期末情境测试卷-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(人教版)

第 25 页 第 26 页 期末情境测试卷 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 　 分数: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. 下列图形是中心对称图形的是(　 　 ) A 　 B 　 C 　 D 2. 将下列一元二次方程化成一般形式后,其中 二次项系数是 2,一次项系数是- 5,常数项 是-1 的方程是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 2x2 +1 = 5x B. 2x2 -1 = 5x C. 2x2 +5x= 1 D. 2x2 -5x= -1 3. 下列事件中,是随机事件的是(　 　 ) A. 两条直线被第三条直线所截,同位角相 等 B. 任意一个四边形的外角和等于 360° C. 早上太阳从西方升起 D. 平行四边形是中心对称图形 4. 若一次函数 y= kx+b(k≠0)的图象不经过第 二象限,则关于 x 的方程 x2 +kx+b= 0 的根的 情况是(　 　 ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 5. 文化情境·刺绣 “指尖上的非遗———麻柳刺 绣”,针线勾勒之间,绣出世间百态. 在一幅 长 80cm,宽 60cm 的麻柳刺绣的四周镶嵌宽 度相同的边框,制成的一幅矩形挂图,且整 个挂图的面积是 6300cm2 . 设边框的宽度为 xcm,则列出的方程为(　 　 ) A. (60+x)(80+x)= 6300 B. (60-x)(80-x)= 6300 C. (60+2x)(80+2x)= 6300 D. (60-2x)(80-2x)= 6300 6. 如图,点 A,B,C 都在☉O 上,若∠ACB = 36°,则∠OAB= (　 　 ) A. 18° B. 54° C. 36° D. 72° 第 6 题图 　 　 　 　 第 7 题图 7. 如图,四边形 ABCD 是☉O 的内接四边形, AD 与 BC 的延长线交于点 E,BA 与 CD 的延 长线交于点 F,∠DCE = 85°, ∠F = 28°,则 ∠E 的度数为(　 　 ) A. 38° B. 48° C. 58° D. 68° 8. 如图,已知正五边形 ABCDE 内接于☉O,点 F 为 AB ( 的中点,直线 EP 与☉O 相切于点 E,则∠FEP 的度数是(　 　 ) A. 60° B. 70° C. 54° D. 144° 第 8 题图 　 　 　 　 第 9 题图 9. 如图,在平面直角坐标系中,按如图所示放 置正方形 OABC,D 为 OA 上一点,其坐标为 D(1,2),将正方形 OABC 绕坐标原点 O 顺 时针旋转,每秒旋转 90°,旋转 2024 秒后点 D 的对应点 D′的坐标为(　 　 ) A. (2,1) B. (1,2) C. ( -1,-2) D. ( -1,2) 10. 已知二次函数 y= -x2 +x+6 及一次函数 y = -x+m,将该二次函数在 x 轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下方,图象的其余部分不 变,得到一个新函数(如图所示),当直线 y = -x+m 与新图象有 4 个交点时,m 的取值 范围是(　 　 ) A. -25 4 <m<3 B. -25 4 <m<2 C. -2<m<3 D. -6<m<-2 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 关于 x 的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1= 0 的一个根为 0,则 a 值为　 　 　 　 . 12. 在一个不透明的口袋中,装有除颜色外完 全相同的 15 个小球,任意摸出一个小球, 从中摸到红球的概率为 1 3 ,则袋中红球的 个数为　 　 　 　 . 