第十七章 一元二次方程【单元卷·考点卷】（11大核心考点）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（沪教版）

第十七章 一元二次方程（考点卷）（11大核心考点） 考点一 一元二次方程的解（共5题） 1．若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（    ） A． B． C． D．或 2．若关于x的一元二次方程为的解是，则的值是（    ） A．2022 B．2023 C．2020 D．2021 3．如果关于x 的一元二次方程的一个解是，则 ． 4．关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解为 5．已知a是方程的一个根，求下列各式的值： (1)； (2)． 考点二 一元二次方程的四大解法（共10题） 1．解方程： (1)；（配方法） (2)；（公式法） (3)； (4)． 2．用合适的方法解下列方程． (1)； (2)； (3)；（公式法） (4)．（配方法） 3．按规定方法解方程： (1)；（公式法） (2)．（因式分解法） (3)；（直接开平方或因式分解法） (4)；（配方法） 4．用合适的方法解方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 5．选用合适的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 6．用合适的方法解方程． (1) (2) (3)（两种方法） 7．用合适的方法解下列方程 (1) (2) (3) (4) 8．利用合适的方法解方程． (1) (2) (3) 9．用合适的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 10．用合适的方法计算下列各题 (1) (2) (3) (4) 考点三 配方法的应用（共5题） 1．将式子化为的形式，其结果为（    ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知x为全体实数，则的最大值为 ． 4．代数式的最大值为 ． 5．阅读下列材料，回答问题： “我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 根据阅读材料，解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数k= ． (2)已知代数式，用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再直接写出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 考点四 换元法解一元二次方程（共5题） 1．若方程（b，c是常数）的解是，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 2．用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于的方程是（ ） A． B． C． D． 3．解方程时，我们可以将看成一个整体．设，则原方程可化为，解得，．即，，所以原方程的解为，．请类比这种方法解方程：，则 ． 4．若关于x的一元二次方程的解为，则关于y的一元二次方程的解为 5．阅读材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简得， 所以，所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法叫做“换根法”． 利用阅读材料提供的换根法求新方程： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1，则所求方程为__________． 考点五 一元二次方程根与系数的关系（共5题） 1．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．若，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 3．已知，且满足，，那么的值为 . 4．（1）已知一元二次方程的两根为，则的值为 ． （2）若m、n是方程的两个实数根，则的值为 ． 5．阅读材料： 材料1 若一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2 已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以． 根据上述材料解决以下问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则　　　　，　　　　． (2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值； (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且．求的值． 考点六 根据一元二次方程根的情况求参数（共5题） 1．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 2．已知关于x的方程的两个实数根，，若，则m的值为（   ） A． B．1 C．或1 D．或3 3．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围为 ． 4．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是 ． 5．已知：关于x的一元二次方程（m为实数） (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根． 考点七 实际问题与一元二次方程—销售利润问题（共5题） 1．一件工艺品进价为100元，标价为135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价（　　） A．4元 B．6元 C．4元或6元 D．5元 2．品山西风味，享三晋美食，就在司徒小镇，十一假期某特色杂粮面店为扩大销售，增加盈利，计划降价销售，该杂粮面店的成本价为每碗4元，若每碗卖18元，平均每天将销售200碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售20碗，为维护城市形象，店家现规定每碗售价不得超过15元，若每天盈利2800元，则每碗售价应为（    ） A．15元 B．14元 C．13元 D．12元 3．今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10个，若想让顾客得到实惠的同时每天利润为480元，则每个口罩应该涨价 元． 