专题强化：三角形题型归纳（13大题型）培优-2024-2025学年八年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

专题强化：三角形题型归纳 【题型归纳】 题型一：三角形的认识与分类 1．（23-24八年级上·浙江杭州）下列说法正确的是(　　) A．三角形的高不在三角形内就在三角形外 B．三角形的中线和高都是线段，但内角平分线是射线. C．等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个等腰三角形的底 D．三角形三个内角平分线的交点是重心 2．（20-21八年级上·安徽六安·期末）下列命题中正确的是（    ） A．三条线段组成的图形叫三角形． B．三角形的角平分线是射线． C．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外． D．等边三角形的三条高的交点与其三条中线的交点重合． 3．（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）下面说法正确的个数有（    ） ①如果三角形三个内角的比是1：2：3，那么这个三角形是直角三角形； ②三角形的三条高都在三角形内部； ③两条直角边对应相等的两直角三角形全等； ④三角形不一定具有稳定性； ⑤五边形剪掉一个角后，一定变成四边形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二：三角形的稳定性 4．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（    ） A．   B．   C．   D．   5．（22-23八年级上·四川自贡·阶段练习）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 6．（2021·吉林长春·二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型三：三角形的三边关系 7．（23-24七年级下·上海青浦·期末）如果等腰三角形一边长为5，另一边长为10，那么它的周长是（    ） A．26 B．25 C．20 D．20或25 8．（2024·河北邢台·三模）五条线段的长度分别为3，4，m，n，14（m，n均为整数，且），已知任意相邻的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．11 9．（23-24八年级下·河南商丘·期中）已知一等腰三角形的周长为，其中一边长，则这个等腰三角形的腰长为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 题型四：三角形的高 10．（2024八年级·全国·竞赛）已知的周长为，其三边上的高分别为，则的面积为（    ）． A． B． C． D． 11．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如图，在中，是边上的中线，是边上的高，若，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，是的高，是的角平分线，，，则的度数是（　　　）    A． B． C． D． 题型五：三角形的中线问题 13．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在中，分别是边上的中线和高，若，，则线段的长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 14．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接，，且的面积为，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在中，平分，于点，是线段的中点，若，，，则的长是（    ） A． B．4 C． D．5 题型六：三角形的角平分线问题 16．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，的平分线交边于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 17．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，的面积为，平分，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，的面积为，平分，于，连接，则的面积为（    ） A． B． C． D． 题型七：三角形内角和定理 19．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，把纸片沿着折叠，点A落在四边形内部，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，的三等分线、与的三等分线、分别交于点D、E，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 21．（2024·甘肃武威·二模）如图，在中，于D，平分交于点E，交于点F，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型八：三角形外角和性质 22．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（    ） A． B． C． D． 23．（23-24七年级下·四川内江·期末）如图，（    ） A． B． C． D． 24．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，是角平分线，是边上的高，延长与外角的平分线交于点．以下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型九：多边形的对角线问题 25．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知一个多边形的内角和与外角和相加为，求这个多边形的对角线的条数是（） A．54 B．12 C．10 D．56 26．（21-22八年级上·陕西渭南·阶段练习）从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成5个三角形，则这个多边形的边数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 27．（20-21八年级上·江西南昌·期中）多边形每一个内角都等于135°，则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为（　　　） A．3条 B．4条 C．5条 D．8条 题型十：多边形的内角和问题 28．