1.1 特殊平行四边形的性质与判定-考点专题练 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第一章特殊平行四边形 1 特殊平行四边形的性质与判定 建议用时:10 min 考点1 菱形的性质与判定(重点) 1.如图，以点A 为圆心，适当的长为半径画弧，交∠A 两边于点M，N，再分别以M，N为圆心，AM的长为半径画弧，两弧交于点B，连接MB，NB.若∠A=40°,则∠MBN= ( ) A.40° B.50° C.60° 2.如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是 ( ) 考点2 矩形的性质与判定(重点) 3.如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点, 过点E作EF⊥BD 于点 F,EG⊥AC于点 G,则四边形 EFOG 的面积为 ( ) 考点3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(重点) 4.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,连接OE.若OE=3，则菱形的边长为 ( ) A.6 B.8 C.10 D.12 对点专练P6 考点4 正方形的性质与判定(重点) 5.如图,正方形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,M是边AD 上一点,连接OM,过点O作ON⊥OM,交CD 于点 N.若四边形 MOND 的面积是5,则AB的长为 . 1.如图, 在矩形ABCD中, AB<BC, 连接AC, 分别以点A, C为圆心, 大于 的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E, F.下列结论: ①四边形AECF 是菱形;②∠AFB=2∠ACB;③AC-EF=CF·CD;④若AF平分∠BAC,则CF=2BF.其中正确结论的个数是 ( ) A.4 B.3 C. 2 D.1 2.矩形ABCD的面积是90,对角线AC,BD相交于点O,点E是BC边的三等分点,连接DE,点P 是 DE 的中点,连接OP,OP=3,连接CP,则PC+PE的值为 .对点专练 P6 3.如图①，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在线段AO上任取一点P(端点除外)，连接PD，PB.将线段DP绕点P 逆时针旋转，使点 D落在BA延长线上的点Q处. (1)当点 P 在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ 的大小是否发生变化?请说明理由. (2)如图②,作PM⊥AB 于点M,作PN⊥AD 于点N,作PE⊥AO交AB 于点 E,作EF ⊥OB于点F, 请你写出AQ 与OP 的数量关系, 并说明理由. (3)如图③,将(1)中正方形ABCD 换成菱形ABCD,且.∠ABC = 60°,, 其他条件不变, 试探究AQ与CP 的数量关系, 并说明理由. 专题1菱形中常见的几何模型分类训练 建议用时:12 min 类型一 含60°角的菱形 · 点拨 如图,菱形ABCD中,∠ABC=60°. 结论:①∠ABD=∠CBD=30°;②△ABC 和△ACD均为等边三角形;( 1.如图,在菱形 ABCD 中,AB=1,∠DAB=60°,则AC的长为 . 类型二 菱形中的半角模型——120°含60° · 名师点拨 如图, 已知菱形ABCD, ∠E AF = ∠D = 60°,,连接AC,将△AEB 旋转至△AGD.结 论:①△ABE≌△ACF,△ABE≌△ADG,△AEF≌△AGF; ②△AEF 为等边三角形; ③= 2. 如图,菱形ABCD中,AB = 5,∠ABC = 60°,∠EAF = 60°,∠E AF的两边分别交BC,CD于点E,F. (1)如图①,当点 E,F 分别在边 BC,CD 上时,则(CE+CF的值为 . (2)如图②,当点E,F分别在CB,DC的延长线上时,写出CE,CF 的数量关系： . 类型三 一线三等角 名师点拨 如图, 已知菱形ABCD, ∠B = ∠AEF = 60°,,连接AC,作 结论: ①△AME ≌△ECF; ②△AEF 为等边三角形; ③= 3.如图,在菱形ABCD中,∠ABC = 120°,, 将菱形折叠, 使点 A 恰好落在对角线BD上的点G处(不与点B, D重合), 折痕为EF, 若DG=2,BG=6,,则BE 的长为 . 进一步挑战进阶专题：P4专题2 专题2菱形中的最值问题针对训练 建议用时:15 min 1.如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O, ,AH 是∠BAC的平分线. I于点 E ，点P 是 直线AB上的一个动点, 则(OP+PE的最小值是 . 2.如图，菱形ABCD 的边长为1， 点 E 是边 AB上任意一点(端点除外)，线段CE的垂直平分线分别交 BD，CE于点 F，G，AE，EF的中点分别为M,N. (1)求证:AF=EF. (2)求MN+NG的最小值. (3)当点 E在AB上运动时，∠CEF 的大小是否变化?为什么? 专题3矩形大法与矩形构造 针对训练 ①建议用时:20 min 1. (1)探究规律:如图①,点P为平行四边形ABCD内一点,△PAB,△PCD的面积分别记为 ，平行四边形ABCD的面积记为 S，试探究 与S之间的关系； (2)解决问题:如图②,矩形ABCD中,AB=5,BC=8,点E,F,G,H分别在AB,BC,CD,DA上,且AE=CG=3,AH=CF=2,点P为矩形内一点,四边形AEPH,四边形CG为S₁,S₂,求 2.【问题发现】(1)如图①,矩形ABCD中,AB=9,BC=12,点P是矩形ABCD内一点,过点 P作EF⊥AD,分别交AD,BC于点E,F,PE=4,AE=3.则: ①PA = ,PB = ,PC = ,PD = ; 的关系是 . 【类比探究】(2)如图②,点 P 是矩形ABCD 外一点,过点 P作 EF⊥AD,分别交AD,BC的反向延长线于点 E，F，(1)②中结论还成立吗?若成立，请说明理由. 【拓展延伸】(3)如图③,在Rt△ABC中, P是Rt△ABC外一点 则BC 的最小值为 . 专题4 直角三角形斜边上的中线 名师指导 常见辅助线作法： 针对训练 建议用时:10 min |一题多解【证明】(1)我们学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，其实这个定理的逆命题也是真命题.下面我们来证明这个逆命题. 已知:如图,CD是△ABC的中线, 求证：△ABC为直角三角形. 【应用】(2)如图,在△ABC中,点D,E分别是AC,CB上一点,F是AB的中点,连接DF,EF,EA,且DF=EF=AF,设∠DFE = x°,∠ACB = y°,则( ) A. y=x C. y=-2x+180 D. y=-x+90 (3)如图,在△ABC中,AB =AC,∠A <90°,,点 D,E,F 分别在边AB,BC,CA上,连接DE,EF,FD,已知点B 和点 F关于直线DE 对称.设 若AD=DF,求 .(结果用含k的代数式表示) 专题5中点处理策略 名师指导 遇到中点经常采用以下方法：倍长中线法、中位线、直角三角形斜边上的中线、等腰三角形三线合一. 针对训练建议用时:10 min 如图①②,在△ABC中, AE平分∠BAC,BE⊥AE于点 E,点 F是BC的中点. 