第一章 2 矩形的性质与判定-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(北师大版)

2　 矩形的性质与判定 第 1 课时　 矩形的性质 　 　 矩形的定义 1. 生产劳动情境·制作窗框 (3 分)如图所示,工 人师傅将直尺紧靠平行四边形窗框的一个角 (如图①),调整窗框的边 框,当直角尺的两条直角 边与窗框无缝隙时(如图 ②),说明窗框合格,这时窗框是　 　 　 　 ,它 的依据是 　 . 矩形的边、角的性质 2. (3 分)如图,四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都 是矩形. 若∠BAG= 20°,则∠DGF 等于(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 70° B. 60° C. 80° D. 45° 第 2 题图 　 　 第 3 题图 3. (3 分)如图,在矩形 ABCD 中,∠ABC 的平分 线交 AD 于点 E,连接 CE. 若 BC= 7,AE= 4,则 CE= 　 　 　 　 . 矩形的对角线的性质 4. [教材例 1 变式](3 分)如图,矩形 ABCD 的对 角线 AC=4,∠BOA=120°,则 AB 的长是(　 　 ) A. 3 B. 2 C. 2 3 D. 4 第 4 题图 　 　 　 变式题图 (3 分)如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,已知∠BAC = 35°,则 ∠BOC 的度数是(　 　 ) A. 65° B. 70° C. 75° D. 80° 5. (9 分) (陕西二模)如图,矩形 ABCD 的对角 线 AC,BD 交于点 O,点 E,F 分别是 OB,OC 上 的点,且 OE=OF,连接 AE,DF. 求证:∠EAD= ∠FDA. 直角三角形斜边上的中线的性质 6. (3 分) (北京二模)如图,△ABC 中,∠ACB = 90°,∠B= 55°,点 D 是斜边 AB 的中点,那么 ∠ACD 的度数为(　 　 ) A. 15° B. 25° C. 35° D. 45° 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 7. (3 分)如图,点 O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点,OM∥AB 交 AD 于点 M. 若 OM = 3,BC = 10,则 OB 的长为(　 　 ) A. 4 B. 5 C. 34 D. 34 2 7 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBB·九年级数学上册 无图时没有分情况讨论致错 8. (3 分) 矩形一个角的平分线分矩形一边为 1 cm 和 3 cm 两部分,则这个矩形的面积为 　 　 　 　 　 　 　 　 . 9. 生活情境·翻花绳 (3 分) (朔州模拟)翻花绳 是中国民间流传的儿童游戏,在中国不同的地 域,有不同的称法,如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、 解股等等,如图 1 是翻花绳的一种图案,可以抽 象成图 2,在矩形 ABCD 中,IJ∥KL,EF∥GH,∠1 =∠2= 30°,∠3 的度数为(　 　 ) A. 30° B. 45° C. 50° D. 60° 10. (3 分)小凯在整理房间时发现同学给自己的 一封矩形信件,打开后的示意图如图,其中 四边形 ABCD 是矩形,点 O 为矩形 ABCD 两 条对角线的交点,将信件以 CD 为对称轴打 开得到对称点 E. 若 CE∥BD,DE∥AC,AC= 4, 则四边形 CODE 的周长为(　 　 ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 第 10 题图 　 　 第 11 题图 11. (3 分) (平顶山期末) 如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别交 BC, AD 于点 E,F. 若 BE = 3,AF = 5,则 AC 的长 为(　 　 ) A. 4 3 B. 4 5 C. 10 D. 8 12. ( 3 分) 如图, 矩形 ABCD 的对角线 AC, BD 相交于点 O,过 点 O 作 OE⊥BD,交 AD 于点 E. 若∠ACB = 20°,则∠AOE 的大小为　 　 　 　 . 