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大；②周长变小；③外角和增加；④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 29．（2024·河北石家庄·三模）如图，五边形是正五边形，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24八年级上·山东东营·期末）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，，那么的度数等于（    ） A．10° B．12° C．15° D．20° 题型十一：多边形的外角和问题 31．（23-24八年级上·山东烟台·期末）一个多边形的内角和比四边形的外角和多，并且这个多边形的各内角相等，则这个多边形的一个外角是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）如图，正五边形，平分，平分，则（　　） A． B． C． D． 33．（23-24八年级上·广东惠州·阶段练习）如图七边形中，，的延长线相交于O点．若图中、、、的外角的角度和为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 题型十二：平面镶嵌问题 34．（23-24八年级上·山东济宁·期中）生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种性质相同的图形拼接而成的．像这样的用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．如果选用两种儿何图形镶嵌整个地面，下列哪种组合能镶嵌成一个平面图形．（    ） A．正三角形和正五边形 B．正方形和正六边形 C．正方形和正八边形 D．正五边形和正九边形 35．（22-23八年级上·广东广州·期末）用两种边长相等的正多边形进行平面镶嵌，不能与正三角形匹配的正多边形是（    ） A．正方形 B．正六边形 C．正十二边形 D．正十八边形 36．（21-22八年级下·安徽合肥·期末）用边长相等的两种正多边形地砖铺设地面，要求图形间既无缝隙又不重叠（平面镶嵌），下面选项中的两种正多边形不可以用来平面镶嵌的是（    ） A．正三角形、正四边形 B．正三角形、正六边形 C．正四边形、正六边形 D．正四边形、正八边形 题型十三：三角形的综合问题 37．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是边上的高，． (1)求的度数； (2)若是的角平分线，交于点F，求的度数． 38．（2024八年级上·江苏·专题练习）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 39．（2024八年级上·全国·专题练习）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)若，则的度数是 ； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系． (3)如图③，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 【专题强化】 一、单选题 40．（24-25八年级上·山东德州）若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角为（    ） A． B． C． D． 41．（23-24八年级上·湖南长沙·开学考试）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（   ） A．3，7，10 B．13，11，20 C．7，8，16 D．3，3，7 42．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（    ） A． B． C． D． 43．（24-25八年级上·甘肃武威·开学考试）如图，在四边形中，，延长至点E，连接交于点F．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 44．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，分别平分于点，若的周长为，的面积为，则的长为（　　） A． B． C． D． 45．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，已知、分别为的边、的中点，连接、，为的中线．若四边形的面积为20，则的面积为（　　） A．30 B．32 C．34 D．36 二、填空题 46．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，四边形四边形，若，，，则 ．    47．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是的外角，平分平分，且交于点D．若，则的度数为 ． 48．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“三倍角三角形”．若是“三倍角三角形”，且，则中最小内角的度数为 49．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点A落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为 ． 三、解答题 50．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，，是边上的高，的平分线交于点．求的度数． 51．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 52．（23-24八年级上·四川达州·期末）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)如图1，若，点P在内部，， 求； (2)如图2，将点P移到外部，则之间有何数量关系？请证明你的结论． 53．（2024八年级上·全国·专题练习）（1）已知中，于平分，，求的度数； （2）在图2中，其他条件不变，若把“于改为是上一点，于”，求的度数； （3）在图3中，，且，若把（2）中的“点在上”改为“点是延长线上一点”，其余条件不变，试用表示的度数为 ． 54．（2024八年级上·全国·专题练习）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究： (1)【习题回顾】已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； (2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，若，求和的度数； (3)【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点D，使得，角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M，若，求的度数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化：三角形题型归纳 【题型归纳】 题型一：三角形的认识与分类 1．