追梦第一章章末复习 特殊平行四边形-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(北师大版)

追梦第一章章末复习　 特殊平行四边形 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈特殊平行四边形 菱形 定义:有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 性质 1. 四条边相等;2. 对角线互相垂直平分 3. 每条对角线平分一组对角{ 判定 1. 四条边相等的四边形是菱形 2. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 3. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ì î í ï ï ï ï ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï 矩形 定义:有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 性质 1. 对边平行且相等 2. 四个角都是直角 3. 对角线互相平分且相等 4. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ì î í ï ï ï ï ï ï 判定 1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 2. 对角线相等的平行四边形是矩形 3. 有三个角是直角的四边形是矩形 ì î í ï ï ï ï ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï 正方形 定义:有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形 性质 1. 正方形的四条边相等,对边平行 2. 正方形的四个角都是直角 3. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 4. 正方形每一条对角线平分一组对角 ì î í ï ï ïï ï ï ï 判定 1. 有一个角是直角的菱形是正方形 2. 有一组邻边相等的矩形是正方形 3. 对角线相等的菱形是正方形 4. 对角线互相垂直的矩形是正方形 ì î í ï ï ï ï ï ï ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï 菱形 1. (3 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,点 E,F 分别是 OA,OC 的 中点,下列条件中不能判定四边形 BEDF 是菱 形的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. AC⊥BD B. AC= 2BD C. AC 平分∠BAD D. AB=BC 第 1 题图 　 第 2 题图 2. (3 分)如图,在菱形 ABCD 中,M、N 分别在 AB、 CD 上,且 AM = CN,MN 与 AC 交于点 O. 连接 BO,若∠DAC= 28°,则∠OBC 的大小为(　 　 ) A. 28° B. 52° C. 62° D. 72° 91 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBB·九年级数学上册 3. (3 分)如图,在菱形 ABCD 中,∠A = 60°,E,F 分别是 AB,AD 的中点,EF = 3,则菱形 ABCD 的边长是　 　 　 　 　 . 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 4. 中考新趋势·条件开放 (3 分)如图,两个完全 相同的三角板 ABC 和 EDF 在直线 l 上滑动,要 使四边形 CBFE 为菱形,还需要添加的一个条 件是　 　 　 　 　 　 (写出一个即可). 5. (9 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠B = 90°,BC = 5 3 ,∠C= 30°. 点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以 每秒 2 个单位长度的速度向点 A 匀速运动,同 时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以每秒 1 个单 位长度的速度向点 B 匀速运动,当其中一个 点到达终点时,另一个点也随之停止运动. 设 点 D、E 运动的时间是 t 秒( t> 0) . 