B作于点B，交于点G，证明，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点B作于点B，交于点G， ∴． ∵，， ∴． ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 根据勾股定理，得 ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形相似的判定和性质，三角形中位线，正切函数的应用，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点并正确做出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（沪科版） （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟； 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的； 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 若，则=（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 25 2. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 4. 在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.5 8.3 8.1 0.15 如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 5. 如图，菱形的对角线，交于点．若，，则菱形的周长是（ ） A. B. C. D. 6. 的三条边长分别为a，b，c．在下列条件中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 7. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 0 8. 将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是（　　） A. 5 B. C. 10﹣ D. 15﹣ 9. 如图，已知中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，点M，N为垂足，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在平行四边形中，，动点P从A点出发，以的速度沿着的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知的面积y（单位：）与点P移动的时间x（单位：）之间的函数关系如图2所示，则图2中b的值为（ ） A. 34 B. 35 C. 36 D. 37 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若是整数，写出一个满足条件的正整数的值：_____________． 12. 体育锻炼是增强体质有效的手段，小王一学期的体育平时成绩为90分，期中成绩为94分，期末成绩为95分，若学校规定平时成绩、期中成绩、期末成绩三项得分按的比例确定最终成绩，则小王的最终成绩为________分． 13. 如果m，n是一元二次方程的两个实数根，那么的值是____． 14. 如图，矩形中，．是上一点，且． （1）_________； （2）如图2，为上一点，于点于点，则_________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点，连接DF，FG，EG，DE，求证：DF＝EG． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 18. 如图，在矩形中，延长到，使，延长到，使，连接、、、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得成功，将我国航天事业推向了新的高峰．南沙区某中学为了丰富学生们航天知识，组织全校学生进行航天知识竞赛，并随机抽取50名学生的成绩，整理成如下统计表： 分数 60 70 80 90 100 频数 2 3 15 16 14 （1）该50名同学这次竞赛成绩的中位数是________； （2）求该50名同学这次竞赛成绩的平均数； （3）若竞赛成绩90分以上（含90分）为优秀，该校有1500名学生，请估计竞赛成绩为优秀的人数． 20. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，求代数式的值． 六、（本题满分12分） 21. 嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… （1）【特例探究】将题目中的横线处补充完整； （2）【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； （3）【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 七、（本题满分12分） 22. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________，宽为___________； （2）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （3）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 八、（本题满分14分） 23. 如图，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点． （1）求证：； （2）求证：； （3）过A作于P点，连接，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $