专题 二次函数与几何相结合问题-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(人教版)

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·九年级数学上册 专题　 二次函数与几何相结合问题 三角形的存在性问题 1. (9 分)如图,已知抛物线 y = a( x-h) 2 +k 与 x 轴的一个交点为 A(3,0),与 y 轴的交点为 B (0,3),对称轴为直线 x= 1. (1)求抛物线对应的函数解析式; (2)已知点 M 为 y 轴上的一个动点,当△ABM 为等腰三角形时,求点 M 的坐标. 2. (11 分)(河南商丘月考)如图,在平面直角坐 标系中,抛物线 y=ax2 +bx+c(a≠0)与 x 轴相 交于 A,B 两点,与 y 轴相交于点 C,直线 y= kx +n(k≠0)经过 B,C 两点. 已知 A(1,0),C(0, 3),且 BC= 5. (1)试求出点 B 的坐标; (2)分别求出直线 BC 和抛物线的解析式; (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 P,使得 以 B,C,P 三点为顶点的三角形是直角三角 形? 若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在, 请说明理由. 04 3. (9 分)(陕西西安三模)如图,抛物线 y = ax2 + bx+c 经过 A( - 3 ,0),B(3 3 ,0),C(0,3)三 点,线段 BC 与抛物线的对称轴 l 交于点 D,该 抛物线的顶点为 P,连接 PA,AD,线段 AD 与 y 轴相交于点 E. (1)求该抛物线的表达式和点 P 的坐标; (2)在 y 轴上是否存在一点 Q,使以 Q,C,D 为 顶点的三角形与△ADP 全等? 若存在,求出 点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 二次函数中四边形的存在性问题 4. (11 分)已知,二次函数 y = x2 +bx+c 的图象经 过 A( -2,0)和 B(0,4) . (1)求二次函数解析式; (2)求对称轴; (3)在对称轴上是否存在一点 P,使以点 P,A, O,B 为顶点的四边形为平行四边形? 若存在, 求 P 点坐标;若不存在,请说明理由. 二次函数中面积问题 5. (10 分)(河南三门峡一模)如图所示,已知直 线 AB 经过 x 轴上的点 A(2,0)且与抛物线 y= ax2 相交于点 B,C,已知 B 点坐标(1,1) . (1)分别写出直线和抛物线的函数解析式; (2)在抛物线上是否存在点 D,使△AOD 的面 积与△BOC 的面积相等? 若存在,求出 D 点 坐标;若不存在,说明理由. 14 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·九年级数学上册 二次函数中线段,周长问题 6. (10 分)已知二次函数 y= x2 -2mx+m2 -1. (1)当二次函数的图象经过坐标原点 O(0,0) 时,求二次函数的解析式; (2)如图,当 m= 2 时,该抛物线与 y 轴交于点 C,顶点为 D,求 C,D 两点的坐标; (3)在(2)的条件下,x 轴上是否存在一点 P, 使得 PC+PD 最短? 若 P 点存在,求出 P 点的 坐标;若 P 点不存在,请说明理由. 7. (10 分)(广州中考改编)如图,抛物线 y = -x2 +bx+c 与 x 轴交于 A( -1,0),B(3,0)两点. (1)求该抛物线的解析式; (2)设(1)中的抛物线交 y 轴于 C 点,在该抛 物线的对称轴上是否存在点 Q,使得△QAC 的 周长最小? 若存在,求出 Q 点的坐标;若不存 在,请说明理由. 24 大值为 1cm2 ,4-x = 2,即 AP = PB 时,△MPQ 的面积最 大,最大面积为 1cm2 . 