过点 D 作 DF⊥BC 于点 F,连接 DE、EF. (1)求证:四边形 AEFD 是平行四边形. (2)四边形 AEFD 能够成为菱形吗? 如果能, 求出相应的 t 值;如果不能,说明理由. 矩形 6. (3 分)如图,四边形 ABCD 为平行四边形,延 长 AD 到点 E,使 DE=AD,连接 EB,EC,DB,添 加一个条件,不能使四边形 DBCE 成为矩形的 是(　 　 ) A. AB=BE B. BE⊥DC C. ∠ADB= 90° D. CE⊥DE 第 6 题图 　 　 　 　 第 8 题图 7. (3 分)已知一矩形的两邻边长分别为 10 cm 和 15 cm,其中一个内角的平分线分长边为两 部分,这两部分的长分别为(　 　 ) A. 6 cm 和 9 cm B. 5 cm 和 10 cm C. 4 cm 和 11 cm D. 7 cm 和 8 cm 8. (3 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,CD 是 AB 边上的高,CE 是 AB 边上的中线,AD = 3,CE= 5,则 CD 等于(　 　 ) A. 3 B. 4 C. 21 D. 29 9. (8 分)如图,在菱形 ABCD 中,P 是对角线 AC 上任一点(不与点 A,C 重合),连接 BP,DP, 过点 P 作 PE∥CD,交 AD 于点 E,PF∥AD 交 CD 于点 F,连接 EF. (1)求证:△ABP≌△ADP; (2)若 BP=EF,求证:四边形 EPFD 是矩形. 正方形 10. 学习情境·七巧板 (3 分)小明用正方形制作 了一副七巧板如图 1 所示,又用这副七巧板 拼成了一个平行四边形 ABCD 如图 2,若正 方形的对角线长是 2,则该平行四边形的对 02 角线 AC 的长是(　 　 ) A. 5 B. 10 C. 2 2 D. 2 5 11. (3 分)如图所示,正方形 ABCD 的边长为 6, △ABE 是等边三角形,点 E 在正方形 ABCD 内部,在对角线 AC 上有一点 P,使 PD+PE 的 值最小,则这个最小值为　 　 　 　 　 　 . 　 　 　 　 12. (8 分)如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 在 对角线 BD 上,AE∥CF,连接 AF,CE. (1)求证:△ABE≌△CDF; (2)试判断四边形 AECF 的形状,并说明理由. 13. (8 分)如图,正方形 ABCD 中,动点 E 在 AC 上,AF⊥AC,垂足为 A,AF=AE,连接 BF. (1)求证:BF=DE; (2)当点 E 运动到 AC 中点时(其他条件不 变),四边形 AFBE 是正方形吗? 请说明理由. 14. (10 分)如图 1,在正方形 ABCD 和正方形 BEFG 中,点 A,B,E 在同一条直线上,P 是线 段 DF 的中点,连接 PG,PC. (1)探究 PG 与 PC 的位置关系及PG PC 的值(写 出结论,不需要证明); (2)如图 2,将原问题中的正方形 ABCD 和正 方形 BEFG 换成菱形 ABCD 和菱形 BEFG,且 ∠ABC= ∠BEF = 60°. 探究 PG 与 PC 的位置 关系及 PG PC 的值,写出你的猜想并加以证明. 图 1 　 图 2 12 又∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ 四边形 ABCD 是正方形. 12. (1)证明:连接 CE. ∵ BE = BC,BD 平分∠ABC,∴ BD 为 线段 CE 的垂直平分线,∴ BD⊥CE,EF=FC,DE=CD. ∵ DF=DF,∴ △FDE≌△FDC,∴ ∠EFD = ∠DFC. ∵ CF∥ DE,∴ ∠DFC= ∠FDE,∴ ∠FDE= ∠EFD,∴ EF =DE,∴ EF=FC=CD=DE,∴ 四边形 CDEF 为菱形; (2)解:当∠ACB= 120°时,四边形 CDEF 是正方形. 理由 如下:∵ ∠ACB = 120°,BC = AC,∴ ∠ABC = ∠BAC = 30°. ∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠DBC = 15°,且 BD⊥EC,∴ ∠BCE = 75°,∴ ∠ACE= 45°. ∵ 四边形 CDEF 是菱形,∴ ∠FCD = 2∠ACE= 90°,∴ 四边形 CDEF 为正方形. 专题　 与正方形有关的四个常考模型 1. 解:(1)EF=BE+DF,理由:将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°,得到△ABG. ∴ GB = DF,AF = AG,∠BAG = ∠DAF. ∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ ∠BAD = 90°. ∵ ∠EAF = 45°, ∴ ∠BAE+∠DAF = 45°,∴ ∠BAG+∠BAE = 45° = ∠EAG, ∴ ∠EAG= ∠EAF,∵ AE = AE,∴ △AGE≌△AFE( SAS), ∴ GE=EF. ∵ GE=GB+BE=BE+DF,∴ EF=BE+DF. (2)EF=DF-BE 2. 