第二十二章 二次函数 情境测试卷-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(人教版)

第 5 页 第 6 页 第二十二章情境测试卷 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 　 分数: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. 下列函数关系式中,一定为二次函数的 是(　 　 ) A. y= 3x-1　 　 　 　 　 B. y=ax2+bx+c C. s= 2t2-2t+1 D. y=x2+ 1 x 2. 将二次函数 y=x2 -6x+11 的解析式改为顶点 式 y=(x-h)2+k,其中 h,k 分别为(　 　 ) A. -3,2 B. 3,2 C. 6,2 D. -6,2 3.把二次函数 y= (x-3)2 +6 的图象向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位后得到的二次 函数为(　 　 ) A. y=(x-4)2+4 B. y=(x-2)2+4 C. y=(x-2)2+8 D. y=(x-4)2+8 4.抛物线 y=ax2+bx+c 的图象如图,则关于 x 的 方程 ax2+bx+c-2= 0 的根的情况是(　 　 ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个异号的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 5.已知(-1,y1),(2,y2),(3,y3)在二次函数 y= -x2+4x+c 的图象上,则 y1,y2,y3 的大小关系 正确的是(　 　 ) A. y1<y2<y3 B. y3<y2<y1 C. y3<y1<y2 D. y1<y3<y2 6.函数 y = x2 +2x-3( -2≤x≤2)的最大值和最 小值分别为(　 　 ) A. 4 和-3 B. -3 和-4 C. 5 和-4 D. 5 和-3 7.在同一坐标系中,抛物线 y=ax2 +bx 和直线 y =ax+b 的图象可能是(　 　 ) A B C D 8. 生活情境·机器折旧 一台机器原价 60 万元, 如果每年的折旧率为 x,两年后这台机器的 价位为 y 万元,则 y 与 x 的函数关系式 为(　 　 ) A. y= 60(1-x)2 B. y= 60(1-x2) C. y= 60-x2 D. y= 60(1+x)2 9.若二次函数 y=kx2-2x-1 的图象与 x 轴有公共 点,则实数 k 的取值范围为(　 　 ) A. k= -1　 　 B. k>-1 C. k≥-1　 　 D. k≥-1 且 k≠0 10. 函数 y= x2 +bx+c 与 y = x 的图象如图所示, 有如下结论:①b2 -4c>0;②b+c+1 = 0;③3b +c+6 = 0;④当 1<x<3 时,x2 +(b-1)x+c<0, 其中正确的个数是(　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 二次函数 y = -3x2 -6x-1 有最 值 ,此时 x= . 12. 抛物线的顶点坐标为 P(2,3),且开口向 下,若函数值 y 随自变量 x 的增大而减小, 那么 x 的取值范围为 . 13. 已知抛物线 y = ax2 +bx+c(a≠0)的对称轴 为 x= 1,且抛物线经过 A( -1,0),B(0,-3) 两点,则这条抛物线所对应的函数关系式 为　 　 　 　 　 　 　 　 . 14. 生活情境·喷水池 某公园有一个圆形喷水 池,喷出的高度 h 与水流运动时间 t 之间 的关系式为 h = 30t- 5t2,那么水流从喷出 至回落到地面所需要的时间是　 　 　 　 s. 15. 生活情境·拱桥 如图是一抛物线形拱桥, 当拱顶到水面的距离为 2 m 时,水面宽度 为 4 m;那么当水位下降 1 m 后,水面的宽 度为 m. 三、解答题(共 75 分) 16. (8 分)已知函数 y = (m+3)xm 2+4m-3 +5 是关 于 x 的二次函数. (1)求 m 的值; (2)当 m 为何值时,该函数图象的开口向 上? (3)当 m 为何值时,该函数有最大值? 