13. 如图,在△ACB 中,∠BAC = 50°,AC = 2,AB = 3,现将△ACB 绕点 A 逆时针旋转 50°得 到 △AC′ B′, 则 阴 影 部 分 的 面 积 为　 　 　 　 . 第 13 题图 　 　 第 14 题图 14. 如图,量角器的 0 度刻度线为 AB,将一矩 形直尺与量角器部分重叠,使直尺一边与 量角器相切于点 C,直尺另一边交量角器 于点 A,D,量得 AD = 8 cm,点 D 在量角器 上的 读 数 为 60°, 则 该 直 尺 的 宽 度 为 　 　 　 　 cm. 15. 已知二次函数 y = ax2 +bx+c(a≠0)的图象 如图所示,并且关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+c-m= 0 有两个不相等的实数根,下列 结论: ①b2 -4ac<0;②abc>0; ③a-b+c<0;④m>-2. 其中,正确的是　 　 　 　 . 三、解答题(共 75 分) 16. (8 分)关于 x 的一元二次方程 x2 +(2m-1) x+m2 = 0 有两个实数根 x1 和 x2 . (1)求 m 的取值范围; (2)若 x1x2-2x1-2x2 = 10 时,求 m 的值. 17. (9 分)为促进师生身心全面健康发展,进 一步推广“阳光体育”大课间活动,某学校 设置了“A:竞走,B:慢跑,C:游泳,D:打羽 毛球” 四个主题,每个学生选一个主题参 与. (1)小明和小华各自随机参加其中的一个 主题活动,请用画树状图或列表的方式求 他们恰好选中同一个主题活动的概率. (2)若小明和小华参加不同的主题活动, 请用画树状图或列表的方式求他们一个选 中慢跑,一个选中游泳的概率. 18. (9 分)如图,在边长为 1 的正方形组成的 网格中,△ABC 的三个顶点都在方格纸的 格点上,其中点 A( - 1,0)、B ( - 3,1)、C ( -2,3),现将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 180°后得到△AB′C′, (1)画出△AB′C′; (2)点 B′坐标为　 　 　 　 ,点 C′ 坐 标 为 　 　 　 　 ; (3)求在旋转过程中点 C 绕过的路径长; (4)将△AB′C′向右移动 4 个单位后得到 △A″B″C″,则△A″B″C″与△ABC 是否是中心 第 27 页 第 28 页 对称,若是中心对称,直接写出对称中心; 若不是中心对称,说明理由. 19. (9 分)如图,在△ABC 中,以 AC 为直径的 ☉O 与 AB 交于点 D,且 AD=BD. (1)求证:AC=BC; (2)若 BC 与☉O 相切于点 C,求∠A 的度 数; (3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧 AD ( 的中点 P(不写作法,保留作图痕迹) . 20. (10 分)如图,二次函数的图象与 x 轴交于 A( -3,0) 和 B( 1,0) 两点,交 y 轴于点 C (0,3),点 C、D 是二次函数图象上的一对 对称点,一次函数的图象过点 B、D. (1)请求出 D 点的坐标; (2)求二次函数的解析式; (3)根据图象直接写出使一次函数值大于 二次函数值的 x 的取值范围. 21. 生产劳动情境·裤子售卖 (10 分) “互联网 +”时代,网上购物备受消费者青睐,某网店 专售一款休闲裤,其成本为每条 40 元,当售 价为每条 80 元时,每月可销售 100 条. 为了 吸引更多顾客,该网店采取降价措施. 据市 场调查反映:销售单价每降 1 元,则每月可 多销售 5 条. 设每条裤子的售价为 x 元(x 为正整数),每月的销售量为 y 条. (1)直接写出 y 与 x 的函数关系式; (2)设该网店每月获得的利润为 w 元,当 销售单价为多少元时,每月获得的利润最 大,最大利润是多少? (3)该网店店主热心公益事业,决定每月 从利润中捐出 200 元资助贫困学生,为了 保证捐款后每月利润不低于 3 800 元,且 让消费者得到最大的实惠,该如何确定休 闲裤的销售单价? 