第一章 专题 与正方形有关的四个常考模型&专题 特殊平行四边形中的折叠问题-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(北师大版)

专题　 与正方形有关的四个常考模型 正方形中的半角模型 1. (9 分)(1)如图 1,四边形 ABCD 是正方形,E, F 分别在边 BC、CD 上,且∠EAF= 45°. 请写出 线段 EF、BE、DF 之间的数量关系并说明理 由; (2)如图 2,当∠EAF 绕点 A 旋转到图 2 位置 时,探究 EF 与 DF、BE 之间有怎样的数量关 系　 　 　 　 　 　 　 　 . 图 1 　 　 图 2 正方形中的相交垂线段问题 2. (6 分)(广东模拟)如图,在正方形 ABCD 中, 点 E,F 分别在边 BC,CD 上,AE,BF 交于点 O,∠AOF= 90°. 求证:BE=CF. 正方形中过对角线交点的直角问题 3. (6 分)如图,正方形 ABCD 的对角线相交于点 O. O 又是正方形 A1B1C1O 的一个顶点,而且 这两个正方形的边长相等. 试证明,无论正方 形 A1B1C1O 绕点 O 怎样转动,两个正方形重 叠部分的面积总等于一个正方形面积的 1 4 . 正方形中的三垂直全等模型 4. (9 分)如图,正方形 ABCD 的边长为 6,点 E 是边 AB 上一点,点 P 是对角线 BD 上一点,且 PE⊥PC. (1)求证:PC=PE; (2)若 BE= 2,则 PB 的长为　 　 　 　 . 71 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBB·九年级数学上册 专题　 特殊平行四边形中的折叠问题 菱形中的折叠问题 1. (3 分)如图,菱形 ABCD 的对角线相交于点 O,AC = 4,BD = 4 3 ,将菱形按如图所示的方 式折叠,使点 B 与 O 重合,折痕为 EF. 则五边 形 AEFCD 的周长是(　 　 ) A. 14 B. 16 C. 4+4 3 D. 8+8 3 2. (6 分)如图,四边形 ABCD 是边长为 2 的菱 形,过点 C 作 AB 的垂线,交 AB 的延长线于点 F,且 CF = 1,点 E 是 AD 上一动点,将△ABE 沿直线 BE 折叠,点 A 的对应点为点 A′. 当 A′B⊥CD 时,求 AE 的长. 矩形中的折叠问题 3. ( 3 分) 如图,将矩形纸片 ABCD 的两个直角进行折 叠,使 CB,AD 恰好落在对 角线 AC 上,B′,D′分别是 B,D 的对应点,折痕分别为 CF,AE. 若 AB= 4, BC= 3,则线段 B′D′的长是　 　 　 　 . 4. (6 分)如图,在矩形纸片 ABCD 中,将矩形纸 片折叠,使点 B 与点 D 重合. 连接 BG,求证: 四边形 BHDG 是菱形. 正方形中的折叠问题 5. (3 分)如图,在正方形纸片 ABCD 中,E 是 CD 的中点,将 正方形纸片折叠,点 B 落在 线段 AE 上的点 G 处,折痕为 AF. 若 DE= 1,则 BF 的长为　 　 　 　 . 6. (9 分)如图,正方形纸片 ABCD 的边长为 8,E 是 CD 上一点,连接 AE,把正方形纸片折叠, 使点 A 落在 AE 上的一点 G,折痕为 BF,且 BF 与 AE 交于点 H. (1)求证:AF=DE; (2)当 E 为 CD 的中点时,AG 的长为　 　 　 . 81 又∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ 四边形 ABCD 是正方形. 12. (1)证明:连接 CE. ∵ BE = BC,BD 平分∠ABC,∴ BD 为 线段 CE 的垂直平分线,∴ BD⊥CE,EF=FC,DE=CD. ∵ DF=DF,∴ △FDE≌△FDC,∴ ∠EFD = ∠DFC. ∵ CF∥ DE,∴ ∠DFC= ∠FDE,∴ ∠FDE= ∠EFD,∴ EF =DE,∴ EF=FC=CD=DE,∴ 四边形 CDEF 为菱形; (2)解:当∠ACB= 120°时,四边形 CDEF 是正方形. 