追梦第六章章末复习 反比例函数-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(北师大版)

追梦第六章章末复习　 反比例函数 􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 反 比 例 函 数 概念:一般地,如果两个变量 x,y 之间的对应关系可以表示成 y= k x (k 为常数,k≠0)的形式, 那么称 y 是 x 的反比例函数,反比例函数的自变量 x 不能为 0 图象 当 k>0 时,双曲线的两支分别位于第一、第三象限 当 k<0 时,双曲线的两支分别位于第二、第四象限{ 增减性 当 k>0 时,在每一个象限内,y 随 x 的增大而减小 当 k<0 时,在每一个象限内,y 随 x 的增大而增大{ 用待定系数法求反比例函 数表达式的一般步骤 (1)设:根据题意,设反比例函数的表达式为 y= k x (k 为常数,k≠0) (2)列:把一对对应值(x,y)代入 y= k x ,得到关于 k 的方程 (3)解:解方程,求出 k (4)写:代入 k,写出表达式 ì î í ï ï ïï ï ï ï ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈实际问题与反比例函数 构建反比例函数模型,运用反比例函数的图象和性质解决实际问题 构建反比例函数模型时,自变量取值(范围)要符合实际情况{ 反比例函数的图象和性质 1. (3 分)对于反比例函数 y= - 9 x ,下列说法不正 确的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 点( -3,3)在它的图象上 B. 当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大 C. 它的图象在第二、第四象限 D. 当 x<0 时,y 随 x 的增大而减小 2. (3 分)已知 A( -2,y1 )、B(3,y2 )是反比例函 数 y= k x (k<0)图象上的两点,则(　 　 ) A. y1 <0<y2 B. y2 <0<y1 C. y1 <y2 <0 D. y2 <y1 <0 3. (3 分)如图,矩形 ABCD 的边 AB 与 x 轴平行, 顶点 A 的坐标为(2,1),点 B 与点 D 都在反比 例函数 y = 6 x ( x> 0) 的图象上,则矩形 ABCD 的周长为　 　 　 　 . 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 4. (3 分)如图,点 A 在反比例函数 y = 1 x 上,点 B 在反比例函数 y = 3 x 上,且 AB∥x 轴,C、D 在 x 轴上. 如果四边形 ABCD 为矩形,那么它的面 积为　 　 　 　 . 反比例函数与一次函数的综合 5. (3 分) (郑州期末)如图,在平面直角坐标系 中,直线 y=x 与反比例函数 y= 1 x (x>0)的图象 交于点 A,将直线 y = x 沿 y 轴向上平移 k 个单 位长度,交 y 轴于点 B,交反比例函数图象于点 C.若 OA= 3BC,则 k 的值为(　 　 ) A. 2 B. 3 2 C. 3 D. 8 3 19 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBB·九年级数学上册 第 5 题图 　 第 6 题图 6. (3 分)如图,A、B 是反比例函数 y = k x (k> 0) 图象上关于原点 O 对称的两点,直线 AC 经过 点 C(0,-2),与 x 轴交于点 D. 若 C 为 AD 中 点, △ABD 的面积是 5, 则点 B 的坐标 为 　 　 　 　 . 7. (9 分)如图,一次函数 y = k1x+b(k1 ≠0)与反 比例函数 y = k2 x (k2 ≠0)的图象交于点 A( -1, 3),B(n,- 3 2 ),与 x 轴交于点 C. (1)求反比例函数和一次函数的表达式; (2)点 P 在 x 轴上,且满足 S△APB = 9,求点 P 的坐标. 反比例函数的应用 8. 热点情境·近视眼镜 (3 分)很多学生由于学习 时间过长,用眼不科学,视力下降,国家“双减” 政策的目标之一就是减轻学生的作业辅导,让 学生提质增效. 近视眼镜可以清晰看到远距离 物体,它的镜片是凹透镜,研究发现,近视眼镜 的度数 y(度)与镜片焦距 x(m)的关系式为 y= 100 x .下列说法不正确的是(　 　 ) A. 上述问题中,当 x 的值增大,y 的值随之减 小 B. 当镜片焦距是 0. 2 m 时,近视眼镜的度数 是 500 度 C. 当近视眼镜的度数是 400 度时,镜片焦距 是 0. 25 m D. 东东原来佩戴 400 度的近视眼镜,经过一 段时间的矫正治疗加注意用眼健康,复查 验光时,所配镜片焦距调整为 0. 