4．某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20件，每件可盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售出5件．若要平均每天盈利1600元，则应降价 元． 5．四川省会理县是全国有名的石榴之乡， 由于石榴味道酸甜可口，具有保护血管、调节血 压等功效，所以深受人们喜爱．今年月，小张为了在网上开辟营销市场，在网上售卖了 两种类型的石榴：一种是豪华装大型果实（简称“大果”），一种是豪华装超大型果实（简称“帝王果”）． (1)网友小红花了元买了箱大果和箱帝王果，小华花了元买了箱大果和箱帝王果，每箱大果和帝王果的售价分别是多少？ (2)在（1）的条件下，正常情况平均每天可销售箱大果，箱帝王果，为了减少库 存，小张决定对大果降价销售，经调查发现，一箱大果的售价每降价元，大果的 销售每天可增加箱，帝王果的售价和销量不变，如果小张每天销售总额为元，每箱大果的售价应该降低多少？ 考点八 实际问题与一元二次方程—增长率问题（共5题） 1．某公司年第一季度的利润是万元，受金融危机影响，以后每季度利润减少率为x，则该公司第三季度的利润为（    ） A． B． C． D． 2．某机械厂七月份生产零件100万个，九月份生产零件144万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 3．某印刷厂今年一季度印刷了 50 万册书，第三季度印刷了 72 万册书，如果每个季度的 增长率相同，设为 x，依题意可得方程 ． 4．“绿色电力，与你同行”，根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计2022年新能源汽车年销售量为700万辆，预计2024年新能源汽车年销售量将达到1537万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，根据题意可列方程为 ． 5．龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 考点九 实际问题与一元二次方程—与图形有关的问题（共5题） 1．我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（   ）    A． B． C． D． 2．如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（    ） A．或 B．或 C． D． 3．新定义：给定一个矩形的长和宽，若存在另外一个矩形的周长和面积分别是其周长和面积的k倍（），则称这个矩形是给定矩形的“k倍”矩形．现有一个长为2，宽为1的矩形，若它的“k倍”矩形存在，则k的最小值为 ． 4．如图，将边长为15的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的面积为56时，它移动的距离等于 ． 5．综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） (1)若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________，宽为___________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 考点十 实际问题与一元二次方程—动态几何问题（共5题） 1．如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是（　　） A． B．或 C． D．或 2．如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是(   ) A． B．或 C． D．或 3．如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动（到达终点后停止），点Q从点B开始沿边B﹣C﹣D向终点D以的速度移动．如果点P，Q分别从A，B同时出发，当点P和点Q都运动到终点时，运动过程停止，设运动时间为．在这个运动过程中，四边形的面积等于时，此时t的值是 ． 4．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时，的面积是． 5．如图，中，∠，，，点P从B点出发以每秒的速度向C点运动，同时Q从C点出发以相同的速度向A点运动，当其中一个点到达目的地时另一点自动停止运动，设运动时间为    (1)用含t的代数式表示、的长，并直接写出t的取值范围； (2)多长时间后的面积为？ (3)多长时间后P点、Q点的距离为5？ 考点十一 实际问题与一元二次方程—其他问题（共5题） 1．今年除夕夜时，小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，全班共发送1980条拜年短信，如果全班有x名同学，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易•系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出x的值应为（　　） A．或 B．1或 C．或4 D．1或4 3．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：按照这个规定，解决下列问题： （1） ． （2）关于x的方程（其中）的解为 ． 4．根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：m)约为．根据上述规律，物体经过 秒落回到地面． 5．世界杯火热进行期间，其相关的周边产品大多为中国制造．为了抓住这一商机，两工厂决定生产球衣．据统计，甲厂每小时生产600件，乙厂每小时生产800件．甲、乙两厂共生产16小时，且每天生产的球衣总数量为11400件． (1)求甲、乙两厂每天分别生产多少小时？ (2)由于球衣在国外热销，客户纷纷追加订单，两工厂每天均增加生产时间，其中甲厂比乙厂多增加2小时，在整个生产过程中，甲厂每小时产量不变，而乙厂由于机器损耗及人员不足，每增加一个小时，每小时产量将减少140件，这样两工厂一天生产的球衣总量将比原来多1200件．求甲厂增加的生产时间为多少小时？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 一元二次方程（考点卷）（11大核心考点） 考点一 一元二次方程的解（共5题） 1．若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义：就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，此题应特别注意一元二次方程的二次项系数不得为零．