11.3 多边形及其内角和（10大题型）-2024-2025学年八年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

11.3 多边形及其内角和 【考点归纳】 · 考点一：多边形的概念和分类 · 考点二：多边形对角线的条数问题 · 考点三：对角线分成的三角形个数问题 · 考点四：多边形的内角和问题 · 考点五：正多边形的内角和问题 · 考点六：多边形截角后的内角和问题 · 考点七：多边形外角和的实际应用 · 考点七：正多边形的外角问题 · 考点九：镶嵌问题 · 考点十：多边形及其内角和综合问题 【知识归纳】 知识点一：多边形及有关概念 1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. （1）多边形的一些要素： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 （2）在定义中应注意： ①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）； ②首尾顺次相连，二者缺一不可; ③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形. 知识点二、多边形的分类 　　(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图）.本章所讲的多边形都是指凸多边形. 凸多边形 凹多边形 (2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形． 知识点三：正多边形 　　各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。 正三角形 正方形 正五边形 　　正六边形 正十二边形 要点诠释： 各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形 知识四：多边形的对角线 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。 要点诠释： (1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。 (2)n边形共有条对角线。 考点五：多边形的内角和公式 1.公式：边形的内角和为. 2.公式的证明： 考点六：多边形的外角和公式 1.公式：多边形的外角和等于360°. 2.多边形外角和公式的证明：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以边形的内角和加外角和为，外角和等于. 注意：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关。 要点诠释： (1)外角和公式的应用： ①已知外角度数，求正多边形边数； ②已知正多边形边数，求外角度数. (2)多边形的边数与内角和、外角和的关系： ①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°。 ②多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关。 知识点七：镶嵌的概念和特征 1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同。 2、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。 3、常见的一些正多边形的镶嵌问题： (1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°。 (2)只用一种正多边形镶嵌地面 对于给定的某种正多边形，怎样判断它能否拼成一个平面图形，且不留一点空隙？解决问题的关键在于正多边形的内角特点。当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形。事实上，正n边形的每一个内角为，要求k个正n边形各有一个内角拼于一点，恰好覆盖地面，这样360°＝，由此导出k＝＝2＋，而k是正整数，所以n只能取3,4，6。因而，用相同的正多边形地砖铺地面，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用。 注意：任意四边形的内角和都等于360°。所以用一批形状、大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板，用任意相同的三角形也可以铺满地面。 (3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面 用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌，见下图： 又如，用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面，因为它们的交接处各角之和恰好为一个周角360°。 【题型归纳】 题型一：多边形的概念和分类 1．（20-21八年级上·河南信阳）下列说法正确的是（    ） A．五条长度相等的线段首尾顺次相接所构成的图形是正五边形 B．正六边形各内角都相等，所以各内角都相等的六边形是正六边形 C．从n边形的一个顶点出发可以引（n-2）条对角线 D．n边形共有条对角线 2．（20-21九年级上·江苏南通·期中）下列命题正确的是（    ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．各内角分别相等的多边形是正多边形 C．既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形 D．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形 3．（23-24八年级上·广东汕头·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角 C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形 D．连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线 题型二：多边形对角线的条数问题 4．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）过多边形的一个顶点可以作4条对角线，则这个多边形的边数是（   ） A．六 B．七 C．八 D．九 5．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十边形对角线的总条数（   ） A．35 B．44 C．54 D．64 6．（23-24八年级上·山东济宁·期中）我们都有这样的生活经验，要想使多边形（三角形除外）木架不变形至少再钉上若干根木条．如图6所示，四边形至少再钉上一根；五边形至少再钉上两根；六边形至少再钉上三根；…．按照此规律，十三边形至少再钉上（　　）    A．13根 B．12根 C．11根 D．10根 题型三：对角线分成的三角形个数问题 7．（23-24八年级上·福建龙岩）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2021个三角形，那么这个多边形的边数是（   ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2023 8．（23-24八年级上·内蒙古·期中）要使得一个多边形具有稳定性，从多边形一个顶点出发，连接其它各个顶点转化得到个三角形，则这个多边形的边数为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·山东临沂·期中）要使得一个多边形具有稳定性，从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点转化得到2022个三角形，则这个多边形的边数为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 题型四：多边形的内角和问题 10．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）已知一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，多边形，是延长线上的一点，若，则（　　） A． B． C． D． 12．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）如图，正五边形，平分，平分，则（　　） A． B． C． D． 题型五：正多边形的内角和问题 13．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图所示的地面由正八边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则的度数为（    ） A．75° B．90° C．100° D．120° 14．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，直线和都经过正五边形的一个顶点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 15．（2024·河北·中考真题）直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（    ） A． B． C． D． 题型六：多边形截角后的内角和问题 16．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，原多边形的边数是（    ）． A．8或9或10 B．7或8或9 C．6或7或8 D．5或6或7 17．（23-24八年级上·河北沧州·期中）琪琪在操作课上将三角形剪掉一个角后得到四边形，则下列判断错误的是（    ）    A．变成四边形后对角线增加了两条 B．变成四边形后内角和增加了 C．外角和没有发生变化 D．若剪掉的角的度数是，则 18．（21-22八年级下·河北石家庄·期末）有一天，小红的爸爸想考考她，她爸爸说：今天我在做手工的时候，把一个多边形木板锯掉了一个角后得到一个新多边形木板，通过测量计算得到新多边形木板的内角和为，那么原多边形木板的边数是（    ） A．11 B．12 C．13 D．以上都有可能 题型七：多边形外角和的实际应用 19．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是正边形纸片的一部分，其中是正边形两条边的一部分，若所在的直线相交形成的锐角为，则的值是（　　） A． B． C． D． 20．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，在六边形中，，则（    ） A． B． C． D． 21．（2024·湖北十堰·二模）参加创客兴趣小组的同学，给机器人设定了如图所示的程序，机器人从点O出发，沿直线前进1米后左转，再沿直线前进1米，又向左转……照这样走下去，机器人第一次回到出发地O点时，一共走的路程是（  ） A．10米 B．18米 C．20米 D．36米 题型七：正多边形的外角问题 22．（2024·山东聊城·二模）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）综合实践课上，嘉嘉用八个大小相等的含45°角的直角三角板拼成了一个环状图案，如图1，若淇淇尝试用含60°角的直角三角板拼成类似的环状图案，如图2，除了图上3个还需要含60°角的直角三角板的数量为（    ） A．3个 B．6个 C．9个 D．12个 24．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若（即延长a和b相交形成的），则n的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 题型九：镶嵌问题 25．（23-24八年级下·河南郑州·期末）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间没有空隙、也不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．下列形状的瓷砖，不可以镶嵌平面的是（　　） A．正方形 B．长方形 C．正六边形 D．正八边形 26．（23-24八年级上·重庆武隆·期末）分别剪一些边长相同的正三角形、正五边形、正六边形、正八边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，能镶嵌成一个平面的图案共有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 27．（23-24八年级上·山东济宁·期中）生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种性质相同的图形拼接而成的．像这样的用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．如果选用两种儿何图形镶嵌整个地面，下列哪种组合能镶嵌成一个平面图形．（    ） A．正三角形和正五边形 B．正方形和正六边形 C．正方形和正八边形 D．正五边形和正九边形 题型十：多边形及其内角和综合问题 28．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）正多边形的每条边都相等，每个角都相等．已知正边形的内角和为，边长为2． (1)求正边形的周长； (2)若正边形的每个外角的度数比正边形每个内角的度数小，求的值． 29．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）如图，在四边形中，． (1)若与的角平分线交于点O．求的度数； (2)若，，求的度数． 30．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）（1）如图①，都是四边形的外角，试探究，与之间的数量关系； （2）如图②，都是四边形的外角，试探究与之间的数量关系； （3）用你发现的结论解决下列问题∶如图③，分别是四边形的外角、的平分线，，求的度数． 【高分演练】 一、单选题 31．（23-24八年级上·湖北武汉）九边形从一个顶点出发最多可以引（　　）条对角线 A．6 B．7 C．9 D． 32．（23-24八年级上·甘肃武威·阶段练习）连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，则原多边形是（　　）边形． A．五 B．六 C．七 D．八 33．（2024八年级上·全国·专题练习）剪掉多边形的一个角，则所成的新多边形的内角和（    ） A．减少 B．增加 C．减少所剪掉的角的度数 D．增加或减少或不变 34．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在正五边形中，延长，交于点F，则的度数是（   ） A． B． C． D． 35．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，小伍从A点出发沿直线前进8米到达B点后向左旋转一定角度，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转相同角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了米，则每次旋转的角度为（    ） A． B． C． D． 36．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，在六边形中，，分别平分和，则的度数是（     ） A． B． C． D． 37．（23-24八年级下·福建三明·期末）某校“智慧数学教室”重新装修，如图是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则n的值为（   ）    A．14 B．12 C．11 D．10 38．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）下列正多边形的地板瓷砖中，使用两种不能密铺地面的是（       ） A．正十二边形和正方形 B．正五边形和正十边形 C．正八边形和正方形 D．正十二边形和正三角形 39．（2024·河北邢台·三模）如图，在四边形中，，E为对角线上一点，点F，G分别在，边上，且，，则（    ） A． B． C． D． 40．（2024·河北沧州·二模）用“筝形”和“镖形”两种不同的瓷砖铺设成如图所示的地面，则“筝形”瓷砖中的内角的度数为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 41．（2024八年级上·全国·专题练习）（1）若将边形内部任意取一点，将与各顶点连接起来，则可将多边形分割成 个三角形． （2）若点取在多边形的一条边上（不是顶点），在将与边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成 个三角形． 42．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，已知用边长相等的三种不同形状的正多边形恰好可以实现平面镶嵌，其中有两种正多边形的形状分别是正方形和正六边形，则第三种正多边形的形状是 ． 43．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放，公共顶点为O，且正六边形的边与正五边形的边在同一条直线上，则的度数是 ． 44．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，是五边形的三个外角，延长交于点O．如果，那么的度数为 ．    45．（2024·浙江温州·三模）如图①是某创意图书馆设计的一款壁灯图案的设计图，象征着欣欣向荣，代表一种生机盎然的自然和谐美．图②是从图①图案中提取的图形，已知正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，则 °．    三、解答题 46．（23-24八年级上·湖南湘西·期中）已知一个边形的每一个内角都等于． (1)求； (2)求这个边形的内角和； (3)从这个边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？ 47．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，小明从点出发，前进10米到达点，向右转再前进10米到达点，又向右转再前进10米到达…小明这样一直右转次刚好回到出发点．根据信息，解答下列问题： (1)的值为______； (2)小明走出的这个多边形周长为______； (3)若一个正多边形的内角和比外角和多，求这个多边形的每个内角的度数． 48．（23-24八年级上·山东烟台·期末）小颖家买了新楼，她想在边长相同的①正三角形、②正方形、③正五边形、④正六边形四种瓷砖中，选择一些瓷砖进行地面的镶嵌（彼此之间不留空隙、不重叠）． (1)她想选用两种瓷砖，若已选用正三角形瓷砖，则可以再选择的是______瓷砖（填写序号）； (2)她发现仅用正五边形瓷砖不能镶嵌地面，若将三块相同的正五边形瓷砖按如图所示放置，求的度数． 49．（2024八年级上·全国·专题练习）如图所示，在四边形中，，平分交于点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，试说明． 50．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）（1）已知：如图1，．求证： 分析：方法①延长到D，过点C作射线（图2），这样就相当于把移到了的位置，把移到了位置． 方法②过点A作直线（图3），把三个角“凑”到A处． 从上面选一种你喜欢的方法写出证明过程． 解决问题： （2）如图4，外一点D，连接、．求证：． （3）如图5，外两点D、E，连接、、．沿着折叠得到图6，点E落在点F．则 （答案直接写在横线上）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.3 多边形及其内角和 【考点归纳】 · 考点一：多边形的概念和分类 · 考点二：多边形对角线的条数问题 · 考点三：对角线分成的三角形个数问题 · 考点四：多边形的内角和问题 · 考点五：正多边形的内角和问题 · 考点六：多边形截角后的内角和问题 · 考点七：多边形外角和的实际应用 · 考点七：正多边形的外角问题 · 考点九：镶嵌问题 · 考点十：多边形及其内角和综合问题 【知识归纳】 知识点一：多边形及有关概念 1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. （1）多边形的一些要素： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 （2）在定义中应注意： ①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）； ②首尾顺次相连，二者缺一不可; ③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形. 知识点二、多边形的分类 　　(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图）.本章所讲的多边形都是指凸多边形. 凸多边形 凹多边形 (2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形． 知识点三：正多边形 　　各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。 正三角形 正方形 正五边形 　　正六边形 正十二边形 要点诠释： 各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形 知识四：多边形的对角线 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。 要点诠释： (1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。 (2)n边形共有条对角线。 考点五：多边形的内角和公式 1.公式：边形的内角和为. 2.公式的证明： 考点六：多边形的外角和公式 1.公式：多边形的外角和等于360°. 2.多边形外角和公式的证明：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以边形的内角和加外角和为，外角和等于. 注意：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关。 要点诠释： (1)外角和公式的应用： ①已知外角度数，求正多边形边数； ②已知正多边形边数，求外角度数. (2)多边形的边数与内角和、外角和的关系： ①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°。 ②多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关。 知识点七：镶嵌的概念和特征 1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同。 2、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。 3、常见的一些正多边形的镶嵌问题： (1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°。 (2)只用一种正多边形镶嵌地面 对于给定的某种正多边形，怎样判断它能否拼成一个平面图形，且不留一点空隙？解决问题的关键在于正多边形的内角特点。当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形。事实上，正n边形的每一个内角为，要求k个正n边形各有一个内角拼于一点，恰好覆盖地面，这样360°＝，由此导出k＝＝2＋，而k是正整数，所以n只能取3,4，6。因而，用相同的正多边形地砖铺地面，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用。 注意：任意四边形的内角和都等于360°。所以用一批形状、大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板，用任意相同的三角形也可以铺满地面。 (3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面 用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌，见下图： 又如，用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面，因为它们的交接处各角之和恰好为一个周角360°。 【题型归纳】 题型一：多边形的概念和分类 1．（20-21八年级上·河南信阳）下列说法正确的是（    ） A．五条长度相等的线段首尾顺次相接所构成的图形是正五边形 B．正六边形各内角都相等，所以各内角都相等的六边形是正六边形 C．从n边形的一个顶点出发可以引（n-2）条对角线 D．n边形共有条对角线 【答案】D 【分析】根据正多边形的定义即可判断A、B两项，根据多边形对角线的性质和条数公式即可判断C、D两项，进而可得答案． 【详解】解：A、五条长度相等的线段首尾顺次相接所构成的图形不一定是正五边形，故本选项说法错误，不符合题意； B、正六边形各内角都相等，但各内角都相等的六边形不一定是正六边形，故本选项说法错误，不符合题意； C、从n边形的一个顶点出发可以引（n－3）条对角线，本选项说法错误，不符合题意； D、n边形共有条对角线，故本选项说法正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的相关知识，属于基本题型，熟练掌握多边形的定义及其相关知识是解题的关键． 2．（20-21九年级上·江苏南通·期中）下列命题正确的是（    ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．各内角分别相等的多边形是正多边形 C．既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形 D．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形 【答案】D 【分析】正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，据此即可逐一判断. 【详解】解：A、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项错误； B、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项错误； C、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项错误； D、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查正多边形的定义，解题的关键是掌握正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形. 3．（23-24八年级上·广东汕头·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角 C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形 D．连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线 【答案】C 【分析】根据多边形的概念，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、在平面内，由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，故本选项错误，不符合题意； B、多边形的一边与另一边组成的角叫做多边形的内角，多边形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角，故本选项错误，不符合题意； C、各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形，故本选项正确，符合题意； D、连接多边形两个顶点的线段，分为两种类型是连接相邻两个顶点的线段是多边形的边，连接不相邻的顶点的线段叫做多边形的对角线，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了多边形的概念；多边形内角、外角的概念；对角线的概念，熟练掌握由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形是解题的关键． 题型二：多边形对角线的条数问题 4．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）过多边形的一个顶点可以作4条对角线，则这个多边形的边数是（   ） A．六 B．七 C．八 D．九 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的对角线，掌握过n边形的一个顶点可以作条对角线是解题关键．过n边形的一个顶点可以作条对角线，据此解答即可． 【详解】解：设多边形的边数是n， 由题意得：， ． 这个多边形的边数是七． 故选：B． 5．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十边形对角线的总条数（   ） A．35 B．44 C．54 D．64 【答案】A 【分析】本题主要考查了对角线条数问题，解题的关键是熟练掌握一个n边形的对角线条数为．根据一个n边形的对角线条数为进行求解即可． 【详解】解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线…… 一个十边形共有条对角线，故A正确． 故选：A． 6．（23-24八年级上·山东济宁·期中）我们都有这样的生活经验，要想使多边形（三角形除外）木架不变形至少再钉上若干根木条．如图6所示，四边形至少再钉上一根；五边形至少再钉上两根；六边形至少再钉上三根；…．按照此规律，十三边形至少再钉上（　　）    A．13根 B．12根 C．11根 D．10根 【答案】D 【分析】本题主要考查多边形对角线，根据分成三角形个数与边数的关系，需要的木条数等于过多边形的一个顶点的对角线的条数，由此得出答案即可． 【详解】解：过n边形的一个顶点可以作条对角线，把多边形分成个三角形， 所以，要使一个十三边形木架不变形，至少需要根木条固定． 故选：D． 题型三：对角线分成的三角形个数问题 7．（23-24八年级上·福建龙岩）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2021个三角形，那么这个多边形的边数是（   ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2023 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的对角线分多边形成三角形的问题，根据经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，根据此关系式求边数． 【详解】设多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得， 故选D． 8．（23-24八年级上·内蒙古·期中）要使得一个多边形具有稳定性，从多边形一个顶点出发，连接其它各个顶点转化得到个三角形，则这个多边形的边数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的对角线，关键是掌握边形从一个顶点出发画对角线，可分成个三角形，设多边形的边数为，根据边形从一个顶点出发画对角线，可分成个三角形进行计算． 【详解】解：设多边形的边数为，则： ， ∴． 故选：． 9．（23-24八年级上·山东临沂·期中）要使得一个多边形具有稳定性，从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点转化得到2022个三角形，则这个多边形的边数为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】本题考查图形类规律探究，分别求出三角形，四边形，五边形从一条边上的一点出发，分割成的三角形的数量，得到边形分割成三角形的数量为个，进而求解即可． 【详解】解：如图： 三角形，四边形，五边形从一条边上的一点出发，分割成的三角形的数量分别为：个；个；个 ∴边形从一条边上的一点出发，分割成的三角形的数量为个； ∵连接各个顶点转化得到2022个三角形， ∴这个多边形的边数为； 故选B． 题型四：多边形的内角和问题 10．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）已知一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的外角和与内角和的综合问题，利用外角和为求出多边形的边数是解题的关键． 先利用求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可求解． 【详解】解：多边形的边数为：， 多边形的内角和是：． 故选：C． 11．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，多边形，是延长线上的一点，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．先根据邻补角求出，再根据多边形的内角和定理求出五边形的内角和，即可求解． 【详解】解：， ， 五边形的内角和是， ， 故选：C． 12．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）如图，正五边形，平分，平分，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形．解决问题的关键是熟练掌握多边形内角和定理，外角和定理，正多边形性质，角平分线定义． 根据正五边形内角和与角平分线定义，求出的度数，根据正五边形外角和与角平分线定义，求出的度数,在四边形中即可求出的度数． 【详解】如图： ∵正五边形中，，平分， ∴， ∵，平分正五边形的外角， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 题型五：正多边形的内角和问题 13．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图所示的地面由正八边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则的度数为（    ） A．75° B．90° C．100° D．120° 【答案】B 【分析】本题考查了平面镶嵌，也考查了正多边形内角的计算方法，掌握正多边形的概念，理解几何图形镶嵌成平面是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角是解题关键． 先计算出正八边形的内角，根据平面镶嵌的条件计算求解． 【详解】解：正八边形的一个内角度数为， ∴的度数为， 故选：B． 14．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，直线和都经过正五边形的一个顶点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的内角和、平行线的性质、三角形的内角和定理，求得正五边形的一个内角是解答的关键．先根据正多边形的内角和公式求得正五边形的内角，然后根据平行线的性质求得，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵五边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，则， 由得， 故选：B． 15．（2024·河北·中考真题）直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 先求出正六边形的每个内角为，再根据六边形的内角和为即可求解的度数，最后根据邻补角的意义即可求解． 【详解】解：正六边形每个内角为：， 而六边形的内角和也为， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 题型六：多边形截角后的内角和问题 16．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，原多边形的边数是（    ）． A．8或9或10 B．7或8或9 C．6或7或8 D．5或6或7 【答案】B 【分析】根据切后的内角和可以求出切后的多边形边数，然后又知一个多边形切去一个角可得到的多边形有三种可能，分别是比原边数少1，相等，多1．所以可求得原多边形边数． 【详解】解：设切去一角后的多边形为n边形．根据题意得： ． 解得∶． 因为一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1， 所以原多边形的边数可能为7、8或9． 故选：B 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和问题，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 17．（23-24八年级上·河北沧州·期中）琪琪在操作课上将三角形剪掉一个角后得到四边形，则下列判断错误的是（    ）    A．变成四边形后对角线增加了两条 B．变成四边形后内角和增加了 C．外角和没有发生变化 D．若剪掉的角的度数是，则 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的对角线，内角和与外角和，三角形内角和定理，解题的关键是 【详解】解：A、三角形没有对角线，变成四边形后对角线为两条，即增加了两条，故正确，不合题意； B、三角形内角和为，变成四边形后内角和为，增加了，故错误，不合题意； C、任意多边形的外角和是，故正确，不合题意； D、若剪掉的角的度数是，则，则，故正确，不合题意； 故选：B． 18．（21-22八年级下·河北石家庄·期末）有一天，小红的爸爸想考考她，她爸爸说：今天我在做手工的时候，把一个多边形木板锯掉了一个角后得到一个新多边形木板，通过测量计算得到新多边形木板的内角和为，那么原多边形木板的边数是（    ） A．11 B．12 C．13 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1， 原来多边形的边数是11或12或13． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，本题难点在于多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种情况． 题型七：多边形外角和的实际应用 19．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是正边形纸片的一部分，其中是正边形两条边的一部分，若所在的直线相交形成的锐角为，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形，求出正多边形的每个外角度数，再用外角和除以外角度数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，直线相交于点，则， ∵正多边形的每个内角相等， ∴正多边形的每个外角也相等， ∴， ∴， 故选：． 20．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，在六边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形的外角和定理、补角的性质，熟练掌握多边形的外角和是是解题的关键．延长至点，延长至点，利用多边形的外角和是得，利用求得和，即可解决． 【详解】解：如图，延长至点，延长至点， 根据多边形的外角和为， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故选：C． 21．（2024·湖北十堰·二模）参加创客兴趣小组的同学，给机器人设定了如图所示的程序，机器人从点O出发，沿直线前进1米后左转，再沿直线前进1米，又向左转……照这样走下去，机器人第一次回到出发地O点时，一共走的路程是（  ） A．10米 B．18米 C．20米 D．36米 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的外角和定理的应用．由题意可知小华所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴他需要走20次才会回到原来的起点， 即一共走了（米）． ​故选：C 题型七：正多边形的外角问题 22．（2024·山东聊城·二模）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形外角和定理，由多边形的外角和定理直接可求出结论． 【详解】解：∵正八边形的每一个外角都相等，外角和为， ∴它的一个外角． 故选：A． 23．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）综合实践课上，嘉嘉用八个大小相等的含45°角的直角三角板拼成了一个环状图案，如图1，若淇淇尝试用含60°角的直角三角板拼成类似的环状图案，如图2，除了图上3个还需要含60°角的直角三角板的数量为（    ） A．3个 B．6个 C．9个 D．12个 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的外角和．多边形由拼图方法可知：环状图案的外围是正多边形，根据正多边形外角和等于即可求出正多边形的边数． 【详解】解：依题意可知：用含60°角的直角三角板按图示拼成类似的环状图案是正多边形，正多边形的外角， 故正多边形的边数为（条） ∴除了图上3个还需要含60°角的直角三角板的数量为（个） 故选C． 24．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若（即延长a和b相交形成的），则n的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查多边形的内角和外角和，掌握相关定义是解题的关键．根据题意可以得到正多边形的一个外角为，进而可得正多边形的边数． 【详解】解：∵， ∴， ∴正多边形的一个外角为， ∴， 故选：B． 题型九：镶嵌问题 25．（23-24八年级下·河南郑州·期末）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间没有空隙、也不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．下列形状的瓷砖，不可以镶嵌平面的是（　　） A．正方形 B．长方形 C．正六边形 D．正八边形 【答案】D 【分析】此题考查镶嵌问题，正确掌握各正多边形的每个内角的度数及镶嵌的计算方法是解题的关键．进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应是，因此我们只需要验证是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可． 【详解】A、正方形每个内角的度数为，，所以正方形可以镶嵌平面,故该选项不符合题意； B、长方形每个内角的度数为，，所以长方形可以镶嵌平面,故该选项不符合题意； C、正六边形的每个内角的度数为，，所以正六边形可以镶嵌平面,故该选项不符合题意； D、正八边形的每个内角的度数为，，所以正六边形不可以镶嵌平面,故该选项符合题意． 故选：D． 26．（23-24八年级上·重庆武隆·期末）分别剪一些边长相同的正三角形、正五边形、正六边形、正八边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，能镶嵌成一个平面的图案共有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】本题考查平面镶嵌问题，用一种正多边形镶嵌，分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除360即可作出判断，只有正三角形， 正四边形， 正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案． 【详解】解：①正三角形的每个内角是能整除能密铺，故符合题意； ②正五边形每个内角是 不能整除不能密铺，故不符合题意； ③正六边形的每个内角是能整除能密铺，故符合题意； ④正八边形的每个内角是不能整除不能密铺，故不符合题意； ∴能镶嵌成一个平面的图案共有种， 故选：． 27．（23-24八年级上·山东济宁·期中）生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种性质相同的图形拼接而成的．像这样的用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．如果选用两种儿何图形镶嵌整个地面，下列哪种组合能镶嵌成一个平面图形．（    ） A．正三角形和正五边形 B．正方形和正六边形 C．正方形和正八边形 D．正五边形和正九边形 【答案】C 【分析】本题考查了平面镶嵌，判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．由此逐项判断即可． 【详解】解：A选项，正三角形的内角为，正五边形内角为，的整数倍和的整数倍之和不能凑成，因此不能镶嵌成一个平面图形，不合题意； B选项，正方形的内角为，正六边形内角为，的整数倍和的整数倍之和不能凑成，因此不能镶嵌成一个平面图形，不合题意； C选项，正方形的内角为，正八边形内角为，，因此能镶嵌成一个平面图形，符合题意； D选项，正五边形的内角为，正九边形内角为，的整数倍和的整数倍之和不能凑成，因此不能镶嵌成一个平面图形，不合题意； 故选C． 题型十：多边形及其内角和综合问题 28．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）正多边形的每条边都相等，每个角都相等．已知正边形的内角和为，边长为2． (1)求正边形的周长； (2)若正边形的每个外角的度数比正边形每个内角的度数小，求的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查多边形内角和外角和的相关知识． （1）根据多边形的内角和公式列式进行计算求得边数． （2）根据（1）求出正边形每个内角的度数，正n边形的每个外角的度数，根据多边形的外角和为解题即可． 【详解】（1）解：由题意可得，解得． 正x边形的周长为； （2）正边形每个内角的度数为， 正n边形的每个外角的度数为， ， ∴n的值为5． 29．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）如图，在四边形中，． (1)若与的角平分线交于点O．求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多边形的内角和问题，熟知四边形的内角和为是解答的关键． （1）根据四边形的内角和为求得，再根据角平分线定义求得，然后利用三角形的内角和定理求解即可； （2）根据四边形的内角和为求得，设，，则，，进而可求得，然后利用三角形的内角和定理求解即可； 【详解】（1）解：∵在四边形中，， ∴， ∵与的角平分线交于点O， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， 设，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ． 30．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）（1）如图①，都是四边形的外角，试探究，与之间的数量关系； （2）如图②，都是四边形的外角，试探究与之间的数量关系； （3）用你发现的结论解决下列问题∶如图③，分别是四边形的外角、的平分线，，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，平角的定义，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键． （1）根据四边形的内角和等于表示出，再根据平角的定义用表示出，即可得解； （2）从外角的定义考虑解答； （3）根据（1）、（2）的结论求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解． 【详解】（1）∵， ， ，， ， ； （2）∵， ， ，， ， ， （3）， 根据（1）和（2）的结论有：， 分别是的平分线， ，， ， ． 【高分演练】 一、单选题 31．（23-24八年级上·湖北武汉）九边形从一个顶点出发最多可以引（　　）条对角线 A．6 B．7 C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形的对角线，根据n边形一个顶点可以引条对角线直接求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∴九边形从一个顶点出发最多可以引条对角线， 故选：A． 32．（23-24八年级上·甘肃武威·阶段练习）连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，则原多边形是（　　）边形． A．五 B．六 C．七 D．八 【答案】D 【分析】本题考查了多边形对角线的相关知识，设多边形的边数为，根据过边形的一个顶点可以引条对角线，将边形分成个三角形即可得出结果． 【详解】解：设多边形的边数为， 依题意得， 解得． ∴多边形的边数为8， 故选：D． 33．（2024八年级上·全国·专题练习）剪掉多边形的一个角，则所成的新多边形的内角和（    ） A．减少 B．增加 C．减少所剪掉的角的度数 D．增加或减少或不变 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和，由题意可得分三种情况即可，正确理解多边形的内角和是解题的关键．剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，根据多边形的内角和定理可以知道，边数增加1，相应内角和就增加180度，由此即可求出答案． 【详解】解：因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了条，也可能减少了条，或者不变， 所以所成的新多边形的内角和增加或减少或不变， 故选：． 34．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在正五边形中，延长，交于点F，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形的外角问题，三角形内角和定理； 先求得正多边形的外角，进而根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ， ， 故选：A． 35．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，小伍从A点出发沿直线前进8米到达B点后向左旋转一定角度，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转相同角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了米，则每次旋转的角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形的外角问题，根据题意求出轨迹为正十二边形，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：小伍从出发到第一次回到出发地点形成的轨迹为正多边形， ∵， ∴轨迹为正十二边形， ∴每次旋转的角度为 故选：A 36．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，在六边形中，，分别平分和，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形内角和，角平分线，三角形内角和定理等知识．熟练掌握多边形内角和，角平分线，三角形内角和定理是解题的关键． 由题意知，六边形的内角和为，则，由分别平分和，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，六边形的内角和为， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∴， 故选：D． 37．（23-24八年级下·福建三明·期末）某校“智慧数学教室”重新装修，如图是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则n的值为（   ）    A．14 B．12 C．11 D．10 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的外角和，以及镶嵌问题．正确的识图，求出正n边形的一个外角的度数是解题的关键．由图可知，2个正n边形的一个内角的度数加上一个正三角形的内角的度数为，进行求解即可． 【详解】解：由图可知，2个正n边形的一个内角的度数加上一个正三角形的内角的度数为， ∴正n边形的一个内角的度数为， ∴正n边形的一个外角的度数为， ∴， 故选：B． 38．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）下列正多边形的地板瓷砖中，使用两种不能密铺地面的是（       ） A．正十二边形和正方形 B．正五边形和正十边形 C．正八边形和正方形 D．正十二边形和正三角形 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的密铺，解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满． 【详解】解：A、正十二边形和正方形内角分别为和，显然不能构成的周角，故不能铺满，符合题意． B、正五边形、正十边形内角分别为、，由于，故能铺满，不符合题意； C、正八边形和正方形内角分别为、，由于，故能铺满，不符合题意； D、正十二边形和三角形内角分别为、，由于，故能铺满，不符合题意． 故选：A． 39．（2024·河北邢台·三模）如图，在四边形中，，E为对角线上一点，点F，G分别在，边上，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形内角和，平行线的性质，三角形外角的性质，根据平行线的性质得到，，再由三角形外角的性质得到，最后根据四边形内角和计算即可． 