（23-24八年级上·浙江杭州）下列说法正确的是(　　) A．三角形的高不在三角形内就在三角形外 B．三角形的中线和高都是线段，但内角平分线是射线. C．等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个等腰三角形的底 D．三角形三个内角平分线的交点是重心 【答案】C 【分析】本题主要考查的了三角形的高、内角平分线和中线的概念、三角形的重心的概念等知识点，掌握三角形的相关概念是解题的关键． 根据三角形的高、内角平分线和中线的概念、三角形的重心的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、三角形的高在三角形内部或在三角形外部或在三角形的边上，本选项说法错误； B、三角形的中线和高都是线段，内角平分线也是线段，本选项说法错误； C、等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个等腰三角形的底，本选项说法正确； D、三角形三边中线的交点是重心，本选项说法错误； 故选：C． 2．（20-21八年级上·安徽六安·期末）下列命题中正确的是（    ） A．三条线段组成的图形叫三角形． B．三角形的角平分线是射线． C．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外． D．等边三角形的三条高的交点与其三条中线的交点重合． 【答案】D 【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项． 【详解】解：A.三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形，故该命题错误； B.三角形的角平分线是线段，故该命题错误； C.三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点可以在三角形的内部或外部，也可以在直角三角形的直角顶点上，故该命题错误； D.等边三角形的三条高的交点与其三条中线的交点重合，故该命题正确． 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形的定义以及三角形的三条重要线段，熟记三角形的基本概念是解决本题的关键． 3．（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）下面说法正确的个数有（    ） ①如果三角形三个内角的比是1：2：3，那么这个三角形是直角三角形； ②三角形的三条高都在三角形内部； ③两条直角边对应相等的两直角三角形全等； ④三角形不一定具有稳定性； ⑤五边形剪掉一个角后，一定变成四边形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和定理，三角形的高，全等三角形的判定，三角形的稳定性，多边形减去一个角等知识，对各说法进行判断作答即可． 【详解】解：如果三角形三个内角的比是1：2：3，则三角形的三个内角分别为：，，，即这个三角形是直角三角形，①正确，故符合要求； 钝角三角形的三条高不都在三角形内部，②错误，故不符合要求； 两条直角边对应相等的两直角三角形全等，③正确，故符合要求； 三角形具有稳定性，④错误，故不符合要求； 五边形剪掉一个角后，不一定变成四边形，⑤错误，故不符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的高，全等三角形的判定，三角形的稳定性，多边形减去一个角等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 题型二：三角形的稳定性 4．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】窗框与钉上的木条形成三角形，是利用三角形稳定性；张开的梯腿地面形成三角形，是利用三角形稳定性；伸缩门的结构是平行四边形，不是利用三角形稳定性；张开的马扎腿形成三角形，是利用三角形稳定性． 【详解】A、木窗框与对角钉的木条形成的三角形，三边和三角固定，防止安装变形，是利用三角形的稳定性； B、活动梯子，张开的梯腿与地面形成三角形，三边和三角固定，防止登上变形，是利用三角形的稳定性； C、伸缩门的结构是平行四边形，四角活动可以变形开关门，是利用四边形的不稳定性，不是利用三角形的稳定性； D、小马扎的座面与张开的马扎腿形成三角形，三边与三角固定，防止坐上变形，是利用三角形的稳定性． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性的应用，解决问题的关键是熟练掌握生活现象构成的几何图形，三角形的稳定性，四边形的不稳定性． 5．（22-23八年级上·四川自贡·阶段练习）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：选项D中活动衣架上没有三角形，其余A、B、C选项中都含有三角形， 由三角形的稳定性可知，选项D中没有利用三角形的稳定性， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键． 6．（2021·吉林长春·二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角形的稳定性及多边形对角线的条数即可得答案． 【详解】∵三角形具有稳定性， ∴要使五边形不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线， ∵过五边形的一个顶点可作对角线的条数为5-3=2（条）， ∴要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为2条， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的稳定性及多边形的对角线，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 题型三：三角形的三边关系 7．（23-24七年级下·上海青浦·期末）如果等腰三角形一边长为5，另一边长为10，那么它的周长是（    ） A．26 B．25 C．20 D．20或25 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系定理，掌握等腰三角形的性质、三角形三边关系定理、以及运用分类讨论思想是解题的关键．由于等腰三角形的底边与腰不能确定，故应分5为底边与10为底边两种情况进行讨论． 