把代入方程，解得的值．注意：二次项系数不为零． 【详解】解：把代入一元二次方程， 得， 解得或1； 又， 即； 所以． 故选：C 2．若关于x的一元二次方程为的解是，则的值是（    ） A．2022 B．2023 C．2020 D．2021 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，则，据此代值计算即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程为的解是， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．如果关于x 的一元二次方程的一个解是，则 ． 【答案】2023 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解答本题的关键是明确方程的解一定使得原方程成立． 把代入，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个解是， ， 即， ． 4．关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解为 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解．可把方程看作关于的一元二次方程，从而得到，，解之即可得出结论． 【详解】解：可把方程看作关于的一元二次方程， 关于的方程的解是，， 关于的方程的解是，， ，． 故答案为：，． 5．已知a是方程的一个根，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义： （1）根据一元二次方程解的定义得到，再证明，则两边同时除以a即可得到答案； （2）根据一元二次方程解的定义得到，进而得到，再把代入所求式子中利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解：∵a是方程的一个根， ∴， ∵当时，， ∴ ∴， ∴； （2）解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ． 考点二 一元二次方程的四大解法（共10题） 1．解方程： (1)；（配方法） (2)；（公式法） (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解法，关键是熟练掌握因式分解法、公式法、配方法解一元二次方程的步骤． （1）首先把二次项系数化为1，再把一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解； （2）首先找出方程中的，，，再利用求根公式代入计算即可； （3）把方程右边化为0，再利用因式分解法把方程左边分解因式，再解即可； （4）利用十字相乘法分解因式，即可解答； 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：， 其中， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ． 2．用合适的方法解下列方程． (1)； (2)； (3)；（公式法） (4)．（配方法） 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】（）利用直接开平方法解答即可； （）移项，利用因式分解法解答即可求解； （）利用公式法解答即可求解； （）移项，利用配方法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解：移项得，， ∴， ∴或， ∴，； （3）解：，，， ∵， ∴， ∴，； （4）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，． 3．按规定方法解方程： (1)；（公式法） (2)．（因式分解法） (3)；（直接开平方或因式分解法） (4)；（配方法） 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据公式法进行计算即可； （2）整理后，根据因式分解进行计算即可； （3）根据直接开平方进行计算即可； （3）根据配方法进行配方计算即可． 【详解】（1）解：， ，，， ， ， 故，； （2）解：， 整理得， 因式分解得， ∴，， 解得，； （3）解：， 开方得， ∴，， 解得，； （4）解：， 整理得， 配方得，即， 开方得， 解得，． 4．用合适的方法解方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先移项，利用因式分解法解方程即可； （2）先移项，利用因式分解法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）先移项，然后利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， （2）解： ， （3）解： ，， （4）解： ， 5．选用合适的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用直接开平方法，因式分解法，公式法解一元二次方程是解本题的关键． （1）把方程化为，再利用直接开平方法解方程即可； （2）把方程化为，再利用直接开平方法解方程即可； （3）先计算，再利用求根公式解方程即可； （4）先把方程化为，再化为两个一次方程，再解一次方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， 解得：，； （2）解：， ∴， ∴，， 解得：，； （3）解：， ∴， ∴， ∴，； （4）解：， ∴， ∴或， 解得：，． 6．用合适的方法解方程． (1) (2) (3)（两种方法） 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）运用配方法解一元二次方程可得； （2）运用公式法解一元二次方程可得； （3）运用因式分解法和直接开平方法求解可得． 【详解】（1）解： 解得，； （2） 解：， ， ∴， 解得：，； （3）解： 方法一： 即 ∴或， 解得或； 方法二：， ∴或， 解得或． 7．用合适的方法解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用直接开平方法，因式分解法，公式法解一元二次方程是解本题的关键． （1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程； （3）利用因式分解法解方程； （4）利用直接开平方法解方程． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，； （3）解： 或 ∴，； （4）解： 或 ∴，． 8．利用合适的方法解方程． (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了一元二次方程的不同解法；能根据一元二次方程的不同形式选择恰当的解法是解题的关键． （1）根据的形式，当时，直接开平方；当时，原方程无实根，据此即可求解； （2）将方程化成一般形式，对左边进行因式分解，化为的形式，即可求解； （3）将方程左边进行因式分解，化为的形式，即可求解； 【详解】（1）解：， 或， 解得：，； （2）解：原方程可化为： ， ， 或， 解得：，； （3）解：， 或， 解得：，． 9．用合适的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程． （1）用公式法求解； （2）用因式分解法求解； （3）用公式法求解； （4）用因式分解法求解． 【详解】（1）解： ， ∴原方程的根为：； （2）解： 或 解得：或 ∴原方程的根为：； （3）解： ， 原方程的根为：； （4）解： 或 解得：或， ∴原方程的根为：． 10．用合适的方法计算下列各题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用直接开平方的方法直接把方程化为两个一次方程，再求解即可； （2）把方程化为，再化为两个一次方程，再解一次方程即可； （3）先求解，再利用公式法解方程即可； （4）先求解，再利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解得：，； （2）∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （3）∵， ∴， ∴， ∴，． （4）∵， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法，因式分解法，公式法解一元二次方程是解本题的关键． 考点三 配方法的应用（共5题） 1．将式子化为的形式，其结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解： 故选C 2．用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程的问题，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可． 【详解】解： 故选D． 3．已知x为全体实数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用，利用配方法，将多项式进行转化，再根据完全平方的非负性进行求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴； ∴的最大值为． 4．代数式的最大值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了配方法，非负数的性质．利用配方法将原式配方成，再利用非负数的性质解答即可． 【详解】解： ， 当，时，代数式的最大值为4． 故答案为：4． 5．阅读下列材料，回答问题： “我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 根据阅读材料，解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数k= ． (2)已知代数式，用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再直接写出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1)4 (2)见解析；时，的最小值是2 【分析】本题考查了配方法的运用、完全平方公式的应用，此题解题的关键是利用平方项来确定这两个数积的2倍． （1）先根据两平方项确定出这两个数是x和2，再根据完全平方公式求解即可； （2）首先将原式变形为，根据非负数的意义就可以得出代数式的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：4； （2）∵， ∴不论x取何值，这个代数式的值总是正数， 当时，的最小值是2． 考点四 换元法解一元二次方程（共5题） 1．若方程（b，c是常数）的解是，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程求解方法中的换元法，熟悉换元法的解题步骤是解题关键．用换元法即可求解即可． 【详解】解：∵方程（b，c是常数）的解是， ∴方程的解是或， 解得：． 故选：A． 2．用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用换元法解分式方程，能正确换元是解此题的关键．设，则原方程化为，再整理即可． 【详解】解：， 设，则原方程化为：， ， ， 故选：． 3．解方程时，我们可以将看成一个整体．设，则原方程可化为，解得，．即，，所以原方程的解为，．请类比这种方法解方程：，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．先设，则方程即可变形为，解方程即可求得y，然后根据取舍根即可． 【详解】解：设，则原方程可化为， 解得，． ∵， ∴， 故答案为：． 4．若关于x的一元二次方程的解为，则关于y的一元二次方程的解为 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．把原方程变形为，根据题意可得或，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵关于x的一元二次方程的解为， ∴或， 解得：． 故答案为： 5．阅读材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简得， 所以，所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法叫做“换根法”． 利用阅读材料提供的换根法求新方程： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1，则所求方程为__________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是明确材料中的换根法，根据实际的问题进行换根． （1）根据题意可得，所求方程的根与原方程的根的关系，用所求方程的根的代数式表示原方程的根，代入原方程即可得所求的方程． （2）根据题意可得，所求方程的根与原方程的根的关系，用所求方程的根的代数式表示原方程的根，代入原方程即可得所求的方程． 