22. (10 分)如图①,在△ABC 与△ADE 中,AB =AC,AD=AE. (1)BD 与 CE 的数量关系是:BD　 　 　 　 CE; (2)把图①中的△ABC 绕点 A 旋转一定的 角度,得到如图②所示的图形. ①求证:BD=CE; ②若延长 DB 交 EC 于点 F,则∠DFE 与 ∠DAE 的数量关系是什么? 并说明理由; (3)若 AD= 8,AB= 5,把图①中的△ABC 绕 点 A 顺时针旋转 α(0°<α≤360°),直接写 出 BD 长度的取值范围. 图① 　 　 图② 23. 学科素养·阅读理解 (10 分)【了解概念】 折线段是由两条不在同一直线上且有公共 端点的线段组成的图形. 如图 1,线段 PM、 MA 组成折线段 PMA,点 B 在折线段 PMA 上,若 PB = BM +MA,则称点 B 是折线段 PMA 的中点. 图 1 　 　 图 2 【概念应用】 (1)如图 2,☉M 的半径为 2,PA 是☉M 的 切线,A 为切点,点 B 是折线段 PMA 的中 点. 若∠P= 30°,则 PB 的长为　 　 　 　 . 【认识定理】 爱动脑筋的小亮发现将折线段 PMA 放在 圆中,且 P、M、A 三点都在圆上时,就有数 学中著名的阿基米德折弦定理:如图 3,PM 和 MA 是☉O 的两条弦(即折线段 PMA 是 圆的一条折弦),PM>AM,C 是 PMA ( 的中 点,CB⊥PM,垂足为 B,则 PB=BM+MA. 这 个定理有很多证明方法,下面是运用“截长 法”证明 PB=BM+MA 的部分证明过程. 图 3 　 　 　 　 图 4 【证明定理】 证明:如图 3,在 PB 上截取 PQ = AM,连接 CP,CQ,CA 和 CM. ∵ C 是 PMA ( 的中点,∴ CP ( =CA ( . ∴ CP=CA. … (2)请按照上面的证明思路,在图 3 中补全 辅助线并写出该证明的剩余部分; 【灵活运用】 (3)如图 4,已知等边三角形 ABC 内接于 ☉O,D 为弧 AC 上一点,CE⊥BD 于点 E, 连接 AD,若∠ABD = 15°,CE = 2,请直接写 出△DAB 的周长. 19. 解:(1)例:列表得 y (x,y)x 1 2 3 4 1 (1,2) (1,3) (1,4) 2 (2,1) (2,3) (2,4) 3 (3,1) (3,2) (3,4) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (2)∵ 共有 12 种等可能的结果,其中在函数 y = -x+5 图象上的有 4 种,即(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),∴ 点 P(x,y)在函数 y = -x+5 图象上的概率为 P = 4 12 = 1 3 . 20. 解:(1)四瓶溶液中有两瓶呈碱性,∴ P(滴入其中结 果变红) = 2 4 = 1 2 ; (2)设四瓶溶液分别为 A,B,C,D. 列表如下: A B C D A (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) 由列表可知,共有 12 种等可能的情况,其中两瓶溶 液 1 瓶变红、1 瓶不变色的有 8 种,所以 P( 2 瓶溶液 中 1 瓶变红、1 瓶不变色) = 8 12 = 2 3 . 21. 解:(1)画树状图为: A A B C D E 　 B A B C D E (2)由树状图知,共有 10 种等可能的结果,其中从开 始进入的出入口离开的结果数为 2,所以小美得到小 兔玩具的机会是 2 10 = 1 5 ; (3)125× 4 5 ×3-125× 1 5 ×4 = 200(元) , 即估计游戏设计者可赚 200 元 . 22. 解:(1)100 (2) ∵ 实验所用 3 号茶树幼苗的数量为 500 × 25% = 125 (株),∴ 3 号茶树幼苗的成活数为 125 × 89. 