证明: ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB = BC, ∠ABE = ∠BCF = 90°. ∵ ∠AOF = 90°, ∠AOB = 90°, ∴ ∠BAE + ∠OBA = 90°. 又 ∵ ∠FBC + ∠OBA = 90°, ∴ ∠BAE = ∠CBF. ∴ △ABE≌△BCF(ASA) . ∴ BE=CF. 3. 解: ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AO = BO, AO ⊥ BO, ∠BAO= ∠CBO = 45°,∴ ∠AOE+∠BOE = 90°. ∵ 四边形 A1B1C1O 是正方形,∴ ∠A1OC1 = 90°,∴ ∠A1OB+∠BOC1 = 90°,∴ ∠AOE = ∠BOF,∴ △AOE≌ △BOF( ASA), ∴ S△AOE =S△BOF,∴ 两个正方形重叠部分的面积 = S△ABO = 正 方形 ABCD 面积的 1 4 . 4. (1)证明:过点 P 作 PF⊥AB,PG⊥BC,∴ ∠PFB = ∠PGB = ∠PGC= 90°. ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠A = ∠ABC = 90°,AB= AD = BC,∴ ∠ABD = ∠ADB = 45°,四边形 FB- GP 是矩形,∴ ∠FPB = 90° - ∠ABD = 90° - 45° = 45°,∴ ∠ABD= ∠FPB,∴ FP = FB,∴ 矩形 FBGP 是正方形,∴ PF= PG, ∠FPG = 90°, ∴ ∠FPE + ∠EPG = 90°. ∵ PE⊥ PC,∴ ∠EPC = 90°,∴ ∠GPC+ ∠EPG = 90°,∴ ∠FPE = ∠GPC,∴ △PFE≌△PGC(ASA),∴ PE=PC; (2)4 2 　 【解析】设 EF= x. ∵ △PFE≌△PGC,∴ GC =EF = x,由 BE= 2 得 BF= x+2,由正方形 FBGP 得 BG= x+2. ∵ BC= 6,∴ BG+GC= 6,∴ ( x+ 2) +x = 6,解得 x = 2,∴ PF = BF= 2+2 = 4. 在△PFB 中,∠PFB = 90°,PB2 = 42 +42 = 32. ∵ PB>0,∴ PB= 4 2 . 专题　 特殊平行四边形中的折叠问题 1. A　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AB =BC =CD = AD, AC⊥BD,AO=CO= 2,BO=DO= 2 3,∴ AB= AO2 +BO2 = 4+12 = 4,∴ AB=BC=CD=AD= 4. 由折叠的性质,得 BF = OF,∴ ∠FOB = ∠FBO,∴ ∠FCO = ∠FOC,∴ OF = CF, ∴ OF=CF=BF= 2. 同理可得 BE =OE = AE = 2,∴ EF = 1 2 AC= 2,∴ 五边形 AEFCD 的周长 = 4+4+2+2+2 = 14. 故选 A. 2. 解:取 BC 中点 M,连接 FM. ∵ ∠CFB = 90°,CF = 1,CB = 2,∴ FM= 1 2 BC=CM=BM= 1 =CF. ∴ △CMF 为等边三角 形,∠BFM= ∠CBF = 1 2 ∠CMF = 30°. ∵ 四边形 ABCD 是 菱形,∴ AB∥CD,AD∥BC,∴ ∠A = ∠CBF = 30°. ∵ A′B⊥ CD,∴ A′B⊥AB. 由折叠知,∠ABE = ∠A′BE = 45°,过点 E 作 EH⊥AB 于点 H,∴ BH=EH. 设 BH =EH = x,则 AH = 2- x,AE= 2x,由勾股定理,得 AH= AE2 -EH2 = 3 x. ∵ AB = 2,∴ 3 x+x= 2,解得 x= 3 -1. ∴ AE= 2x= 2 3 -2. 3. 1 4. 证明: ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD∥BC, ∴ ∠BHG = ∠DGH. 由折叠可知, ∴ ∠BHG = ∠DHG, BH = DH, ∴ ∠DHG= ∠DGH,∴ DG =DH,∴ DG =BH,四边形 BHDG 是 平行四边形. ∵ BH=DH,∴ 四边形 BHDG 是菱形. 5. 5 -1　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB =AD =BC =CD,∠B= ∠C= ∠D= 90°. ∵ E 是 CD 的中点,∴ CD=AD = 2DE= 2,设 BF = x,则 FG = BF = x,∴ CF = 2 - x. 在 Rt △ADE 中,AE= 5 . ∴ GE = 5 - 2. 连接 EF,在 Rt△GEF 中,EF2 =( 5 -2) 2 +x2 . 在 Rt△FCE 中,EF2 = (2-x) 2 +12, 所以( 5 -2) 2 +x2 =(2-x) 2 +12,解得 x = 5 -1,∴ BF = 5 -1. 6. (1)证明:由折叠及轴对称的性质可知. △ABF≌△GBF, BF 垂直平分 AG,∴ BF⊥AE,AH =GH,∴ ∠BAH+∠ABH = 90°. 又 ∵ ∠FAH + ∠BAH = 90°, ∴ ∠ABH = ∠FAH. 在 △ABF 与△DAE 中, ∠BAF= ∠ADE AB=AD ∠ABF= ∠DAE ì î í ïï ï ,∴ △ABF≌ △DAE (ASA),∴ AF=DE; (2)16 5 5 　 【解析】∵ 点 E 是 CD 的中点,∴ DE = CE = 4. 由( 1 ) 知 △ABF ≌ △DAE. ∴ AF = DE = 4, ∴ BF = AF2 +AB2 = 16+64 = 4 5,由折叠可得:BF 垂直平分 AG,∴ AH=HG,BF⊥AG,∵ S△ABF = 1 2 ×AB×AF = 1 2 ×BF× AH,∴ AH= 8 5 5 ,∴ AG= 16 5 5 . 追梦第一章章末复习　 特殊平行四边形 1. B 2. C　 【解析】连接 OD. ∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AD∥BC, AB∥CD,∴ ∠OAM= ∠OCN. 在△AOM 和△CON 中, ∠OAM= ∠OCN ∠AOM= ∠CON AM=CN { ,∴ △AOM≌△CON(AAS),∴ OA=OC, ∴ BD 与 AC 相交于点 O,∴ B,O,D 三点共线. ∴ BO⊥AC. ∵ AD∥BC, ∴ ∠DAC = ∠ACB = 28°, ∴ ∠OBC = 90° - ∠ACB= 62°. 故选 C. 3. 6　 4. CB=BF(答案不唯一) 5. (1)证明:在△DFC 中,∠DFC= 90°,∠C= 30°,DC= 2t,∴ DF= t. 又∵ AE= t,∴ AE=DF. ∵ DF⊥BC,∴ ∠DFC = 90°, ∵ ∠B= 90°,∴ ∠B = ∠DFC,∴ AE∥DF,∴ 四边形 AEFD 是平行四边形; (2)解:能,∵ ∠B = 90°,∠C = 30°,∴ AC = 2AB,∵ BC2 + AB2 =AC2 ,BC= 5 3 ,∴ AB = 5,∴ AC = 2AB = 10. ∴ AD = AC -DC= 10-2t. 若使▱AEFD 为菱形,则需 AE =AD,即 t = 10 —6— -2t,t= 10 3 . 即当 t= 10 3 时,四边形 AEFD 为菱形. 6. B　 7. B　 8. C 9. 证明:(1)∵ 点 P 是菱形 ABCD 对角线 AC 上的一点,∴ ∠DAP = ∠PAB, AD = AB. ∵ 在 △ABP 和 △ADP 中, AB=AD ∠PAB= ∠PAD AP=AP { ,∴ △ABP≌△ADP (SAS); (2)∵ PE∥CD,PF∥AD,∴ 四边形 EPFD 为平行四边形. 由(1)得:△ABP≌△ADP,∴ BP =DP. 又∵ BP =EF,∴ DP =EF,∴ 四边形 EPFD 为矩形. 10. B　 【解析】过 C 作 CF⊥AB 交 AB 延长线于 F,如图,∵ 图 1 正方形的对角线为 2,∴ 图 1 正方形的边长为 2,∴ 图 2 中,AD=BC = 2,根据图 1 知,图 2 中∠DBC = 90°, ∠DBA= 45°,∴ ∠CBF= 45°,∴ △CBF 是等腰直角三角 形,∴ BF= CF = 1. ∵ AB = 2,∴ AF = AB+BF = 3,∴ AC = AF2 +CF2 = 32 +12 = 10 . 故选 B. 11. 6 12. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB = CD,∠ABE =∠CDF= 45°. 又∵ AE∥CF,∴ ∠AEF= ∠CFE,∴ ∠AEB = ∠CFD,∴ △ABE≌△CDF(AAS); (2)解:四边形 AECF 是菱形. 理由如下:连接 AC,与 BD 交于点 O,∵ △ABE≌△CDF,∴ BE =DF. 又∵ OB = OD, ∴ OB-BE = OD-DF,即 OE = OF. ∵ OA = OC,∴ 四边形 AECF 是平行四边形. 