精品解析：浙江省温州市第二中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

2024学年第一学期九年级综合素质检测数学试题卷 考生须知： 1．试题卷共4页，答题卷共2页；考试时间100分钟；全卷满分120分． 2．答案必须写在答题卷相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 2.  截至2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到，将数字3465000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是（）． A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 4. 用配方法解方程时，配方结果正确是（ ） A. B. C. D. 5. 在一次中学生田径运动会上，参加女子立定跳远的15名运动员的成绩情况统计如下： 成绩（米） 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 人数（人） 2 3 2 5 3 则这15名运动员立定跳远成绩的众数与中位数分别是（ ） A. 1.70，1.70 B. 1.70，1.65 C. 1.65，1.65 D. 1.65，1.70 6. 某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．八年级一班在16场比赛中得26分．设该班胜x场，负y场，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若点，，都在反比例的图象上，则，，大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小李利用镜面反射原理测树高，小李在点，镜子为点，表示树，点，，在同一水平线上，小李身高米，米，米，则树高为(　　) A. 4米 B. 5米 C. 6米 D. 7米 9. 已知下列表格中的每组，的值分别是关于，的二元一次方程的解，则关于的不等式的解集为（　　） … 0 1 … … 0 1 2 3 … A. B. C. D. 10. 如图，在中，，是上的一点，且，是的中点，连结，交于点．若时，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有8小题，每小题4分，共32分） 11. 因式分解：________. 12. 已知线段是线段和线段的比例中项，若，，则___________． 13. 一元二次方程有一个根为2，则__． 14. 不等式组的解为______． 15. 如图，中，边的中垂线分别交于点D、E，cm，的周长为18cm，则的周长是_____cm． 16. 如图，四边形为菱形，其中，，过作交，于点、，则的长为______． 17. 如图，双曲线经过的两顶点A、C，轴交y轴于点B，过点C作轴于点D，若，且的面积为4，则k的值为______． 18. 如图，在矩形中，BE平分交于E，连结，在边上取一点F使，连结，交于点G，则值为______．若，则的值为______． 三、解答题（本题有6个小题，共58分） 19. （1）计算： （2）解方程： 20. 国家规定，“中小学生每天在校体育锻炼时间不小于1小时”，某地区就“每天在校体育锻炼时间”的问题随机调查了若干名中学生，根据调查结果制作如下统计图（不完整），其中分组情况（为在校锻炼时间）：组：；组：；组：；组：． 根据以上信息，回答下列问题： （1）组的人数是______人，并补全条形统计图； （2）根据统计数据估计该地区名中学生中，求达到国家规定的每天在校体育锻炼时间的人数约有多少人？ 21. 尺规作图问题：如图，直线，点，分别在，上，请在，上分别作点，，使得以，，，为顶点的四边形为菱形． （1）利用尺规（无刻度的直尺和圆规）作出菱形，并保留作图痕迹． （2）根据作图过程，将已知条件补充完整，并写出证明过程． 22. 已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）当时，直接写出y取值范围； （3）若经过的直线与y轴交于点C，求的面积． 23. 中秋期间，某商场以每盒元价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒． （1）设售价每盒下降元，则每天能售出______盒（用含的代数式表示）； （2）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到元； （3）该商场每天所获得的利润是否能达到元？请说明理由． 24. 如图1，已知，在中，，点D在AB上，且，点P，Q分别从点D，B出发沿线段向终点B，C匀速移动，P，Q两点同时出发，同时到达终点．设． （1）求的值． （2）求y关于x的函数表达式． （3）如图2，过点P作于点E，连结PQ，EQ． ①当时，求x的值． ②过D作于点F，作点F关于的对称点，当点落在的内部（不包括边界）时，则x的取值范围为______（请直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期九年级综合素质检测数学试题卷 考生须知： 1．试题卷共4页，答题卷共2页；考试时间100分钟；全卷满分120分． 2．答案必须写在答题卷相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可得x的取值范围． 【详解】解：若在实数范围内有意义，则x−2≥0， 解得x≥2， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握二次根式有意义：被开方数为非负数． 2.  截至2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到，将数字3465000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 根据科学记数法定义，这里，． 详解】． 故选：B． 3. 已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是（）． A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 【答案】B 【解析】 【详解】根据多边形内角和定理，n边形的内角和公式为，因此， 由 得n=5． 故选B． 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法的运用，先移项，在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，由此即可求解． 【详解】解：， 移项得，， 等式两边同时加上1得，， ∴， 故选：B ． 5. 在一次中学生田径运动会上，参加女子立定跳远的15名运动员的成绩情况统计如下： 成绩（米） 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 人数（人） 2 3 2 5 3 则这15名运动员立定跳远成绩的众数与中位数分别是（ ） A. 1.70，1.70 B. 1.70，1.65 C. 1.65，1.65 D. 1.65，1.70 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义即可得． 