6% = 112 (株); (3)例:列表得 1 2 3 4 1 (1,2) (1,3) (1,4) 2 (2,1) (2,3) (2,4) 3 (3,1) (3,2) (3,4) 4 (4,1) (4,2) (4,3) 共有 12 种等可能的结果,其中 1 号品种被选中的有 6 种结果 . ∴ 1 号品种被选中的概率为 6 12 = 1 2 . 23. 解:(1)黄球:2÷ 1 2 -2-1 = 1(个) ,即口袋中黄球的个 数为 1 个; (2)例:画树状图得 开始 红 红 蓝 黄 红 蓝 黄 红 蓝 黄 红 红 黄 红 红 蓝 ∵ 共有 12 种等可能的结果,两次摸出都是红球的有 2 种情况, ∴ 两次摸出都是红球的概率为 2 12 = 1 6 ; (3)由题意得,乙同学已经得了 7 分,∴ 若随机再摸 一次,乙同学三次摸球所得分数之和不低于 10 分的 有 3 种情况,且共有 4 种等可能的结果 . ∴ 若随机再 摸一次,乙同学三次摸球所得分数之和不低于 10 分 的概率为 3 4 . 期末情境测试卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B A A C B A C B D 1. B　 2. B 3. A　 【解析】两条直线被第三条直线所截,同位角相等 是随机事件,A 正确;任意一个四边形的外角和等于 360°是必然事件,B 错误;早上太阳从西方升起是不 可能事件,C 错误;平行四边形是中心对称图形是必 然事件,D 错误 . 故选 A. 4. A　 【解析】∵ 一次函数 y = kx+b 的图象不经过第二象 限,∴ k>0,b≤0,∴ Δ = k2 -4b>0,∴ 方程有两个不相等 的实数根 . 故选 A. 5. C 6. B 　 【解析 】 ∵ ∠ACB = 1 2 ∠AOB, ∠ACB = 36°, ∴ ∠AOB = 72°. ∵ OA = OB,∴ △OAB 是等腰三角形,∵ ∠AOB+∠OAB+∠OBA = 180°,∴ ∠OAB = 1 2 ×(180° - ∠AOB)= 54°. 故选 B. 7. A 　 【解析】 ∠B = ∠DCE - ∠F = 57°. ∵ 四边形 ABCD 是☉O 的内接四边形,∴ ∠EDC = ∠B = 57°,∴ ∠E = 180°-∠DCE-∠EDC = 38°. 故选 A. 8. C 9. B　 【解析】令旋转 1 秒后点 D 的对应点为点 E,分别 过点 D 和点 E 作 y 轴和 x 轴的垂线,垂足分别为 M 和 N,由旋转可知,OD = OE,∠DOE = 90°,所以 ∠DON + ∠NOE = 90°. 又 因 为 ∠MON = 90°, 所 以 ∠MOD + ∠DON = 90°, 所 以 ∠MOD = ∠NOE. 在 △DOM 和 △EON 中, ∠DMO = ∠ENO ∠MOD = ∠EON DO = EO ì î í ï ï ïï , 所 以 △DOM ≌ △EON (AAS),所以 EN = DM,ON = MO,因为点 D 坐标为(1, —63— 2),所以 NE = DM = 1,ON = OM = 2,则点 E 的坐标为 (2,-1);同理可得,旋转 2 秒后点 D 的对应点坐标为 ( -1,-2),旋转 3 秒后点 D 的对应点坐标为( - 2,1), 旋转 4 秒后点 D 的对应点坐标为(1,2),旋转 5 秒后 点 D 的对应点坐标为(2,- 1),…,由此可见,点 D 的 对应点按(2,- 1),( - 1,- 2),( - 2,1),(1,2)循环出 现,又因为 2024÷4 = 506,所以旋转 2024 秒后点 D 的 对应点 D′的坐标为(1,2) . 故选 B. 10. D　 【解析】当 y = 0 时,-x2 +x+6 = 0,解得 x1 = -2,x2 = 3,则 A( -2,0),B( 3,0),将该二次函数在 x 轴上方 的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下方的部分图象的解析式 为 y = ( x+2)( x-3),即 y = x2 -x- 6( - 2≤x≤3) . 