理由 如下:∵ ∠ACB = 120°,BC = AC,∴ ∠ABC = ∠BAC = 30°. ∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠DBC = 15°,且 BD⊥EC,∴ ∠BCE = 75°,∴ ∠ACE= 45°. ∵ 四边形 CDEF 是菱形,∴ ∠FCD = 2∠ACE= 90°,∴ 四边形 CDEF 为正方形. 专题　 与正方形有关的四个常考模型 1. 解:(1)EF=BE+DF,理由:将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°,得到△ABG. ∴ GB = DF,AF = AG,∠BAG = ∠DAF. ∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ ∠BAD = 90°. ∵ ∠EAF = 45°, ∴ ∠BAE+∠DAF = 45°,∴ ∠BAG+∠BAE = 45° = ∠EAG, ∴ ∠EAG= ∠EAF,∵ AE = AE,∴ △AGE≌△AFE( SAS), ∴ GE=EF. ∵ GE=GB+BE=BE+DF,∴ EF=BE+DF. (2)EF=DF-BE 2. 证明: ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB = BC, ∠ABE = ∠BCF = 90°. ∵ ∠AOF = 90°, ∠AOB = 90°, ∴ ∠BAE + ∠OBA = 90°. 又 ∵ ∠FBC + ∠OBA = 90°, ∴ ∠BAE = ∠CBF. ∴ △ABE≌△BCF(ASA) . ∴ BE=CF. 3. 解: ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AO = BO, AO ⊥ BO, ∠BAO= ∠CBO = 45°,∴ ∠AOE+∠BOE = 90°. ∵ 四边形 A1B1C1O 是正方形,∴ ∠A1OC1 = 90°,∴ ∠A1OB+∠BOC1 = 90°,∴ ∠AOE = ∠BOF,∴ △AOE≌ △BOF( ASA), ∴ S△AOE =S△BOF,∴ 两个正方形重叠部分的面积 = S△ABO = 正 方形 ABCD 面积的 1 4 . 4. (1)证明:过点 P 作 PF⊥AB,PG⊥BC,∴ ∠PFB = ∠PGB = ∠PGC= 90°. ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠A = ∠ABC = 90°,AB= AD = BC,∴ ∠ABD = ∠ADB = 45°,四边形 FB- GP 是矩形,∴ ∠FPB = 90° - ∠ABD = 90° - 45° = 45°,∴ ∠ABD= ∠FPB,∴ FP = FB,∴ 矩形 FBGP 是正方形,∴ PF= PG, ∠FPG = 90°, ∴ ∠FPE + ∠EPG = 90°. ∵ PE⊥ PC,∴ ∠EPC = 90°,∴ ∠GPC+ ∠EPG = 90°,∴ ∠FPE = ∠GPC,∴ △PFE≌△PGC(ASA),∴ PE=PC; (2)4 2 　 【解析】设 EF= x. ∵ △PFE≌△PGC,∴ GC =EF = x,由 BE= 2 得 BF= x+2,由正方形 FBGP 得 BG= x+2. ∵ BC= 6,∴ BG+GC= 6,∴ ( x+ 2) +x = 6,解得 x = 2,∴ PF = BF= 2+2 = 4. 在△PFB 中,∠PFB = 90°,PB2 = 42 +42 = 32. ∵ PB>0,∴ PB= 4 2 . 专题　 特殊平行四边形中的折叠问题 1. A　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AB =BC =CD = AD, AC⊥BD,AO=CO= 2,BO=DO= 2 3,∴ AB= AO2 +BO2 = 4+12 = 4,∴ AB=BC=CD=AD= 4. 由折叠的性质,得 BF = OF,∴ ∠FOB = ∠FBO,∴ ∠FCO = ∠FOC,∴ OF = CF, ∴ OF=CF=BF= 2. 同理可得 BE =OE = AE = 2,∴ EF = 1 2 AC= 2,∴ 五边形 AEFCD 的周长 = 4+4+2+2+2 = 14. 故选 A. 2. 