13. (10 分) (北京月考)请阅读下列材料,并完 成相应的任务. 　 　 三等分角是古希腊三大几何问题之一. 如图 1,任意锐角∠ABC 可被看作矩形 BCAD 的对角线 BA 和边 BC 的夹角,以 B 为端点的 射线 BF 交 CA 于点 E,交 DA 的延长线于点 F,若 EF = 2AB,则射线 BF 是∠ABC 的一条 三等分线. 证明:如图 2 取 EF 的中点 G,连接 AG… 任务: (1)完成材料中的证明过程; (2)如图 3,矩形 ABCD 中,对角线 AC 的延长 线与外角∠CBE 的平分线交于点 F. 若 BF = 1 2 AC,求∠F 的度数. 图 1 图 2 图 3 8 第 2 课时　 矩形的判定　 　 有一个角是直角的平行四边形是矩形 1. 生活情境·垃圾撑袋架 (3 分)如图为可折叠 垃圾袋撑袋架子,若 OA=OC,OB=OD,请补充 条件,使得四边形 ABCD 是矩形,你认为下列 同学补充的条件正确的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 甲同学:∠BAD= ∠BCD B. 乙同学:∠BAD+∠ABC= 180° C. 丙同学:∠BAD= ∠ABC D. 丁同学:∠OBC+∠OCB= 90° 第 1 题图 　 　 　 第 2 题图 2. (3 分) (郑州月考)如图,线段 AB⊥BC,以 C 为圆心,BA 长为半径画弧,然后再以 A 为圆 心,BC 长为半径画弧,两弧交于点 D,则四边 形 ABCD 是矩形,其依据是 　 　 . 对角线相等的平行四边形是矩形 3. (3 分) (合肥三模)已知在平行四边形 ABCD 中,AC,BD 是它的两条对角线,那么下列条件 中,能判定这个平行四边形为矩形的是(　 　 ) A. ∠BAC= ∠DCA B. ∠BAC= ∠DAC C. ∠BAC= ∠ABD D. ∠BAC= ∠ADB 4. 生产劳动情境·制作家具 (3 分) 工人师傅在 制作门窗或矩形零件时,不仅要测量两组对 边的长度是否分别相等,常常还要测量它们 的两条对角线是否相等,以确保图形是矩形, 请根据所学知识,写出其中应用的矩形的判 定定理:　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 5. (7 分)如图所示,矩形 ABCD 的对角线相交于 点 O,E、F、G、H 分别是 AO、BO、CO、DO 的中 点,请问四边形 EFGH 是矩形吗? 请说明理 由. 有三个角是直角的四边形是矩形 6. 生产劳动情境·测量踏板 (3 分) 一个木匠制 作了一块四边形的踏板. 为了检验这块踏板 是否是矩形,他想出了以下几种方案,其中合 理的是(　 　 ) A. 测量踏板的对角线是否相等 B. 测量踏板的对角是否相等 C. 测量踏板的三个角是否为 90° D. 测量踏板的一组对边是否平行且相等 7. [教材习题 2 变式](8 分)如图,四边形 ABCD 是平行四边形,BE、CE、DF、AF 分别为四个角 的平分线,四边形 MENF 是矩形吗? 为什么? 9 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBB·九年级数学上册 8. (3 分) (南通二模)四边形 ABCD 中,E,F 分 别是边 AD,BC 的中点,G,H 分别是对角线 BD,AC 的中点. 若四边形 EGFH 为矩形,则四 边形 ABCD 需满足的条件是(　 　 ) A. AC=BD B. AC⊥BD C. AB=DC D. AB⊥DC 第 8 题图 　 　 　 第 9 题图 9. (3 分)如图,四边形 ABCD 的对角线 AC⊥BD 于点 O,点 E,F,G,H 分别为边 AB,BC,CD 和 AD 的中点,顺次连接 EF,FG,GH 和 HE 得到 四边形 EFGH. 若 AC = 10,BD = 8,则四边形 EFGH 的面积等于(　 　 ) A. 45 B. 40 C. 20 D. 18 10. (9 分)如图,▱ABCD 的对角线 AC 与 BD 相 交于点 E. 点 G 为 AD 的中点,连接 CG 并延 长交 BA 的延长线于点 F,连接 FD. (1)求证:AB=AF; (2) 若 AG = AB,∠BCD = 120°,判断四边形 ACDF 的形状,并说明理由. 11. (10 分)(长春月考)如图,△ABC 中,点 O 是 边 AC 上一个动点,过 O 作直线 MN∥BC. 设 MN 交∠ACB 的平分线于点 E,交外角∠ACD 的平分线于点 F. (1)求证:OE=OF; (2)若 CE=12,CF=5,则 OC 的长为　 　 　 　 ; (3)当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时,四 边形 AECF 是矩形? 