【详解】解：因为的人数为5人，是最多的， 所以众数是， 将这些成绩按从小到大进行排序后，第8个数即为中位数， 因为， 所以第8个数是， 即中位数是， 故选：A． 【点睛】本题考查了众数和中位数，熟记定义是解题关键． 6. 某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．八年级一班在16场比赛中得26分．设该班胜x场，负y场，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】总共有16场比赛，则，得分为26分，则，由此判断即可． 【详解】由题意可得：， 故选：D． 【点睛】本题考查列二元一次方程组，理解题意，理清数量关系是解题关键． 7. 若点，，都在反比例的图象上，则，，大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据反比例函数的增减性比较反比例函数值的大小，对于反比例函数，当时，图象在一、三各象限里随的增大而减小，据此得出答案即可，熟练掌握根据反比例函数的增减性比较反比例函数值的大小是解题的关键． 【详解】解：∵点，，都在反比例的图象上， ∴图象在一、三各象限内，随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：B． 8. 如图，小李利用镜面反射原理测树高，小李在点，镜子为点，表示树，点，，在同一水平线上，小李身高米，米，米，则树高为(　　) A. 4米 B. 5米 C. 6米 D. 7米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定；根据题意得出，代入数据，即可求解． 【详解】如图可知：，， ，， ， ， ∴， 米，米，米， ∴， 解得：， 答：树高为米． 故选：A． 9. 已知下列表格中的每组，的值分别是关于，的二元一次方程的解，则关于的不等式的解集为（　　） … 0 1 … … 0 1 2 3 … A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据表格求出a、b的值，代入不等式，再进一步求解可得． 【详解】解：由题意得出：， 解得：， ∴不等式为， 解得：， 故选B． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 10. 如图，在中，，是上的一点，且，是的中点，连结，交于点．若时，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形判定与性质、相似三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形和相似三角形、熟练掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作交延长线于点，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似”，证明，得出，利用证明，得出，推出，，根据计算面积，则，计算得出答案即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点， ∵， ∴，， ∴， ∵是的中点，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本题有8小题，每小题4分，共32分） 11. 因式分解：________. 【答案】 【解析】 【分析】根据因式分解的概念可得到答案. 【详解】a2－5a＝a（a－5），故答案为a（a－5）. 【点睛】本题主要考查了因式分解的概念，解本题的要点在于熟知因式分解的步骤. 12. 已知线段是线段和线段的比例中项，若，，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据比例中项的定义，若是和的比例中项，则，进行计算即可得到答案． 【详解】解：线段是线段和线段的比例中项， ， ，， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了线段的比例中项的定义，熟练掌握此知识点是解题的关键，注意线段不能为负． 13. 一元二次方程有一个根为2，则__． 【答案】1 【解析】 【分析】把代入方程中得到关于的方程，然后解关于的方程即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得． 故答案是：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 14. 不等式组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解： 由①得：； 由②得：， 所以：原不等式组的解集为：， 故答案为：． 15. 如图，中，边的中垂线分别交于点D、E，cm，的周长为18cm，则的周长是_____cm． 【答案】10 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是边的中垂线， ∴， ∵的周长为18cm， ∴(cm)， ∵cm， ∴(cm)， ∴的周长(cm)， 故答案为：10． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 16. 如图，四边形为菱形，其中，，过作交，于点、，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理，根据菱形的性质可得，，，根据勾股定理计算，根据菱形面积公式得，求出的长即可，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为菱形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 17. 如图，双曲线经过的两顶点A、C，轴交y轴于点B，过点C作轴于点D，若，且的面积为4，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，表示出A、C的坐标是解题的关键． 由题意可知，，，利用的面积为4，得到，解方程求得k的值． 【详解】解：∵，轴， 由题意可知，，，， ∵的面积为4， ∴， 解得或（舍去）， 故答案为：． 18. 如图，在矩形中，BE平分交于E，连结，在边上取一点F使，连结，交于点G，则值为______．若，则的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】题目主要考查矩形的性质，相似三角形及全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质及勾股定理、三角函数解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键 连接，根据矩形的性质及全等三角形的判定和性质得出，，再由等腰三角形的判定得出为等腰直角三角形，然后利用余弦函数求解即可；过点G作于点H，根据相似三角形的判定和性质得出，，设，设，则，利用勾股定理及相似三角形的性质代入求解确定，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵矩形， ∴， ∵BE平分交于E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 过点G作于点H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴ 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 三、解答题（本题有6个小题，共58分） 19. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算、因式分解法解一元二次方程，熟练掌握实数的运算、因式分解法解一元二次方程是解题关键． （1）先计算零指数幂、立方根、绝对值，再加减计算即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 20. 国家规定，“中小学生每天在校体育锻炼时间不小于1小时”，某地区就“每天在校体育锻炼时间”的问题随机调查了若干名中学生，根据调查结果制作如下统计图（不完整），其中分组情况（为在校锻炼时间）：组：；组：；组：；组：． 根据以上信息，回答下列问题： （1）组的人数是______人，并补全条形统计图； （2）根据统计数据估计该地区名中学生中，求达到国家规定的每天在校体育锻炼时间的人数约有多少人？ 【答案】（1），图见详解 （2）达到国家规定的每天在校体育锻炼时间的人数约有人 【解析】 【分析】本题考查了用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，理解题意、从条形统计图和扇形统计图获取信息是解题的关键； （1）根据条形统计图和扇形统计图，先求出调查总人数，再用调查总人数减去另外几组人数，求出组的人数，根据组的人数，补全条形统计图即可； （2）根据扇形统计图中的达到国家规定的人数占比，估计该地区名中学生中达到国家规定的每天在校体育锻炼时间的人数即可． 【小问1详解】 解：由统计图可得，调查总人数（人）， 组人数（人）， 故答案为：50， 补全的条形统计图如图所示， ； 小问2详解】 解：(人)， 答：达到国家规定的每天在校体育锻炼时间的人数约有人． 21. 尺规作图问题：如图，直线，点，分别在，上，请在，上分别作点，，使得以，，，为顶点的四边形为菱形． （1）利用尺规（无刻度的直尺和圆规）作出菱形，并保留作图痕迹． （2）根据作图过程，将已知条件补充完整，并写出证明过程． 【答案】（1）见解析 （2）已知直线，，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作线段、菱形的判定，熟练掌握尺规作线段、菱形的判定是解题的关键． （1）根据菱形的性质作图即可； （2）根据菱形的判定证明即可． 【小问1详解】 解：如图，四边形即为所求作的菱形， ； 【小问2详解】 解：已知直线，， ∵直线， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 22. 已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）当时，直接写出y的取值范围； （3）若经过的直线与y轴交于点C，求的面积． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）由点都在该反比例函数图象上，可得，计算求解的值，进而可得反比例函数的表达式； （2）由，可得当时，y随x的增大而减小，当时，，进而可得时，y的取值范围； （3）由（1）可得，，待定系数法求直线的解析式为，求得，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵点都在该反比例函数图象上， ∴， 解得，， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，y随x的增大而减小， 当时，， ∴当时，y的取值范围是； 【小问3详解】 解：由（1）可得，， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得， ∴， 当，，则， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，一次函数解析式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 23. 中秋期间，某商场以每盒元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒． （1）设售价每盒下降元，则每天能售出______盒（用含的代数式表示）； （2）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到元； （3）该商场每天所获得的利润是否能达到元？请说明理由． 【答案】（1） （2）当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润恰好能达到元 （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式，理解题意、正确列出代数式和一元二次方程是解题的关键． （1）根据“当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒”，列出代数式即可； （2）设售价每盒下降元，每天的销售利润为元，则列出方程，求解即可； （3）设售价每盒下降元，该商场每天所获得的利润是元，则列出方程，整理为，计算得出，判断即可． 【小问1详解】 解：∵当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒， ∴售价每盒下降元，则每天能售出盒， 故答案为： ； 【小问2详解】 解：设售价每盒下降元，每天的销售利润为元， 由题意得：， 解得：，， （元）， （元）， 答：当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润恰好能达到元； 【小问3详解】 解：不能，理由如下， 设售价每盒下降元，该商场每天所获得的利润是元， 由题意得：， 整理得：， ， ∴方程无解， ∴该商场每天所获得的利润不能达到元． 24. 如图1，已知，在中，，点D在AB上，且，点P，Q分别从点D，B出发沿线段向终点B，C匀速移动，P，Q两点同时出发，同时到达终点．设． （1）求的值． （2）求y关于x的函数表达式． （3）如图2，过点P作于点E，连结PQ，EQ． ①当时，求x的值． ②过D作于点F，作点F关于的对称点，当点落在的内部（不包括边界）时，则x的取值范围为______（请直接写出答案）． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）求出的长，进一步求得结果； （2）先表示出的长，进而求得结果； （3）①先表示出和的长，证明是等腰直角三角形求出，再证明是等腰直角三角形求出，然后列方程求解即可； ②作于G，根据题意列出求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴； 【小问2详解】 ∵由P，Q两点同时出发，同时到达终点， ∴， ， ， ， ； 【小问3详解】 ①如图， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ∴，即是等腰直角三角形， ，， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ②作于G， 中， ， ， ， ， ， ， 由（2）得： ， ， 当，且时，点在的内部， 此时， ， ， 又， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的分类，勾股定理，一次函数，解直角三角形，轴对称，解题的关键是具备较强的计算能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$