【详解】解：当腰长为5，底长为10时，，不能组成三角形， 当底边长为5时，腰长为10，，能组成三角形， ∴这个等腰三角形的周长为：． 故选：B． 8．（2024·河北邢台·三模）五条线段的长度分别为3，4，m，n，14（m，n均为整数，且），已知任意相邻的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．11 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边的关系，熟练掌握任意两边之和大于第三边是解题的关键． 根据三角形三边关系求解即可． 【详解】解：由题意，，则m的值为5或6． 若，，n最大取8，而5，8，14不能构成三角形； 若，，n的值为7或8或9，只有6，9，14能构成三角形， 所以． 故选：C． 9．（23-24八年级下·河南商丘·期中）已知一等腰三角形的周长为，其中一边长，则这个等腰三角形的腰长为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，三角形的三边关系，等腰三角形的性质．熟练掌握二次根式的加减运算，三角形的三边关系，等腰三角形的性质是解题的关键． 由题意知，分一边长为腰，一边长为底边两种情况求解，然后对两种情况进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，分一边长为腰，一边长为底边两种情况求解； ①当一边长为腰时，则底边长为， ∵， ∴此时不能构成三角形，舍去； ②当一边长为底边时，则腰长为； 综上所述，腰长为， 故选：B． 题型四：三角形的高 10．（2024八年级·全国·竞赛）已知的周长为，其三边上的高分别为，则的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的面积，掌握三角形面积公式是解题关键． 根据三角形的面积公式求得，根据比例关系可求，从而求出三角形面积． 【详解】解： ＝，即， ∴ ∵的周长为， ∴ ∴的面积为， 故选：B． 11．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如图，在中，是边上的中线，是边上的高，若，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，就可求得，再由面积公式即可求出的长度，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， 故选：． 12．（23-24八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，是的高，是的角平分线，，，则的度数是（　　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形有关的线段，根据三角形的高和角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， 故选：B． 题型五：三角形的中线问题 13．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在中，分别是边上的中线和高，若，，则线段的长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形可得，然后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【详解】解：是边上的中线， ∴， ， ， ， 解得：， 故选：B． 14．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接，，且的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中线性质，掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两个部分是解题的关键．根据三角形中线，可以知道，，，从而计算出答案． 【详解】是边上的中线 又， 是的中点 ， 故选：A． 15．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在中，平分，于点，是线段的中点，若，，，则的长是（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理和三角形中线性质，作于，先利用角平分线的性质得到，由三角形中线可知，再根据即可得． 【详解】解：如图，作于， 平分，， ， 是线段的中点， ∴ ∴， ∵， ∴ 解得， 故选：C． 题型六：三角形的角平分线问题 16．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，的平分线交边于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线的定义，等角对等边，由三角形内角和定理可得，进而由角平分线的定义得，即得，得到，进而得到，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 17．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，的面积为，平分，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义及三角形面积，延长交于，证明，得到，，进而得到，由此得到，即可求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：延长交于， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 18．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，的面积为，平分，于，连接，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形的中线的性质，延长交于，证明，再由等腰三角形的性质可得，根据三角形的中线的性质可得，，由此进行计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，延长交于， ，平分， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 故选：C． 题型七：三角形内角和定理 19．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，把纸片沿着折叠，点A落在四边形内部，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查与三角形内角和有关的折叠问题，根据折痕是角平分线，结合三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵把纸片沿着折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 20．