并说明理由. 01 第 3 课时　 矩形的性质与判定的运用 矩形的性质和判定的运用 1. (3 分)如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 E,BF∥AC,CF∥BD. 若四边形 BECF 的面积为 2,则矩形 ABCD 的面积为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 第 1 题图 　 第 2 题图 2. (3 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC = 90°,AB= 6,AC = 8,P 是斜边 BC 上一 动点,PE⊥AB 于点 E,PF⊥AC 于点 F,EF 与 AP 相交于点 O,则 OF 的最小值为 (　 　 ) A. 4. 8 B. 1. 2 C. 3. 6 D. 2. 4 3. (3 分)如图,O 为菱形 ABCD 对角线的交点, DE∥AC,CE∥BD. 若 AC= 6,BD= 8,则线段 OE 的长为(　 　 ) A. 3 B. 5 C. 5 D. 6 第 3 题图 　 　 第 4 题图 4. (3 分)如图,在▱ABCD 中,对角线 AC、BD 相 交于点 O,且 OA =OD,∠OAD = 54°,则∠ODC 的度数为　 　 　 　 . 5. (3 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 4 cm,AD= 12 cm,点 P 从点 A 向点 D 以每秒 1 cm 的速 度运动,Q 以每秒 4 cm 的速度从点 C 出发沿 CB 向 B 点运动,两点同时出发,点 Q 到达点 B 为止(同时点 P 也停止运动),这段时间内, 当运动时间为　 　 　 　 　 　 时,P、Q、C、D 四 点组成矩形. 6. (8 分)如图,矩形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,BE⊥AC,CF⊥BD,垂足分别为 E,F. (1)求证:BE=CF; (2)若∠AOB= 60°,AB= 8,求矩形的面积. 7. (8 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,点 F 在边 CD 上,且 FC = AE,连接 AF,BF. (1)求证:四边形 DEBF 是矩形; (2)若 AF 平分∠DAB,AE = 6,DF = 10,求 BF 的长. 11 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBB·九年级数学上册 8. (3 分)如图,BE,BF 分别是∠ABC 与它的邻 补角∠ABD 的平分线,AE⊥BE,垂足为点 E, AF⊥BF,垂足为点 F,EF 分别交边 AB,AC 于 点 M 和 N. 若 AB = 7,BC = 4,则 MF+NE 的长 为　 　 　 　 . 第 8 题图 　 　 　 第 9 题图 9. (3 分)如图,矩形 ABCD 的对角线 AC,BD 交 于点 O,AB = 6,BC = 8,过点 O 作 OE⊥AC,交 AD 于点 E,过点 E 作 EF⊥BD,垂足为 F,则 OE+EF 的值为　 　 　 　 . 10. (8 分)如图,把一张矩形纸片 ABCD 折叠起 来,使其对角顶点 A,C 重合,若其长 BC 为 9,宽 AB 为 3. (1)求证:AE=AF; (2)求 EF 的长. 11. (10 分)如图 1,MN∥PQ,点 A,B 分别为 MN, PQ 上任意一点,连接 AB,∠MAB,∠PBA 的 平分线交于点 C,∠NAB,∠QBA 的平分线交 于点 D. 图 1 　 图 2 (1)求证:四边形 ACBD 为矩形; (2)如图 2,在(1)的条件下,过点 C 作 EF∥ AB 分别交 MN,PQ 于点 E,F,过点 D 作 GH∥ AB 分别交 MN,PQ 于点 G,H,求证:四边形 EFHG 为菱形. 21 ∠DAE= ∠BAF AE=AF ∠E= ∠F { ,∴ △ADE≌△ABF(ASA),∴ AD =AB. ∵ AD=DC,AB=BC,∴ AB=AD=CD=BC,∴ 四边形 ABCD 是 菱形. 7. C　 8. C 9. 