【探究】(1)如图①，BE 的延长线与AC边相交于点 D，求证： (2)如图②,线段AB,AC,EF 之间满足的数量关系为 ; 【初步运用】(3)如图③, 中, AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为D, 过点 D 作DE∥AB交AC 于点E,BD=3,AD=4,则| 【灵活运用】(4)如图④,△ABC中, ∠ ,点D 在AC上, 垂足为E,DE与BC 交于点 F,线段 DF,CE之间满足的数量关系为 . 参考答案 1 特殊平行四边形的性质与判定考点扫描 1. A 2. D 3. B 4. A 5.2 能力诊断 1. B 解析:如图,设AC 与 MN的交点为O,根据作图可得MN⊥AC,且平分AC,∴AO= ArOC.∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AD∥BC,∴∠EAO = ∠OCF. 又∵AO=CO, ∠AOE =∠COF,∴△AOE≌△COF,∴ AE= FC.∵ AE∥CF,∴四边形AECF 是平行四边形.∵ MN 垂直平分AC,∴EA=EC,∴四边形AECF 是菱形,故①正确;②∵ FA=FC,∴∠ACB=∠FAC,∴∠AFB=2∠ACB,故②正确；③由菱形的面积可得 故③不正确；④∵四边形ABCD 是矩形,∴ ∠ABC=90°.若AF 平分∠BAC,FB⊥AB,FO⊥AC,则 BF = FO,∴Rt△ABF≌Rt△AOF,∴ ∠BAF = ∠FAC.∵∠FAC=∠FCA,∠BAF+∠FAC+∠FCA=90°,∴∠ACB=30°,∴ FO= FC.∵ FO=BF,∴CF=2BF,故④正确.故选 B. 2. 13或 解析:当C E>BE时,如图①,∵在矩形A BCD中 ,∴点O是BD的中点.∵点 P 是 DE 的中点,∴OP 是△DBE的中位线,∴BE=2OP=6.在 Rt△DEC 中,P为斜边上的中点,∴CP=PE=PD.∵点E是BC边的三等分点,∴CE=2BE=12,BC=3BE=18.∵矩形ABCD 的面积是90,∴BC×CD=90,∴CD=5,∴ DE= ²+12²=13,∴ PC+PE=DE=13. 当CE<BE时,如图②,同理可得BE=2OP=6,CP=PE=PD.∵点E是BC边的三等分点，∴CE= BE=3,∴BC=3+6=9.∵ 矩形 ABCD 的面积是90,∴BC×CD=90,∴CD=10,∴DE= ²+10²= ,∴PC+PE= 故答案为13或 3.(1)∠DPQ 的大小不会发生变化,始终有∠DPQ=90°,理由如下:作PM⊥AB 于点 M,作PN⊥AD 于点 N,如图①,∵四边形ABCD是正方形,∴ ∠DAC=∠BAC=45°.又∵ PM⊥AB,PN⊥AD,∴ PM=PN,∴四边形 AMPN 是正方形,∴ ∠MPN=90°.∵ PD=PQ,PN=PM,∴Rt△DPN≌Rt△QPM(HL),∴∠DPN=∠QPM,∴∠DPQ=∠DPN+∠QPN=∠QPM+∠QPN=∠MPN=90°. 理由如下:∵四边形ABCD 是正方形,∴∠BAC=45°,∠AOB=90°.∵ PE⊥AO,EF⊥OB,∴ 四边形 OPEF 是矩形,∠AEP=45°,∴∠PAE=∠PEA=45°,EF=OP,∴PA=PE.∵四边形ABCD 是正方形,∴AC垂直平分BD,∴PD=PB.由旋转知PD=PQ,∴PQ=PB.∵ PM⊥BQ,∴QM=BM,AM=EM,∴QM-AM=BM-EM,即AQ=BE.∵∠EFB= (3)AQ=CP,理由如下:如图②,作PE∥BC交AB于点 E,作EG∥AC交BC于点 G,则四边形 PEGC 是平行四边形,∴ EG=CP.∵ 四边形ABCD是菱形,∴AC垂直平分BD,∴PD=PB.由旋转知 PD=PQ,∴PQ=PB.∵四边形ABCD 是菱形,∴AB=BC.又∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,同理△PAE 与△BGE 都是等边三角形,∴BE=EG=CP.