第24章 圆章末测试卷-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（人教版）

一 、 选择题 （ 本题共 10 小题 ， 每小题 3 分 ， 共 30 分 . 在每小题给出的四个选项中 ， 只有 一项是符合题目要求的 ） 1. 如图 ， AB 是 ⊙O 的直径 ， 点 C 在 ⊙O 上 ， 连接 AC ， BC. 若 ∠A＝ 70° ， 则 ∠B 的度数是 （ ） A. 20° B. 40° C. 35° D. 50° 2. 若 ⊙O 的半径为 5 cm ， 点 A 到圆心 O 的距离为 4 cm ， 那么点 A 与 ⊙O 的位置关系 是 （ ） A. 点 A 在圆外 B. 点 A 在圆上 C. 点 A 在圆内 D. 不能确定 3. 如图 ， AB 是 ⊙O 的直径 ， CD 是 ⊙O 的弦 ， 如果 ∠BAD＝55° ， 那么 ∠ACD 等于 （ ） A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 4. 如图 ， 在 ⊙O 中 ， 弦 AB 的长为 8 cm ， 圆心到 AB 的距离为 3 cm ， 则 ⊙O 的半径为 （ ） A. 4 B. 5 C. 3 D. 7 姨 5. 如图 ， AB ， BC 为 ⊙O 的两条弦 ， 连接 OA ， OC ， 点 D 为 AB 的延长线上一点 ， 若 ∠CBD＝62° ， 则 ∠AOC 的度数为 （ ） A. 100° B. 118° C. 124° D. 130° 6. 如图 ， AB 是 ⊙O 的直径 ， D 是 BA 延长线上一点 ， DC 与 ⊙O 相切于点 C ， 连接 BC ， ∠ABC＝25° ， 则 ∠BDC 的度数为 （ ） A. 50° B. 45° C. 40° D. 35° 第二十四章章末测试卷 （ 本试卷共 23 道题 满分 120 分 考试时间共 120 分钟 ） 第一部分 选择题 （ 共 30 分 ） 第二十四章章末测试卷 A C O B A C B O D A B O E A B O C D 第 1 题图 A O B D C 第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 19 九年级上册 （ 人教版 ）数学 7. 如图 ， 在平面直角坐标系中 ， △ABC 三个顶点的坐标分别是点 A （ -3 ， 0 ）、 点 B （ -1 ， 2 ）、 点 C （ 3 ， 2 ）， 则 △ABC 的外心的坐标是 （ ） A. （ 0 ， -1 ） B. （ 0 ， 0 ） C. （ 1 ， -1 ） D. （ 1 ， -2 ） 8. 如图 ， AD ， AE 分别是 ⊙O 的切线 ， D ， E 为切点 ， BC 切 ⊙O 于点 F ， 交 AD ， AE 于点 B ， C ， 若 AD＝8 ， 则 △ABC 的周长是 （ ） A. 8 B. 10 C. 16 D. 不能确定 9. 如图 ， 在扇形 AOB 中 ， ∠AOB＝60° ， OD 平分 ∠AOB 交 A A B 于点 D ， 点 C 是半径 OB 上一动点 ， 若 OA＝1 ， 则阴影部分周长的最小值为 （ ） A. 2 姨 + 仔 6 B. 2 姨 + 仔 3 C. 2 2 姨 + 仔 6 D. 2 2 姨 + 仔 3 10. 历史上 ， 我国魏晋时期数学家刘徽 （ 公元 263 年左右 ） 首创 “ 割 圆术 ”， 估算圆周率近似为 3.14. 实际上 ， 由圆的周长 C＝2仔R ， 可得 仔= C 2R ， 即求圆周率 仔 的问题在某种意义上就可归结为求圆的周长 ， 而圆的 周长 C 是可以用圆内接正多边形的周长来近似代替的 ， 因为当圆的内接 正多边形的边数成倍增加时 ， 它的周长就越来越接近圆的周长 . 如图 ， ⊙O 的半径为 1 ， 若以圆内接正六边形的周长近似估计 ⊙O 的周长 ， 可得 仔 的估计值为 （ ） A. 3 姨 B. 3 3 姨 2 C. 3.14 D. 3 第二部分 非选择题 （ 共 90 分 ） 二 、 填空题 （ 本题共 5 小题 ， 每小题 3 分 ， 共 15 分 ） 11. 