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，的三等分线、与的三等分线、分别交于点D、E，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的内角和定理，角平分线的定义； 根据三角形内角和定理求出，再根据三等分线求出可解答． 【详解】解：∵， 的三等分线、与的三等分线、分别交于点D、E，， ，， ∴ ∵在中，°， ∴， 故选：B． 21．（2024·甘肃武威·二模）如图，在中，于D，平分交于点E，交于点F，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求三角形的内角和定理，角平分线的定义，以及直角三角形的性质．在中，由三角形的内角和定理得到的度数，又根据平分，得到的度数，再根据余角的定义即可求解； 【详解】解：在中，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴． 故选：C． 题型八：三角形外角和性质 22．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角性质以及角平分线的定义，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．由平分，平分，利用角平分线的定义，可求出，的度数，由是的外角，是的外角，利用三角形的外角性质，可求出，的度数，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：平分，平分， ，． 是的外角，是的外角， ，， ． 故选：B 23．（23-24七年级下·四川内江·期末）如图，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理的应用．掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题关键．根据三角形外角的性质把这七个角转化为一个三角形的内角，再根据三角形的内角和等于解答即可． 【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点P，与交于点M，与交于点N， ∴，，，． ∵， ∴． 故选D． 24．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，是角平分线，是边上的高，延长与外角的平分线交于点．以下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线与高的含义，三角形的外角的性质，灵活运用三角形的外角的性质解决问题是关键． 由三角形的角平分线的含义可判断①，由三角形的高的含义可判断②，证明，，，，从而可得出，可判断③，由，，可得，从而可判断④，从而可得答案． 【详解】解：是角平分线， ，故①正确； 是边上的高， ，故②正确； 是角平分线，平分， ，， ，， ， ，故③正确； ，， ，故④正确； ∴正确的有①②③④共4个， 故选：D． 题型九：多边形的对角线问题 25．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知一个多边形的内角和与外角和相加为，求这个多边形的对角线的条数是（） A．54 B．12 C．10 D．56 【答案】A 【分析】已知一个多边形的内角和与外角和的和为，外角和是360度，因而内角和是1800度．边形的内角和是，代入就得到一个关于的方程，就可以解得边数，从而得到这个多边形的对角线的条数． 【详解】解：设这是边形，则 这个多边形的对角线的条数 故选：A． 【点睛】考查了多边形内角与外角，已知多边形的内角和求边数，可以转化为解方程的问题解决． 26．（21-22八年级上·陕西渭南·阶段练习）从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成5个三角形，则这个多边形的边数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】设这个多边形的边数是边形，根据从一个边形的某个顶点出发，可以引条对角线，把边形分为个三角形，由此可得，进行计算即可得到答案 【详解】解：设这个多边形的边数是边形， 根据题意可得：， 解得：， 这个多边形的边数是7， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形，解题的关键是掌握从一个边形的某个顶点出发，可以引条对角线，把边形分为个三角形． 27．（20-21八年级上·江西南昌·期中）多边形每一个内角都等于135°，则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为（　　　） A．3条 B．4条 C．5条 D．8条 【答案】C 【分析】根据正多边形内角与外角的性质，求出此多边形边数，从而求出这个多边形从一个顶点出发引出的对角线的条数． 【详解】解：∵一个多边形的每一个内角都等于135°， ∴此多边形的每一个外角是180°-135°=45°， ∵任意多边形的外角和是：360°， ∴此多边形边数是：360°÷45°=8， ∴这个多边形从一个顶点出发引出的对角线的条数是：n-3=8-3=5． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了正多边形内角与外角的性质，以及多边形对角线求法，题目综合性较强，同学们应熟练掌握相关公式． 题型十：多边形的内角和问题 28．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大；②周长变小；③外角和增加；④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的有关知识，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和外角的性质． 根据三角形两边之和大于第三边，判断周长的大小，从而判断①②，再根据多边形外角性质：多边形的外角和都为，与边数无关判断③，最后根据多边形的内角和定理判断④即可． 【详解】解：∵将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形， ∴该六边形的周长比原五边形的周长小， ∴①的说法错误，②的说法正确； ∵多边形的外角和与边数无关，都是， ∴③的说法错误； ∵五边形的边数增加了1， ∴根据多边形内角和定理可知六边形的内角和为． ∴④的说法正确； 综上可知：说法正确的是②④， 故选：D． 29．（2024·河北石家庄·三模）如图，五边形是正五边形，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了多边形的内角和外角及平行线的性质，熟记多边形内角和公式及平行线的性质是解题的关键． 