当直 线 y = -x+m 经过点 A( - 2,0) 时,2 +m = 0,解得 m = -2;当直线 y = -x+m 与抛物线 y = x2 -x- 6( - 2≤ x≤ 3)有唯一公共点时,方程 x2 -x-6 = -x+m 有相等的实 数解,解得 m = -6,所以当直线 y = -x+m 与新图象有 4 个交点时,m 的取值范围为-6<m<-2. 故选 D. 11. -1　 【解析】把 x = 0 代入方程得 a2 - 1 = 0,解得 a = ±1. ∵ (a- 1) x2 +x+a2 - 1 = 0 是关于 x 的一元二次方 程,∴ a-1≠0,即 a≠1,∴ a 的值是-1. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法点拨】本题考查的是一元二次方程的根即方程 的解的定义,解题时需注意二次项系数不能为 0. 12. 5　 13. 5 4 π 14. 4 3 3 　 【解析】连接 OC 交 AD 于 E. ∵ 直尺一边与量 角器相切于点 C,∴ OC⊥ AD. ∵ AD = 8cm,∠DOB = 60°,∴ ∠DAO = 30°,∴ OE = 4 3 3 cm,OA = 8 3 3 cm,∴ CE = OC-OE = OA-OE = 4 3 3 ( cm) . 15. ②④　 【解析】①由图可知:Δ> 0,∴ b2 - 4ac> 0,故① 错误;②由图可知:a> 0,c< 0,- b 2a > 0,∴ b< 0,∴ abc> 0,故②正确;③由图可知:x = -1 时,y>0,∴ y = a-b+c >0,故③错误;④由图可知:对于全体实数 x,都有 y ≥ -2,∴ 关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+ c-m = 0 有 两个不相等的实数根,即直线 y = m 与抛物线有两个 交点,∴ m>-2 即可,故④正确 . 16. 解:(1)由题意可知 b2 -4ac = (2m-1) 2 -4m2 ≥0,解得 m≤ 1 4 ; (2)由题意可知 x1 +x2 = - b a = 1-2m,x1 ·x2 = c a = m2 , x1 x2 -2x1 -2x2 = x1 x2 - 2( x1 +x2 ) = m 2 - 2( 1 - 2m) = 10. 解得 m = -6,或 m = 2,由(1)知 m≤ 1 4 ,所以 m = -6. 17. 解:(1)画树状图如图所示: 共有 16 个等可能的结果,小明和小华恰好选中同一 个主题活动的结果有 4 个,∴ 小明和小华恰好选中 同一个主题活动的概率 = 4 16 = 1 4 . (2)画树状图如图所示: 共有 12 个等可能的结果,小明和小华一个选中慢 跑,一个选中游泳的结果有 2 个,∴ 概率 = 2 12 = 1 6 . 18. 解:(1)如图,△AB′C′为所作; (2) (1,-1) 　 (0,-3) (3)AC = 12 +32 = 10 ,所以点 C 绕过的路径长 = 180·π· 10 180 = 10 π; (4) △A″B″C″与△ABC 是中心对称,对称中心为 ( 1, 0) . 19. ( 1 ) 证明:连接 CD, ∵ AC 为 ☉O 的直径, ∴ ∠ADC = 90°, ∵ AD = BD, ∴ CD 为线段 AB 的 垂 直 平 分 线, ∴ AC = BC. (2)解:∵ BC 与☉O 相切于点 C,∴ ∠ACB = 90°,∵ AC = BC,∴ ∠A = ∠B = 45°. (3)解:如图,点 P 即为所求 . 20. 解:(1) ∵ 二次函数的图象与 x 轴交于 A( -3,0)和 B (1,0)两点,∴ 对称轴是 x = -3+1 2 = - 1. 又∵ 点 C( 0, 3) ,点 C、 D 是 二 次 函 数 图 象 上 的 一 对 对 称 点, ∴ D( -2,3) ; (2)设二次函数的解析式为 y = ax2 +bx+c( a≠0,a、b、 c 是常数) ,根据题意得 9a-3b+c = 0 a+b+c = 0 c = 3 ì î í ïï ï ,解得 a = -1 b = -2 c = 3 ì î í ïï ï ,所 以二次函数的解析式为 y = -x2 -2x+3; (3)由图可知,一次函数值大于二次函数值的 x 的取 值范围是 x<-2 或 x>1. 