已知扇形的半径为 3 ， 圆心角为 120° ， 它的弧长为 . 12. 如图 ， AB 为 ⊙O 的直径 ， 点 C ， D 在 ⊙O 上 ， 已 知 ∠BOC ＝70° ， AD ∥OC ， 则 ∠AOD＝ 度 . 13. 如图 ， PA ， PB 是 ⊙O 的切线 ， A ， B 是切点 ， 已知 ∠P＝60° ， OA＝3 ， 那么 AB 的长 为 . x y O A B C O F A B D C E O C D B A 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 O 第 10 题图 O A B P A O B D C 第 13 题图第 12 题图 20 14. 如图 ， ⊙O 的半径为 1 ， 作两条互相垂直的直径 AB ， CD ， 弦 AC 是 ⊙O 的内接正 四边形的一条边 . 若以 A 为圆心 ， 以 1 为半径画弧 ， 交 ⊙O 于点 E ， F ， 连接 AE ， CE ， 弦 EC 是该圆内接正 n 边形的一边 ， 则 n 的值为 . 15. 如图 ， 在平面直角坐标系中 ， 直线 y＝x-4 与 x 轴 、 y 轴分别交于点 B ， C ， 半径为 2 的 ⊙P 的圆心 P 从点 A （ 8 ， m ） （ 点 A 在直线 y＝x-4 上 ） 出发以每秒 2 姨 个单位的速度 沿射线 AC 运动 ， 设点 P 运动的时间为 t s ， 则当 t＝ 时 ， ⊙P 与坐标轴相切 . 三 、 解答题 （ 本题共 8 小题 ， 共 75 分 . 解答应写出文字说明 、 演算步骤或推理过程 ） 16. （ 本小题 10 分 ） 如图 ， 在 ⊙O 中 ， A A B =A A C ， ∠C＝75°. 求 ∠A 的度数 . 17. （ 本小题 8 分 ） 如图是一条隧道的横截面 ， 它的形状是以点 O 为圆心的圆的一部 分 ， 如果 C 是 ⊙O 中弦 AB 的中点 ， CD 经过圆心 O 交 ⊙O 于点 D ， 并且 AB＝2 ， CD＝5. 求 ⊙O 的半径长 . 第二十四章章末测试卷 O A B D C E F x y O A P B C 第 15 题图第 14 题图 第 16 题图 O A B C O D A B 第 17 题图 C 21 九年级上册 （ 人教版 ）数学 18. （ 本小题 9 分 ） 如图 ， 在 Rt△ABC 中 ， ∠ACB＝90° ， 点 O 在边 AC 上 ， 以点 O 为 圆心 、 OC 为半径的半圆与斜边 AB 相切于点 D ， 交 OA 于点 E ， 连接 OB. （ 1 ） 求证 ： BD＝BC. （ 2 ） 已知 OC＝1 ， ∠A＝30° ， 求 AB 的长 . 19. （ 本小题 8 分 ） 如图 ， AB 是 ⊙O 的直径 ， 弦 CD⊥AB ， E 是 CA 延长线上的一点 ， 连接 DE 交 ⊙O 于点 F ， 连接 AF ， CF. （ 1 ） 若 ∠BAC＝20° ， 求 ∠AFC 的度数 . （ 2 ） 求证 ： ∠AFC＝∠AFE. 20. （ 本小题 8 分 ） 如图 ， AB 是 ⊙O 的直径 ， C 为 ⊙O 上一点 ， AD 和过点 C 的切线 互相垂直 ， 垂足为 D ， AD 交 ⊙O 于点 E ， AE＝3 ， CD＝2. （ 1 ） 求证 ： AC 平分 ∠DAB ； （ 2 ） 求 ⊙O 的半径 . B D AEOC 第 18 题图 A O B C D F E 第 19 题图 A O B C D E 第 20 题图 22 21. （ 本小题 8 分 ） 如图 ， 水平放置的圆柱形排水管道的截面所在圆的半径 OA＝1 m ， AB 表示水面的位置 . 过点 O 作 OD⊥AB ， 垂足为 C ， 交 ⊙O 于点 D ， 水面高 CD＝0.5 m. 求 截面上有水部分的面积 . 