连接，根据多边形的内角和及平行线的性质求解即可． 【详解】如图, 连接, ∵五边形是正五边形， ，， ， ， ， 故选: C． 30．（23-24八年级上·山东东营·期末）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，，那么的度数等于（    ） A．10° B．12° C．15° D．20° 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理、平角的定义以及多边形内角与外角，在中，利用三角形内角和定理求出的度数是解题的关键． 【详解】解：在图中标上点，，，如图所示， 根据题意得：； ； ． ． 故选：B． 题型十一：多边形的外角和问题 31．（23-24八年级上·山东烟台·期末）一个多边形的内角和比四边形的外角和多，并且这个多边形的各内角相等，则这个多边形的一个外角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题主要考查多边形的内角和和外角和定理，解题的关键是根据题意列出方程从而解决问题． 首先设这个多边形边数为n，由题意得出等量关系，即这个多边形的内角和比四边形的内角和多，由此列出方程解出边数，进一步根据这个多边形的各内角相等，得到它各外角都相等，用多边开外角和定理即可解答． 【详解】解：设这个多边形边数为n，根据题意，得 ， 解得：， ∵这个多边形的每个内角都相等， ∴它各外角都相等， ∴一个外角为：， 故选：B 32．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）如图，正五边形，平分，平分，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形．解决问题的关键是熟练掌握多边形内角和定理，外角和定理，正多边形性质，角平分线定义． 根据正五边形内角和与角平分线定义，求出的度数，根据正五边形外角和与角平分线定义，求出的度数,在四边形中即可求出的度数． 【详解】如图： ∵正五边形中，，平分， ∴， ∵，平分正五边形的外角， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 33．（23-24八年级上·广东惠州·阶段练习）如图七边形中，，的延长线相交于O点．若图中、、、的外角的角度和为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形内角和定理及内外角关系，解题的关键是根据题意得到是五边形．根据七边形中，，的延长线相交于点，得到是五边形，根据、、、的外角和为，得到，结合内角和定理即可得到答案. 【详解】解：∵七边形中，，的延长线相交于点， ∴图形是五边形， ∵、、、的外角和为， ∴， ∴， 故选：A. 题型十二：平面镶嵌问题 34．（23-24八年级上·山东济宁·期中）生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种性质相同的图形拼接而成的．像这样的用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．如果选用两种儿何图形镶嵌整个地面，下列哪种组合能镶嵌成一个平面图形．（    ） A．正三角形和正五边形 B．正方形和正六边形 C．正方形和正八边形 D．正五边形和正九边形 【答案】C 【分析】本题考查了平面镶嵌，判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．由此逐项判断即可． 【详解】解：A选项，正三角形的内角为，正五边形内角为，的整数倍和的整数倍之和不能凑成，因此不能镶嵌成一个平面图形，不合题意； B选项，正方形的内角为，正六边形内角为，的整数倍和的整数倍之和不能凑成，因此不能镶嵌成一个平面图形，不合题意； C选项，正方形的内角为，正八边形内角为，，因此能镶嵌成一个平面图形，符合题意； D选项，正五边形的内角为，正九边形内角为，的整数倍和的整数倍之和不能凑成，因此不能镶嵌成一个平面图形，不合题意； 故选C． 35．（22-23八年级上·广东广州·期末）用两种边长相等的正多边形进行平面镶嵌，不能与正三角形匹配的正多边形是（    ） A．正方形 B．正六边形 C．正十二边形 D．正十八边形 【答案】D 【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为．因此要看用两种图形的几个内角是否可以拼出，依此即可解答． 【详解】∵正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为， 又∵， ∴正方形能与之匹配，故A不符合题意； ∵正三角形的每个内角为，正六边形的每个内角为， 又∵或， ∴正六边形能与之匹配，故B不符合题意； ∵正三角形的每个内角为，正十二边形的每个内角为， 又∵， ∴正十二边形能与之匹配，故C不符合题意； ∵正三角形的每个内角为，正十八边形的每个内角为， 又∵此时不能够构成的周角， ∴正十八边形不能与之匹配，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查正多边形的内角问题．理解几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角 36．（21-22八年级下·安徽合肥·期末）用边长相等的两种正多边形地砖铺设地面，要求图形间既无缝隙又不重叠（平面镶嵌），下面选项中的两种正多边形不可以用来平面镶嵌的是（    ） A．正三角形、正四边形 B．正三角形、正六边形 C．正四边形、正六边形 D．正四边形、正八边形 【答案】C 【分析】先利用三角形的内角和、多边形的内角和分别求出正三角形、正四边形、正六边形、正八边形的每个内角的度数，再逐项分析即可得． 【详解】解：正三角形的每个内角的度数为， 正四边形的每个内角的度数为， 正六边形的每个内角的度数为， 正八边形的每个内角的度数为， 因为， 所以正三角形、正四边形可以用来平面镶嵌，选项A不符题意； 因为， 所以正三角形、正六边形可以用来平面镶嵌，选项B不符题意； 因为不存在正整数使得成立， 所以正四边形、正六边形不可以用来平面镶嵌，选项C符合题意； 因为， 所以正四边形、正八边形可以用来平面镶嵌，选项D不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内角和、正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题关键． 题型十三：三角形的综合问题 37．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是边上的高，． (1)求的度数； (2)若是的角平分线，交于点F，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的定义： （1）根据三角形内角和定理，可得，再根据，即可求解； （2）根据角平分线的定义，可得，然后根据三角形外角的定义，即可求解． 