专题 一元二次方程及运用-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(人教版)

专题　 一元二次方程及运用 一元二次方程 1. (5 分)若方程(m+2)x | m | +3mx+1 = 0 是关于 x 的一元二次方程,求 m 的值并解方程. 2. (5 分)(河南许昌期中)关于 x 的一元二次方 程(a+1) x2 +x+a2 -2a-3 = 0 有一个根是 0,求 a 的值及另一个根. 3. (12 分)用恰当的方法解下列方程: (1)3x(x-2)= 2(2-x); (2)(2x-1) 2 -5 = 0; (3)x2 -4x+4 = 25; (4)x(2x-5)= 4x-10. 一元二次方程的运用 4. (3 分)如果关于 x 的一元二次方程 ax2 +x-1 = 0 有实数根,则 a 的取值范围是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. a>- 1 4 B. a≥- 1 4 C. a≥- 1 4 且 a≠0 D. 全体实数 5. 社会发展情境·道路修建 (3 分) (甘肃金昌中 考)如图,某小区计划在一块长为 32 m,宽为 20 m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路, 剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为 570 m2 . 若设道路的宽为 x m,则下面所列方程正 确的是(　 　 ) A. 32x+2×20x= 32×20-570 B. (32-2x)(20-x)= 570 C. (32-x)(20-x)= 32×20-570 D. 32x+2×20x-2x2 = 570 51 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·九年级数学上册 6. (6 分)关于 x 的一元二次方程( k-1) x2 -x+1 =0 有实根. (1)求 k 的取值范围; (2)设 x1,x2 是方程的两个实数根,且满足(x1 +1)(x2 +1)= k-1,求实数 k 的值. 7. (6 分)若 x1,x2 是一元二次方程 2x2 -3x-1 = 0 的两个根,求下列代数式的值. (1)(x1 -x2) 2;　 　 (2)(x1 + 1 x2 )(x2 + 1 x1 ) . 8. 生活情境·店面租金 (6 分) (河南濮阳期中) 某商业街有店面房共 100 间,前年平均每间店 面房的年租金为 1 万元,由于物价上涨,今年 平均每间店面房的年租金上涨到了 1. 21 万 元,求去年至今年平均每间店面房年租金的 平均增长率. 9. 生活情境·流感传播 (7 分) (湖北襄阳中考) 有一人患了流感,经过两轮传染后共有 64 人 患了流感. (1)求每轮传染中平均每一个人传染了几个 人? (2)如果不及时控制,第三轮将又有多少个人 被传染? 10. 生产劳动情境·销售衣服 (7 分)某百货商场 服装柜台在销售中发现,“蓝月”牌服装平均 每天可售出 20 件,每件盈利 40 元,为回馈顾 客,商场决定采取降价措施,更好的让消费 者得到实惠,经调查发现,如果每件服装每 降价 4 元,那么平均每天就可多售出 8 件,要 想平均每天在销售这种服装上盈利 1 200 元,那么每件服装应降价多少元? 61 21. 3　 实际问题与一元二次方程 1. 解:设计划每个人发展下线 x 人,依题意得 1 +x+x2 = 57,整理得 x2 + x- 56 = 0,解得 x1 = 7,x2 = - 8 ( 不合题 意,舍去) . 即计划每个人发展下线 7 人 . 2. 解:设每轮感染中平均每一台电脑会感染 x 台电脑, 依题意得 1+x+(1+x) x = 81. 整理得(1+x) 2 = 81,则 x+ 1 = 9 或 x+1 = -9. 解得 x1 = 8,x2 = -10(舍去) . 81 + 81 × 8 = 729>700. 即每轮感染中平均每一台电脑会感染 8 台电脑,3 轮感染后,被感染的电脑会超过 700 台 . 3. 解:(1)设每轮分裂中每个有益菌可分裂出 x 个有益 菌 . 则 60( 1 + x) 2 = 24 000,解得 x1 = 19, x2 = - 21 ( 舍 去) ,即 每 轮 分 裂 中 每 个 有 益 菌 可 分 裂 出 19 个 有 益菌 . (2)60×(1+19) 3 = 480 000(个) ,即经过三轮培育后共 有 480 000 个有益菌 . 4. A 5. C　 【解析】设这两年 GDP 总量的平均增长率为 x. 则 依题意得 1 000(1+x) 2 = 1 210,得(1+x) 2 = 1. 21,则 1+ x = 1. 1,x = 0. 1,或 1 +x = - 1. 1(舍去) . 故这两年 GDP 总量的平均增长率为 10% . 故选 C. 6. B　 7. D　 8. D　 【解析】依题意得 1 2 (6+9+x) ×9-x(9-x)= 1 2 (62 + 92 +x2),9x-x2 = 18,x2 -9x+18 = 0,解得 x1 = 3,x2 = 6. 故 选 D. 9. 1　 【解析】设修建的路宽为 xm,则依题意得 ( 20 -x) (30-x)= 551,x2 -50x+600 = 551,( x-1) ( x-49)= 0,x1 = 1,x2 = 49(舍去) . 故修建的路宽应为 1m. 10. C 11. C　 【解析】设每件应降价 x 元 . 由题可知(20-x) (40 +10x)= 1 080. 整理得 x2 -16x+28 = 0,( x-2) ( x- 14) = 0,x1 = 2,x2 = 14. ∵ 每件盈利不低于 10 元,即 20 -x ≥10,∴ x≤10,∴ x2 = 14 不合题意,应舍去,∴ x = 2. 故选 C. 12. B　 【解析】(18-3x)(6- 2x) = 60,化简得 x2 - 9x+ 8 = 0. 故选 B. 13. 解:设 BC = x 米,则 AB = CD = 140-x 2 米 . 依题意得 x· 140-x 2 = 2 400,整理得 x2 - 140x+ 4 800 = 0,解得 x1 = 60,x2 = 80. 又∵ 可利用的墙长为 72 米,∴ x = 60. 即 矩形车棚 BC 的长为 60 米 . 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【易错提醒】本题中墙的长度有限制,还需要根据墙的 长度,对求得的根加以取舍;当墙的长度没有限制时, 则不需要取舍 . 14. 解:(1)设接待人数的月平均增长率是 x, 依题意,得 256(1+x) 2 = 576. 解得 x1 = 0. 5 = 50%,x2 = -2. 5(不合题意,舍去) . 故接待人数的月平均增长 率是 50%; (2)能,理由:576 ×( 1 + 50%) = 864( 人) ,864 < 1 000, ∴ 能够正常接待 . 15. 解:(1)由题意可得当 0 <x≤5 时,y = 30;当 5 <x≤30 时,y = 30 - 0. 1 ( x - 5 ) , 即 y = 30. 5 - 0. 1x. ∴ y = 30(0<x≤5,且为整数) -0. 1x+30. 5(5<x≤30,且为整数){ ; (2)当 x = 5 时,(32-30) × 5 = 10 < 25,不符合题意,当 5<x≤30 时,由题意得[ 32 -( 30. 5 - 0. 1x) ] x = 25,化 简 x2 +15x-250 = 0,( x+25) ( x-10) = 0,∴ x1 = -25,x2 = 10. ∵ 5<x≤30,且 x 为正整数,∴ x = 10,当月需售 出 10 辆汽车 . 专题 　 一元二次方程及运用 1. 解:∵ m+2≠0 且 | m | = 2,∴ m≠ -2 且 m = ±2. ∴ m = 2. 代入方程得 4x2 +6x+1 = 0, x = -b± b2 -4ac 2a = -6± 62 -4×4×1 2×4 = -6±2 5 8 = -3± 5 4 ,故 x1 = -3+ 5 4 ,x2 = -3- 5 4 . 2. 解:将 x = 0 代入原方程得 a2 -2a- 3 = 0,( a- 3) ( a+ 1) = 0,a1 = 3,a2 = - 1. ∵ a+ 1≠0,∴ a≠ - 1,∴ a = 3. ∴ 原 方程为 4x2 +x = 0,解得 x1 = 0,x2 = - 1 4 ,∴ a 的值为 3, 方程的另一个根为- 1 4 . 3. 解:(1)移项、因式分解,得(3x+2) ( x-2) = 0, 于是得 3x+2 = 0,或 x-2 = 0,x1 = - 2 3 ,x2 = 2; (2)移项,得(2x-1) 2 = 5,直接开平方,得 2x-1 = ± 5 , x1 = 1+ 5 2 ,x2 = 1- 5 2 ; (3)整理,得( x-2) 2 = 25,直接开平方得 x-2 = ±5,x1 = 7,x2 = -3; (4)整理,得 x( 2x- 5) = 2( 2x- 5) ,移项、因式分解,得 (2x-5) ( x-2) = 0,x1 = 5 2 ,x2 = 2. 4. C　 5. B 6. 解:(1) ∵ b2 -4ac = ( -1) 2 -4( k-1) ≥0,∴ k≤ 5 4 . ∵ k- 1≠0,∴ k≠1,∴ k≤ 5 4 且 k≠1; (2) ∵ x1 +x2 = 1 k-1 ,x1 x2 = 1 k-1 ,( x1 +1) ( x2 +1) = x1 x2 +x1 +x2 +1 = k-1,∴ 1 k-1 + 1 k-1 + 1 = k- 1,化简,得 k2 - 3k = 0, 解得 k1 = 0,k2 = 3. ∵ k≤ 5 4 且 k≠1,∴ k = 0. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【方法点拨】一元二次方程根与系数的关系是建立在 方程有根,即 Δ≥0 的基础上的,所以在利用一元二次 方程根与系数的关系求字母参数的取值时,必须将求 得的字母的值代回根的判别式进行检验 . 7. 解:(1) ( x1 -x2 ) 2 = ( x1 +x2 ) 2 - 4x1 x2 = ( 3 2 ) 2 - 4 ×( - 1 2 ) = 9 4 +2 = 17 4 ; —4— (2) ( x1 + 1 x2 ) ( x2 + 1 x1 ) = x1 x2 + 1 + 1 + 1 x1 x2 = - 1 2 + 2 + 1 ( - 1 2 ) = - 1 2 . 8. 解:设去年至今年平均每间店面房年租金的平均增长 率为 x. 依题意得,1×(1+x) 2 = 1. 21,解得 x1 = 0. 1,x2 = -2. 1(舍去) . 故去年至今年平均每间店面房年租金 的平均增长率为 10%. 9. 解:(1)设每轮传染中平均每一个人传染了 x 个人,1+ x+x( x+1) = 64,即( x+1) 2 = 64. x = 7 或 x = -9(舍去) , 即每轮传染中平均每一个人传染了 7 个人 . (2) 64 × 7 = 448 ( 个 ) , 即第三轮将又有 448 个人被 传染 . 10. 解:设每件服装应降价 x 元 . 则(40-x) (20+ x 4 ·8) = 1 200,解得 x1 = 20,x2 = 10. ∵ 要更好的让消费者得 到实惠,∴ x = 20 元,故每件服装应降价 20 元 . 追梦第二十一章章末复习 　 一元二次方程 1. B 2. B　 【解析】∵ a-1≠0 且 | a | -1 = 0,∴ a = -1. 故选 B. 3. D　 【解析】∵ m-3≠0 且 m+2≥0,∴ m≥ -2 且 m≠3. 故选 D. 4. 解:将 x = 0 代入原方程得( k+ 4) ·02 + 3·0 +k2 - 16 = 0,解得 k1 = 4,k2 = -4. ∵ k+4≠0,∴ k = 4. 5. D　 6. 解:(1)降次,得 2( t-3) = ±3( 2t-3) ,∴ 2( t-3) = 3( 2t -3)或 2( t-3) = -3(2t-3) ,∴ t1 = 3 4 ,t2 = 15 8 ; (2)系数化为 1,移项,得 x2 - 7 2 x = 2. 配方,得 x2 - 7 2 x+ ( 7 4 ) 2 = 2+( 7 4 ) 2 ,( x- 7 4 ) 2 = 81 16 ,∴ x1 = 4,x2 = - 1 2 ; (3)化简,得 3x2 +10x+5 = 0. x = -10± 102 -4×3×5 2×3 = -10±2 10 6 = -5± 10 3 , x1 = -5+ 10 3 ,x2 = -5- 10 3 ; (4)移项,得 3( x-5) 2 + 2( x- 5) = 0. 