17. (8 分)已知二次函数 y= x2 -4x+5. (1)用配方法将二次函数的表达式化为 y = (x-h) 2 +k 的形式,并写出顶点坐标; (2)在平面直角坐标系 xOy 中画出这个二 次函数的图象; (3)结合图象直接回答:当 0<x<3 时,则 y 的取值范围是　 　 　 　 . 18. (9 分)如图,已知抛物线 y= -x2 +mx+3 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,点 B 的 坐标为(3,0) . (1)求 m 的值及抛物线的顶点坐标; (2)点 P 是抛物线对称轴 l 上的一个动点, 当 PA+PC 的值最小时,求点 P 的坐标. 第 7 页 第 8 页 19. (9 分)如图,二次函数 y= 1 2 x2 -x+c 的图象 与 x 轴分别交于 A,B 两点,顶点 M 关于 x 轴的对称点是 M′. (1)若 A(-4,0),求二次函数的解析式; (2)在(1)的条件下,求四边形 AMBM′的面 积. 20. (9 分)手工课上,小明准备做一个形状是 菱形的风筝,这个菱形的两条对角线长度 之和恰好为 60cm,菱形的面积 S(单位: cm2)随其中一条对角线的长 x(单位:cm) 的变化而变化. (1)请直接写出 S 与 x 之间的函数关系式 (不要求写出自变量 x 的取值范围); (2)当 x 是多少时,菱形风筝面积 S 最大? 最大面积是多少? 21. 生活情境·游客住酒店 (10 分) 某宾馆有 50 个房间供游客住宿. 当每个房间每天的 定价为 180 元时,房间会全部住满;当每个 房间每天的定价每增加 10 元时,就会有一 个房间空闲. 宾馆需对游客居住的每个房 间每天支出 20 元的各种费用. 根据规定, 每个房间每天的定价不得高于 340 元. 设 每个房间每天的定价增加 x 元(x 为 10 的 整数倍) . (1)设一天订住的房间数为 y,直接写出 y 与 x 之间的函数解析式及自变量 x 的取值 范围; (2)设宾馆一天获得的利润为 W 元,求 W 与 x 之间的函数解析式; (3)一天订住多少个房间时,宾馆获得的 利润最大? 最大利润是多少元? 22. 生活情境·跳绳 (10 分)跳绳时,绳甩到最 高处时的形状是抛物线. 正在甩绳的甲、乙 两名同学拿绳的手间距(A 与 B 间的水平 距离)为 6 m,到地面的距离 AO 和 BD 均 为 0. 9 m,身高为 1. 4 m 的小丽站在距点 O 的水平距离为 1 m 的点 F 处,绳子甩到最 高处时刚好通过她的头顶点 E. 以点 O 为 原点建立如图所示的平面直角坐标系,设 此抛物线对应的函数解析式为 y = ax2 +bx+ 0. 9. (1)求该抛物线对应的函数解析式(不考 虑自变量的取值范围); (2)如果小华站在 O,D 之间,且离点 O 的 距离为 3 m,当绳子甩到最高处时刚好通 过他的头顶,请你算出小华的身高; (3)如果身高为 1. 4 m 的小丽站在 O,D 之 间,且离点 O 的距离为 t m,绳子甩到最高 处时超过她的头顶,请结合图象,写出 t 的 取值范围. 23. (12 分)如图,抛物线 y = ax2 +6x+c 交 x 轴 于 A,B 两点,交 y 轴于点 C. 直线 y = x- 5 经过点 B,C. (1)求抛物线的解析式; (2)过点 A 的直线交直线 BC 于点 M. 当 AM⊥BC 时,过抛物线上一动点 P(不与点 B,C 重合),作直线 AM 的平行线交直线 BC 于点 Q,若以点 A,M,P,Q 为顶点的四 边形是平行四边形,求点 P 的横坐标. 20. 解:(1)2t　 5-t (2)由题意得( 5 - t) 2 +( 2t) 2 = 52 ,解得 t1 = 0( 舍去) , t2 = 2. ∴ 当 t = 2 时,PQ 的长度等于 5cm; ( 3 ) 存在 t 的值,使得五边形 APQCD 的面积等于 26cm2 . 理由如下: ∵ 矩形 ABCD 的面积为 5 × 6 = 30 ( cm2 ) ,五边形 APQCD 的面积为 26cm2 ,∴ △PBQ 的 面积为 30-26 = 4( cm2 ) . ∴ ( 5 - t) × 2t× 1 2 = 4,解得 t1 = 4(此时 2t > 6,舍去) , t2 = 1. 故当 t = 1 时,五边形 APQCD 的面积等于 26cm2 . 21. 解:(1) - b a 　 c a (2) -b- b2 -4ac 2a 　 -b+ b2 -4ac 2a 过程补充如下:x1 +x2 = -b- b2 -4ac 2a + -b+ b2 -4ac 2a = - 2b 2a = - b a , x1 x2 = -b- b2 -4ac 2a · -b+ b2 -4ac 2a = b2 -( b2 -4ac) 4a2 = 4ac 4a2 = c a . (3)m 的值为 - 1 或 4. 　 