第 2 课时 　 抛物线形问题 1. C 2. C　 【解析】由题意可建立平面直角 坐标系如图所示,A ( - 1,0),B ( 0, 0. 5),C(1,0),设抛物线的解析式 为 y = ax2 +c. 将 A( -1,0),B(0,0. 5)代入得 a = - 1 2 ,c = 1 2 ,∴ 解析式为 y = - 1 2 x2 + 1 2 . 当 x = 0. 2 时,y = 0. 48;当 x = 0. 6 时,y = 0. 32. ∴ B 1C 1 +B 2C 2 +B 3C 3 +B 4C 4 = 2×(0. 48+0. 32)= 1. 6(m) . ∴ 所需不锈钢支柱的总长 度为 1. 6×100 = 160(m) . 故选 C. 3. 5　 10 4. 0. 5　 【解析】以 A 为原点,AC 所在直线 为 x 轴,AB 所在直线为 y 轴,建立如图 所示的直角坐标系 . 设抛物线的函数解 析式为 y = ax2 +bx+c. 将(0,2. 5)、(2,2. 5)、(0. 5,1)代入 y = ax2 +bx+c 得 c = 2. 5 4a+2b+c = 2. 5 1 4 a+ 1 2 b+c = 1 ì î í ï ï ï ï ,解得 a = 2 b = -4 c = 2. 5 ì î í ïï ï . ∴ 抛物线的解析式为 y = 2x2 - 4x+ 2. 5. ∵ y = 2x2 -4x+2. 5 = 2( x- 1) 2 + 0. 5(0≤ x≤2),∴ 抛物线的 顶点坐标为(1,0. 5),∴ 绳子的最低点距地面的距离 为 0. 5m. 5. 解:(1)平面直角坐标系如图 所示,抛物线的顶点坐标为 (5, 5 ) , 与 y 轴 交 点 坐 标 是 (0,1) ,设抛物线的解析式是 y = a( x-5) 2 +5,把( 0,1)代入 y = a( x-5) 2 +5,得 a = - 4 25 ,∴ y = - 4 25 ( x- 5) 2 + 5( 0≤ x ≤10) ;(答案不唯一) (2)由已知得两盏观景灯的纵坐标都是 4,∴ 4 = - 4 25 ( x-5) 2 +5,∴ 4 25 ( x- 5) 2 = 1,∴ x1 = 15 2 ,x2 = 5 2 . ∴ 两盏 观景灯间的距离为 15 2 - 5 2 = 5(米) . 6. 解:(1)设抛物线对应的函数解析式为 y = ax2 ,抛物线 的顶点为原点,隧道宽 6m,高 5m,矩形的高为 2m,所 以抛物线过点( -3,-3) ,代入得-3 = 9a,解得 a = - 1 3 , 所以函数解析式为 y = - x2 3 ( -3≤x≤3) . (2)此车不能通过隧道 . 理由:如果此车能通过隧道, 集装箱处于对称位置,将 x = 1. 5 代入抛物线解析式得 y = -0. 75,此时集装箱顶离隧道的底为 5-0. 75 = 4. 25 (米) ,4. 25<4. 5,即小于车与箱总高 4. 5 米,故此车不 能通过隧道 . 7. 解:(1)M(12,0) ,P(6,6) ; (2)设抛物线解析式为 y = a( x-6) 2 + 6. ∵ 抛物线 y = a( x-6) 2 + 6 经过点 ( 0,0) ,∴ 0 = a( 0 - 6) 2 + 6,即 a = - 1 6 . ∴ 抛物线解析式为 y = - 1 6 ( x - 6) 2 + 6 ( 0 ≤ x≤ 12) ; (3)设 A ( m,0) ,则 B ( 12 -m,0) ,C ( 12 -m, - 1 6 m2 + 2m) ,D(m,- 1 6 m2 +2m) . ∴ 支撑架总长 AD+DC+CB = ( - 1 6 m2 +2m) +(12-2m) +( - 1 6 m2 +2m) = - 1 3 m2 +2m+ 12 = - 1 3 (m-3) 2 +15. ∵ 此二次函数的图象开口向下, ∴ 当 m = 3 时,AD+DC+CB 有最大值为 15 米 . 8. 解:(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分) 的函数解 析式为 y = a( x-3) 2 +5(a≠0),将(8,0) 代入 y = a( x- 3) 2 +5,得 25a+5 = 0,解得 a = - 1 5 ,∴ 水柱所在抛物线 (第一象限部分)的函数解析式为 y = - 1 5 ( x-3) 2 +5(0< x<8) . (2)当 y = 1. 8 时,有- 1 5 ( x- 3) 2 + 5 = 1. 8,解得 x1 = - 1 (舍去) ,x2 = 7,∴ 为了不被淋湿,身高 1. 8 米的王师 傅站立时必须在离水池中心 7 米以内 . (3)当 x = 0 时,y = - 1 5 ( 0 - 3) 2 + 5 = 16 5 . 设改造后水柱 所在抛物线(第一象限部分) 的函数解析式为 y = - 1 5 x2 +bx+ 16 5 . ∵ 该函数图象过点(16,0) ,∴ 0 = - 1 5 ×162 + 16b+ 16 5 ,解得 b = 3,∴ 改造后水柱所在抛物线(第一象 限部分)的函数解析式为 y = - 1 5 x2 + 3x+ 16 5 = - 1 5 ( x- 15 2 ) 2 + 289 20 (0 <x< 16) . ∴ 扩建改造后喷水池水柱的最 大高度为 289 20 米 . 专题 　 二次函数与几何相结合问题 1. 解:(1) 由题意可知 h = 1,则 y = a( x- 1) 2 +k. 将 A( 3, 0)和 B(0,3)代入得 4a+k = 0 a+k = 3{ ,解得 a = -1 k = 4{ . 故抛物线 对应的函数解析式为 y = -( x-1) 2 +4; (2)设 M 点坐标为(0,t) ,AB = 32 +32 = 3 2 . ①当 MA = MB 时, 32 +t2 = 3 - t,解得 t = 0,故 M 1 ( 0,0) ; ② 当 AB = AM 时, 32 +t2 = 3 2 ,解得 t = 3( 舍去) 或 t = - 3, 故 M 2(0,-3) ;③当 AB = BM 时, | t-3 | = 3 2 ,解得 t = 3 ±3 2 ,故 M 3(0,3+3 2 )或 M 4( 0,3 - 3 2 ) . 综上所述: —31— 点 M 的坐标为:(0,0)或(0,-3)或(0,3+3 2 )或(0,3 -3 2 ) . 2. 解:(1) ∵ C(0,3) ,即 OC = 3,又∵ BC = 5. 在 Rt△BOC 中,根据勾股定理得 OB = BC 2 -OC 2 = 4,即 B( 4,0) ; (2)把 B(4,0) 、C(0,3)分别代入 y = kx+n( k≠0)中得 4k+n = 0 n = 3{ ,解得 k = - 3 4 n = 3 ì î í ïï ï ,∴ 直线 BC 解析式为 y = - 3 4 x +3;把 A(1,0) 、B(4,0) 、C(0,3)分别代入 y = ax2 +bx+ c(a≠0) 得 a+b+c = 0 16a+4b+c = 0 c = 3 ì î í ïï ï ,解得 a = 3 4 b = - 15 4 c = 3 ì î í ï ï ï ï ï ï . ∴ 抛物线的 解析式为 y = 3 4 x2 - 15 4 x+3; (3)在抛物线的对称轴上存在点 P,使得以 B,C,P 三 点为顶点的三角形是直角三角形 . ∵ y = 3 4 x2 - 15 4 x+ 3, ∴ x = - b 2a = 5 2 ,∴ 抛物线的对称轴为 x = 5 2 . 设点 P 的 坐标为( 5 2 ,m) . ∴ BP 2 = ( 4 - 5 2 ) 2 +m2 ,PC 2 = ( 5 2 ) 2 + (m-3) 2 ,BC 2 = 25. ①当∠PCB = 90°时,有 BP 2 = PC 2 + BC 2 ,∴ ( 4 - 5 2 ) 2 +m2 = ( 5 2 ) 2 +(m- 3) 2 + 25. 解得 m = 19 3 ,∴ P 1( 5 2 , 19 3 ) ;②当∠PBC = 90°时,则 PC 2 = PB 2 + BC 2 ,∴ ( 5 2 ) 2 +(m-3) 2 = ( 4 - 5 2 ) 2 +m2 + 25,解得 m = - 2. ∴ P 2 ( 5 2 , -2) ;③当∠BPC = 90°时,则 BC 2 = PB 2 + PC 2 ,即 25 = (4- 5 2 ) 2 +m2 +( 5 2 ) 2 +(m- 3) 2 ,解得 m1 = 3+2 6 2 , m2 = 3-2 6 2 . ∴ P 3 ( 5 2 , 3+2 6 2 ) , P 4 ( 5 2 , 3-2 6 2 ) . 综上,在抛物线的对称轴上,使得以 B、C、P 三点为顶点的三角形是直角三角形的点 P 为 P 1( 5 2 , 19 3 ) ,P 2( 5 2 ,-2) ,P 3( 5 2 , 3+2 6 2 ) ,P 4( 5 2 , 3-2 6 2 ) . 3. 解:(1)设抛物线的解析式为 y = a( x+ 3 ) ( x- 3 3 ) , 代入点 C(0,3)后得 a( 0 + 3 ) ( 0 - 3 3 ) = 3,解得 a = - 1 3 ,∴ 抛物线的解析式 y = - 1 3 ( x + 3 ) ( x - 3 3 ) = - 1 3 x2 + 2 3 3 x+3,∴ 对称轴是直线 x = 3 ,∴ P( 3 ,4) ; (2)存在 . 设直线 BC 的解析式为 y = kx+b,依题意得 3 3 k+b = 0 b = 3{ ,解得 k = - 3 3 b = 3 ì î í ïï ïï . 故直线 BC 的解析式为 y = - 3 3 x+3. ∵ P( 3 ,4) ,将点 P 的横坐标代入直线 BC 中得 D( 3 ,2) . 设点 Q( 0,y) ,则有:QC 2 = ( 0-0) 2 +( y -3) 2 = y2 - 6y+ 9,QD 2 = ( 0 - 3 ) 2 +( y- 2) 2 = y2 - 4y+ 7, PA2 = ( - 3 - 3 ) 2 +( 0 - 4) 2 = 28,AD 2 = ( - 3 - 3 ) 2 + (0 - 2) 2 = 16,PD 2 = ( 4 - 2) 2 = 4,CD 2 = ( 3 - 0) 2 + ( 2 - 3) 2 = 4,∴ PD = CD. 在△QCD 和△APD 中,CD = PD,若 两 个 三 角 形 全 等, 则 ① QC = AP、 QD = AD 时, y2 -6y+9 = 28① y2 -4y+7 = 16②{ ,无解,舍去;②QC = AD、QD = AP 时, y2 -6y+9 = 16 y2 -4y+7 = 28{ ,解得 y = 7,∴ 点 Q 的坐标为(0,7) . 4. 解:(1) ∵ y = x2 +bx+c 的图象经过 A( - 2,0) ,点 B( 0, 4) ,∴ 4-2b+c = 0 c = 4{ ,解得 b = 4 c = 4{ ,∴ 二次函数的解析式 为 y = x2 +4x+4; (2)直线 x = - 4 2×1 = -2; (3)存在 . 若对称轴上一点 P,使以点 P,A,O,B 为顶 点的四边形为平行四边形,则 AP = OB = 4,当点 P 在 点 A 的上方时,点 P 的坐标为( - 2,4) ;当点 P 在点 A 的下方时,点 P 的坐标为( -2,-4) ,综上所述,点 P 的 坐标为( -2,4)或( - 2,- 4) 时,以点 P,A,O,B 为顶点 的四边形为平行四边形 . 5. 解:(1)设直线 AB 的函数解析式为 y = kx+b,∵ 它过点 A(2,0) 和点 B( 1,1) ,∴ 2k+b = 0 k+b = 1{ ,解得 k = -1 b = 2{ . ∴ 直 线 AB 的函数解析式为 y = -x+2. ∵ 抛物线 y = ax2 过点 B(1,1) ,∴ a× 12 = 1,解得 a = 1,∴ 抛物线的函数解析 式为 y = x2 ; (2)存在 . 解方程组 y = -x+2 y = x2{ ,得 x1 = -2 y1 = 4{ , x2 = 1 y2 = 1{ ,∴ C 点坐标为( - 2,4) . ∵ B 点坐标为 ( 1,1) ,A 点坐标为 (2,0) ,∴ OA = 2,S△OAC = 1 2 ×2×4 = 4,S△OAB = 1 2 × 2 × 1 = 1,∴ S△OBC = S△OAC - S△OAB = 4 - 1 = 3,设 D ( xD , yD ) , ∵ S△AOD = S△BOC ,∴ S△AOD = 1 2 ×2×yD = 3,∴ yD = 3,代入 y = x2 得 xD = ± 3 ,∴ D 点坐标为( 3 ,3)或( - 3 ,3) . 6. 解:(1) ∵ 二次函数的图象经过坐标原点 O( 0,0) ,∴ 代入二次函数 y = x2 -2mx+m2 -1 中,得出 m2 -1 = 0,解 得 m = ± 1, ∴ 二次函数的解析式: y = x2 - 2x 或 y = x2 +2x; (2) ∵ m = 2,∴ 代入二次函数 y = x2 - 2mx+m2 - 1 中,得 y = x2 -4x+ 3 = ( x- 2) 2 - 1,∴ 抛物线的顶点为 D( 2, - 1) ,当 x = 0 时,y = 3,∴ C 点坐标为( 0,3) ,∴ C( 0,3) , D(2,-1) ; (3)存在 . 当 P、C、D 共线时,PC+PD 最短 . ∵ 点 C( 0, 3) ,D(2,-1) . 设 CD 所在直线解析式为 y = kx+ b,则 3 = b -1 = 2k+b{ ,解得 k = -2 b = 3{ ,∴ CD 所在直线解析式为 y = —41— -2x+3,直线 CD 与 x 轴的交点即为 P 点坐标,当 y = 0 时,即-2x+3 = 0,x = 3 2 . ∴ P 点坐标为( 3 2 ,0) . 7. 解:(1)将 A( -1,0) ,B( 3,0) 代入 y = -x2 +bx+ c 中得 -1-b+c = 0 -9+3b+c = 0{ ,解得 b = 2 c = 3{ . ∴ 抛物线解析式为 y = -x 2 + 2x+3; (2)存在 . 理由如下:由题知 A、B 两点关于抛物线的 对称轴 x = 1 对称,∴ AQ = BQ,当 C、B、Q 三点共线时, CQ+AQ = CQ+BQ 最小,∴ 直线 BC 与 x = 1 的交点即为 Q 点,此时△AQC 周长最小 . ∵ 抛物线解析式为 y = - x2 +2x+3,∴ 点 C 的坐标为( 0,3) . 设直线 BC 的解析 式为 y = kx+b. 将 C(0,3) ,B( 3,0)代入可得 b = 3 3k+b = 0{ , 解得 k = -1 b = 3{ . ∴ 直线 BC 的解析式为 y = -x+ 3,当 x = 1 时,y = -1+3 = 2,∴ Q 点的坐标为(1,2) . 追梦第二十二章章末复习 　 二次函数 1. A　 2. B　 3. B　 【解析】∵ 抛物线 y = -x2 +bx+4 经过( -2,n)和(4, n)两点,有 n = -( -2) 2 -2b+4 n = -42 +4b+4{ ,解得 n = -4 b = 2{ . 故选 B. 4. D　 5. D　 6. ①②⑤　 【解析】 ∵ 抛物线与 x 轴有 2 个交点,∴ b2 - 4ac>0,所以①正确;∵ 抛物线的对称轴为直线 x = 1, 而点( -1,0)关于直线 x = 1 的对称点的坐标为(3,0), ∴ 方程 ax2 +bx+c = 0 的两个根是 x1 = -1,x2 = 3,所以② 正确;∵ x = - b 2a = 1,即 b = -2a,而 x = -1 时,y = 0,即 a- b+c = 0,∴ a+2a+c = 3a+c = 0,所以③错误;∵ 抛物线与 x 轴的两交点坐标为( -1,0),(3,0),∴ 当-1<x<3 时, y>0,所以④错误;∵ 抛物线的对称轴为直线 x = 1,∴ 当 x<1 时,y 随 x 增大而增大,所以⑤正确 . ∴ 结论正 确的有①②⑤ . 7. D　 8. 解:(1)将点 A(2,0) 、B(0,- 1) 、C( 4,5) 代入 y = ax2 + bx+ c 中, 4a+2b+c = 0 c = -1 16a+4b+c = 5 ì î í ïï ï ,解得 a = 1 2 b = - 1 2 c = -1 ì î í ï ï ï ï ï ï ,∴ 该二次函数 的解析式为 y = 1 2 x2 - 1 2 x-1; (2)令 y = 1 2 x2 - 1 2 x-1 = 1 2 ( x+1) ( x-2) = 0,解得 x1 = -1,x2 = 2,∴ 点 D 的坐标为( -1,0) ; (3)在同一坐标系中画出一次函数 y = x+ 1 的图象,如 图所示 . 观察函数图象可知:当-1<x<4 时,一次函数图象在二 次函数图象上方,∴ 当-1<x<4 时,一次函数的值大于 二次函数的值 . 9. D　 【解析】由图象,得对称轴是 x = 2,其中一个点的 坐标为( 5,0),∴ 图 象 与 x 轴 的 另 一 个 交 点 坐 标 为 ( -1,0),利用图象可知:ax2 +bx+c< 0 的解集即是 y< 0 的解集,∴ x<-1 或 x>5. 故选 D. 10. 解:(1) ①当 a2 +3a+2 = 0 时,a = -1 或 a = -2. 若 a = - 1,则 y = 1 4 与 x 轴无交点;若 a = -2,则 y = -x+ 1 4 与 x 轴有一个交点 . ②当 a2 + 3a+ 2≠0 时,即 a≠ - 1 且 a ≠ -2 时,函数 y = ( a2 + 3a+ 2) x2 +( a+ 1) x+ 1 4 为二次 函数 . 要使函数图象与 x 轴总有交点,则 Δ = ( a+ 1) 2 -4(a2 +3a+2) × 1 4 ≥0,解得 a≤ - 1. 故当 a< - 1 且 a ≠ -2 时,二次函数的图象与 x 轴有两个交点 . 综上所述,当 a < - 1 时,此函数的图象与 x 轴总有 交点; (2)由函数图象与 x 轴有两个不同的交点知一元二 次方程(a2 +3a+2) x2 +( a+ 1) x+ 1 4 = 0 有两个不同的 实数根 . 由根与系数的关系得 x1 +x2 = - a+1 a2 +3a+2 ,x1 x2 = 1 4(a2 +3a+2) . ∴ 1 x1 + 1 x2 = x1 +x2 x1 x2 = - 4( a+ 1) = a2 - 3, 即 a2 +4a+1 = 0,解得 a1 = -2- 3 ,a2 = - 2 + 3 . 由( 1) 知,a<-1 且 a≠ - 2 时,函数的图象与 x 轴有两个交 点 . ∵ -2+ 3 >-1,故舍去,∴ a = -2- 3 . 11. 解:( 1) y2 = 1 8 x2 -x+ 63 8 ( 1≤ x≤12) 　 【解析】 (1)由 图可知, y2 = mx 2 - 8mx + n 经 过 点 ( 3,6),( 7,7),∴ 9m-24m+n = 6 49m-56m+n = 7{ ,解得 m = 1 8 n = 63 8 ì î í ï ï ï ï . ∴ y2 = 1 8 x2 - x + 63 8 ( 1 ≤x≤12); (2)设 y1 = kx+b( k≠0),由图可知,函数图象经过点 (4,11),(8,10),则 4k+b = 11 8k+b = 10{ ,解得 k = - 1 4 b = 12 ì î í ïï ï ,∴ y1 = - 1 4 x+12(1≤x≤12),∴ 每千克所获得利润 = y1 -y2 = ( - 1 4 x+12) -( 1 8 x2 -x+ 63 8 )= - 1 8 ( x-3) 2 + 21 4 . ∵ - 1 8 < 0,∴ 当 x = 3 时,所获得利润最大,最大为 21 4 . 即第 3 月销售这种水果每千克所获得利润最大,最大利润 是 21 4 元 . 12. 解:(1) ∵ 三块矩形区域的面积相等,∴ 矩形 AEFD 的面积是矩形 BCFE 面积的 2 倍 . ∴ AE = 2BE. 设 BE —51—