精品解析：广东省深圳市南山为明学校2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题

深圳市南山为明学校2024-2025学年度第一学期九年级成长的足迹（一） 数学 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 若分式 有意义，则满足的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解． 【详解】由题意得，， 解得:， 故选：． 2. 2024年4月30日17时46分，神舟飞船再一次按计划准时准点从太空返回地面，中国航天员不断在太空创造新的纪录．下列四个以航天为主题的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的定义和识别，理解中心对称图形的定义，根据图形识别中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项，旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形； 选项，旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形； 选项，旋转后与原来的图形重合，是中心对称图形； 选项，旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形． 故选：C． 3. 下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式）逐项判断即可得． 【详解】解：A. 是因式分解； B. 最后运算是整式加法，不是因式分解； C. ，是整式的乘法，不是因式分解； D. ，是整式的乘法，不是因式分解； 故选：A． 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 整理得：， 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 5. 给出下列判断，正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形、菱形、平行四边形和正方形的判定，根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．对角线相等的平行四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意； B．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原说法错误，不符合题意； C．有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形，故此说法正确，符合题意； D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形，故原说法错误，不符合题意． 故选：C． 6. 九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，由题意得，．故选C． 考点：由实际问题抽象出分式方程． 7. 如果，那么的值为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式求值，根据题意得出代入分式进行计算即可求解． 【详解】解：∵ ∴，即 ∴ 故选：D． 8. 在中，已知 ，，的垂直平分线分别交，于点，，点和点分别是线段和边上的动点，则 的最小值为 （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，垂线段最短，勾股定理，等腰三角形的性质，由垂直平分，得，则，当点三点共线，且时，有最小值，最后由勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当点三点共线，且时，有最小值， 如图， ∵， ∴，， 由勾股定理得：， ∴有最小值， 故选：． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若不等式（m为常数，且）的解集为 ，则m的取值范围是______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键． 【详解】解：由题可知，， 解得：， 故答案为：． 10. 已知一元二次方程的两根分别为，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：，结合把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为， ∴ 故答案为： 11. 若关于的分式方程 有增根，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了增根的概念，利用增根的意义即可求解，正确理解增根的含义是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∵关于的分式方程有增根， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形， ，，将对角线绕点顺时针旋转交的延长线于点 ，则点 的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过作轴于点，由证明四边形是菱形，则，，根据两点间的距离可证是等边三角形，最后由勾股定理和所对直角边是斜边的一半即可求解． 【详解】如图，连接，过作轴于点， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由旋转性质可知：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，所对直角边是斜边的一半，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 13. 如图，在等腰中， ，，以为边作等边 ，连接，若平分交于点E，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，先根据等边三角形得到，，即可得到，然后根据三线合一得到，然后分别在和中，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：过点D作于点F，连， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵ ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又∵，即， 解得， ∴． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题6分，第15题11分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题9分，第20题10分，共61分） 14. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】， 数轴上表示为： 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的求解，以及用数轴表示解集，熟练掌握解不等式组的方法与步骤是关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到来确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：， 15. （1）先化简，再求值：，其中． （2）解方程： 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先通分括号内，再进行除法，然后化简，再把代入计算，即可作答． （2）因式分解得，再解出方程，即可作答． 