【解析】 ∵ a = 2,b = 3m, c = m2,∴ 方 程 2x2 + 3mx + m2 = 0 的 两 根 之 和 为 - b a = -3m 2 ,两根之积为 c a = m 2 2 . ∵ 两根之和与两根之积的 和等于 2,∴ - 3m 2 +m 2 2 = 2,解得 m = -1 或 m = 4. 22. 解:(1)超市将 A 种水杯售价调整为每个 m 元,则单 个利润为(m-15)元,销量为[60+10(25-m) ] = ( 310 -10m)个,依题意得(m- 15) ( 310 - 10m) = 630,解得 m1 = 22,m2 = 24,为了尽量让顾客得到更多的优惠, ∴ m 为 22; (2)设购进 A 种水杯 x 个,则 B 种水杯 ( 120 -x) 个 . 设获利 y 元,依题意得 15x+12(120-x) ≤1 600 120-x≤2x{ ,解 不等式组得 40≤x≤53 1 3 ,利润 y = ( 25 - 15) x+( 120 -x) (20-12) = 2x+960. ∵ 2>0,∴ y 随 x 增大而增大, 且 x 为正整数,∴ 当 x = 53 时,获利最大,最大利润 为:2×53+960 = 1 066(元) . 即购进 A 种水杯 53 个,B 种水杯 67 个时,获利最大,最大利润为 1 066 元 . 23. 解:(1)设该基地这两年 “ 阳光玫瑰” 种植面积的平 均增长率为 x,依题意得 100( 1 +x) 2 = 196,解得 x1 = 0. 4 = 40%,x2 = -2. 4( 不合题意,舍去) . 即该基地这 两年“ 阳光玫瑰 ” 种植面积的平均增长率为 40%; (2)设售价应降低 y 元,则每天可售出(200 + 50y) 千 克,依题意得(20-12-y)(200+50y)= 1 750,整理,得 y2 -4y+3 = 0,解得 y1 = 1,y2 = 3. ∵ 要尽量减少库存,∴ y = 3. 即售价应降低 3 元. 第二十二章情境测试卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B B C D C C A D B 1. C　 2. B　 3. B　 4. C 5. D　 【解析】∵ 二次函数 y = -x2 +4x+c = -( x-2) 2 +c+4, ∴ 对称轴为 x = 2. ∵ a< 0,∴ 当 x< 2 时,y 随 x 增大而 增大,当 x> 2 时,y 随 x 的 增 大 而 减 小 . ∵ ( - 1, y1 ), (2,y2),(3,y3)在二次函数 y = -x 2 +4x+c 的图象上,且 | -1-2 | > | 2-3 | ,∴ y1 <y3 <y2 . 故选 D. 6. C　 7. C　 8. A 9. D　 【解析】∵ 二次函数 y = kx2 - 2x- 1 与 x 轴有交点, ∴ Δ = ( -2) 2 -4k×( -1)≥0,解得 k≥ - 1,又∵ k≠0,故 k 的取值范围为 k≥ -1 且 k≠0. 故选 D. 10. B　 【解析】∵ 函数 y = x2 +bx+c 与 x 轴无交点,∴ b2 - 4c<0,故①错误;当 x = 1 时,y = 1+b+c = 1,故②错误; 当 x = 3 时,y = 9 + 3b+c = 3,∴ 3b+ c+ 6 = 0,故③正确; ∵ 当 1<x< 3 时,二次函数值小于一次函数值,∴ x2 + bx+c<x,∴ x2 +( b-1) x+c<0. 故④正确 . ∴ 正确的有 2 个 . 故选 B. 11. 大 　 2　 -1　 12. x>2　 13. y = x2 -2x-3 14. 6　 【解析】由题意得 h = 0 时,30t-5t2 = 0,解得 t1 = 0, t2 = 6. 故水流从喷出至回落到地面所需要的时间为 6 -0 = 6( s) . 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法点拨】本题考查二次函数的应用,解答本题的关 键是明确题意,利用二次函数的性质解答 . 15. 2 6 　 【解析】以图中水面为 x 轴,抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系,设抛物线解析式为 y = ax2 +2,代入坐标( - 2,0) 得出:a = - 0. 