21. 解:( 1) 由题意可得 y = 100 + 5 ( 80 - x) ,即 y = - 5x +500; (2)由题意可得 w = y( x-40) ,整理得 w = ( -5x+500) ( x-40) = -5x2 +700x-20 000 = -5( x-70) 2 +4 500. ∵ -5<0,∴ w 有最大值,即当 x = 70 时,w 的最大值为 4 500;即当销售单价为 70 元时,每月获得的利润最 大,最大利润是 4 500 元; (3)由题意,得-5( x- 70) 2 + 4 500 = 3 800 + 200,解得 —73— x1 = 60,x2 = 80. ∵ 抛物线开口向下,对称轴为直线 x = 70,∴ 当 60≤x≤80 时,符合该网店要求;而为了让 顾客得到最大实惠,故 x = 60,∴ 当销售单价定为 60 元时,既符合网店要求,又能让顾客得到最大实惠 . 22. 解:(1) = 　 【解析】 ∵ AB = AC,AD = AE,∴ AD -AB = AE-AC,∴ BD = CE; (2 ) ① 证 明: 由 旋 转 的 性 质 得 ∠DAE = ∠BAC. ∴ ∠DAE+ ∠BAE = ∠BAC + ∠BAE,即 ∠DAB = ∠EAC. ∵ AB = AC,AD = AE, ∴ △DAB≌ △EAC ( SAS) , ∴ BD = CE; ② ∠DFE = ∠DAE. 理 由: ∵ △DAB ≌ △EAC, ∴ ∠ADB = ∠AEC. ∵ ∠AOD = ∠EOF,∴ 180° - ∠ADB - ∠AOD = 180°-∠AEC-∠EOF,∴ ∠DFE = ∠DAE; (3)3≤BD≤ 13 　 【解析】 当 点 B 在 线 段 AD 上 时, BD最小 = AD - AB = 3,当 点 B 在 DA 的 延 长 线 上 时, BD最大 = AD+AB = 13. 23. 解:(1)3 (2)如图;证明:∵ CM ( = CM ( ,∴ ∠CPM = ∠MAC, ∴ △CPQ ≌ △CAM ( SAS ) , ∴ CQ = CM,∵ BC⊥QM,∴ QB = MB,∴ PB = PQ+QB = BM+AM; (3) △ABD 的周长为 4 + 2 2 . 　 【解 析】∵ △ABC 是等边三角形,∴ AC = BC = AB,∠ABC = 60°,∴ C 是 ACB ( 的中点,∵ ∠ABD = 15°,∴ ∠CBE = ∠ABC-∠ABD = 45°,∵ CE⊥BD,∴ ∠ECB = ∠EBC = 45°,∴ CE = BE = 2,∴ BC = 2 2 ,根据阿基米德折弦 定理,BE = DE+AD = 2,∴ △ABD 的周长 = AD+BD+AB = AD+DE+EB+AB = BC+2BE = 4+2 2 . 􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚 􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚 􀧚 􀧚 􀧚􀧚 《课堂解惑》答案 第二十一章 　 一元二次方程 21. 1　 一元二次方程 变式 1:解:∵ 关于 x 的方程(m+1) x | m | + 1 +x-3 = 0 是一元 二次方程,∴ m+1≠0 | m | +1 = 2{ ,解得 m = 1. 变式 2:解:∵ a 是方程 x2 - 2 021x+ 1 = 0 的一个根,∴ a2 -2 021a+1 = 0,∴ a2 = 2 021a - 1,∴ a2 - 2 022a + a2 +1 2 021 = 2 021a-1-2 022a+ 2 021a-1+1 2 021 = -a+a-1 = -1. 21. 