【详解】解：（1） 把代入，得 （2） ∴ 16. 已知 ． （1）如图1，请用无刻度的直尺和圆规按要求作图：作线段的中点D（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图2，在（1）的条件下，点E为边上一点且．，连接，取的中点F，连接、、，求证：四边形为平行四边形． 【答案】（1） 点D即为所作； （2） 证明：∵， ∴，， 又∵D，E是，的中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查线段的垂直平分线的作法，三角形中位线的性质，平行四边形的判定定理，掌握三角形的中位线定理是解题的关键． （1）利用基本作图—作已知线段的垂直平分线的作法作图即可； （2）先证明是的中位线，得到，，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 某著名的旅游城市2016年“十一”黄金周期间，接待游客近1000万人次，2018年“十一”黄金周期间，接待游客已达1690万人次． （1）求出2016年至2018年十一长假期间游客人次的年平均增长率； （2）该市一家特色小面店希望在长假期间获得较好的收益，经测算知，该小面的成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．若规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家能实现每天盈利6300元？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设年平均增长率为，根据题意得出等量关系求解即可； （2）设每碗售价定为元，店家才能实现每天利润元，根据题意得出等量关系求解即可． 【小问1详解】 解：设年平均增长率为， 依题意有， 解得， 故， 答：2016年至2018年十一长假期间游客人次的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每碗售价定为元，店家才能实现每天利润元，依题意有 ， 解得， 由于规定每碗售价不得超过20元， ， 答：当每碗售价定为元时，店家能实现每天盈利6300元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，找出等量关系是解题的关键． 18. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF． （1）求证：BD=DF； （2）求证：四边形BDFG为菱形； （3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）20． 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质，求得BD=AC，DF=AC，即可求证； （2）四边形BDFG为平行四边形，再根据（1）中的结论即可求证； （3）设GF=x，根据勾股定理求得x的长度，即可求得四边形BDFG的周长． 【详解】证明：∵∠ABC=90°，BD为AC的中线， ∴BD=AC， ∵AG//BD，BD=FG， ∴四边形BGFD是平行四边形， ∵CF⊥BD， ∴CF⊥AG， 又∵点D是AC中点， ∴DF=AC， ∴BD=DF； （2）证明：∵BD=DF，四边形BGFD是平行四边形 ∴四边形BGFD是菱形， （3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x， ∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°， ∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2， 解得：x=5， ∴四边形BDFG的周长=4GF=20． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质、菱形的判定方法以及性质，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 19. 受全球气候变暖影响，今年深圳的雨水特别多．据悉，不止深圳，整个华南地区暴雨形成“列车效应”．雨水增多导致雨伞的需求量大大增加．下图是某型号雨伞的结构图． 根据以下素材，探索完成任务， 探究雨伞中的数学问题 素材1 图1是这个雨伞的示意图．不管是张开还是收拢，是伞柄， 伞骨且，， D点为伞圈． 伞完全张开时，如图1所示． 素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图， 此时伞圈D滑动到的位置， 且三点共线． 测得（参考值：）． 素材3 同学们经过研究发现： 雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为， 小田站在伞圈D点的正下方点G处， 记为， 此时发现身上被雨淋湿， 测得． 问题解决 任务1 判断AP位置 求证：是的角平分线． 任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢， 求伞圈D移动的距离（精确到）． 任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离_____，使得人站在G处身上不被雨淋湿，（直接写出答案） 【答案】 任务1：∵且，， ∴， 在和中，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 任务2：； 任务3：72 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，弄清题意、将实际问题转化为数学问题是解题的关键． （1）利用证明即可得到答案； （2）过点E作于点P，求出的长，即可利用据此解答即可； （3）设与交于点O，与交于点Q，先求出，可得，再求出，进而可求出即可解答． 【详解】解：任务1:略 任务2：如图：过点E作于点Q， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得， 在图2中， ∵, ∴, ∴在中,, ∴, ∴, ∴伞圈D移动的距离为. 任务3:如图：设与交于点O，与交于点Q， 在中，， ∴， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∵, ∴,解得：， ∴， 在中，，则， 由勾股定理得：． 故答案为：72． 20. 综合与实践： 【问题情境】 活动课上，同学们以等边三角形为背景开展旋转探究活动，数学小组经过研究发现“等边三角形在旋转过程中，对应边所在直线的夹角与旋转角存在一定关系”（注：平面内两直线的夹角是指两直线相交形成的小于或等于90°的角）．如图1，将等边绕点A逆时针旋转15°得到，则线段与线段的夹角．如图2，将等边绕点A逆时针旋转100°得到，则线段与线段所在直线的夹角． 【特例分析】 （1）如图1，若将等边绕点A逆时针旋转得到，线段与线段所在直线的夹角度数为______度；如图2，若将等边绕点A逆时针旋转得到，线段与线段所在直线的夹角度数为______度． 【类比分析】 （2）如图3，已知是等边三角形，分别在边和上截取和，使得，连接．如图4，将绕点A逆时针旋转（），连接，当和所在直线互相垂直时，线段之间有怎样的等量关系？试探究你的结论，并说明理由． 