第二十一章 一元二次方程 情境测试卷-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(人教版)

第 1 页 第 2 页 第二十一章情境测试卷 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 　 分数: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. 下列方程中,是关于 x 的一元二次方程的 是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 5x+5 = 2x-1 B. y2 -7y= 0 C. ax2 +bx+c= 0 D. 2x2 +2x= x2 -1 2. 用配方法将方程 x2 -4x-1 = 0 变形为(x-2) 2 =m,则 m 的值是(　 　 ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 一元二次方程(3x- 1) 2 = 5x 化简成一般式 后, 二 次 项 系 数 为 9, 其 一 次 项 系 数 为(　 　 ) A. 1 B. -1 C. -11 D. 11 4. 学习情境·问题讨论 嘉嘉在解方程-2x2 +3x = 8-x 时,经过一系列的计算后得到 x1 = 3 2 , x2 = - 5 2 ,淇淇看了一眼嘉嘉的答案,说:“你这 一看就不对,这个方程只有一个解. ”请你根 据以上叙述,判断下列结论正确的是(　 　 ) A. 嘉嘉的解是正确的,因为她认真计算了 B. 淇淇说得对,因为 b2 -4ac= 0 C. 嘉嘉和淇淇的说法都不对,因为 b2 -4ac< 0,该方程无解 D. 由 b2 -4ac>0 可得该方程有两个解,但嘉 嘉的结果是错的 5. 已知关于 x 的方程 x2 -mx-m2 +1 = 0 的一个 根是-2,则 m 的值是(　 　 ) A. 6 +1 或 6 -1 B. 6 +1 或- 6 +1 C. - 6 +1 或- 6 -1 D. 6 -1 或- 6 +1 6. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 +mx+3 = 0 有 两个实数根 x1 = 1, x2 = n,则代数式 ( m + n) 2 026 的值为(　 　 ) A. 0 B. 1 C. 32 026 D. 72 026 7. 若实数 a、b 是一元二次方程 x2 +2x-3 = 0 的 两个根,且 a<b,则一次函数 y = ax+b 的图象 不经过(　 　 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 地域情境·火腿 “灼灼媚眼沁桃花,皮薄肉 腴入口佳. 天女贪食怕人笑,强留云腿作琵 琶” .其中提到的宣威火腿是云南著名地方特 产之一.某县大力推进宣威火腿产业发展,助 力乡村振兴. 已知该县前年生产宣威火腿 657 吨,今年产量达到 795 吨,若设这两年宣 威火腿产量的年平均增长率为 x,则可列方 程为(　 　 ) A. 657(1+x)= 795 B. 657(1+x2)= 795 C. 657(1-x)= 795 D. 657(1+x)2 = 795 9. 中考新趋势·新定义 定义:如果一元二次方 程 ax2+bx+c= 0(a≠0)满足 a-b+c= 0,那么我 们称这个方程为“美丽”方程. 已知 ax2 +bx+c = 0(a≠0)是美丽方程,且有两个相等的实数 根,则下列结论正确的是(　 　 ) A. a=b=c B. a=b C. b=c D. a=c 10.对于一元二次方程 ax2 +bx+c = 0(a≠0),下 列说法:①b=a+c 时,方程 ax2+bx+c= 0 一定 有实数根;②若 a、c 异号,则方程 ax2+bx+c= 0 一定有实数根;③b2 -5ac>0 时,方程 ax2 + bx+c= 0 一定有两个不相等的实数根;④若 方程 ax2+bx+c = 0 有两个不相等的实数根, 则方程 cx2+bx+a= 0 也一定有两个不相等实 数根.其中正确的是(　 　 ) A. ①②③④ B. 只有①②③ C. 只有①②④ D. 只有②④ 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11.若关于 x 的方程(a-1)xa 2+1 -7 = 0 是一元二 次方程,则 a=　 　 　 　 . 12.已知关于 x 的一元二次方程 x2 -2 3 x+k = 0 有 两 个 相 等 的 实 数 根, 则 k 的 值 为　 　 　 　 . 13.已知 x1,x2 是关于 x 的一元二次方程 x2 -3x +a= 0 的两个实数根,x12 -3x1x2 +x22 = 4,则 a =　 　 　 　 . 14. 跨学科试题·语文 《念奴娇·赤壁怀古》, 在苏轼笔下,周瑜年少有为,文采风流,雄姿 英发,谈笑间,樯橹灰飞烟灭,然天妒英才, 英年早逝,欣赏下面改编的诗歌,“大江东去 浪淘尽,千古风流数人物. 而立之年督东吴, 早逝英年两位数. 十位恰小个位三,个位平 方与寿符. ” 则这位风流人物去世的年龄 为　 　 　 　 岁. 15. 生活情境·制作盒子 如图 是一张长 12 cm,宽 10 cm 的矩形铁皮,将其剪去两个 全等的正方形和两个全等 的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积 是 24 cm2 的有盖的长方体盒子,则剪去的 正方形的边长是　 　 　 　 cm. 三、解答题(共 75 分) 16. (8 分)解方程: (1)x2 =x+12; (2)2(x+3)2 =x(x+3) . 17. (8 分)试证明:不论 m 为何值,关于 x 的方 程(m2+2m+2)x2-(4m-1)x-7 = 0 总为一元 二次方程. 18. 中考新趋势·新定义 (8 分)定义新运算:对 于任意实数m、n 都有m☆n=m2n+n,等式右 边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算. 例如:-3☆2=(-3)2×2+2= 20. 根据以上知识解决问题: (1)x☆4= 20,求 x; (2)若 2☆a 的值小于 0,请判断方程 2x2 -bx +a= 0 的根的情况. 第 3 页 第 4 页 19. (9 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2+(2k- 1)x+k(k-2)= 0(k 是常量),它有两个不相 等的实数根. (1)求 k 的取值范围; (2)请你从 k= 2 或 k= -2 或 k = -1 三者中, 选取一个符合(1)中条件的 k 的数值代入原 方程,求解出这个一元二次方程的根. 20. (10 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB = 5 cm, BC= 6 cm,点 P 从点 A 开始沿边 AB 向终点 B 以 1 cm / s 的速度移动,点 Q 从点 B 开始 沿边 BC 向终点 C 以 2 cm / s 的速度移动, 如果点 P,Q 分别从 A,B 同时出发,当点 Q 运动到点 C 时,两点停止运动,设运动时间 为 t s(t>0) . (1)BQ= 　 　 　 　 cm,PB = 　 　 　 　 cm(用 含 t 的代数式表示); (2)当 t 为何值时,PQ 的长度等于 5 cm? (3)是否存在 t 的值,使得五边形 APQCD 的 面积等于 26 cm2? 若存在,请求出此时 t 的 值;若不存在,请说明理由. 21. 学科素养·阅读理解 (10 分)【阅读与思考】 如表是小亮同学在数学杂志上看到的小片 段,请仔细阅读并完成相应的任务. 一元二次方程根与系数的关系 通过学习用公式法解一元二次方程可以发 现,一元二次方程的根完全由它的系数确 定,求根公式就是根与系数关系的一种形 式. 除此以外,一元二次方程的根与系数之 间还有一些其他形式的关系. 从因式分解的角度思考这个问题,若把一 元二次方程 ax2+bx+c = 0(a≠0)的两个实 数根分别记为 x1,x2,则有恒等式 ax2 +bx+c =a(x-x1)(x-x2),即 ax2 +bx+c=ax2 -a(x1 +x2)x+ax1x2. 比较两边系数可得:x1 +x2 = 　 　 　 　 ,x1x2 =　 　 　 　 . 任务: (1)填空:x1+x2 =　 　 　 　 ,x1x2 =　 　 　 　 ; (2)小亮同学利用求根公式进行推理,同样 能够得出一元二次方程两根之和、两根之积 与系数之间的关系.下面是小亮同学的部分 推理过程,请完成填空,并将推理和运算过 程补充完整. 解:对于一元二次方程 ax2+bx+c= 0(a≠0), 当 b2-4ac≥0 时,有两个实数根 x1 = 　 　 　 　 ,x2 =　 　 　 　 ; …… (3)已知关于 x 的方程 2x2+3mx+m2 = 0 的两 根之和与两根之积的和等于 2,直接写出 m 的值. 22. 生产劳动情境·销售水杯 (11 分)某超市购 进一批水杯,其中 A 种水杯进价为每个 15 元,售价为每个 25 元;B 种水杯进价为每个 12 元,售价为每个 20 元. (1)该超市平均每天可售出 60 个 A 种水杯, 后来经过市场调查发现,A 种水杯单价每降 低 1 元,则平均每天的销量可增加 10 个. 为 了尽量让顾客得到更多的优惠,该超市将 A 种水杯售价调整为每个 m 元,结果当天销 售 A 种水杯获利 630 元,求 m 的值; (2)该超市准备花费不超过 1 600 元的资金 购进 A、B 两种水杯共 120 个,其中 B 种水杯 的数量不多于 A 种水杯数量的两倍. 请设计 获利最大的进货方案,并求出最大利润. 23. (11 分)“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消 费者青睐的优质新品种,在我国西部区域广 泛种植,重庆市某葡萄种植基地前年种植 “阳光玫瑰”100 亩,到今年“阳光玫瑰”的种 植面积达到 196 亩. (1)求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积 的平均增长率; (2)市场调查发现,当“阳光玫瑰”的售价为 20 元 /千克时,每天能售出 200 千克,售价每 降价 1 元,每天可多售出 50 千克,为了推广 宣传,基地决定降价促销,同时尽量减少库 存,已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为 12 元 /千克,若使销售“阳光玫瑰”每天获利 1 750 元,则售价应降低多少元? (2)画树状图如下: 共有 12 种等可能的结果,其中 A,B 两名志愿者同时 被选中的结果有 2 种,∴ A,B 两名志愿者同时被选 中的概率为 2 12 = 1 6 . 25. 3　 用频率估计概率 1. D　 2. D　 3. A 4. 解:(1)0. 70　 0. 70　 (2)0. 70 (3)这种玉米种子的发芽概率的估计值是 0. 70. 理由:在相同条件下,多次试验,某一事件发生的 频率近似等于概率 . 5. D　 6. D　 追梦第二十五章章末复习 　 概率初步 1. D 2. 解:(1)必然事件 　 (2)随机事件 　 (3)必然事件 (4)随机事件 　 (5)不可能事件 3. D　 4. D　 5. A　 6. A 7. 解:(1)画树状图如下: 　 　 　 则共有 12 种等可能的结果; (2) ∵ 共有 12 种等可能的结果,抽到的两张卡片上的 数都是勾股数的结果为 6 种,∴ 概率为 6 12 = 1 2 . 8. 0. 8　 9. 1 3 10. 解:(1) 摸球次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 出现红球 的次数 14 23 38 52 67 86 97 111 120 133 出现红球 的频率 0. 35 0. 29 0. 32 0. 33 0. 34 0. 36 0. 35 0. 35 0. 33 0. 33 (2) (3)0. 33　 (4)0. 33 􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚 􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚 􀧚 􀧚 􀧚􀧚《情境测试卷》答案 第二十一章情境测试卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B C C B B C D D B 1. D 2. B　 【解析】 x2 -4x-1 = 0,移项得 x2 - 4x = 1,配方得 x2 - 4x+4 = 1+4,即( x-2) 2 = 5,所以 m = 5. 故选 B. 3. C 4. C　 【解析】原方程可化为 x2 -2x+4 = 0,∵ Δ = ( -2) 2 -4 ×1×4 = -12 < 0,∴ 原方程无实数根,故嘉嘉和淇淇的 说法都不对,因为 b2 -4ac<0,该方程无解 . 故选 C. 5. B 6. B　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 x2 +mx+ 3 = 0 有 两个实数根 x1 = 1,x2 = n,∴ 1+n = -m,解得 m+n = - 1, 故(m+n) 2 026 = 1. 故选 B. 7. C　 【解析】解方程,得 x = 1 或 x = -3,∵ a<b,∴ a = -3, b = 1,代入一次函数解析式得:y = - 3x+ 1,则一次函数 图象不经过第三象限 . 故选 C. 8. D　 9. D 10. B　 【解析】当 b = a+c 时,Δ = ( a+c) 2 -4ac = ( a-c) 2 ≥ 0,则方程 ax2 +bx+c = 0 一定有实数根,所以①正确; 若 a、c 异号,则 Δ = b2 -4ac>0,则方程 ax2 +bx+c = 0 一 定有实数根,所以 ② 正确;当 a、 c 异号,方程有两个 不相等的实数根;当 a、c 同号,若 b2 -5ac>0,则 Δ = b2 -4ac>ac>0,所以方程 ax2 +bx+c = 0 一定有两个不相 等的实数根,所以③正确;方程 ax2 +bx+c = 0 有两个 不相等的实数根,若 c = 0,则方程 cx2 +bx+a = 0 没有 两个不相等实数根,所以④错误 . 故选 B. 11. -1 12. 3 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【方法点拨】本题考查了一元二次方程 ax2 +bx+c = 0( a ≠0)的根的判别式 Δ = b2 - 4ac:当 Δ> 0,方程有两个不 相等的实数根;当 Δ = 0,方程有两个相等的实数根;当 Δ<0,方程没有实数根 . 13. 1　 【解析】根据题意得 x1 +x2 = 3,x1 x2 = a. ∵ x 2 1 -3x1 x2 +x22 = 4,∴ ( x1 +x2) 2 -5x1 x2 = 4,∴ 9-5a = 4,∴ a = 1. 14. 36　 【解析】设这位风流人物去世的年龄十位数字为 x,则个位数字为( x+ 3) . 则根据题意:10x+( x+ 3) = ( x+3) 2,整理得:x2 -5x+6 = 0,解得 x1 = 2,x2 = 3,由题 意,而立之年督东吴,则 x = 2 舍去,∴ 这位风流人物 去世的年龄为 36 岁 . 15. 2 16. 解:(1)移项,得 x2 -x-12 = 0,因式分解,得( x-4) ( x+ 3) = 0,则 x-4 = 0 或 x+3 = 0,∴ x1 = 4,x2 = -3; (2)移项,得 2( x+3) 2 -x( x+ 3) = 0,因式分解,得( x+ 3) (2x+6-x) = 0,整理,得( x+ 3) ( x+ 6) = 0,则 x+ 3 = 0 或 x+6 = 0,∴ x1 = -3,x2 = -6. 17. 证明:∵ m2 + 2m+ 2 = (m+ 1) 2 + 1,∴ m2 + 2m+ 2≥1,即 m2 +2m+2≠0. 故关于 x 的方程(m2 +2m+2) x2 -( 4m- 1) x-7 = 0 总为一元二次方程 . 18. 解:(1) ∵ x☆4 = 20,∴ 4x2 +4 = 20,即 x2 = 4,解得 x1 = 2,x2 = -2; (2) ∵ 2☆a 的值小于 0,∴ 22 ×a+a = 5a<0,解得 a<0. 在方程 2x2 -bx+a = 0 中,Δ = ( -b) 2 - 8a = b2 - 8a> 0,∴ 方程 2x2 -bx+a = 0 有两个不相等的实数根 . 19. 解:(1)由题意得 Δ = ( 2k- 1) 2 - 4k( k- 2) > 0,解得 k> - 1 4 ; (2)由(1)得 k = 2,代入原方程整理后为 x2 + 3x = 0, 解得 x1 = 0,x2 = -3. —82— 20. 解:(1)2t　 5-t (2)由题意得( 5 - t) 2 +( 2t) 2 = 52 ,解得 t1 = 0( 舍去) , t2 = 2. ∴ 当 t = 2 时,PQ 的长度等于 5cm; ( 3 ) 存在 t 的值,使得五边形 APQCD 的面积等于 26cm2 . 理由如下: ∵ 矩形 ABCD 的面积为 5 × 6 = 30 ( cm2 ) ,五边形 APQCD 的面积为 26cm2 ,∴ △PBQ 的 面积为 30-26 = 4( cm2 ) . ∴ ( 5 - t) × 2t× 1 2 = 4,解得 t1 = 4(此时 2t > 6,舍去) , t2 = 1. 故当 t = 1 时,五边形 APQCD 的面积等于 26cm2 . 21. 解:(1) - b a 　 c a (2) -b- b2 -4ac 2a 　 -b+ b2 -4ac 2a 过程补充如下:x1 +x2 = -b- b2 -4ac 2a + -b+ b2 -4ac 2a = - 2b 2a = - b a , x1 x2 = -b- b2 -4ac 2a · -b+ b2 -4ac 2a = b2 -( b2 -4ac) 4a2 = 4ac 4a2 = c a . (3)m 的值为 - 1 或 4. 　 【解析】 ∵ a = 2,b = 3m, c = m2,∴ 方 程 2x2 + 3mx + m2 = 0 的 两 根 之 和 为 - b a = -3m 2 ,两根之积为 c a = m 2 2 . ∵ 两根之和与两根之积的 和等于 2,∴ - 3m 2 +m 2 2 = 2,解得 m = -1 或 m = 4. 22. 解:(1)超市将 A 种水杯售价调整为每个 m 元,则单 个利润为(m-15)元,销量为[60+10(25-m) ] = ( 310 -10m)个,依题意得(m- 15) ( 310 - 10m) = 630,解得 m1 = 22,m2 = 24,为了尽量让顾客得到更多的优惠, ∴ m 为 22; (2)设购进 A 种水杯 x 个,则 B 种水杯 ( 120 -x) 个 . 设获利 y 元,依题意得 15x+12(120-x) ≤1 600 120-x≤2x{ ,解 不等式组得 40≤x≤53 1 3 ,利润 y = ( 25 - 15) x+( 120 -x) (20-12) = 2x+960. ∵ 2>0,∴ y 随 x 增大而增大, 且 x 为正整数,∴ 当 x = 53 时,获利最大,最大利润 为:2×53+960 = 1 066(元) . 即购进 A 种水杯 53 个,B 种水杯 67 个时,获利最大,最大利润为 1 066 元 . 23. 解:(1)设该基地这两年 “ 阳光玫瑰” 种植面积的平 均增长率为 x,依题意得 100( 1 +x) 2 = 196,解得 x1 = 0. 4 = 40%,x2 = -2. 4( 不合题意,舍去) . 即该基地这 两年“ 阳光玫瑰 ” 种植面积的平均增长率为 40%; (2)设售价应降低 y 元,则每天可售出(200 + 50y) 千 克,依题意得(20-12-y)(200+50y)= 1 750,整理,得 y2 -4y+3 = 0,解得 y1 = 1,y2 = 3. ∵ 要尽量减少库存,∴ y = 3. 即售价应降低 3 元. 第二十二章情境测试卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B B C D C C A D B 1. C　 2. B　 3. B　 4. C 5. D　 【解析】∵ 二次函数 y = -x2 +4x+c = -( x-2) 2 +c+4, ∴ 对称轴为 x = 2. ∵ a< 0,∴ 当 x< 2 时,y 随 x 增大而 增大,当 x> 2 时,y 随 x 的 增 大 而 减 小 . ∵ ( - 1, y1 ), (2,y2),(3,y3)在二次函数 y = -x 2 +4x+c 的图象上,且 | -1-2 | > | 2-3 | ,∴ y1 <y3 <y2 . 故选 D. 6. C　 7. C　 8. A 9. D　 【解析】∵ 二次函数 y = kx2 - 2x- 1 与 x 轴有交点, ∴ Δ = ( -2) 2 -4k×( -1)≥0,解得 k≥ - 1,又∵ k≠0,故 k 的取值范围为 k≥ -1 且 k≠0. 故选 D. 10. B　 【解析】∵ 函数 y = x2 +bx+c 与 x 轴无交点,∴ b2 - 4c<0,故①错误;当 x = 1 时,y = 1+b+c = 1,故②错误; 当 x = 3 时,y = 9 + 3b+c = 3,∴ 3b+ c+ 6 = 0,故③正确; ∵ 当 1<x< 3 时,二次函数值小于一次函数值,∴ x2 + bx+c<x,∴ x2 +( b-1) x+c<0. 故④正确 . ∴ 正确的有 2 个 . 故选 B. 11. 大 　 2　 -1　 12. x>2　 13. y = x2 -2x-3 14. 6　 【解析】由题意得 h = 0 时,30t-5t2 = 0,解得 t1 = 0, t2 = 6. 故水流从喷出至回落到地面所需要的时间为 6 -0 = 6( s) . 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法点拨】本题考查二次函数的应用,解答本题的关 键是明确题意,利用二次函数的性质解答 . 15. 2 6 　 【解析】以图中水面为 x 轴,抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系,设抛物线解析式为 y = ax2 +2,代入坐标( - 2,0) 得出:a = - 0. 5,所以抛物线解 析式为 y = -0. 5x2 + 2,把 y = - 1 代入抛物线解析式, 得- 1 = - 0. 5x2 + 2,解 得 x = ± 6 ,所 以 水 面 宽 度 为 2 6 米 . 16. 解:(1) ∵ 函数 y = (m+ 3) xm 2 + 4m- 3 + 5 是关于 x 的二次 函数 . ∴ m+3≠0 m2 +4m-3 = 2{ ,∴ m = -5 或 m = 1 且 m≠ - 3, ∴ m = -5 或 m = 1; (2)若函数图象的开口向上,则 m+ 3 > 0,∴ m> -3. ∵ m = - 5 或 m = 1,∴ m = 1 时,函数图象的开口向上; (3)若函数有最大值,则 m+ 3 < 0,∴ m< - 3. ∵ m = - 5 或 m = 1,∴ m = -5 时,函数有最大值 . 17. 解:(1) ∵ y = x2 - 4x+ 5 = ( x- 2) 2 + 1,∴ 抛物线顶点坐 标为(2,1) ; (2)列表: x … 0 1 2 3 4 … y … 5 2 1 2 5 … (3)1≤y<5 18. 解:(1) ∵ B(3,0) ,∴ -9+3m+3 = 0,∴ m = 2,∴ y = -x2 +2x+3 = -( x-1) 2 +4,∴ 顶点坐标为(1,4) ; —92—