2　 解一元二次方程 变式 1:A　 【解析】当 a- 4 = 0 时,- 4x- 1 = 0,∴ x = - 1 4 ; 当 a-4≠0 时,Δ = 16 + 4( a- 4) ≥0,∴ a≥0,综上所述,a ≥0. 故选 A. 变式 2:D　 【解析】Δ = (2c) 2 -4(a+b)(a+b)= 4c2 -4( a+ b) 2 = 4( c+a+b)( c-a-b) . ∵ a,b,c 分别是三角形的三边 长,∴ c+a+b>0,c-a-b<0,∴ Δ<0,∴ 方程没有实数根 . 故 选 D. 变式 3:解:∵ α、β 是一元二次方程 x2 - 2 022x+ 2 021 = 0 的两实根,∴ α+β = 2 022,αβ = 2 021,∴ ( α- 2 022) ( β- 2 022) = αβ-2022(α+β) +2 0222 = 2 021-2 022×2 022+2 0222 = 2 021. 变式 4:解:(m-2) x2 -(m+2) x+4 = 0,即[ (m-2) x-4] ( x -1) = 0,且 m-2≠0,解得 x1 = 4 m-2 ,x2 = 1. ∵ 方程的两个 根为不相等的正整数,∴ m = 4 或 3. 21. 3　 实际问题与一元二次方程 变式:解:(1) (40-x) 　 (20+2x) (2)依题意得:(40-x) (20+2x) = 1 250,整理得:x2 -30x+ 225 = 0,解得:x1 = x2 = 15. ∴ 每双鞋子降价 15 元,可使该品牌的鞋子每天的盈利 为 1 250 元 . 第二十二章 　 二次函数 22. 1　 二次函数的图象和性质 变式:解:( 1) ∵ 二次函数 y = ax2 - 2x+ c 的图象经过点 A( -2,0) 、B(3,0) . ∴ 4a+4+c = 0 9a-6+c = 0{ ,∴ a = 2 c = -12{ ,∴ 二次函 数的解析式为 y = 2x2 -2x-12; (2) ∵ y = 2x2 -2x-12 = 2( x- 1 2 ) 2 - 25 2 ,∴ 抛物线的对称轴 为直线 x = 1 2 ,顶点坐标为( 1 2 ,- 25 2 ) . 22. 2　 二次函数与一元二次方程 变式:解:(1) ∵ 点 P、Q 在抛物线上且纵坐标相同,∴ P、 Q 关于抛物线的对称轴对称并且到对称轴距离相等 . ∴ 抛物线对称轴 x = - b 2a = - b 2×2 = -3+1 2 = -1,∴ b = 4; (2)由(1) 可知,关于 x 的一元二次方程为 2x2 + 4x+ 1 = 0. ∵ Δ = b2 - 4ac = 16 - 8 = 8 > 0, ∴ 方程有实数根, ∴ x = -b± 8 4 = -4±2 2 4 = - 1 ± 2 2 ; ∴ 关于 x 的一元二次方程 2x2 +bx+1 = 0 的根为 x = -1+ 2 2 或 x = -1- 2 2 . 22. 3　 实际问题与二次函数 变式:解:(1)由题意结合函数图象可知,顶点 B( 4,4) , 点 O(0,0) ,设二次函数的解析式为 y = a( x- 4) 2 + 4,将 点 O(0,0)代入函数解析式,解得:a = - 1 4 ,∴ 抛物线的 函数解析式为 y = - 1 4 ( x- 4) 2 + 4,即 y = - 1 4 x2 + 2x( 0≤ x ≤8) ; (2) 他的头顶不会碰到桥拱,理由如下:∵ 船距 O 点 0. 4m,小船宽 1. 2m,工人站立在船中间,由题意得:工人距 O 点距离为 0. 4+ 1 2 ×1. 2 = 1( m) ,∴ 将 x = 1 代入 y = - 1 4 x2 +2x,解得 y = 7 4 = 1. 75. ∵ 1. 75m > 1. 68m,∴ 他的头顶 不会碰到桥拱 . 第二十三章 　 旋转 23. 1　 图形的旋转 变式 1:( 1) 证明:∵ 线段 BD 绕着点 B 按逆时针方向旋 转 120°能与 BE 重合,∴ BD = BE,∠EBD = 120°. ∵ AB = BC,∠ABC = 120°, ∴ ∠ABD + ∠DBC = ∠ABD + ∠ABE = 120°,∴ ∠DBC = ∠ABE,∴ △ABE≌ △CBD( SAS) ,∴ AE —83—