作PM⊥AB于点M,则MQ=MB,MA=ME,∴QM-AM=BM-EM,即AQ=BE,∴AQ=CP. 专题 1 菱形中常见的几何模型 1. 2.(1)5 解析:如图①,连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∠B=60°,∴ △ABC,△ACD 都是等边三角形,∴ ∠BAC =60°,AB=AC,∠ACD=60°.∵∠EAF=60°,∴ ∠BAC-∠CAE=∠EAF-∠CAE,即∠BAE=∠CAF.又AB=AC,∠B=∠ACF=60°,∴ △ABE≌△ACF(ASA),∴BE=CF,∴CE+CF=CE+BE=BC=5. (2)CE-CF=5 解析:如图②,连接AC,∵∠EAB=60°-∠BAF,∠CAF=60°-∠BAF,∴∠EAB=∠FAC.又AB=AC,∠ABE=∠ACF=120°,∴△ABE≌△ACF(ASA),∴BE=CF,∴CE-CF=CE-BE=BC=5,∴ CE,CF 的数量关系是CE-CF=5. 3.2.8 专题2 菱形中的最值问题 2.(1)如图①,连接CF,∵FG垂直平分CE,∴ CF=EF.∵ 四边形ABCD为菱形,∴ 点 A 和点 C 关于对角线 BD 对称,∴CF=AF,∴AF=EF. (2)如图①,连接AC,交BD于点O,∵M和N分别是AE和EF的中点,点G为CE的中点，∴ 即 当点 F 与菱形ABCD 对角线的交点O 重合时，AF+CF 的值最小，即此时MN+NG 的值最小.∵ 菱形ABCD 的边长为1,∠ABC=60°,∴△ABC为等边三角形,∴AC=AB=1,即MN+NG 的最小值为 (3)不变.理由:如图②,连接CF,延长EF,交 DC于点H,∵∠CFH=∠FCE+∠CEF,∠AFH=∠FAE+∠FEA,∴∠AFC=∠CFH+∠AFH=∠FCE+∠CEF+∠FAE+∠FEA.∵ 点 F 在菱形ABCD 的对角线 BD上，根据菱形的对称性可得 EF,∴∠AEF=∠FAE,∠FEC=∠FCE,∴∠AFD=∠FAE+∠ABF=∠FAE+∠CEF,∴ ∠ABF = ∠CEF.∵ ∠ABC = 60°,∴ ∠ABF =∠CEF=30°,为定值. 专题3 矩形大法与矩形构造 1.(1)如图①,过点 P作PE⊥AB 并延长 EP 交 CD 于点 F,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∴PF⊥CD,∴S₁+S₂= (2)如图②,过点 P 作PK⊥AB 并延长 KP 交 CD 于点 T,过点 P 作PM⊥AD 并延长 MP 交 BC 于点 N,连接 PA,PB,PC,PD.∵四边形ABCD是矩形,AB=5,BC=8,AE=CG=3,AH=CF=2,∴ AD=BC,AD∥BC,AB=CD,AB∥CD.∵ PK⊥AB,PM⊥AD,∴PK+PT= 2.(1)①5 解析：如题图①，∵四边形ABCD 是矩形,AB=9,BC=12,∴ AD=BC=12,∠BAD=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°.∵过点 P 作 EF⊥AD,分别交AD,BC 于点 E,F,∴∠AEF=∠DEF=90°,∴四边形ABFE 和四边形 DCFE 都是矩形,∴EF=AB=9,BF=AE=3,∴CF=DE=AD-AE=12-3=9.∵PE=4,. = ，故答案为5， , , ②相等 解析： ，故答案为相等. (2)成立,理由:如题图②,∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°,∴∠EAB=∠FBA=90°.∵过点 P 作EF⊥AD,分别交AD,BC 的反向延长线于点 E,F,∴∠E=90°,∴四边形ABFE 和四边形 DCFE 都是矩形,∴AE=BF,DE=CF.∵ PD²=DE ²- PC²-PB²= CF²-BF², 解析:如图,作PM⊥CA交 C A的延长线于点 M,则∠PMC=90°,∴ PC²= 作 BN⊥PM 交PM 的延长线于点 N,作CT⊥NB 交NB 的延长线于点 T,连接AT,PT.∵ ∠BAC=90°,∴ ∠BAM=90°.∵ ∠AMN =∠N=∠CTN=90°,∴四边形 ABNM 和四边形 CTNM 都是矩形,∴TN=CM,BN=A ²,∴ 2-PA = -1.∵AB∥MN,∴ ∠ABT=∠N=90°,∴四边形ABTC是矩形,∴TA=BC,∴BC≥ T-1,∴BC 的最小值为 专题4 直角三角形斜边上的中线 (1)由条件可知,AD = BD = CD,.. ∠A = ∠DCA,∠B = ∠DCB.又∵∠A+∠DCA+∠B+∠DCB=180°,∴ ∠DCA+∠DCB=∠ACB=90°,∴ △ABC 为直角三角形. 一题多解 解法二:如图①,延长 CD 至点 E,使DE=CD,连接AE,BE.∵ D是AB的中点,∴AD=DB,∴四边形ACBE 是平行四边形.又 CD= 四边形ACBE 是矩形,∴∠ACB=90°,∴△ABC为直角三角形. 解法三:如图②,分别取AC,BC边的中点E,F,连接DE,DF,EF,则DE,DF,EF 为△ABC 的中位线,∴ DE∥BC,DF∥AC,EF= .四边形 CFDE 是平行四边形.∵ ∴四边形CFDE 是矩形,∴∠ECF=90°,∴∠ACB=90°,∴△ABC为直角三角形. (2)B 解析:∵ DF=EF=AF,F 为AB的中点,. ..∠ADB=∠BEA = 90°.∵ AF = DF,BF=EF,∴ ∠DAF =∠ADF,∠EBF=∠BEF,∴∠AFD=180°-2∠CAB,∠BFE=180°-2∠ABC,∴x°=180°-∠AFD-∠BFE=2(∠CAB+∠ABC)-180°=2(180°- 故选 B. (3)如图③,连接BF,∵点B 和点 F 关于直线DE对称,∴DB = DF.∵ AD = DF,∴ AD = DB = DF,∴BF⊥AC.设 AB =AC =1,则 BC=k,设 CF =x,则AF=1-x，由勾股定理得 专题5 中点处理策略 (1)∵AE 平分∠BAC,∴ ∠BAE=∠DAE.∵ BE⊥AE,∴∠AEB =∠AED=90°.又 AE =AE,∴ △ABE≌△ADE(ASA),∴ BE =DE,AB= AD.∵ 点 F 是 BC 的中点, 解析:如图①,延长BE,AC 交于点 D,由(1)同理可证△ABE≌△ADE(ASA),∴BE=DE,AB=AD.∵点F是BC的中点，. 故答案为 EF= (3)2.5 解析:如图②,延长 BD,AC 交于点 F,由(1)同理可证 △ABD≌△AFD(ASA),∴BD=DF=3.∵ DE∥AB,∴∠ADE=∠BAD.又∠EAD =∠BAD,∴ ∠EAD = ∠ADE,∴DE = AE.∵ AD ⊥ BD,∴∠DAF+∠F=90°,∠ADE+∠EDF=90°,∴∠F=∠EDF,∴ DE=EF,∴AE=EF.又BD=DF=3,∴DE= AB.∵AD⊥BD,BD=3,AD= ,故答案为2.5. (4)DF=2CE 解析:如图③,过点 D 作 DM⊥BC 交BC 于点 N,交CE 的延长线于点 M.∵ ∠BAC = 45°,AB = BC, A∴∠ACB=∠BAC=45°.又 DM⊥BC,∴∠NDC=90°-∠ACB=45°=∠ACB,∴ DN=CN.∵∠EDC= ∠BAC,∠BAC = 45°,∠NDC =45°, ∴ ∠EDC = ∠NDC,∴∠EDC=∠EDM.∵ DE⊥CE,∴∠DEM=∠DEC=90°.又DE=DE,∴△DEM≌△DEC(ASA),∴ ME=CE.∵ DE⊥CE,DM⊥BC,∴∠NCM=∠NDF=90°-∠M.又∠CNM=∠DNF=90°,DN=CN,∴△NCM≌△NDF(ASA),∴CM=DF,∴DF=2CE,故答案为DF=2CE. 学科网（北京）股份有限公司 $