【详解】（1）设所求方程的根为，则，所以， 把代入方程，得， 化简，得． 故所求方程为：． 故答案为：． （2）设所求方程的根为，则，所以， 把代入方程，得， 化简，得． 故所求的方程为：． 故答案为：． 考点五 一元二次方程根与系数的关系（共5题） 1．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键；根据，，代入求解即可得到答案； 【详解】解：方程的两个根，， ，， ， ，， ，， ， 解得：，， ， ， 解得：，故， 故选：C. 2．若，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，本题的关键是明确两根之和为． 先根据一元二次方程根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：∵，β是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选C． 3．已知，且满足，，那么的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于、两根之积等于”是解题的关键．由a、b满足的条件可得出a、b为方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得出、，将其代入中可求出结论． 【详解】解：，且满足，， 、b为方程的两个实数根， ，， 故答案为：． 4．（1）已知一元二次方程的两根为，则的值为 ． （2）若m、n是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 2042 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的概念，解题的关键是整体思想的应用． （1）根据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出，再整体代入即可求出结论． （2）由m，n是方程的两个实数根可得：，代入所求式子即可得到答案． 【详解】解：（1）∵一元二次方程的两根为， ∴， ∴． 故答案为：． （2）∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：2042． 5．阅读材料： 材料1 若一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2 已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以． 根据上述材料解决以下问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则　　　　，　　　　． (2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值； (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且．求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）由题意得出、可看作方程，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得． 【详解】（1）解：由题意可得：，； 故答案为：；； （2）解：，，且， 、可看作方程， ，， ； （3）解：把变形为， 实数和可看作方程的两根， ，， ． 考点六 根据一元二次方程根的情况求参数（共5题） 1．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式求参数，正确掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．根据一元二次方程有实数根得到且，即可求出答案． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 2．已知关于x的方程的两个实数根，，若，则m的值为（   ） A． B．1 C．或1 D．或3 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．注意，方程有实数根，判别式大于等于零． 由方程有两个实数根得，根据根与系数的关系得，然后代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的两实数根， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍）或； 故选A． 3．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的根的判别式的知识，掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键． 根据一元二次方程的定义和根的判别式列不等式组求解即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义，可得：，解得， ∵方程有实数根， ∴，解得：， ∴实数a的取值范围是且． 故答案为：且． 4．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系结合，即可得出关于的方程，解之即可得出的值，再由根的判别式，即可确定的值． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ，， ，即， 解得：． 原方程有两个不相等的实数根， ， ． 故答案为：． 5．已知：关于x的一元二次方程（m为实数） (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根． 【答案】(1)且 (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根，熟练掌握相关知识并运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）由方程有两个不相等的根，可得，由一元二次方程的定义可得，由此即可求得m的取值范围； （2）利用求根公式表示出方程的两个根，即可得证． 【详解】（1）解：， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且， ∴的取值范围是且； （2）解：由求根公式得 ， ∴， ， ∴无论为何值，方程总有一个固定的根是1 ． 考点七 实际问题与一元二次方程—销售利润问题（共5题） 1．一件工艺品进价为100元，标价为135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价（　　） A．4元 B．6元 C．4元或6元 D．