【详解】（1）解：在中，∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，是的角平分线， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 38．（2024八年级上·江苏·专题练习）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查折叠性质，三角形内角和定理，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质． （1）根据折叠前后的图象全等可知，，，再根据三角形内角和定理比可求出答案； （2）连接，将作为一个整体，根据三角形内角和定理来求； （3）将看作，看作，再根据三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】（1）解：由折叠性质可知：，， ， ； （2）解：连接， 由折叠性质可知：， ， ； （3）解： ， 所以：． 39．（2024八年级上·全国·专题练习）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)若，则的度数是 ； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系． (3)如图③，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 或 或 或． 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，角平分线定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理，理解角平分线定义是解决问题的关键． （1）根据角平分线定义及三角形内角和定理得，则，再根据可得的度数； （2）由三角形的外角定理及三角形三角形内角和定理得，再由角平分线定义得，由此得，之间的数量关系； （3）先求出，根据得，然后分四种情况讨论如下：①当时，则，此时，②当时，则，此时，③当时，则，此时，④当时，则此时，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）在中，， 与的平分线相交于点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． （2），之间的数量关系是：，理由如下： ，，， ， 点是和的角平分线的交点 ， ， ， 故，之间的数量关系是：； （3）平分，平分，， ，， ， 即， ， 由（2）可知：， ， ， 如果在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么有以下四种情况： ①当时，则， ， 此时， ②当时，则， ，则， 此时， ③当时，则， ， 此时， ④当时，则， ， 此时， 综上所述，的度数是 或 或 或． 【专题强化】 一、单选题 40．（24-25八年级上·山东德州）若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形的内角和外角和，根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决． 边形的内角和可以表示成，根据题意列方程，求出正多边形的边数，再根据多边形的外角和为解答即可． 【详解】解：设该正多边形的边数为， 根据题意列方程，得， 解得， ∴该正多边形的边数是9， ∵多边形的外角和为， ， ∴该正多边形的一个外角为． 故选B． 41．（23-24八年级上·湖南长沙·开学考试）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（   ） A．3，7，10 B．13，11，20 C．7，8，16 D．3，3，7 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，长度是3，7，10的小木棒不能摆成三角形，故此选项不符合题意； B、，长度是13，11，20的小木棒能摆成三角形，故此选项符合题意； C、，长度是7，8，16的小木棒不能摆成三角形，故此选项不符合题意； D、，长度是3，3，7的小木棒不能摆成三角形，故此选项不符合题意． 故选：B． 42．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的知识，理解三角形中线的定义是解题关键．根据三角形中线的定义可得，结合题意可得，进而获得答案． 【详解】解：∵是的边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 43．（24-25八年级上·甘肃武威·开学考试）如图，在四边形中，，延长至点E，连接交于点F．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角与外角，平行线的性质，设，则，利用三角形的内角和运算出x的值，再利用平行线的性质求解即可 【详解】解：设，则， ∴在中，， 即， 解得：， ∴， ∵, ∴， ∵， ∴， 故选：C. 44．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，分别平分于点，若的周长为，的面积为，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的性质，与三角形高有关的计算，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图所示，过作于于，根据角平分线的性质可得，因为的面积的面积的面积的面积，所以有，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过作于于， ∵分别平分， ∴， ∵的面积的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 45．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，已知、分别为的边、的中点，连接、，为的中线．若四边形的面积为20，则的面积为（　　） A．30 B．32 C．34 D．36 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线与三角形面积的关系，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．根据三角形中线平分三角形面积推出，，再根据四边形的面积为20，得到，据此求解即可． 【详解】解：是的中线， ， 同理可得， 同理可得， ， 四边形的面积为20， ， ， ， 故选：B 二、填空题 46．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，四边形四边形，若，，，则 ．    