8　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,由题意得将 BC,AD 延长至点 E,F 后,四边形 ABEF 是平行四边形. ∵ AE⊥BF,∴ ▱ABEF 是菱形,∴ AO= 1 2 AE= 6m,BO= 1 2 BF = 8m,∴ AB = AO2 +BO2 = 10m,∴ C菱形ABEF = 4 × 10 = 40 (m),∵ 原来护栏总长为 32m,∴ 需要增加护栏长度为 C菱形ABEF-C▱ABCD = 40-32 = 8(m) . 10. 解:赞成小洁的说法,补充条件:OA = OC,证明如下:∵ OA=OC,OB =OD,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形,又∵ AC⊥BD,∴ 四边形 ABCD 是菱形. 11. 解:(1)由题意可得△AEF≌△ABC. ∴ ∠BAC = ∠EAF, AB=AC= AE = AF,∴ ∠BAC+∠CAE = ∠EAF+∠CAE,即 ∠BAE = ∠CAF. ∴ 在 △BAE 和 △CAF 中, AB=AC ∠BAE= ∠CAF AE=AF { ,∴ △BAE≌△CAF(SAS) . ∴ BE=CF. (2)当旋转角为 90°时,四边形 ABDF 为菱形,证明:∵ 旋 转角为 90°,∴ ∠BAE = ∠CAF = 90°,∴ △BAE 与△CAF 均是等腰直角三角形,∴ ∠ABE = ∠ACF = 45°,∵ ∠BAF = ∠BAE+ ∠EAF = 90° + 45° = 135°,∴ ∠ABE+ ∠BAF = 45°+135° = 180°,∴ AF∥BE,又∵ ∠BAC = ∠ACF = 45°, ∴ AB∥CF,∴ 四边形 ABDF 为平行四边形,∵ AB =AF. ∴ 四边形 ABDF 为菱形. 第 3 课时　 菱形的性质与判定的应用 1. C　 【解析】∵ 菱形的周长为 40,∴ 边长为 10. 如图所示:AB= 10,AC= 16,根据菱形的性 质,得 AC⊥BD,AO = 8,∴ BO = AB2 -AO2 = 6,∴ BD= 12,∴ S菱形 = 1 2 ×16×12= 96. 故选 C. 2. B 3. 解:∵ E、F 分别是 AB、BC 边上的中点,EF = 3 ,∴ AC = 2EF= 2 3 . ∴ 菱形的面积为 1 2 AC×BD= 1 2 ×2 3 ×4 = 4 3 . ∵ AO= 3 ,BO= 2,∠AOB = 90°,∴ AB = AO2 +BO2 = 7 , ∴ 菱形 ABCD 的周长为 4 7 . 4. C　 5. C　 6. 90　 7. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC,∴ ∠2 = ∠ACB,∵ ∠1 = ∠2,∴ ∠1 = ∠ACB,∴ AB = CB,∴ ▱ABCD 是菱形. (2)解:由(1)可知,▱ABCD 是菱形,∴ BC = AB = 5,AO = CO,BO= DO,AC⊥BD,∵ AD∥BC,∴ ∠AFE = ∠CBE,∵ AE= AF = 3, ∴ ∠AFE = ∠AEF,又∵ ∠AEF = ∠CEB, ∴ ∠CBE= ∠CEB,∴ CE = BC = 5,∴ AC = AE+CE = 3+ 5 = 8, ∴ AO= 1 2 AC= 4. 在 Rt△AOB 中,BO = 3,∴ BD = 2BO = 6, 即 BD 的长为 6. 8. D　 【解析】记 AE,BF 交点为 O. ∵ 四边形 ABCD 是平行 四边形,∴ AD∥BC,∴ ∠DAE= ∠AEB. ∵ ∠BAD 的平分线 交 BC 于点 E,∴ ∠DAE = ∠BAE,∴ ∠BAE = ∠BEA,∴ AB =BE,同理可得 AB=AF,∴ AF =BE,∴ 四边形 ABEF 是平 行四边形. ∵ AB = AF,∴ 四边形 ABEF 是菱形,∴ AE⊥ BF,OA = OE,OB = OF = 1 2 BF = 6,∴ OA = AB2 -OB2 = 102 -62 = 8,∴ AE= 2OA= 16. 故选 D. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　方法点拨:先证明四边形 ABEF 是平行四边形,再证明邻 边相等即可得出四边形 ABEF 是菱形,得出 AE⊥BF,OA= OE,OB=OF= 1 2 BF= 6,由勾股定理求出 OA,即可得出 AE 的长. 9. 2 5 　 【解析】连接 DE. 在 Rt△CDE 中,∠C = 90°,EC = 3, CD= 4,根据勾股定理,得 DE = 5. ∵ AB = AD,AE 平分 ∠BAD,∴ AE 垂直平分 BD,∠BAE = ∠DAE. ∴ DE = BE = 5. ∵ AD∥BC,∴ ∠DAE = ∠AEB,∴ ∠BAE = ∠AEB,∴ AB =BE= 5,∴ BC=BE+EC= 8,四边形 ABED 是菱形. 