4 m,则东 东的眼镜度数下降了 200 度 9. 跨学科试题·跨物理 (10 分)如图 2,小明设计 了一个探究杠杆平衡条件的实验:取一根长 为 100 米的匀质木杆,用细绳绑在木杆的中点 O 并将其吊起来. 在中点 O 的左侧距离中点 O 为 30 cm 处挂一个重 10 N 的物体,在中点 O 的右侧用一个弹簧秤向下拉,使木杆处于水 平状态. 改变弹簧秤与中点 O 的距离 L(单位: cm),观察弹簧秤的示数 F(单位:N)的变化情 况. 得出如下几组实验数据: L / cm 10 15 20 25 30 F / N 30 20 15 a 10 (1)观察如表实验数据,写出表中 a 的值为 　 　 　 　 . (2)以 L 的数值为横坐标,F 的数值为纵坐标 建立如图 1 平面直角坐标系,在坐标系中描出 以上表中的数对为坐标的各点,并用平滑的 曲线顺次连接这些点; (3)根据所画的图象,求出 F 与 L 的函数关系 式. 图 1 　 图 2 29 15. C　 【解析】连接 AC,AC 与 BD、x 轴分别交于点 E、F. ∵ A、B 横坐标分别为 1,4,∴ BE = 3. ∵ 四边形 ABCD 为菱 形,AC、BD 为对角线,∴ S菱形ABCD = 4× 1 2 AE·BE = 45 2 ,∴ AE= 15 4 . 设点 B 的坐标为(4,y),则 A 点坐标为(1,y+ 15 4 ),∵ 点 A、B 在 y = k x 图象上,∴ 4y = 1·(y+ 15 4 ),∴ y = 5 4 ,∴ B 点坐标为(4, 5 4 ),∴ k= 5. 故选 C. 3　 反比例函数的应用 1. D 2. B　 【解析】设 t 与 v 之间的关系式为 t= k v ,把 v= 200 时,t = 3 代入得:3 = k 200 ,∴ k = 600. ∴ t = 600 v ,当 t = 2. 5 时,即 2. 5 = 600 v ,∴ v= 240. 故选 B. 3. B　 4. A　 5. B 6. 解:(1)∵ 反比例函数 y= k x 的图象经过 A(3,1),∴ k = 3× 1 = 3,∴ 反比例函数的表达式为 y= 3 x ; (2)把 B(- 1 2 ,n)代入反比例函数表达式,可得- 1 2 n= 3, 解得 n= -6,∴ B(- 1 2 ,-6) . 把 A(3,1),B(- 1 2 ,-6)代入 一次函数 y=mx+b,可得 1 = 3m+b, -6 = - 1 2 m+b.{ 解得 m= 2,b= -5.{ ∴ 一 次函数的表达式为 y= 2x-5. 7. C 8. C　 【解析】A. 根据题意可知,I = U R1 +R2 = 12 60+(-2m+240) = 12 -2m+300 ,解得 m= 150- 6 I ;B. 由 m= 150- 6 I ,得 m 随 I 的增大而增大,∵ 0≤I≤0. 2,∴ 当 I= 0. 2 时,m 的最大值 为 120;C. 当 U= 12,m= 115 时,R2 = -2m+240 = -2×115+ 240 = 10,∵ I = U R1 +R2 = 12 10+R1 ,∴ R1 = 12 I -10,∴ R1 随 I 的 增大而减小,∵ 0≤I≤0. 2,∴ 当 I = 0. 2 时,R1 最小,最小 值为 50;D. 当 m = 115 时,R2 = - 2m+ 240 = 10,∵ R1 = 40, ∴ U=(R1 +R2) I = (10+40) I = 50I,∵ 50>0,∴ U 随 I 的增 大而增大,∵ 0≤I≤0. 2,∴ 当 I = 0. 2 时,U 最大,最大值 为 10. 故选 C. 9. 9. 6 10. a 2 　 【解析】设该砖的质量为 M,则 P·S=Mg. ∵ B 面向 下放在地上时地面所受压强为 a Pa,A,B,C 三个面的面 积之比是 4 ∶2 ∶1,∴ 把砖的 A 面向下放在地面上,P = a 4 2 = a 2 Pa. 11. 解:(1)设一次函数表达式为:y = kx+b,反比例函数表达 式为:y= m x (m≠0) . 当 0≤x<5 时,温度 y 与时间 x 成一 次函数关系,把点(0,15)和点(5,60)代入一次函数表 达式为 15 = b 60 = 5k+b{ ,解得: k= 9 b= 15{ ,∴ y= 9x+15(0≤x<5) . 当 x≥5 时,温度 y 与时间 x 成反比例函数关系,把点 (5,60)代入反比例函数表达式为 m = 5×60 = 300,∴ y = 300 x (x≥5) . 综上,将材料加热时,y = 9x+ 15(0≤x< 5), 停止加热进行操作时,y= 300 x (x≥5); (2)令 y= 300 x 中 y = 15 得,15 = 300 x ,解得:x = 20,∴ 从开 始加热到停止操作,共经历了 20 分钟. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　方法点拨:在分段函数中,用待定系数法求函数表达式 时,要特别注意图象的“转折点”,即两个函数图象的公共 点,它的横坐标是两个函数自变量取值范围的分界点,也 是求函数表达式的关键点. 专题　 反比例函数中 k 的几何意义 1. C 2. 5　 【解析】过 C 点作 CH⊥y 轴于 H 点,BC 交 x 轴于 D. ∵ BC∥y 轴,AB⊥BC,∴ 四边形 ABDO、四边形 ODCH、四边 形 ABCH 都是矩形. ∵ S矩形ABDO = 4,S矩形ODCH = 6,∴ S矩形ABCH = 4+6 = 10,∴ S△ABC = 1 2 S矩形ABCH = 5. 3. -3　 【解析】连接 OA、OD,设 AD 与 y 轴的交点为点 E,∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,BC⊥y 轴,∴ AD⊥y 轴,∴ S△OAE = 1 2 × | k | = | k | 2 ,S△ODE = 1 2 × 1 = 1 2 ,∴ S△OAD = | k | 2 + 1 2 ,∵ ▱ABCD 的面积= 2S△OAD = 4,∴ | k | +1 = 4. 解得 k = -3 或 3,∵ k<0,∴ k= -3. 4. B　 【解析】设点 A 的坐标为(x,y),则点 B 的坐标为(-x, -y),k= xy = 2,∵ AC∥y 轴,BC∥x 轴,∴ ∠C = 90°,AC = 2y,BC= 2x. ∴ S= 1 2 AC·BC = 1 2 ×2y× 2x = 2xy = 2 2 . 故 选 B. 5. 2　 【解析】联立方程组 y= x y= 1 x { 得 A(1,1),C(-1,-1) . ∵ AB⊥x 轴于点 B,CD⊥x 轴于点 D,∴ B(1,0),D(-1,0) . ∴ S△ADB = 1 2 ×(1+ | - 1 | ) × 1 = 1,S△BCD = 1 2 ×(1+ | - 1 | ) × | -1 | = 1,∴ S四边形ABCD =S△ADB+S△BCD = 2. 追梦第六章章末复习　 反比例函数 1. D　 2. B　 3. 12　 4. 2 5. D　 【解析】∵ 直线 y = x 与反比例函数 y = 1 x (x>0)的图 象交于点 A,∴ y= x y= 1 x { ,解得 x= 1y= 1{ ,∴ A 的横坐标为 1,∵ OA= 3BC,∴ C 的横坐标为 1 3 . 把 x = 1 3 代入 y = 1 x 得,y = 3,∴ C( 1 3 ,3),∵ 将直线 y = x 沿 y 轴向上平移 k 个单位 —42— 长度,得到直线 y= x+k,∴ 把 C( 1 3 ,3)代入得 3 = 1 3 +k,解 得 k= 8 3 . 故选 D. 6. ( 5 4 ,4)　 【解析】∵ C 为 AD 中点,C(0,-2),∴ yA = -4. ∵ 点 A、B 关于原点 O 对称,∴ B 点的纵坐标为 4,∵ S△ABD = | k | = 5,k>0,∴ k= 5,∴ 4 = 5 x ,∴ x= 5 4 ,∴ B( 5 4 ,4) . 7. 解:(1) ∵ 反比例函数 y = k2 x (k2 ≠0)的图象过点 A( - 1, 3),∴ k2 = -1×3 = -3,∴ 反比例函数的表达式为:y = - 3 x . ∵ 反比例函数 y= - 3 x 的图象过点 B(n,- 3 2 ),∴ - 3 2 n = -3,解得 n= 2. ∵ 一次函数 y = k1x+b(k1 ≠0)过点 A( -1, 3),B(2,- 3 2 ),∴ -k1 +b= 3 2k1 +b= - 3 2 { ,解得 k1 = - 3 2 b= 3 2 ì î í ï ï ï ï ,∴ 一次函 数的表达式为:y= - 3 2 x+ 3 2 ; (2)∵ 一次函数 y= - 3 2 x+ 3 2 与 x 轴交于点 C,∴ C(1,0) . 设点 P 的坐标为( t,0),∴ CP = | t- 1 | ,∴ S△APB = S△ACP + S△PBC = 1 2 · | t-1 | ·yA+ 1 2 · | t-1 | · | yB | = 1 2 · | t-1 | · 9 2 = 9, | t- 1 | = 4. 解得 t = - 3 或 t = 5,∴ 点 P 的坐标为 (-3,0)或(5,0) . 8. D 9. 解:(1)12 (2)图象如图所示: (3)根据图象可设解析式为:F = k L (L>0),把(10,30)代 入解析式可得:k= 300,∴ F 与 L 的函数关系式为:F = 300 L (L>0) . 􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸 􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸􀤸 􀦸 􀦸 􀦸􀦸《情境测试卷》答案 第一章情境测试卷 一、选择题 1. C　 2. B　 3. C 4. A　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ 点 A 与点 C 关 于 BD 对称,连接 CE 交 BD 于点 P,此时 PA+PE=PC+PE =EC. ∴ 此时 PA+PE 的值最小,最小值为线段 CE 的长. ∵ AB=BC= 2,点 E 是 AB 的中点,∴ BE = 1 2 AB = 1. ∴ CE = BC2 +BE2 = 22 +12 = 5 . 