5元 【答案】B 【分析】设每件工艺品需降价元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设每件工艺品需降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 要使顾客尽量得到优惠， ， 要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价6元， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．品山西风味，享三晋美食，就在司徒小镇，十一假期某特色杂粮面店为扩大销售，增加盈利，计划降价销售，该杂粮面店的成本价为每碗4元，若每碗卖18元，平均每天将销售200碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售20碗，为维护城市形象，店家现规定每碗售价不得超过15元，若每天盈利2800元，则每碗售价应为（    ） A．15元 B．14元 C．13元 D．12元 【答案】B 【分析】可设每碗售价定为x元时，店家才能实现每天利润2800元，根据利润的等量关系列出方程求解即可． 【详解】解：设每碗售价定为x元时，店家才能实现每天利润2800元，依题意有 ， 解得， ∵每碗售价不得超过15元， ∴． ∴当每碗售价定为14元时，店家才能实现每天利润2800元． 故选：B 【点睛】题目主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 3．今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10个，若想让顾客得到实惠的同时每天利润为480元，则每个口罩应该涨价 元． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每个口罩应该涨价x元，则每天可售出个，利用每天销售口罩获得的总利润每个的销售利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合想让顾客得到实惠，即可确定结论． 【详解】解：设每个口罩应该涨价x元，则每天可售出个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵想让顾客得到实惠， ∴， ∴每个口罩应该涨价2元． 故答案为：2． 4．某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20件，每件可盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售出5件．若要平均每天盈利1600元，则应降价 元． 【答案】4或36/36或4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件降价元，则每件可盈利元，平均每天可售出件，利用总利润每件的盈利平均每天的销售量，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设每件降价元，则每件可盈利元，平均每天可售出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 若要平均每天盈利1600元，则应降价4或36元． 故答案为：4或36． 5．四川省会理县是全国有名的石榴之乡， 由于石榴味道酸甜可口，具有保护血管、调节血 压等功效，所以深受人们喜爱．今年月，小张为了在网上开辟营销市场，在网上售卖了 两种类型的石榴：一种是豪华装大型果实（简称“大果”），一种是豪华装超大型果实（简称“帝王果”）． (1)网友小红花了元买了箱大果和箱帝王果，小华花了元买了箱大果和箱帝王果，每箱大果和帝王果的售价分别是多少？ (2)在（1）的条件下，正常情况平均每天可销售箱大果，箱帝王果，为了减少库 存，小张决定对大果降价销售，经调查发现，一箱大果的售价每降价元，大果的 销售每天可增加箱，帝王果的售价和销量不变，如果小张每天销售总额为元，每箱大果的售价应该降低多少？ 【答案】(1)每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元 (2)小张每天销售总额为元时，每箱大果的售价应该降低元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． （1）设每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元，根据“元买了箱大果和箱帝王果；元买了箱大果和箱帝王果”列出二元一次方程组求解即可； （2）设每箱大果的售价应该降低元，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元， 根据题意得，， 解得， 答：每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元． （2）解：设每箱大果的售价应该降低元， 根据题意得， 即： 解得：，（舍） ∴， 答：小张每天销售总额为元时，每箱大果的售价应该降低元． 考点八 实际问题与一元二次方程—增长率问题（共5题） 1．某公司年第一季度的利润是万元，受金融危机影响，以后每季度利润减少率为x，则该公司第三季度的利润为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式．熟练掌握一元二次方程的应用，理解题意并正确的列代数式是解题的关键． 根据第二季度的利润为，第三季度的利润为，然后作答即可． 【详解】解：依题意得，该公司第三季度的利润为， 故选：C． 2．某机械厂七月份生产零件100万个，九月份生产零件144万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能分别将八、九月份的产量表示出来，难度不大．根据题意表示出八、九月份的产量，再结合九月份生产零件144万个即可列出方程． 【详解】解：该厂八、九月份平均每月的增长率为，七月份生产零件100万个， 九月份生产零件万个， 九月份生产零件144万个， ， 故选：B． 3．某印刷厂今年一季度印刷了 50 万册书，第三季度印刷了 72 万册书，如果每个季度的 增长率相同，设为 x，依题意可得方程 ． 【答案】 【分析】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识—增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 【详解】解：设每个季度的增长率为 x，列方程得， 故答案为：． 4．