由勾股 定理得出 BD= CD2 +BC2 = 42 +82 = 4 5,BF = 1 2 BD = 2 5 . ∴ FE= BE2 -BF2 = 52 -(2 5) 2 = 5,∴ AE = 2FE = 2 5 . 10. (1)证明:∵ EF∥AB,PQ∥AC,∴ 四边形 AEPQ 为平行四 边形,∴ ∠BAD = ∠EPA,∵ AD 平分∠CAB,∴ ∠CAD = ∠BAD,∴ ∠CAD= ∠EPA,∴ EA=EP,∴ 四边形 AEPQ 为 菱形. (2)解:P 为 EF 中点时,S菱形AEPQ = 1 2 S四边形EFBQ . ∵ 四边形 AEPQ 为菱形,∴ AD⊥EQ,∵ AB = AC,AD 平分∠BAC,∴ AD⊥BC,∴ EQ∥BC,又∵ EF∥AB,∴ 四边形 EFBQ 为平 行四边形. 作 EN⊥AB 于 N,则 S菱形AEPQ =EP·EN = 1 2 EF ·EN= 1 2 S四边形EFBQ . 11. 解:【深入探究】S四边形ABCD =S△ABD +S△BCD = 1 2 ×BD×AE+ 1 2 ×BD×CE= 1 2 ×BD×(AE+CE)= 1 2 ×BD×AC= 1 2 ×40×30 = 600(cm2 ) . 两对角线长的乘积的一半 【拓展提高】连接 BD,过点 A 作 AE⊥BD 于点 E,过点 C 作 CF⊥BD 于点 F. ∴ S四边形ABCD = S△ABD +S△BCD = 1 2 ×BD× AE+ 1 2 ×BD×CF = 1 2 ×BD×(AE+CF) = 1 2 × 40× 30 = 600 (cm2 ) . 一条对角线长与另一条对角线两个端点到这条对角线 的距离之和的乘积的一半 2　 矩形的性质与判定 第 1 课时　 矩形的性质 1. 矩形　 有一个角是直角的平行四边形是矩形 2. A　 3. 5　 4. C　 【解析】在矩形 ABCD 中,AC = BD = 4,AO = CO = BO = DO= 1 2 AC = 2. ∵ ∠AOB = 120°,∴ ∠AOD = 180°- 120° = —2— 60°,∴ △AOD 是等边三角形, ∴ AD = AO = 2, ∴ AB = BD2 -AD2 = 2 3 . 故选 C. 【变式】B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ OA = OC, OB=OD,AC = BD,∴ OA = OB,∴ ∠OAB = ∠ABO = 35°,∴ ∠BOC= 2×35° = 70°. 故选 B. 5. 证明:∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ OA = OC,OB = OD,AC = BD,∴ AO = OD,∴ ∠ODA = ∠OAD,又∵ OF = OE,∴ OA+ OF=OD+OE,即 AF=DE,又∵ AD =DA,∴ △ADF≌△DAE (SAS),∴ ∠FDA= ∠EAD. 6. C　 7. C 8. 4cm2 或 12cm2 　 【解析】如图所示,矩形 ABCD 中 BE 平分∠ABC 交 AD 于 E 点. ∵ AB = CD, AD=BC,AD∥BC,∴ ∠AEB = ∠CBE. ∵ BE 平 分∠ABC,∴ ∠ABE = ∠CBE,∴ ∠AEB = ∠ABE,∴ AB = AE. ①当 AE = 1cm 时,AB=CD= 1cm,AD = 1+3 = 4(cm)= BC,此时矩形 ABCD 的面积为 1× 4 = 4( cm2);②当 AE = 3cm 时,AB=CD= 3cm,AD =BC = 4cm,此时矩形 ABCD 的 面积为 3× 4 = 12(cm2) . 故矩形 ABCD 的面积为 4cm2 或 12cm2 . 9. D　 【解析】如图,∵ 四边形 ABCD 是矩 形,∴ ∠C = ∠D = 90°,∴ ∠1+∠MJG = 90°,∠2 + ∠MGJ = 90°. ∵ ∠1 = ∠2 = 30°,∴ ∠MJG= ∠MGJ= 60°,∴ ∠GMJ= 180°-∠MJG- ∠MGJ = 60°,∴ ∠5 = 60°. ∵ IJ∥KL,EF∥ GH,∴ 四边形 NPMO 是平行四边形,∴ ∠4 = ∠5 = 60°,∴ ∠3 = ∠4 = 60°. 故选 D. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　方法点拨:首先利用等角的余角相等得到∠MJG = ∠MGJ = 60°,然后利用 IJ∥KL,EF∥GH 判断出四边形 NPMO 是 平行四边形,进而利用平行四边形和对顶角的性质得到 ∠3 = ∠4 = ∠5. 10. C　 【解析】∵ CE∥BD,DE∥AC,∴ 四边形 CODE 是平行 四边形. ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AC=BD= 4,OA=OC, OB=OD,∴ OD=OC= 1 2 AC= 2,∴ 四边形 CODE 是菱形, ∴ 四边形 CODE 的周长为:4OC= 4×2 = 8. 故选 C. 11. B　 【解析】连接 AE,设 AC 与 EF 的交点为 O. ∵ EF 是 AC 的垂直平分线,∴ OA = OC,AE = CE. ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠B = 90°, AD∥BC,∴ ∠OAF = ∠OCE. 在 △AOF 和 △COE 中, ∠AOF= ∠COE OA=OC ∠OAF= ∠OCE { , ∴ △AOF ≌ △COE (ASA),∴ AF=CE= 5,∴ AE=CE= 5. ∵ BE= 3,∴ BC=BE+CE= 3+5 = 8,AB= AE2 -BE2 = 52 -32 = 4,∴ AC= AB2 +BC2 = 42 +82 = 4 5 . 故选 B. 12. 50° 13. (1)证明:取 EF 的中点 G,连接 AG,∵ 四边形 BCAD 是 矩形, ∴ AD∥BC,∠DAC = 90°,∴ ∠F = ∠CBF,∠EAF = 90°,∵ 点 G 是 EF 的中点,∴ AG = 1 2 EF = FG,∴ ∠F = ∠GAF,∵ EF= 2AB,∴ AG=AB,∴ ∠ABG= ∠AGB= ∠F+ ∠GAF= 2∠F= 2∠CBF,∴ ∠ABC = 3∠CBF. ∴ 射线 BF 是∠ABC 的一条三等分线; (2)解:取 AC 的中点 H,连接 BH. ∵ 四边形 ABCD 是矩 形,∴ ∠CBA= ∠CBE= 90°,∵ BF 是∠CBE 的平分线,∴ ∠FBE= 1 2 ∠CBE= 45°,∴ ∠FBE= ∠FAB+∠F= 45°,∵ ∠CBA= 90°,点 H 是 AC 的中点,∴ BH=AH=BF= 1 2 AC, ∴ ∠HAB = ∠HBA, ∠BHF = ∠F, ∴ ∠F = ∠BHF = 2 ∠HAB,∴ ∠FAB= 1 2 ∠F,∴ 1 2 ∠F+∠F = 45°,∴ ∠F = 30°. 第 2 课时　 矩形的判定 1. C 2. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 3. C 4. 对角线相等的平行四边形是矩形 5. 解:四边形 EFGH 是矩形,理由如下:∵ 四边形 ABCD 为 矩形,∴ AC=BD,AO = CO = BO = DO. ∵ E、F、G、H 分别是 AO、BO、CO、DO 的中点,∴ OE = 1 2 AO,OF = 1 2 BO,OG = 1 2 OC,OH= 1 2 DO,∴ OE = OG = OF = OH,∴ 四边形 EFGH 是平行四边形,FH=EG,∴ 四边形 EFGH 是矩形. 6. C 7. 解:四边形 MENF 是矩形. 理由如下:∵ 四边形 ABCD 是 平行四边形,∴ AD∥BC,∴ ∠ABC+∠BAD = 180°. ∵ AF、 BE 是∠BAD、∠ABC 的平分线,∴ ∠BAM+∠ABM = 90°, ∴ ∠AMB= ∠EMF= 90°. 同理可得:∠F = ∠E = 90°,∴ 四 边形 MENF 是矩形. 8. D 9. C　 【解析】∵ 点 E、F、G、H 分别为边 AB、BC、CD、AD 的中 点,∴ EH∥BD,且 EH = 1 2 BD,FG∥BD,且 FG = 1 2 BD,∴ EH∥BD∥FG. 同理:EF∥AC∥GH,∴ 四边形 EFGH 是平行 四边形,又∵ AC⊥BD,∴ EF⊥EH. ∴ ∠FEH = 90°,∴ 四边 形 EFGH 是矩形,∵ FG= 1 2 BD = 4,EF = 1 2 AC = 5,∴ 四边 形 EFGH 的面积= 4×5 = 20. 故选 C. 10. (1)证明:连接 EG. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AE =CE,BE = DE. 又∵ G 为 AD 中点, ∴ GE 是△ABD 和 △ACF 的中位线,∴ GE= 1 2 AB,GE= 1 2 AF,∴ AB=AF. (2)解:四边形 ACDF 是矩形. 