【延伸应用】 （3）在（2）的条件下，如图3，若，，将绕点A逆时针旋转（）．当和所在直线互相垂直时，请直接写出此时的长． 【答案】（1）30；70； （2）， 理由：设和所在直线交于点H，则， ∴， ∴； （3）或2 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识， （1）设与交于点F，将等边绕点A逆时针旋转得到，得到，，即可得到，得出线段与线段所在直线的夹角度数为30度；将等边绕点A逆时针旋转得到，得到，，利用四边形内角和定理得到，求出，得线段与线段所在直线的夹角度数为70度； （2）设和所在直线交于点H，则，得到，根据勾股定理得到； （3）分两种情况：当在直线上方时，过点D作于点G；当在直线下方时，过点D作于点H，根据等边三角形的性质及勾股定理求出的长． 【详解】解：（1）设与交于点F， ∵将等边绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴线段与线段所在直线的夹角度数为30度， 故答案为30； ∵将等边绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段与线段所在直线的夹角度数为70度， 故答案为70； （2）略 （3）当在直线上方时， 过点D作于点G， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； 当在直线下方时， 过点D作于点H ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 综上的长度为或2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市南山为明学校2024-2025学年度第一学期九年级成长的足迹（一） 数学 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 若分式 有意义，则满足的条件是（　　） A. B. C. D. 2. 2024年4月30日17时46分，神舟飞船再一次按计划准时准点从太空返回地面，中国航天员不断在太空创造新的纪录．下列四个以航天为主题的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 给出下列判断，正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 6. 九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 7. 如果，那么的值为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 8. 在中，已知 ，，的垂直平分线分别交，于点，，点和点分别是线段和边上的动点，则 的最小值为 （　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若不等式（m为常数，且）的解集为 ，则m的取值范围是______________． 10. 已知一元二次方程的两根分别为，，则__________． 11. 若关于的分式方程 有增根，则的值为____． 12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形， ，，将对角线绕点顺时针旋转交的延长线于点 ，则点 的坐标为_____． 13. 如图，在等腰中， ，，以为边作等边 ，连接，若平分交于点E，则的长为____________． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题6分，第15题11分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题9分，第20题10分，共61分） 14. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 15. （1）先化简，再求值：，其中． （2）解方程： 16. 已知 ． （1）如图1，请用无刻度的直尺和圆规按要求作图：作线段的中点D（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图2，在（1）的条件下，点E为边上一点且．，连接，取的中点F，连接、、，求证：四边形为平行四边形． 17. 某著名的旅游城市2016年“十一”黄金周期间，接待游客近1000万人次，2018年“十一”黄金周期间，接待游客已达1690万人次． （1）求出2016年至2018年十一长假期间游客人次的年平均增长率； （2）该市一家特色小面店希望在长假期间获得较好的收益，经测算知，该小面的成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．若规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家能实现每天盈利6300元？ 18. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF． （1）求证：BD=DF； （2）求证：四边形BDFG为菱形； （3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长． 19. 受全球气候变暖影响，今年深圳的雨水特别多．据悉，不止深圳，整个华南地区暴雨形成“列车效应”．雨水增多导致雨伞的需求量大大增加．下图是某型号雨伞的结构图． 根据以下素材，探索完成任务， 探究雨伞中的数学问题 素材1 图1是这个雨伞的示意图．不管是张开还是收拢，是伞柄， 伞骨且，， D点为伞圈． 伞完全张开时，如图1所示． 素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图， 此时伞圈D滑动到的位置， 且三点共线． 测得（参考值：）． 素材3 同学们经过研究发现： 雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为， 小田站在伞圈D点的正下方点G处， 记为， 此时发现身上被雨淋湿， 测得． 问题解决 任务1 判断AP位置 求证：是的角平分线． 任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢， 求伞圈D移动的距离（精确到）． 任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离_____，使得人站在G处身上不被雨淋湿，（直接写出答案） 20. 综合与实践： 【问题情境】 活动课上，同学们以等边三角形为背景开展旋转探究活动，数学小组经过研究发现“等边三角形在旋转过程中，对应边所在直线的夹角与旋转角存在一定关系”（注：平面内两直线的夹角是指两直线相交形成的小于或等于90°的角）．如图1，将等边绕点A逆时针旋转15°得到，则线段与线段的夹角．如图2，将等边绕点A逆时针旋转100°得到，则线段与线段所在直线的夹角． 【特例分析】 （1）如图1，若将等边绕点A逆时针旋转得到，线段与线段所在直线的夹角度数为______度；如图2，若将等边绕点A逆时针旋转得到，线段与线段所在直线的夹角度数为______度． 【类比分析】 （2）如图3，已知是等边三角形，分别在边和上截取和，使得，连接．如图4，将绕点A逆时针旋转（），连接，当和所在直线互相垂直时，线段之间有怎样的等量关系？试探究你的结论，并说明理由． 【延伸应用】 （3）在（2）的条件下，如图3，若，，将绕点A逆时针旋转（）．当和所在直线互相垂直时，请直接写出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $