21.1 一元二次方程-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年九年级上册数学同步训练方案(人教版)

21. 1　 一元二次方程　 　 　 　 一元二次方程的定义以及一般形式 1. (3 分)下列关于 x 的方程一定是一元二次方 程的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. ax2 +bx+c= 0 B. x2 +1-x2 = 0 C. x2 + 1 x = 2 D. x2 -x-2 = 0 2. (3 分)若方程(m-2) x2 -x = 1 是一元二次方 程,则 m 的取值范围是(　 　 ) A. m≠0 B. m≠2 C. m= 1 D. m≠1 (3 分)如果方程(m-3) x | 2m-4 | -x+3 = 0 是关于 x 的一元二次方程, 那么 m 的值 为(　 　 ) A. 3 B. -1 C. -3 D. 1 3. (3 分)(黑龙江中考)关于 x 的一元二次方程 (m-3)x2 +m2x= 9x+5 化为一般形式后不含一 次项,则 m 的值为(　 　 ) A. 0 B. ±3 C. 3 D. -3 4. (6 分)把下列方程化成一般形式,并写出它的 二次项系数、一次项系数以及常数项. (1)(2x-1)(3x+2)= x2 +2; (2)(2 2 -x)(2 2 +x)= (3+x) 2 . 一元二次方程的解 5. ( 3 分) 下列各数是方程 x2 - x = 12 的根的 是(　 　 ) A. x= 3 B. x= 4 C. x= 5 D. x= 10 6. (3 分)(江苏盐城中考)已知一元二次方程 x2 +kx-3 = 0 有一个根为 1,则 k 的值为(　 　 ) A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 (3 分)已知 m 是方程 x2 +3x-2022 = 0 的根,则 m3 +2m2 -2025m+2022 的值是(　 　 ) A. -2022 B. 0 C. 2022 D. 4044 (3 分)已知 x= 1 是一元二次方程 x2 + ax+ b = 0 的一个根, 则 a2 + 2ab + b2 的值 为　 　 　 　 . 7. (6 分)(河南洛阳月考)已知 x = -2 是方程 x2 - mx - 2 = 0 的 一 个 根, 求 m2 -2m+1 - 9-6m+m2 . 列一元二次方程 8. 生活情境·设计花坛 (3 分)园林工人打算在 人民公园里设计一个菱形的花坛,要求使菱 形两条对角线相差 5,面积为 12,设长对角线 为 x,可列方程(　 　 ) A. x(x+5)= 12　 　 　 B. x(x-5)= 12 C. 0. 5x(x+5)= 12　 　 D. 0. 5x(x-5)= 12 1 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ZBR·九年级数学上册 9. 文化情境·数学文化 (3 分) (四川中考)我国 南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》 中有这样一道题:“直田积八百六十四步,只 云阔不及长一十二步,问阔及长各几步?” 意 思是:一块矩形田地的面积为 864 平方步,只 知道它的宽比长少 12 步,问它的长和宽各多 少步? 设这块田地的宽为 x 步,则所列的方程 正确的是(　 　 ) A. x+(x-12)= 864 B. x+(x+12)= 864 C. x(x-12)= 864 D. x(x+12)= 864 10. 生活情境·送卡片 (3 分)某班同学毕业时都 将自己的照片向全班其他同学各送一张表 示留念,全班共送 2 035 张照片,如果全班有 x 名同学,根据题意,列出方程为(　 　 ) A. x(x-1)= 2 035 B. x(x-1)= 2 035×2 C. x(x+1)= 2 035 D. 2x(x+1)= 2 035 忽略二次项系数不为 0 的条件致错 11. (3 分)若关于 x 的方程(m+1)x |m | +1 +x-3 = 0 是一元二次方程,则 m 的值为　 　 　 　 . 