22. （ 本小题 12 分 ） 如图 1 ， AB 是 ⊙O 的直径 ， C ， D 是 ⊙O 上的点 ， 连接 CB ， CD ， 延长 CA ， BD 交于点 E ， ∠BDC＝2∠ABE. （ 1 ） 求证 ： AE＝AB ； （ 2 ） 如图 2 ， 过点 D 作 ⊙O 的切线交 AE 于点 F ， 若 DF= 5 2 ， CD= 13 2 ， 求 EF 的长 . 23. （ 本小题 12 分 ） 阅读与思考 ： 下面是小宇同学写的一篇数学小论文 ， 请认真阅读 并完成相应的学习任务 . 《 对角线互相垂直的四边形的性质探究 》 在平行四边形一章中 ， 我们已经学习过平行四边形 、 矩形 、 菱形及正方形的性质 ， 那么对于对角线互相垂直的四边形 ， 它有哪些特殊的性质呢 ？ 容易得知 ： 对角线互相垂直的四边形 ， 两组对边的平方和相等 ， 证明过程如下 ： 如图 1 ， 在四边形 ABCD 中 ， 对角线 AC⊥BD ， 垂足为 O. 求证 ： AD 2 +BC 2 ＝AB 2 +CD 2 . 第二十四章章末测试卷 A O B D C 第 21 题图 A O B D C E F 图 2 图 1 第 22 题图 A O B D C E 23 九年级上册 （ 人教版 ）数学 证明 ： ∵AC⊥BD 于点 O ， ∴AD 2 +BC 2 ＝ （ OA 2 +OD 2 ） + （ OB 2 +OC 2 ） ＝ （ OA 2 +OB 2 ） + （ OD 2 +OC 2 ） ＝AB 2 +CD 2 . （ 依据 1 ） 若对角线互相垂直的四边形内接于圆 ， 它还有什么特殊性质呢 ， 通过探究 ， 我得出 如下结论 ： 对角线互相垂直的圆内接四边形 ， 每组对边的平方和等于它的外接圆半径平 方的 4 倍 ， 证明过程如下 （ 不完整 ）： 如图 2 ， 已知 ⊙O 的半径为 R ， 四边形 ABCD 内接于 ⊙O ， 且 AC⊥BD. 求证 ： AB 2 +CD 2 ＝4R 2 . 证明 ： 过点 B 作直径 BE ， 分别连接 OA ， OE ， OD ， OC ， AE. ∵BE 是 ⊙O 的直径 ， ∴∠EAB＝90° ， （ 依据 2 ） ∴∠2+∠E＝90°. ∵AC⊥BD ， ∴∠1+∠ACB＝90°. 学习任务 ： （ 1 ） 小宇同学的论文中 ， “ 依据 1 ” 和 “ 依据 2 ” 分别是 ： 依据 1 ： ； 依据 2 ： . （ 2 ） 请完成图 2 的剩余证明过程 ； （ 3 ） 如图 3 ， 已知四边形 ABCD 内接于 ⊙O ， E 为 B B C 上一点 ， ∠ACB+∠E＝90° ， 若 ⊙O 的直径为 8 ， AB+CD＝10 （ AB＜CD ）， 请直接写出 AB 的长度 . B A O D C E 图 1 图 2 图 3 A O D C B E 1 2 第 23 题图 O A C D B 24 参 考 答 案 ∠ACB＝60°. ∵ 将射线 QC 绕点 Q 顺时针旋转 60° ， ∴ ∠DQC＝60°. ∵l∥AC ， ∴∠DBE＝∠ACB＝60° ， ∴∠DBE＝ ∠CQE＝60°. ∵∠BED＝∠QEC ， ∴∠BDQ＝∠QCB. 任务 2 ： BC＝BD+BQ. 证明如下 ： 在 BC 上取一点 P 使得 BQ＝BP ， 连接 PQ ， ∵∠ABC＝60° ， ∴△PBQ 是等 边三角形 . ∴QB＝PQ ， ∠BQP＝60°. ∴∠BQE＝∠CQP. ∵ ∠BDQ＝∠QCB ， ∴△QBD≌△QPC. ∴BD＝PC. ∵BC＝BP+ PC ， ∴BC＝BD+BQ. 第二十四章章末测试卷 一 、 选择题 1. A 2. C 3. A 4. B 5. C 6. C 7. D 8. C 9. A 10. D 二 、 填空题 11. 2π 12. 40 13. 3 3 姨 14. 12 15. 2 或 6 或 10 三 、 解答题 16. 解 ： ∵ 在 ⊙O 中 ， A A B = A A C ， ∴AB＝AC. ∴∠B＝ ∠C＝75°. ∴∠A＝180°-2×75°＝30°. 