“绿色电力，与你同行”，根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计2022年新能源汽车年销售量为700万辆，预计2024年新能源汽车年销售量将达到1537万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，能够根据题意列出方程是解题的关键． 设这款新能源汽车销售量的年平均增长率为，利用这款新能源汽车2024年的销售量这款新能源汽车2022年的销售量这款新能源汽车销售量的年平均增长率），即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设这款新能源汽车销售量的年平均增长率为， 依题意得：． 故答案为： 5．龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔每个售价应定为50元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得（不合题意，舍去） 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 ，所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 考点九 实际问题与一元二次方程—与图形有关的问题（共5题） 1．我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解题的关键． 根据题意，观察图2，由面积之间的关系可得到答案． 【详解】解：中间小正方形的边长为，其面积为16，大正方形面积为，边长为8， ∴图2是， 即的几何解法， 故选：C． 2．如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式建立方程即可． 【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为， 则平行于墙的一边的长为， 由题意得， 解得：，， 当时，平行于墙的一边的长为； 当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意； ∴该矩形场地长为米， 故选C． 3．新定义：给定一个矩形的长和宽，若存在另外一个矩形的周长和面积分别是其周长和面积的k倍（），则称这个矩形是给定矩形的“k倍”矩形．现有一个长为2，宽为1的矩形，若它的“k倍”矩形存在，则k的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求出原矩形的周长和面积分别为6和2，设它的“k倍”矩形长为x，宽为y，根据题意得，进而可得，根据即可求出k的范围． 本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找准等量关系，利用求k的范围解题的关键． 【详解】解：原矩形的周长为， 面积为． 设它的“k倍”矩形长为x，宽为y， 则， 由①得， 将③代入②得， ∴， 由得， ， 解得，或（舍去）． ∴k的最小值为， 故答案为：． 4．如图，将边长为15的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的面积为56时，它移动的距离等于 ． 【答案】7或8/8或7 【分析】本题考查正方形和图形的平移，一元二次方程的应用，由平移的性质可知阴影部分为平行四边形，设，根据题意阴影部分的面积为，解方程即可求解．熟练掌握平移的性质，正方形的性质，列出方程是解题的关键． 【详解】设，与相交于点， ∵是正方形剪开得到的， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ∵两个三角形重叠部分的面积为， ∴， 解得， 即移动的距离为或． 故答案为：或． 5．综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） (1)若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________，宽为___________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】(1)26，12 (2)剪去正方形的边长为 (3)剪去的正方形的边长为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， 纸盒底面长方形的长为，宽为； （2）解：设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴剪去正方形的边长为； （3）解：设剪去的正方形的边长为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴剪去的正方形的边长为． 考点十 实际问题与一元二次方程—动态几何问题（共5题） 1．如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用时间路程速度，可求出点到达终点所需时间，当运动时间为秒时，，，根据的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：（秒），（秒）． 当运动时间为秒时，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴点的运动时间是2秒． 故选：A． 2．如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是(   ) A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了动点问题，三角形的面积公式，解一元二次方程组，设运动时间为，根据题意列出关于的方程，是解题的关键．设运动时间为，则，，根据三角形面积公式列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：设运动时间为， ∵在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动， ∴，， ∵的面积为， ∴， 解得：，， ∵点在上的运动时间为：， ∴， ∴不符合题意， ∴点的运动时间为，的面积为，故正确，符合题意． 故选：A． 3．如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动（到达终点后停止），点Q从点B开始沿边B﹣C﹣D向终点D以的速度移动．如果点P，Q分别从A，B同时出发，当点P和点Q都运动到终点时，运动过程停止，设运动时间为．在这个运动过程中，四边形的面积等于时，此时t的值是 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程（一元二次方程）是解题的关键．分，及三种情况考虑：当时，连接AQ，DQ，连接，，此时，，当当时，，，当时，，，由四边形的面积等于 列出关于t的方程，解之即可得出t值． 