理由:∵ 四边形 ABCD 是 平行四边形,∴ ∠BAD= ∠BCD= 120°,AB =CD,AB∥CD, ∴ ∠FAG= 60°. ∵ AB=AG=AF,∴ △AGF 是等边三角形, AF=CD,∴ AG = GF. 又∵ AF∥CD,∴ 四边形 ACDF 是平 行四边形. ∵ AD= 2AG = 2GF = FC,∴ 四边形 ACDF 是矩 形. 11. (1) 证明: ∵ MN 交 ∠ACB 的平分线于点 E, 交外角 ∠ACD 的平分线于点 F, ∴ ∠ACE = ∠BCE, ∠ACF = ∠DCF,∵ MN∥BC,∴ ∠CEN = ∠BCE,∠CFM = ∠DCF, ∴ ∠CEN= ∠ACE,∠CFM= ∠ACF,∴ EO =CO,FO =CO, ∴ OE=OF; (2)6. 5　 【解析】∵ ∠ACE = ∠BCE,∠ACF = ∠DCF,∴ ∠ACE+∠ACF= ∠BCE+∠DCF= 90°,∵ CE= 12,CF= 5, ∴ EF= 122 +52 = 13,∵ OE=OF,∴ OC= 1 2 EF= 6. 5; —3— (3)解:当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时,四边形 AECF 是矩形. 理由:当 O 为 AC 的中点时,AO = CO,∵ EO = FO, ∴ 四边形 AECF 是平行四边形. ∵ ∠ECF = 90°,∴ 四边形 AECF 是矩形. 第 3 课时　 矩形的性质与判定的运用 1. A　 2. D　 3. C　 4. 36° 5. 2. 4s　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AD∥BC,∠D = 90°,∴ PD∥CQ. 若使 P、Q、C、D 四点组成矩形,则 PD = CQ. 设运动时间为 ts,由题意得 DP = 12-t,0≤t≤3,CQ = 4t,12-t= 4t,∴ t= 2. 4. 6. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AC = BD,OA = OC = 1 2 AC,OB=OD = 1 2 BD,∴ OB = OC,∵ BE⊥AC,CF⊥BD, ∴ ∠BEO = ∠CFO = 90°, 在 △BEO 和 △CFO 中, ∠BOE= ∠COF ∠BEO= ∠CFO OB=OC { ,∴ △BEO≌△CFO(AAS),∴ BE=CF; (2)解:∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠ABC = 90°,AC =BD, OA = OC = 1 2 AC,OB = OD = 1 2 BD,∴ OB = OA,∵ ∠AOB = 60°,∴ △AOB 是等边三角形,∴ AB = AO =OB = 8,∴ AC = 16. 由勾股定理得:BC= 162 -82 = 8 3 ,∴ 矩形的面积是 AB×BC= 8×8 3 = 64 3 . 7. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ DC∥AB,DC =AB,∵ FC=AE,∴ DC-FC = AB-AE,即 DF = BE,∴ 四边 形 DEBF 是平行四边形,又∵ DE⊥AB,∴ ∠DEB = 90°,∴ 平行四边形 DEBF 是矩形; (2)解:∵ AF 平分∠DAB,∴ ∠DAF = ∠BAF,∵ DC∥AB, ∴ ∠DFA= ∠BAF,∴ ∠DFA = ∠DAF,∴ AD = DF = 10,在 Rt△AED 中,由勾股定理得 DE= AD2 -AE2 = 8,由(1)得 四边形 DEBF 是矩形,∴ BF=DE= 8. 8. 5　 【解析】∵ BE,BF 分别是∠ABC 与它的邻补角∠ABD 的平 分 线, ∴ ∠ABE = ∠EBC = 1 2 ∠ABC, ∠ABF = 1 2 ∠ABD, ∵ ∠ABC + ∠ABD = 180°, ∴ ∠FBE = ∠ABF + ∠ABE= 1 2 ∠ABD+ 1 2 ∠ABC = 90°,∵ AE⊥BE,AF⊥BF, ∴ ∠AFB= ∠AEB = 90°,∴ 四边形 AFBE 是矩形,∴ EF = AB= 7,ME= 1 2 EF,MB=MA = 1 2 AB,∴ MB =ME,∴ ∠ABE = ∠MEB,∴ ∠MEB = ∠EBC,∴ ME∥BC,∵ MB = MA,∴ MN 是△ABC 的中位线,∴ MN = 1 2 BC = 2,∴ MF+NE =EF -MN= 5. 9. 24 5 　 【解析】∵ AB= 6,BC = 8,∴ 矩形 ABCD 的面积为 48, AC= 62 +82 = 10. 