又∵ AC⊥EF,∴ 四边形 AECF 是 菱形. 13. (1) 证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB = AD = BC, ∠BAD = 90°. ∵ AF ⊥ AC, ∴ ∠EAF = 90°, ∴ ∠BAF = ∠DAE. 在△ADE 和△ABF 中 AD=AB ∠DAE= ∠BAF AE=AF { ,∴ △ADE ≌△ABF(SAS),∴ BF=DE; (2)解:当点 E 运动到 AC 的中点时,四边形 AFBE 是正 方形,理由:当点 E 运动到 AC 的中点时,∵ AB = BC,∴ BE⊥AC,BE= AE = 1 2 AC. ∵ AF = AE,∴ BE = AF = AE. 又 ∵ BE⊥AC,∠FAE= ∠BEC = 90°,∴ BE∥AF. ∵ BE = AF, ∴ 四边形 AFBE 是平行四边形. ∵ ∠FAE = 90°,AF = AE, ∴ 四边形 AFBE 是正方形. 14. 解: (1)线段 PG 与 PC 的位置关系是 PG⊥PC,PG PC = 1; (2)猜想:线段 PG 与 PC 的位置关系是 PG⊥PC,PG PC = 3 . 证明:延长 GP 交 DC 于点 H,∵ P 是线段 DF 的中 点,∴ FP=DP,由题意可知 DC∥GF,∴ ∠GFP = ∠HDP, ∵ ∠GPF = ∠HPD, ∴ △GFP≌ △HDP ( ASA), ∴ GP = HP,GF= DH = GB,∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ CD = CB, ∴ CG= CH,∴ △CHG 是等腰三角形,∴ PG⊥PC,CP 平 分∠BCD. 又∵ ∠ABC = 60°,AB∥CD,∴ ∠BCD = 180° - ∠ABC= 120°. ∴ ∠GCP = 60°, ∴ ∠CGP = 30°. ∴ CG = 2PC. ∴ PG= CG2 -PC2 = 3PC. ∴ PG PC = 3 . 第二章　 一元二次方程 1　 认识一元二次方程 第 1 课时　 一元二次方程 1. D 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　易错提醒:一元二次方程必须同时满足三个条件:是整式 方程;只含有一个未知数;未知数的最高次数是 2. 2. C 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　易错提醒:(1)确定一元二次方程的项及各项系数时,必 须先将方程化成一般形式,习惯上把二次项系数化为正 数; (2) 写项和各项的系数时都包括其前面的符号. 3. B　 4. A 5. (x-2) 2 +x2 +(x+2) 2 = 371 6. A　 【解析】因为关于 x 的方程(a-3) x | a-1 | +x-1 = 0 是一 元二次方程,所以 a-3≠0 且 | a-1 | = 2,解得 a = -1. 故选 A. 7. D 8. (20+2x)(15+2x)-20×15 = 1 3 ×20×15 9. 解:(1)2k+1 = 0 且-4k≠0,即 k = - 1 2 时,(2k+1)x2 -4kx+ k-1 = 0 是一元一次方程,2x- 3 2 = 0,解得 x= 3 4 ; (2)2k+1≠0,即 k≠- 1 2 时,(2k+1)x2 -4kx+k-1 = 0 是一 元二次方程,二次项系数是(2k+ 1),一次项系数是- 4k, 常数项是(k-1) . 第 2 课时　 一元二次方程的解及其估算 1. D　 2. B　 3. 1　 4. A　 5. B 6. C　 【解析】将 x= -2 代入方程得 2×(-2) 2 +(-2)m+n= 0, 则 n= 2m-8,将 x= 1 代入方程得 2×12 +m+n= 0,则 n= -2 -m. ∴ 2m-8 = -2-m. 则 m = 2,n = -4,∴ nm = (-4) 2 = 16. 故选 C. 7. B　 【解析】∵ a 是方程 x2 -3x+1 = 0 的一个根,∴ a2 -3a+1 = 0. ∵ a≠0,∴ a-3+ 1 a = 0,即 a+ 1 a = 3,∴ 2- 1 a -a= 2-(a + 1 a )= -1. 故选 B. 8. (1)25t-5t2 = 20 (2)20　 30　 30　 20　 0　 -30 (3)1 或 4 9. 解:∵ a-2≥0 2-a≥0{ ,∴ a-2 = 0,a = 2,∵ b = a-2 + 2-a - 3, ∴ b= -3. ∵ 将 x= 1 代入方程,得 a+b+c = 0,∴ c = 1,∴ 这 个一元二次方程为 2x2 -3x+1 = 0. 2　 用配方法求解一元二次方程 第 1 课时　 用配方法求解一元二次方程(一) 1. C　 2. B 3. 解:(1)x2 = 25 9 . 两边开平方,得 x1 = 5 3 或 x2 = - 5 3 . (2)方程两边同时除以 6,得(x+2) 2 = 8. 两边开平方,得 x —7—