【详解】解：（秒），（秒），（秒）． 当时，连接，，此时，，如图1所示． 依题意得：， 即 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，，，如图2所示． 依题意得： ， 即， 解得：t（不合题意，舍去）； 当时，，，如图3所示． 依题意得：， 即， 解得：t． 综上，t的值为3或． 故答案为：3或． 4．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时，的面积是． 【答案】2或3 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为t 秒，则，，利用三角形的面积计算公式，结合的面积是，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动时间为t 秒，则，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴2或3秒时，的面积是． 故答案为：2或3． 5．如图，中，∠，，，点P从B点出发以每秒的速度向C点运动，同时Q从C点出发以相同的速度向A点运动，当其中一个点到达目的地时另一点自动停止运动，设运动时间为    (1)用含t的代数式表示、的长，并直接写出t的取值范围； (2)多长时间后的面积为？ (3)多长时间后P点、Q点的距离为5？ 【答案】(1)，， (2)或时，的面积为 (3)秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.注意分类思想的运用. （1）根据题意即可得到结论； （2）根据题意列方程即可得到结论； （3）根据勾股定理解方程即可得到结论. 【详解】（1）解：； ； 的取值范围为：； （2）设秒后,的面积为 根据题意得， 解得：， 答: 经过或时，的面积为； （3）设秒后点、点的距离为， 根据题意得，， 解得： 或 (不合题意舍去)， 答：秒后点、点的距离为 ． 考点十一 实际问题与一元二次方程—其他问题（共5题） 1．今年除夕夜时，小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，全班共发送1980条拜年短信，如果全班有x名同学，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共发多少条拜年短信，首先确定一个人发多少条拜年短信是解题关键．如果全班有x名同学，那么每名同学要发出条短信，共有x名学生，那么总共发送的条数数应该是条，即可列出方程． 【详解】解：∵小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，且全班有x名同学， ∴每位同学需发送条拜年短信． 根据题意得：． 故选：C． 2．图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易•系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出x的值应为（　　） A．或 B．1或 C．或4 D．1或4 【答案】A 【分析】本题考查幻方，解一元二次方程．根据幻方的规则得出方程是解题的关键． 根据幻方的规则，得出方程，再求解方程即可． 【详解】解∶设幻方所填数如图所示， ∴，， 由①得， 由② 由得：， 解得：，， 故选：A． 3．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：按照这个规定，解决下列问题： （1） ． （2）关于x的方程（其中）的解为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了二次根式的性质，一元二次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键 （1）根据实数的大小比较法则和二次根式的性质求解即可； （2）分两种情况讨论：和，根据已知规定列一元二次方程分别求解即可． 【详解】解：（1），，且， ， ， 故答案为：； （2）若，则， 由题意得：， 解得：或（舍）； 若，则， 由题意得：， 解得：或（舍）， 方程的解为或， 故答案为：或． 4．根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：m)约为．根据上述规律，物体经过 秒落回到地面． 【答案】2 【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，理解题意，建立方程解决问题． 由题意可知物体回落到地面，也就是说为0，建立方程求得答案即可． 【详解】解：， 落回地面时， 所以， 解得：或， 因为时间为零时未扔出， 所以舍去． 答：物体经过2秒回落地面． 故答案为：2． 5．世界杯火热进行期间，其相关的周边产品大多为中国制造．为了抓住这一商机，两工厂决定生产球衣．据统计，甲厂每小时生产600件，乙厂每小时生产800件．甲、乙两厂共生产16小时，且每天生产的球衣总数量为11400件． (1)求甲、乙两厂每天分别生产多少小时？ (2)由于球衣在国外热销，客户纷纷追加订单，两工厂每天均增加生产时间，其中甲厂比乙厂多增加2小时，在整个生产过程中，甲厂每小时产量不变，而乙厂由于机器损耗及人员不足，每增加一个小时，每小时产量将减少140件，这样两工厂一天生产的球衣总量将比原来多1200件．求甲厂增加的生产时间为多少小时？ 【答案】(1)甲厂每天生产7小时，乙厂每天生产9小时； (2)甲厂增加的生产时间为3小时． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元二次方程的应用，正确的列出方程组和一元二次方程，是解题的关键： （1）设甲厂每天生产x小时，乙厂每天生产y小时，根据“甲、乙两厂共生产小时，且每天生产的球衣总数量为件”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设甲厂增加的生产时间为m小时，则乙厂增加的生产时间为小时，乙厂每小时生产件，利用生产总量生产效率生产时间，可得出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲厂每天生产小时，乙厂每天生产小时， 根据题意得：， 解得：． 答：甲厂每天生产7小时，乙厂每天生产9小时； （2）设甲厂增加的生产时间为小时，则乙厂增加的生产时间为小时，乙厂每小时生产件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ． 答：甲厂增加的生产时间为3小时． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！47 学科网（北京）股份有限公司 $$