在矩形 ABCD 中,AC =BD,OA = 1 2 AC, OD= 1 2 BD,∴ AO=DO = 1 2 AC = 5,∵ 对角线 AC,BD 交于 点 O,∴ △AOD 的面积为 12,∵ EO⊥AO,EF⊥DO,S△AOD = S△AOE+S△DOE,即 12 = 1 2 AO×EO+ 1 2 DO×EF,∴ 12 = 1 2 ×5× EO+ 1 2 ×5×EF,∴ EO+EF= 24 5 . 10. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AD∥BC,∴ ∠AEF= ∠EFC,由折叠可知,∠EFC = ∠AFE,∴ ∠AEF = ∠AFE. ∴ AE=AF; (2)解:作 EH⊥CF 于 H. 设 FA =FC = x,则 BF = 9-x,在 Rt△ABF 中,AB2 +BF2 =AF2 ,即 32 +(9-x) 2 = x2 ,解得 x = 5,∴ FA=FC = 5,∴ AE = 5,∴ DE = 4,∵ 四边形 ABCD 是 矩形,∴ ∠C = ∠D = 90°. ∵ EH⊥CF,∴ ∠CHE = 90°. ∴ 四边形 CDEH 是矩形. ∴ DE = CH = 4, FH = 1, 在 Rt △EFH 中,EF= FH2 +EH2 = 12 +32 = 10 . 11. 证明: ( 1) ∵ MN∥PQ, ∴ ∠MAB = ∠QBA, ∵ AC 平分 ∠MAB,BD 平分∠QBA,∴ ∠BAC = 1 2 ∠MAB,∠ABD = 1 2 ∠QBA,∴ ∠BAC = ∠ABD,∴ AC∥BD. 同理∠ABC = ∠BAD,∴ AD∥BC,∴ 四边形 ACBD 是平行四边形. ∵ ∠CAD= ∠BAC+∠BAD= 1 2 (∠MAB+∠NAB)= 1 2 ×180° = 90°,∴ 四边形 ACBD 是矩形. (2)连接 CD. ∵ EF∥AB,GH∥AB,∴ EF∥GH. ∵ EG∥FH, ∴ 四边形 EFHG、四边形 EFBA、四边形 ABHG 都是平行 四边形,∴ EF = AB = GH,AE = BF,AG = BH. ∵ ∠EAC = ∠CAB= ∠ECA,∠FBC = ∠ABC = ∠FCB,∴ CE = AE,CF =BF,∴ CE = CF = 1 2 EF,同理 DG = DH = 1 2 GH,∴ CE = DG. ∵ CE∥DG,∴ 四边形 CDGE 是平行四边形,∴ EG = CD. ∵ 四边形 ACBD 是矩形,∴ AB=CD,∴ EF =EG,∴ 四 边形 EFHG 是菱形. 3　 正方形的性质与判定 第 1 课时　 正方形的性质 1. D 2. C 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　归纳总结:正方形的每条对角线都把正方形分成两个全 等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个全 等的等腰直角三角形. 3. C　 4. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ AB = AD,∠BAD = 90°. ∵ △ABE 是等边三角形,∴ AB=AE,∠BAE= ∠AEB = 60°. ∴ AD = AE, ∠DAE = ∠BAD + ∠BAE = 150°. ∴ ∠AED= 180° -150° 2 = 15°. ∴ ∠BED = ∠AEB-∠AED = 60° -15° = 45°. 故选 C. 5. 2. 88　 【解析】如图,根据题意得 OA =OF= EG = BG = OC = OD = 1 2 CD = 5cm. ∵ AB= 17. 6cm,∴ OE =OF-EF = 5-EF. ∵ OE+EG =OG,∴ 5-EF+5 = 17. 6 - 10,∴ EF = 2. 4,∴ 重叠部分的正方形面积 = 1 2 EF2 = 1 2 ×2. 42 = 2. 88(cm2) . 6. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠DAE = ∠BCF = 45°,AD=BC. ∵ AE=CF,∴ △ADE≌△CBF(SAS) . (2)解:∵ AB=AD= 4,∴ BD= AB2 +AD2 = 4 2 ,∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AC = BD = 4 2 ,DO = BO = 2 2 = OA = OC. 又∵ AE=CF= 2 ,∴ OE =OF = 2 2 - 2 = 2 ,∴ 四边 —4—