追梦第二章章末复习 一元二次方程-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(北师大版)

　 　 　 　 追梦第二章章末复习　 一元二次方程 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈一元二次方程 满足条件 1. 整式方程一般形式 2. 未知数的最高次数为 2 3. 二次项系数不为 0 ì î í ï ï ï ï 一般形式:ax2 +bx+c= 0(a≠0) ì î í ï ï ï ï ïï 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈解一元二次方程 直接开平方法 1. 形如 x2 =m(m≥0),则 x= ± m 2. 形如(x-n) 2 =m(m≥0),则 x=n± m 3. 形如 a(x-n) 2 =m(ma≥0,且 a≠0),则 x= ± m a +n ì î í ï ï ï ï ï ï 配方法 根据:a2 ±2ab+b2 =(a±b) 2 步骤 1. 将方程化为一般形式 2. 把二次项系数化为 1 3. 移项,配方 4. 用直接开平方法求解 ì î í ï ï ï ï ïï ì î í ï ï ïï ï ï ïï 公式法　 求根公式:x= -b± b2 -4ac 2a (b2 -4ac≥0) 因式分解法 1. 提公因式法 2. 公式法{ ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ïï 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈一元二次方程 ax 2 +bx+c= 0(a≠0)的根的判别式 当 b2 -4ac>0 时,方程有两个不相等的实数根 当 b2 -4ac= 0 时,方程有两个相等的实数根 当 b2 -4ac<0 时,方程没有实数根 ì î í ï ï ï ï 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈一元二次方程 ax 2 +bx+c= 0(a≠0,Δ≥0)的根与系数的关系 x1 +x2 = - b a ,x1x2 = c a 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈利用一元二次方程解决实际问题 1. 审题,找出等量关系 2. 设出适当的未知数,列出方程 3. 解方程 4. 检验方程的解是否正确及是否符合实际意义 5. 作答 ì î í ï ï ïï ï ï ïï 一元二次方程的相关概念 1. (3 分)关于 x 的一元二次方程(a-1) x2 +5x+ | a | -1 = 0 的常数项为 0,则 a 等于(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 1 B. -1 C. 1 或-1 D. 0 2. (3 分)已知(m-3)x2 +( m+2 )x = 1 是关于 x 的一元二次方程,则 m 的取值范围是(　 　 ) A. m≠3 B. m≥3 C. m≥-2 D. m≥-2 且 m≠3 3. (3 分)已知一元二次方程 x2 +kx-2 = 0 有一个 根是-1,则 k 的值是　 　 　 　 　 . 14 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBB·九年级数学上册 用适当的方法解一元二次方程 4. (3 分)方程 4x2 -25 = 0 的解为(　 　 ) A. x= 2 5 B. x= 5 2 C. x= ± 5 2 D. x= ± 2 5 5. (3 分)将方程 x2 -6x-5 = 0 化为(x+m) 2 = n 的 形式,则(　 　 ) A. m= 3,n= 5 B. m= -3,n= 5 C. m= 3,n= 14 D. m= -3,n= 14 6. (3 分)用公式法解方程 x2 -2x = 3 时,求根公 式中 a,b,c 的值分别是(　 　 ) A. a= 1,b= -2,c= 3 B. a= 1,b= 2,c= -3 C. a= 1,b= 2,c= 3 D. a= 1,b= -2,c= -3 7. (3 分)解方程:①9(x-3) 2 = 25;②6x2 -x = 0; ③x2 +4x-3 596 = 0;④x(x-1)= 1. 较简便的方 法依次是(　 　 ) A. 直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法 B. 因式分解法、公式法、公式法、配方法 C. 配方法、因式分解法、配方法、公式法 D. 