12. (3 分)(河南禹州月考)关于 x 的方程 2x2 + mx+ n = 0 的两个根是- 2 和 1,则 nm 的值 为(　 　 ) A. -8 B. 8 C. 16 D. -16 13. (3 分) (河南濮阳期中)根据关于 x 的一元 二次方程 x2 +px+q= 0,可列表如下: x 0. 5 1 1. 1 1. 2 1. 3 1. 4 x2 +px+q -2. 75 -1 -0. 59-0. 16 0. 29 0. 76 则方程 x2 +px+q= 0 的正数解满足(　 　 ) A. 解的整数部分是 1,十分位是 1 B. 解的整数部分是 1,十分位是 2 C. 解的整数部分是 1,十分位是 3 D. 解的整数部分是 1,十分位是 4 14. (3 分)若关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx-3 = 0(a≠0)有一个根为 2 025,则方程 a(x-1) 2 +bx-3 = b 必有一根为　 　 　 　 . 15. 学科素养·转换思想 (8 分)(山西一模)请阅 读下列材料: 问题:已知方程 x2 +x-1 = 0,求一个一元二次 方程,使它的根分别是已知方程根的 2 倍. 解:设所求方程的根为 y,则 y = 2x,所以 x = y 2 . 把 x= y 2 代入已知方程,得( y 2 ) 2 + y 2 - 1 = 0. 化简,得 y2 +2y-4 = 0, 故所求方程为 y2 +2y-4 = 0. 这种利用方程的代换求新方程的方法,我们 称为“换根法” . 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要 求:把所求方程化为一般形式) . (1)已知方程 x2 +x-2 = 0,求一个一元二次方 程,使它的根分别是已知方程根的相反数, 则所求方程为　 　 　 　 ; (2)已知方程 2x2 -7x+3 = 0,求一个一元二次 方程,使它的根分别是已知方程根的倒数. 2 　 　 答案详解详析·易错剖析　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 第二十一章 　 一元二次方程 21. 1　 一元二次方程 1. D 2. B　 【解析】m-2≠0,则 m≠2. 故选 B. 【变式】D　 【解析】由题意,得 | 2m-4 | = 2,m-3≠0,解 得 m = 1. 故选 D. 3. D　 【解析】(m-3) x2 +m2 x = 9x+5,(m-3) x2 +(m2 -9) x -5 = 0. 由题意得 m- 3 ≠ 0,m2 - 9 = 0,解得 m = - 3. 故 选 D. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【易错提醒】一元二次方程化为一般形式 ax2 +bx+c = 0 (a≠0)后,若没有出现一次项 bx,则 b = 0;若没有出现 常数项 c,则 c = 0. 注意二次项系数不为 0. 4. 解:(1)去括号,得 6x2 - 3x+ 4x- 2 = x2 + 2,移项,合并同 类项,得一元二次方程的一般形式 5x2 +x- 4 = 0,其中 二次项系数为 5,一次项系数为 1,常数项为-4; (2)去括号,得 8-x2 = 9 + 6x+x2 ,移项,合并同类项,得 一元二次方程的一般形式 2x2 + 6x+ 1 = 0,其中二次项 系数为 2,一次项系数为 6,常数项为 1. 5. B 6. B　 【解析】 x = 1 代 入 得 12 + k × 1 - 3 = 0,则 k = 2. 故 选 B. 【变式 1】B 【变式 2】1　 【解析】 x = 1 代入 x2 +ax+b = 0,得 12 +a+b = 0,则 a+b = -1,a2 +2ab+b2 = (a+b) 2 = ( -1) 2 = 1. 7. 解:x = -2 代入方程得 ( - 2) 2 - ( - 2) m - 2 = 0,则 m = -1. 原 式 = (m-1) 2 - (3-m) 2 = ( -1-1) 2 - [3-( -1) ] 2 = -2. 8. D　 9. D　 10. A 11. 1　 【解析】∵ 关于 x 的方程(m+ 1) x | m | + 1 +x- 3 = 0 是 一元二次方程,∴ m+1≠0 | m | +1 = 2{ ,解得 m = 1. 