因式分解,得( x- 5) (3x-15+2) = 0,( x-5) (3x-13) = 0,x1 = 5,x2 = 13 3 . 7. C 8. A　 【解析】 b2 - 4ac = [2(m- 1)] 2 - 4m2 = - 8m+ 4. ∵ m 未知,∴ 无法确定 . 故选 A. 9. B　 【解析】∵ b2 -4ac = 32 -( -1)·4k = 9+4k≥0,∴ k≥ - 9 4 且 k≠0. 故选 B. 10. C 11. A　 【解析】由题意得( -1) 2 -3+c = 0,解得 c = 2,故原 方程中 c = 4. 则 b2 - 4ac = 9 - 4 × 1 × 4 = - 7 < 0,则原方程 的根的情况是不存在实数根 . 故选 A. 12. -2　 【解析】∵ b2 -4ac = 22 -4a×( -1)= 4+4a<0,∴ a< -1,∴ a 的最大整数值为-2. 13. 解:由题意得 x1 +x2 = 7 4 ,x1 x2 = - 3 4 , (1)原式 = x1 x2 -3x1 -3x2 + 9 = x1 x2 - 3( x1 +x2 ) + 9 = - 3 4 -3× 7 4 +9 = 3; ( 2 ) 原 式 = x2( x2 +1) +x1( x1 +1) ( x1 +1) ( x2 +1) = x22 +x2 +x 2 1 +x1 x1 x2 +x1 +x2 +1 = ( x1 +x2 ) 2 -2x1 x2 +( x1 +x2 ) x1 x2 +x1 +x2 +1 = ( 7 4 ) 2 -2×( - 3 4 ) + 7 4 - 3 4 + 7 4 +1 = 101 32 . 14. 解:(1)把 x = 1 代入(m-1) x2 -4x+2 = 0 得 m-1-4+2 = 0,解得 m = 3; (2)若方程没有实数根,则有 m - 1 ≠ 0,Δ = ( - 4) 2 - 4(m-1) ×2<0,解得 m>3. 15. A　 16. A　 【解析】设 AB = am,AD = bm,∴ 2( a+b) = 20,a+b = 10. ∵ a2 +b2 = 68,∴ a2 +(10 -a) 2 = 68,a2 - 10a+ 16 = 0,∴ (a-8) ( a- 2) = 0. ∴ a1 = 8,a2 = 2. ∵ AB>AD,∴ AB = 8m. 故选 A. 17. 解:设扩建后广场的长为 4xm,宽为 3xm,依题意得 4x·3x·100+30(4x·3x-30× 20) = 606 000. 解得 x1 = 20,x2 = -20(舍去) . 所以 4x = 80,3x = 60. 即扩建后 广场的长为 80m,宽为 60m. 第二十二章 　 二次函数 22. 1　 二次函数的图象和性质 22. 1. 1　 二次函数 1. B 2. B　 【解析】根据二次函数的定义可得 m-n≠0,即 m≠ n. 故选 B. 3. D　 4. B　 5. C　 6. B 7. B　 【解析】由题可知 m-1≠0,且 m2 +1 = 2,则 m = -1. 故选 B. 8. 解:∵ y = y1 +y2 ,y1 与 x 2 成正比,y2 与 x- 2 成正比,设 y1 = k1 x 2 ,y2 = k2( x-2) . ∴ y = k1 x 2 +k2 ( x- 2) . ∵ 当 x = 1 时,y = 1;当 x = - 1 时, y = - 5. ∴ k1 -k2 = 1 k1 -3k2 = -5 { , 解得 k1 = 4 k2 = 3 { ,∴ y = 4x2 + 3( x- 2) = 4x2 + 3x- 6. 即 y 与 x 的函 数关系式是 y = 4x2 +3x-6. 9. 解:作 △ABC 的高 AD. 在 △ABD 中 . ∵ ∠ADB = 90°, ∠B = 30°,∴ AD = 1 2 AB = 1 2 x,∴ S△ABC = 1 2 BC·AD = 1 2 (12-x) · 1 2 x = - 1 4 x2 + 3x,∴ 面积 S 关于 x 的函数解 析式为 S = - 1 4 x2 +3x(0<x<12) . —5—