解:取 BC 中点 M,连接 FM. ∵ ∠CFB = 90°,CF = 1,CB = 2,∴ FM= 1 2 BC=CM=BM= 1 =CF. ∴ △CMF 为等边三角 形,∠BFM= ∠CBF = 1 2 ∠CMF = 30°. ∵ 四边形 ABCD 是 菱形,∴ AB∥CD,AD∥BC,∴ ∠A = ∠CBF = 30°. ∵ A′B⊥ CD,∴ A′B⊥AB. 由折叠知,∠ABE = ∠A′BE = 45°,过点 E 作 EH⊥AB 于点 H,∴ BH=EH. 设 BH =EH = x,则 AH = 2- x,AE= 2x,由勾股定理,得 AH= AE2 -EH2 = 3 x. ∵ AB = 2,∴ 3 x+x= 2,解得 x= 3 -1. ∴ AE= 2x= 2 3 -2. 3. 1 4. 证明: ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD∥BC, ∴ ∠BHG = ∠DGH. 由折叠可知, ∴ ∠BHG = ∠DHG, BH = DH, ∴ ∠DHG= ∠DGH,∴ DG =DH,∴ DG =BH,四边形 BHDG 是 平行四边形. ∵ BH=DH,∴ 四边形 BHDG 是菱形. 5. 5 -1　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB =AD =BC =CD,∠B= ∠C= ∠D= 90°. ∵ E 是 CD 的中点,∴ CD=AD = 2DE= 2,设 BF = x,则 FG = BF = x,∴ CF = 2 - x. 在 Rt △ADE 中,AE= 5 . ∴ GE = 5 - 2. 连接 EF,在 Rt△GEF 中,EF2 =( 5 -2) 2 +x2 . 在 Rt△FCE 中,EF2 = (2-x) 2 +12, 所以( 5 -2) 2 +x2 =(2-x) 2 +12,解得 x = 5 -1,∴ BF = 5 -1. 6. (1)证明:由折叠及轴对称的性质可知. △ABF≌△GBF, BF 垂直平分 AG,∴ BF⊥AE,AH =GH,∴ ∠BAH+∠ABH = 90°. 又 ∵ ∠FAH + ∠BAH = 90°, ∴ ∠ABH = ∠FAH. 在 △ABF 与△DAE 中, ∠BAF= ∠ADE AB=AD ∠ABF= ∠DAE ì î í ïï ï ,∴ △ABF≌ △DAE (ASA),∴ AF=DE; (2)16 5 5 　 【解析】∵ 点 E 是 CD 的中点,∴ DE = CE = 4. 由( 1 ) 知 △ABF ≌ △DAE. ∴ AF = DE = 4, ∴ BF = AF2 +AB2 = 16+64 = 4 5,由折叠可得:BF 垂直平分 AG,∴ AH=HG,BF⊥AG,∵ S△ABF = 1 2 ×AB×AF = 1 2 ×BF× AH,∴ AH= 8 5 5 ,∴ AG= 16 5 5 . 追梦第一章章末复习　 特殊平行四边形 1. B 2. C　 【解析】连接 OD. ∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AD∥BC, AB∥CD,∴ ∠OAM= ∠OCN. 在△AOM 和△CON 中, ∠OAM= ∠OCN ∠AOM= ∠CON AM=CN { ,∴ △AOM≌△CON(AAS),∴ OA=OC, ∴ BD 与 AC 相交于点 O,∴ B,O,D 三点共线. ∴ BO⊥AC. ∵ AD∥BC, ∴ ∠DAC = ∠ACB = 28°, ∴ ∠OBC = 90° - ∠ACB= 62°. 故选 C. 3. 6　 4. CB=BF(答案不唯一) 5. (1)证明:在△DFC 中,∠DFC= 90°,∠C= 30°,DC= 2t,∴ DF= t. 又∵ AE= t,∴ AE=DF. ∵ DF⊥BC,∴ ∠DFC = 90°, ∵ ∠B= 90°,∴ ∠B = ∠DFC,∴ AE∥DF,∴ 四边形 AEFD 是平行四边形; (2)解:能,∵ ∠B = 90°,∠C = 30°,∴ AC = 2AB,∵ BC2 + AB2 =AC2 ,BC= 5 3 ,∴ AB = 5,∴ AC = 2AB = 10. ∴ AD = AC -DC= 10-2t. 若使▱AEFD 为菱形,则需 AE =AD,即 t = 10 —6—