12. C　 【解析】将 x = -2 代入方程得 2×( -2) 2 +( -2)m+ n = 0,则 n = 2m- 8,将 x = 1 代入方程得 2 × 12 +m+n = 0,则 n = -2-m,则 n = -4,m = 2,∴ nm = ( -4) 2 = 16. 故 选 C. 13. B　 【解析】由表格可知,当 x = 1. 2 时,x2 +px+q<0,当 x = 1. 3 时,x2 +px+q>0,∴ x2 +px+q = 0 时,1. 2<x<1. 3, ∴ 解的整数部分是 1,十分位是 2. 故选 B. 14. 2 026　 【解析】对于一元二次方程 a( x-1) 2 +bx-3 = b 即 a( x-1) 2 +b( x-1) -3 = 0,设 t = x-1,所以 at2 +bt-3 = 0. 而关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx- 3 = 0( a≠0) 有一根 为 2 025, 所 以 at2 + bt - 3 = 0 有 一 个 根 为 2 025,则 x-1 = 2 025,解得 x = 2 026,所以一元二次 方程 a( x-1) 2 +bx-3 = b 必有一根为 2 026. 15. 解:(1) y2 -y-2 = 0 ( 2)设所求方程的根为 y,则 y = 1 x ,所以 x = 1 y . 把 x = 1 y 代入已知方程,得 2 ( 1 y ) 2 - 7 · 1 y + 3 = 0. 化简得 3y2 -7y+2 = 0,即所求方程为 3y2 -7y+2 = 0. 21. 2　 解一元二次方程 21. 2. 1 配方法 第 1 课时 　 直接降次法 1. C　 【解析】C. 由原方程得到 x2 = -4<0,所以该方程无 解 . 故选 C. 2. D　 【解析】∵ x2 -4 = 0,∴ x2 = 4,则 x1 = 2,x2 = -2,∴ 丁 正确 . 故选 D. 3. ±3　 【解析】根据题意得 3x2 - 6 = 21,3x2 = 27,x2 = 9,x = ±3. 4. 1　 【解析】解法一:将 x = -1 代入 x2 +a = 0,得 1+a = 0, 解得 a = -1,则方程为 x2 -1 = 0,解得 x1 = 1,x2 = - 1,∴ 另一个根是 x = 1. 解法二:由 x2 +a = 0,得 x2 = -a,∴ x = ± -a ,即该方程 的两个根互为相反数 . ∵ x = - 1 是方程 x2 +a = 0 的一 个根,∴ 另一个根是 x = 1. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】形如 ax2 +b = 0 的一元二次方程,若有实数 根,则两实数根之和为 0,即互为相反数 . 5. B　 6. D　 7. 解:原方程可变形,得[ ( x+2) -4] [ ( x+2) +4] = 4. ( x+ 2) 2 -42 = 4,( x+ 2) 2 = 4 + 42 . ∴ x = - 2 ± 2 5 ,∴ x1 = - 2 + 2 5 ,x2 = -2-2 5 . 8. A　 【解析】∵ ( x- 3) 2 = 1,∴ x1 = 4,x2 = 2. ∵ 三角形两 边和大于第三条边,∴ 腰长只能为 4,∴ 周长为 4+4+2 = 10. 故选 A. 9. 解:(1)根据题意得 4m-1≥0,解得 m≥ 1 4 ; (2)把 x = 2 代入方程( x-1) 2 = 4m-1 得( 2 - 1) 2 = 4m- 1,解得 m = 1 2 . ∴ 方程化为( x- 1) 2 = 1,∴ x- 1 = ± 1,解 得 x1 = 2,x2 = 0,∴ 方程的另一个根为 0. 第 2 课时 　 配方法 1. C 2. (1)4　 2　 (2) ±10　 ±5　 (3) ±3　 ± 3 2 3. B　 【解析】∵ y2 -y = 3 4 ,∴ y2 -y+( 1 2 ) 2 = 3 4 +( 1 2 ) 2,∴ ( y- 1 2 ) 2 = 1. 故选 B. 4. 3 5. 解:(1)二 (2)移项,得 x2 -x = 1 2 . 配方,得 x2 -x+ 1 4 = 1 2 + 1 4 ,( x- 1 2 ) 2 = 3 4 . 由 此 可 得 x - 1 2 = ± 3 2 , x1 = 1+ 3 2 , x2 = 1 - 3 2 . 6. B —1—