故选 A. 5. A　 【解析】连接 OP,根据题意知,点 P 是直角△AOB 斜 边的中点,则 OP 是直角△AOB 斜边上的中线,则 OP= 1 2 AB,由于 AB 的长度不变,则 OP 的长度不变. 故选 A. 6. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ OA = OC = 6,OB = OD,AC⊥BD. ∴ AC= 12. ∵ DH⊥AB,∴ ∠BHD= 90°. ∴ BD = 2OH= 2×4 = 8. ∴ 菱形 ABCD 的面积 = 1 2 AC·BD = 1 2 × 12×8 = 48. 故选 B. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　技巧点拨:本题主要考查菱形的性质、直角三角形斜边中 线定理及求菱形面积等知识,求出 BD 长是解题关键. 由 菱形性质可求得 AC= 12,根据直角三角形斜边中线定理 求出 BD 的长,再由菱形面积公式求解即可. 7. A　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AB =CD = 3,AO = CO=BO=DO. ∵ DF 垂直平分 OC,∴ OD =DC,∴ OD =DC =OC = 3,∴ △ODC 是等边三角形,∴ ∠ACD = 60°. ∴ ∠CAD= 30°. ∴ AC = 2 3,∴ BC = AC2 -AB2 = 12-3 = 3. ∵ DE⊥AC,∴ ∠CDE = ∠ODE = 30°,∴ DF = 2CF,∵ CF2 +CD2 =DF2,∴ CF = 1,∴ BF = 2,∴ AF = AB2 +BF2 = 3+4 = 7 . 故选 A. 8. D　 【解析】作 BE⊥DC 于点 E,AF⊥ BF 于点 F. ∵ AD∥BC,AB∥CD,∴ 四 边形 ABCD 是平行四边形. ∵ 两个矩 形的宽 都 是 4, ∴ BE = BF = 4. ∵ S四边形ABCD =BF·BC = BE·CD,∴ BC = CD,∴ 平行四边形 ABCD 是菱形. 如图,当菱形的一条对角线为矩形的对角 线时,四边形 ABCD 的面积最大,设 AB =BC = x,则 CE = 8 -x. ∵ BC2 =CE2 +BE2,∴ x2 = (8-x) 2 +42,解得 x = 5,∴ 四 边形 ABCD 面积的最大值是 5×4 = 20. 故选 D. 9. D　 【解析】当△EAP 与△PBQ 全等时有两种情况:①当 △APE≌△BQP 时,AP=BQ,AE =BP = 6,∴ AP = 10-BP = 4,运动时间为 4÷ 2 = 2( s),则 v = 4÷ 2 = 2( cm / s);②当 △APE≌△BPQ 时,AP=BP= 5,AE=QB= 6,运动时间为 5 ÷2 = 2. 5(s),则 v = 6÷ 2. 5 = 12 5 ( cm / s) . 综上,v 的值为 2 或 12 5 . 故选 D. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　方法点拨:本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定 与性质等知识点,数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性 质及定理是解题的关键. 10. D　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB =BC =CD = AD,∠B = ∠BCD = ∠D = ∠BAD = 90°. ∵ △AEF 等边三 角形,∴ AE = EF = AF,∠EAF = 60°. ∴ ∠BAE+ ∠DAF = 30°. 在 Rt△ABE 和 Rt△ADF 中, AE=AF AB=AD{ ,∴ Rt△ABE≌ Rt△ADF,∴ BE=DF. 故①正确. ∴ ∠BAE= ∠DAF = 15°. 故②正确. ∵ BC=CD,∴ BC-BE=CD-DF,即 CE=CF. ∵ AE=AF,∴ AC 垂直平分 EF. 故③正确. 设 EC = x,则 CF = x. 由勾股定理,得 AE =EF = 2 x,CG = 2 2 x = EG,∴ AG = AE2 -EG2 = 6 2 x,∴ AC = 6 2 x+ 2 2 x,∴ AB = 3 x +x 2 ,∴ —52—