17. 解 ： 如图 ， 连接 OA ， ∵C 是 ⊙O 中 的 弦 AB 的 中 点 ， 且 AB＝2 ， ∴OC⊥AB ， AC= 1 2 AB＝1. 设 ⊙O 的半径长为 r ， 则 OA＝OD＝ r. ∵CD＝5 ， ∴OC＝CD-OD＝5-r. 在 Rt△AOC 中 ， 根据勾股定理得 OC 2 +AC 2 ＝OA 2 ， 即 （ 5-r ） 2 + 1 2 ＝r 2 ， 解得 r= 13 5 ， 即 ⊙O 的半径长为 13 5 . 18. （ 1 ） 证明 ： 如图 ， 连接 OD ， ∵ 半圆 O 与 AB 相 切 于 点 D ， ∴OD⊥AB. ∵∠ACB ＝90° ， ∴∠ODB ＝ ∠OCB＝90° . 在 Rt△ODB 和 Rt△OCB 中 ， OB=OB ， OD=OC C ， ∴Rt△ODB≌Rt△OCB （ HL ）， ∴BD＝BC. （ 2 ） 解 ： 如 图 ， ∵∠A ＝30° ， ∠ACB ＝90° ， ∴ ∠ABC＝60°. ∵Rt△ODB≌Rt△OCB ， ∴∠CBO=∠DBO= 1 2 ∠ABC=30° . 在 Rt△OBC 中 ， ∠CBO=30° ， OC＝1 ， ∴OB＝2OC＝2 ， 根据勾股定理得 ， BC = OB 2 -OC 2 姨 = 3 姨 . 在 Rt△ABC 中 ， ∠A＝30° ， AB=2BC=2 3 姨 . 19. （ 1 ） 解 ： 如图 ， 连接 BC.∵AB 是直径 ， ∴∠ACB＝ 90° ， ∴∠B ＝90° －∠BAC ＝90° －20° =70° . ∵A A C = A A C ， ∴∠AFC＝∠B＝70°. （ 2 ） 证明 ： 如图 ， 连接 AD. ∵AB 是直径 ， AB⊥ CD ， ∴A A C = A A D ， ∴∠ACD＝∠ADC. ∵∠ACD+∠AFD＝ 180° ， ∠AFD + ∠AFE ＝180° ， ∴ ∠AFE ＝ ∠ACD. ∵ ∠AFC＝∠ADC＝∠ACD ， ∴∠AFC＝∠AFE. 20. （ 1 ） 证明 ： 如图 1 ， 连接 OC. ∵AD 和过点 C 的切线互相垂直 ， 垂足为 D ， ∴∠ADC＝90°. ∵CD 是过 点 C 的切线 ， ∴CD⊥OC. ∴∠DCO＝90° ， ∴∠DCO+ ∠ADC＝90°+90°＝180° ， ∴CO∥AD ， ∴∠OCA＝∠DAC. ∵OA＝OC ， ∴∠OAC＝∠OCA ， ∴∠DAC＝∠OAC ， 即 AC 平分 ∠DAB. （ 2 ） 解 ： 如图 2 ， 过点 O 作 OF⊥AD ， 垂足为 F. ∴∠DFO＝∠AFO＝90° ， AF=EF= 1 2 AE= 3 2 ， 由 （ 1 ） 知 ， ∠ADC＝90° ， ∠DCO＝90° ， ∴ 四边形 CDFO 是矩形 ， ∴OF＝CD＝2 ， 在 Rt△AFO 中 ， OA 2 ＝AF 2 +OF 2 = 3 2 A 2 2 + 2 2 = 25 4 ， OA= 25 4 姨 = 5 2 ， 即 ⊙O 的半径为 5 2 . 21. 解 ： 连接 OB ， AD ， ∵OD⊥AB ， ∴AC=BC= 1 2 AB ， ∴∠AOD ＝∠BOD. 由 题 意 知 ， OA ＝OD ＝1 ， CD ＝0.5 ， B D AEOC 第 18 题答图 A O B C D F E 第 19 题答图 A O B C D E A O B C D E F 图 1 图 2 第 20 题答图 O D A B 第 17 题答图 C 89 九年级上册 （ 人教版 ）数学 ∴OC＝OD-CD＝1-0.5＝0.5 ， ∴OC＝ OD ， ∴AC 垂直平分 OD ， ∴OA＝ AD ， ∴△AOD 为 等 边 三 角 形 ， ∴∠AOD ＝60° ， ∴∠AOB ＝120° ， ∴S 扇 形 OAB = 120仔 · 1 2 360 = 1 3 仔. 