【答案】105 【分析】本题考查了全等图形的性质和四边形内角和定理．根据全等的性质求出′，，利用四边形的内角和公式求出的度数即可求出度数． 【详解】解：四边形四边形， ′，． ， ， ，， ． 故答案为：105． 47．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，是的外角，平分平分，且交于点D．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义以及三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义以及三角形外角的性质是解决本题的关键．根据角平分线的定义，由平分平分，得．根据三角形外角的性质，得，从而推断出． 【详解】解：∵平分平分， ∴． ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 48．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“三倍角三角形”．若是“三倍角三角形”，且，则中最小内角的度数为 【答案】或 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，分类思想的应用，掌握以上知识是解题的关键． 由是“三倍角三角形”，且，不妨设，再分三种情况讨论，当时，当时，当时，再结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵是“三倍角三角形”，且，不妨设， 当时，则， ， 当时， ， ， ， 当时，则，不合题意舍去， 综上：是“三倍角三角形”，中最小内角的度数为或． 故答案为：或． 49．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点A落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了翻折变换，平行线的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．首先根据三角形内角和定理得到，然后根据折叠的性质和平行线的性质分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵把沿折叠， ∴， 如图，若， ∴， ∴ ∵把沿折叠， ∴； 如图，若， ∴   ∵把沿折叠， ∴ 综上所述，的大小为或． 故答案为：或． 三、解答题 50．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，，是边上的高，的平分线交于点．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义以及三角形的外角，关键是三角形内角和定理的应用．先根据三角形的内角和定理得到的度数，然后根据角平分线的定义得到的值，然后利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和解题即可． 【详解】解：在中，，， ， 又是的平分线， ， 又是边上的高， ， ． 51．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义： （1）先由三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义得到，由垂线的定义得到，则，根据即可解题； （2）仿照（1）的步骤求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 52．（23-24八年级上·四川达州·期末）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)如图1，若，点P在内部，， 求； (2)如图2，将点P移到外部，则之间有何数量关系？请证明你的结论． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，关键是熟悉两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等的知识点． （1）过P点作，根据平行线的性质即可求解； （2）根据平行线的性质和三角形外角的性质即可求解； 【详解】（1）【小问1详解】 解：如图1，过P点作，    ∵， ∴， ∴，， ∵； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴； 53．（2024八年级上·全国·专题练习）（1）已知中，于平分，，求的度数； （2）在图2中，其他条件不变，若把“于改为是上一点，于”，求的度数； （3）在图3中，，且，若把（2）中的“点在上”改为“点是延长线上一点”，其余条件不变，试用表示的度数为 ． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握三角形内角和定理，图形结合分析方法是解题的关键． （1）根据三角形的内角和得的度数，再利用角平分线的定义得，从而得出答案； （2）根据三角形内角和定理、角平分线定义用含代数式表示和，根据三角形内角和定理求出； （3）同理（2），用含代数式表示和即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴； （2）∵， ∴ ， ∴， ∴在中， ， ∵， ∴； （3）∵， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：． 54．（2024八年级上·全国·专题练习）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究： (1)【习题回顾】已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； (2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，若，求和的度数； (3)【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点D，使得，角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，余角的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由余角的性质可得，由角平分线的性质和外角的性质可得结论； （2）由三角形内角和定理可求，由角平分线的性质可求，由余角的性质可求解； （3）由平角的性质和角平分线的性质可求，由外角的性质可求解． 【详解】（1）证明：∵，是高， ∴，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∵为边上的高， ∴， ∴， ． （3）证明：∵C、A、G三点共线，、为角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$