直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法 8. (12 分)按要求解方程: (1)直接开平方法:4( t-3) 2 = 9(2t-3) 2; (2)配方法:2x2 -7x-4 = 0; (3)公式法:3x2 +5(2x+1)= 0; (4)因式分解法:3(x-5) 2 = 2(5-x) . 9. (7 分)已知关于 x 的一元二次方程(k+4) x2 + 3x+k2 -16 = 0 的一个根为 0,求另一个根. 一元二次方程根的判别式及根与系数 的关系 10. (3 分)下列方程中,没有实数根的是(　 　 ) A. x2 -2x= 0 B. x2 -2x-1 = 0 C. x2 -2x+2 = 0 D. x2 -2x+1 = 0 11. (3 分)关于 x 的一元二次方程 kx2 +3x-1 = 0 有实数根,则 k 的取值范围是(　 　 ) A. k≤- 9 4 B. k≥- 9 4 且 k≠0 C. k≥- 9 4 D. k>- 9 4 且 k≠0 24 12. (3 分)若关于 x 的一元二次方程 ax2 +2x-1 = 0 无解,则 a 的最大整数值是　 　 　 　 . 13. (3 分)已知关于 x 的方程 x2 -(k+2)x+2k-1 = 0 的一个根为 x = 3,方程的另一根是 1,不 解方程,则 k= 　 　 　 　 . 14. (6 分)设方程 4x2 -7x-3 = 0 的两根为 x1,x2, 不解方程求下列各式的值. (1)(x1 -3)(x2 -3);　 　 　 (2) x2 x1 +1 + x1 x2 +1 . 用一元二次方程解决问题 15. (3 分)如图,矩形 ABCD 的周长是 20 m,以 AB,AD(AB>AD)为边向外作正方形 ABEF 和 正方形 ADGH, 若正方形 ABEF 与正方形 ADGH 的面积之和是 68 m2,那么 AB 的长 是(　 　 ) A. 8 m B. 2 m C. 10 m D. 2 m 或 8 m 16. 生活情境·商品销售 (9 分)某种商品的标价 为 400 元 / 件,经过两次降价后的价格为 324 元 / 件,并且两次降价的百分率相同. (1)求该种商品每次降价的百分率; (2)若该种商品进价为 300 元 / 件,两次降价 共售出此种商品 100 件,为使两次降价销售 的总利润不少于 3 210 元,问第一次降价后 至少要售出该种商品多少件? 17. 生产劳动情境·围花圃 (10 分)有长为 30 米 的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度为 10 米),围成中间隔有一道篱笆(平行于 AB) 的矩形花圃. 设花圃的一边 AB 为 x 米,面积 为 y 平方米. (1)如果要围成面积为 63 平方米的花圃,AB 的长是多少? (2)能围成面积为 78 平方米的花圃吗? 若 能,求出 AB 的长,若不能,请说明理由. 34 8. 解:设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人,根据题意得 1+x+x(1+x)= 121,即(1+x) 2 = 121,解得 x1 = 10,x2 = -12 (不符合题意,舍去) . ∴ 每轮传染中平均一个人传染了 10 个人. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　方法点拨:传播问题:若 a 为传染源,x 为每个传染源传播 的个数,则传播两轮后的感染总个数为 a+ax+(a+ax)x=a (1+x) 2 . 9. 10 10. 解:(1)设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑,依 题意得(1+x) 2 = 16,解得 x1 = 3,x2 = - 5(不合题意,舍 去) . ∴ 每轮感染中平均一台电脑会感染 3 台电脑. (2)四 11. 解:(1)由题意可得:( 300 + 100 × x 0. 1 ) ( 1 - x) = 400,即 10x2 -7x+1 = 0,解得:x1 = 1 2 ,x2 = 1 5 . ∴ 当 x 为 1 2 或 1 5 时,利润为 400 元. (2)不能. 理由:令(300+100× x 0. 1 ) (1-x)= 500,即:10x2 -7x+2 = 0,b2 -4ac= 49-4×10×2<0,此方程无实数根. ∴ 按照这种降价促销的策略,该饮料批发商店每天卖出该 款饮料的利润不能达到 500 元. 追梦第二章章末复习　 一元二次方程 1. B 2. D　 【解析】∵ m-3≠0 且 m+2≥0,∴ m≥-2 且 m≠3. 故 选 D. 3. -1　 【解析】把 x= -1 代入 x2 +kx-2 = 0 得 1-k-2 = 0,解得 k= -1. 4. C　 5. D　 6. D　 7. D 8. 解:(1)开方,得 2( t-3)= ±3(2t-3),∴ 2( t-3)= 3(2t-3) 或 2( t-3)= -3(2t-3),∴ t1 = 3 4 ,t2 = 15 8 ; (2)配方,得 x2 - 7 2 x+( 7 4 ) 2 = 2+( 7 4 ) 2 ,即(x- 7 4 ) 2 = 81 16 , ∴ x1 = 4,x2 = - 1 2 ; (3)整理,得 3x2 + 10x+ 5 = 0,Δ = 100- 4× 3× 5 = 40> 0,x = -10±2 10 2×3 = -5± 10 3 ,x1 = -5+ 10 3 ,x2 = -5- 10 3 ; (4)移项,得 3(x-5) 2 + 2( x- 5) = 0,提公因式,得( x- 5) (3x-15+2)= 0,∴ x1 = 5,x2 = 13 3 . 9. 解:当 x= 0 时,原方程为(k+4)×02 +3×0+k2 -16 = 0,解得 k1 = 4,k2 = -4. ∵ k+4≠0,∴ k= 4. 故一元二次方程为 8x 2 + 3x= 0,x( 8x+ 3) = 0,解得 x1 = 0,x2 = - 3 8 ,则另一根为 - 3 8 . 10. C 11. B　 【解析】∵ Δ= 32 -(-1)·4k = 9+4k≥0,∴ k≥- 9 4 且 k≠0. 故选 B. 12. -2　 【解析】∵ Δ= 22 -4a·(-1)= 4+4a<0,∴ a<-1,∴ a 的最大整数值为-2. 13. 2 14. 解:由题意得,x1 +x2 = 7 4 ,x1x2 = - 3 4 , (1)原式= x1x2 -3x1 -3x2 +9 = x1x2 -3(x1 +x2 )+9 = - 3 4 -3× 7 4 +9 = 3; (2)原式= x2(x2 +1)+x1(x1 +1) (x1 +1)(x2 +1) = x22 +x2 +x 2 1 +x1 x1x2 +x1 +x2 +1 = (x1 +x2 ) 2 -2x1x2 +(x1 +x2 ) x1x2 +x1 +x2 +1 = ( 7 4 ) 2 -2×(- 3 4 )+ 7 4 - 3 4 + 7 4 +1 = 101 32 . 15. A　 【解析】设 AB=a,AD= b,∴ 2(a+b)= 20,a+b = 10. 由 题意得 a2 +b2 = 68,∴ a2 +(10-a) 2 = 68. 整理得 a2 -10a+ 16 = 0,∴ (a-8)(a-2)= 0. 解得 a1 = 8 或 a2 = 2. ∵ AB> AD,∴ a= 8. ∴ AB= 8m. 故选 A. 16. 解:(1)设该种商品每次降价的百分率为 x,依题意,得 400·(1-x) 2 = 324. 解得 x1 = 10%,x2 = 190%(舍去),即 该种商品每次降价的百分率为 10%. (2)设第一次降价后售出该种商品 m 件,则第二次降价 后售出该种商品(100-m)件. 由题意得,第一次降价后 单件利润:400×(1-10%) -300 = 60(元) . 第二次降价后 单件利润:324-300 = 24(元),则 60m+ 24×(100-m) ≥ 3 210. 解得 m≥22. 5. ∵ m 只能取整数,∴ m 最小为 23. 即为使两次降价销售的总利润不少于 3 210 元,第一次 降价后至少要售出该种商品 23 件. 17. 解:(1)依题意得:x(30- 3x) = 63,整理得:x2 - 10x+ 21 = 0,解得:x1 = 7,x2 = 3(不符合题意,舍去) . ∴ AB 的长为 7 米. (2)不能围成面积为 78 平方米的花圃,理由如下:依题 意得:x( 30 - 3x) = 78,整理得: x2 - 10x + 26 = 0, ∵ Δ = (-10) 2 -4×1×26 = -4<0,∴ 该方程没有实数根,即不能 围成面积为 78 平方米的花圃. 第三章　 概率的进一步认识 1　 用树状图或表格求概率 第 1 课时　 用树状图或表格求概率 1. D　 2. A 3. 解:(1)树状图如下: (2)∵ 共有 6 种等可能的结果,两个数字之和能被 3 整除 的情况有 2 种,∴ P(两个数字之和能被 3 整除) = 2 6 = 1 3 . 4. C　 【解析】将三个小区分别记为 A,B,C 　 　 违规停车 垃圾分类　 　 A B C A (A,A) (A,B) (A,C) B (B,A) (B,B) (B,C) C (C,A) (C,B) (C,C) —21—