5,所以抛物线解 析式为 y = -0. 5x2 + 2,把 y = - 1 代入抛物线解析式, 得- 1 = - 0. 5x2 + 2,解 得 x = ± 6 ,所 以 水 面 宽 度 为 2 6 米 . 16. 解:(1) ∵ 函数 y = (m+ 3) xm 2 + 4m- 3 + 5 是关于 x 的二次 函数 . ∴ m+3≠0 m2 +4m-3 = 2{ ,∴ m = -5 或 m = 1 且 m≠ - 3, ∴ m = -5 或 m = 1; (2)若函数图象的开口向上,则 m+ 3 > 0,∴ m> -3. ∵ m = - 5 或 m = 1,∴ m = 1 时,函数图象的开口向上; (3)若函数有最大值,则 m+ 3 < 0,∴ m< - 3. ∵ m = - 5 或 m = 1,∴ m = -5 时,函数有最大值 . 17. 解:(1) ∵ y = x2 - 4x+ 5 = ( x- 2) 2 + 1,∴ 抛物线顶点坐 标为(2,1) ; (2)列表: x … 0 1 2 3 4 … y … 5 2 1 2 5 … (3)1≤y<5 18. 解:(1) ∵ B(3,0) ,∴ -9+3m+3 = 0,∴ m = 2,∴ y = -x2 +2x+3 = -( x-1) 2 +4,∴ 顶点坐标为(1,4) ; —92— (2)连接 BC 交直线 l 于点 P,连接 PA. ∵ l 是抛物线 的对称轴,∴ PA = PB,∴ PA+PC = PB+PC = BC,∴ 此 时 PA+PC 的值最小 . 当 x = 0 时,y = 3,∴ C( 0,3) ,设 直线 BC 的 解 析 式 为 y = kx + b, ∴ b = 3 3k+b = 0{ , ∴ k = -1 b = 3{ ,∴ y = -x+3,当 x = 1 时,y = - 1 + 3 = 2,∴ P( 1, 2) . 19. 解:(1) ∵ A( -4,0)在二次函数 y = 1 2 x2 -x+c 的图象 上,∴ 1 2 ×( -4) 2 -( -4) +c = 0,解得 c = -12,∴ 二次函 数的解析式为 y = 1 2 x2 -x-12; (2) ∵ y = 1 2 x2 - x - 12 = 1 2 ( x2 - 2x + 1 ) - 1 2 - 12 = 1 2 ( x-1) 2 - 25 2 , ∴ 顶点 M 的坐标为 ( 1, - 25 2 ) . ∵ A ( -4,0) ,对称轴为 x = 1,∴ 点 B 的坐标为( 6,0) ,∴ AB = 6-( -4) = 6 + 4 = 10,∴ S△ABM = 1 2 × 10 × 25 2 = 125 2 . ∵ 顶点 M 关于 x 轴的对称点是 M′, ∴ S四边形AMBM′ = 2S△ABM = 2× 125 2 = 125. 20. 解:(1)根据题意可得一条对角线的长为 xcm,则另 一对角线长为( 60 -x) cm,则 S = 1 2 ( 60 -x) x = - 1 2 x2 +30x; (2)由(1)得 y = - 1 2 x2 +30x = - 1 2 ( x-30) 2 +450,故当 x 是 30cm 时,菱形风筝的面积 S 最大,最大的面积是 450cm2 . 21. 解:(1)由题意得 y = 50 - x 10 ,0≤x≤160 且 x 为 10 的 正整数倍; (2)W = (180-20+x) (50- x 10 ) = - 1 10 x2 +34x+8 000; (3)W = - 1 10 x2 +34x+8 000 = - 1 10 ( x-170) 2 +10 890,抛 物线的对称轴是直线 x = 170,抛物线的开口向下,当 x<170 时,W 随 x 的增大而增大,但 0≤x≤160,因而 当 x = 160 时,即房价是 340 元时,利润最大,此时一 天订住的房间数是:50 - 160 10 = 34(个) ,最大利润是: - 1 10 ×(160-170) 2 +10 890 = 10 880(元) . 即一天订住 34 个房 间 时, 宾 馆 获 得 的 利 润 最 大, 最 大 利 润 为 10 880 元 . 22. 解:(1) 由题意得点 E( 1,1. 4) ,B( 6,0. 9) ,代入 y = ax2 +bx+0. 9 得 a+b+0. 9 = 1. 4 36a+6b+0. 9 = 0. 