在 Rt△AOC 中 ， 根 据 勾 股 定 理 ， AC = OA 2 -OC 2 姨 = 1-0.5 2 姨 = 3 姨 2 ， ∴AB=2AC= 3 姨 ， ∴S △OAB = 1 2 AB · OC= 1 2 × 3 姨 × 1 2 = 3 姨 4 ， ∴ 截面上有水部分的面积 ＝ S 扇形 OAB -S △OAB ＝ 1 3 仔- 3 姨 4 4 % m 2 . 答 ： 截面上有水部分 的面积为 1 3 仔- 3 姨 4 4 % m 2 . 22. （ 1 ） 证 明 ： ∵ ∠ACD ＝ ∠ABE ， ∠BDC ＝ 2∠ABE ， ∴∠BDC＝2∠ACD. ∵∠BDC＝∠E+∠ACD ， ∴∠ACD＝∠E ， ∴∠ABE＝∠E ， ∴AE＝AB. （ 2 ） 解 ： 连 接 AD ， OD ， ∵DF 是 ⊙O 的 切 线 ， ∴OD⊥DF ， 由 （ 1 ） 知 ， ∠E ＝∠ABE ， ∵∠CAB ＝ ∠ABE+∠E ， ∴∠CAB＝2∠ABE. ∵∠AOD＝2∠ABE ， ∴ ∠CAB＝∠AOD ， ∴OD∥CE ， ∴DF⊥CE. ∵DF= 5 2 ， CD= 13 2 ， ∴ 根据勾股定理得 ， CF= CD 2 -DF 2 姨 =6 ， ∵AB 是 ⊙O 的直径 ， ∴AD⊥BE ， BC⊥CE ， ∴DF∥BC. ∵AB＝ AE ， ∴BD＝DE ， ∴CF＝EF＝6. 23. 解 ： （ 1 ） 勾股定理 （ 或直角三角形两条直角 边的平方和等于斜边的平方 ） 直径所对的圆周角等 于 90° （ 2 ） 过点 B 作直径 BE ， 分别 连 接 OA ， OE ， OD ， OC ， AE. ∵BE 是 ⊙O 的 直 径 ， ∴∠EAB ＝ 90° ， ∴∠2+∠E＝90° . ∵AC⊥BD ， ∴∠1+∠ACB＝90°. ∵∠E＝∠ACB ， ∴∠1＝∠2. ∵∠AOE＝2∠2 ， ∠DOC＝2∠1 ， ∴∠AOE＝ ∠DOC ， ∴DC＝AE ， ∴AB 2 +CD 2 ＝AB 2 +AE 2 ＝BE 2 ， ∴AB 2 + CD 2 ＝ （ 2R ） 2 ＝4R 2 . （ 3 ） AB=5- 7 姨 . 第二十五章章末测试卷 一 、 选择题 1. C 2. B 3. A 4. C 5. B 6. A 7. D 8. B 9. D 10. D 二 、 填空题 11. 3 10 12. 4 7 13. 2 3 14. 公平 15. 800 三 、 解答题 16. 解 ： ① 指针落在标有 3 的区域内的概率是 1 8 ； ② 指针落在标有 9 的区域内的概率是 0 ； ③ 指针落在 标有偶数或奇数的区域内的概率是 1 ； ④ 指针落在标 有偶数的区域内的概率是 1 2 . 将这些事件的序号按发 生的可能性从小到大的顺序排列为 ②＜①＜④＜③. 17. 解 ： （ 1 ） 1 4 . （ 2 ） 根据题意可以画出如下树状图 ： 由树状图可以看出 ， 所有可能出现的结果共有 4 个 ， 即通通 ， 通断 ， 断通 ， 断断 ， 这些结果出现的可 能性相等 . 其中 C ， D 之间的两个元件中至少有一个元 件通时电流就能通过 （ 记为事件 A ） 的结果有 3 个 ， 即通通 ， 通断 ， 断通 ， ∴P （ A ） = 3 4 . 18. （ 1 ） 1 4 （ 2 ） 把 “ 红心 ” “ 黑桃 ” “ 方块 ” “ 梅花 ” 扑克 牌分别记为 A ， B ， C ， D ， 根据题意可以画出如下树 状图 ： 由树状图可以看出 ， 所有可能出现的结果共有 16 个 ， 即 AA ， AB ， AC ， AD ， BA ， BB ， BC ， BD ， CA ， CB ， CC ， CD ， DA ， DB ， DC ， DD ， 这些结果 出现的可能性相等 . 其中抽到扑克牌花色恰好是 1 张 A O B D C 第 21 题答图 A O B D C E F 第 22 题答图 A O D C B E 1 2 第 23 题答图 通 断 通 元件 2 元件 1 通 断 断 A B C D A 乙 甲 A B C D B A B C D C A B C D D 90