9{ ,解得 a = -0. 1 b = 0. 6{ ,∴ 所求的抛物线的解析式是 y = -0. 1x2 + 0. 6x + 0. 9; (2)把 x = 3 代入 y = - 0. 1x2 + 0. 6x+ 0. 9 得 y = -0. 1 × 32 +0. 6×3+0. 9 = 1. 8,∴ 小华的身高是 1. 8 米; (3)当 y = 1. 4 时,- 0. 1x2 + 0. 6x+ 0. 9 = 1. 4,解得 x1 = 1,x2 = 5,∴ 由图象可知 1<t<5. 23. 解:(1)对直线 y = x- 5,当 x = 0 时,y = x- 5 = - 5,则 C (0,-5) ,当 y = 0 时,x- 5 = 0,解得 x = 5,则 B( 5,0) , 把 B ( 5, 0 ) , C ( 0, - 5 ) 代 入 y = ax2 + 6x + c 得 25a+30+c = 0 c = -5{ ,解得 a = -1 c = -5{ ,∴ 抛物线解析式为 y = -x2 +6x-5; (2)解方程-x2 +6x-5 = 0 得 x1 = 1,x2 = 5,则 A( 1,0) , ∵ B(5,0) ,C( 0,- 5) ,∴ △OCB 为等腰直角三角形, ∠OBC = ∠OCB = 45°,∵ AM⊥BC,△AMB 为等腰直 角三角形,∴ AM = 2 2 ,∵ 以点 A,M,P,Q 为顶点的 四边形是平行四边形,AM∥PQ,∴ PQ = AM = 2 2 ,PQ ⊥BC,作 PD⊥ x 轴交直线 BC 于 D,则∠PDQ = 45°, ∴ PD = 4,设 P(m,-m2 +6m-5) ,则 D(m,m-5) ,当 P 点在直线 BC 上方时,PD = -m2 +6m-5-(m-5) = -m2 +5m = 4,解得 m1 = 1 ( 舍去) ,m2 = 4. 当 P 点在直线 BC 下方时,PD = m-5-( -m2 +6m- 5) = m2 - 5m = 4,解 得 m1 = 5+ 41 2 ,m2 = 5- 41 2 ,综上所述,P 点的横坐 标为 4 或 5+ 41 2 或 5- 41 2 . 第二十三章情境测试卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C A D C C D C C D 1. D　 2. C 3. A　 【解析】∵ ∠ACB = 90°,B 为 DE 的中点,∴ BC = BE = BD. ∵ 将△ABC 绕点 C 逆时针旋转 θ 角到△DEC 的 位置,∴ CB = CE,∴ CB = CE = BE,∴ △ECB 为等边三 角形,∴ ∠ECB = 60°,∴ ∠ACD = ∠ECB = 60°. 故选 A. 4. D 　 【解析 】 ∵ △OAB 绕 O 点 逆 时 针 旋 转 60° 得 到 △OCD,∴ ∠AOC = ∠BOD = 60°, AO = CO = 4, BO = DO,故 C 选项正确;则△AOC、△BOD 是等边三角形, ∴ ∠BDO = 60°, 故 A 选 项 正 确; ∵ ∠AOB = 35°, ∠AOC = 60°,∴ ∠BOC = ∠AOC - ∠AOB = 60° - 35° = 25°,故 B 选项正确 . 故选 D. 5. C　 【解析】∵ 将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 150°得到 △ADE,∴ ∠BAD = 150°,AD = AB,∠E = ∠ACB. ∵ 点 B、C、D 恰好在同一直线上,∴ △BAD 是顶角为 150° 的等腰三角形,∴ ∠B = ∠BDA = 1 2 ( 180° - ∠BAD) = 15°,∴ ∠E = ∠ACB = 180°-∠BAC-∠B = 180° - 100° - 15° = 65°. 故选 C. 6. C 7. D　 【解析】作 CH⊥ x 轴于点 H. ∵ A(3,0),B(0,2), ∴ OA = 3,OB = 2. ∵ ∠AOB = ∠BAC = ∠AHC = 90°,∴ ∠BAO+∠HAC = 90°,∠HAC+∠ACH = 90°,∴ ∠BAO = ∠ACH. ∵ AB = AC,∴ △ABO≌ △CAH( AAS),∴ AH = OB = 2,CH = OA = 3,∴ OH = OA+AH = 3 + 2 = 5,∴ C(5, 3),∴ OC = OH 2 +CH 2 = 52 +32 = 34 . 故选 D. 8. C —03—