【详解】解：，， ，， ， ， ，， ． 故选：B． 40．（2024·河北沧州·二模）用“筝形”和“镖形”两种不同的瓷砖铺设成如图所示的地面，则“筝形”瓷砖中的内角的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，根据5个“筝形”组成一个正十边形，结合多边形内角和定理求解即可 【详解】解；由图可知，5个“筝形”组成一个正十边形， ∴， 故选：C 二、填空题 41．（2024八年级上·全国·专题练习）（1）若将边形内部任意取一点，将与各顶点连接起来，则可将多边形分割成 个三角形． （2）若点取在多边形的一条边上（不是顶点），在将与边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成 个三角形． 【答案】 / 【分析】（）多边形内一点，可与多边形顶点连接条线段，构造出个三角形； （）若点取在一边上，则可以与其他顶点连接出条线段，可以分边形为个三角形； 本题考查了多边形的对角线，正确找出规律是解题的关键． 【详解】解：（）若将边形内部任意取一点，将与各顶点连接起来，则可将多边形分割成个三角形； （）若点取在多边形的一条边上（不是顶点），在将与边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成个三角形． 故答案为：，． 42．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，已知用边长相等的三种不同形状的正多边形恰好可以实现平面镶嵌，其中有两种正多边形的形状分别是正方形和正六边形，则第三种正多边形的形状是 ． 【答案】正十二边形 【分析】利用任意图形一个顶点处的各内角之和为，可以求出第三种正多边形的一个内角的度数，根据多边形外角和公式即可得出答案．此题主要考查了平面镶嵌（密铺），两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 【详解】解：正方形的每个内角是，正六边形的每个内角是， 第三种正多边形的一个内角的度数为， 第三种正多边形的边数为， 第三种正多边形的形状是正十二边形． 故答案为：正十二边形． 43．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放，公共顶点为O，且正六边形的边与正五边形的边在同一条直线上，则的度数是 ． 【答案】/48度 【分析】本题考查了多边形外角和问题，三角形内角和定理，掌握多边形的外角和为是解题关键．由多边形外角和，得到，，再利用三角形内角和定理，求出的度数即可． 【详解】解：多边形的外角和为， 正六边形的外角度数为，正五边形的外角度数为， ，， ， 故答案为： 44．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，是五边形的三个外角，延长交于点O．如果，那么的度数为 ．    【答案】/55度 【分析】本题考查了多边形的内角和，邻补角等知识．熟练掌握多边形的内角和，邻补角是解题的关键． 由题意知，四边形的内角和为，则，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，四边形的内角和为， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 45．（2024·浙江温州·三模）如图①是某创意图书馆设计的一款壁灯图案的设计图，象征着欣欣向荣，代表一种生机盎然的自然和谐美．图②是从图①图案中提取的图形，已知正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，则 °．    【答案】 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式，由正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，得，即可得． 【详解】解：如图，    由正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，得： ， 得． 故答案为：． 三、解答题 46．（23-24八年级上·湖南湘西·期中）已知一个边形的每一个内角都等于． (1)求； (2)求这个边形的内角和； (3)从这个边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？ 【答案】(1) (2) (3)从这个边形的一个顶点出发，可以画出条对角线 【分析】此题主要考查了多边形内角和，外角和，对角线，关键是掌握各知识点的计算公式． （1）首先求出外角度数，再用除以外角度数可得答案． （2）利用内角度数乘以内角的个数即可． （3）根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，即可得答案． 【详解】（1）解：∵每一个内角都等于， ∴每一个外角都等于， ∴边数． （2）解：∵， ∴这个边形的内角和为． （3）解：从一个顶点出发可画出对角线的条数：， ∴从这个边形的一个顶点出发，可以画出条对角线． 47．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，小明从点出发，前进10米到达点，向右转再前进10米到达点，又向右转再前进10米到达…小明这样一直右转次刚好回到出发点．根据信息，解答下列问题： (1)的值为______； (2)小明走出的这个多边形周长为______； (3)若一个正多边形的内角和比外角和多，求这个多边形的每个内角的度数． 【答案】(1)15 (2) (3) 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和定理的应用，熟练掌握多边形的内角和定理和外角和定理是解题的关键． （1）根据多边形的外角和等于，即可求解； （2）用多边形的边数乘以的长，即可求解； （3）根据多边形的内角和定理和外角和定理可得关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：． 故答案为：15 （2）解：由（1）得：这个n边形为十五边形， ∴这n边形的周长为（米）； 故答案为：150 （3）解：设这个多边形有条边， 根据题意，得， 解得，                ∴这个正m边形的每一个内角的度数为． 48．（23-24八年级上·山东烟台·期末）小颖家买了新楼，她想在边长相同的①正三角形、②正方形、③正五边形、④正六边形四种瓷砖中，选择一些瓷砖进行地面的镶嵌（彼此之间不留空隙、不重叠）． (1)她想选用两种瓷砖，若已选用正三角形瓷砖，则可以再选择的是______瓷砖（填写序号）； (2)她发现仅用正五边形瓷砖不能镶嵌地面，若将三块相同的正五边形瓷砖按如图所示放置，求的度数． 【答案】(1)②或④， (2)． 【分析】此题考查镶嵌问题，正确掌握各正多边形的每个内角的度数及镶嵌的计算方法是解题的关键． （1）进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应是，因此我们只需要验证是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可； （2）求出正五边形的三个内角和，再用减掉即可． 【详解】（1）解：正三角形一个内角是， 正方形的一个内角是， 正五边形的一个内角是， 正六边形的一个内角是， ∴可以进行地面的镶嵌是②或④． （2）解：正五边形的每个内角度数为． 所以，． 49．（2024八年级上·全国·专题练习）如图所示，在四边形中，，平分交于点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，试说明． 【答案】(1) (2)说明见解析 【分析】本题考查了四边形内角和公式、三角形内角和定理、角平分线定义等知识点，能正确根据多边形的内角和定理进行推理是解此题的关键，注意：边数为的多边形的内角和． （1）求出，求出，求出，根据三角形内角和定理求出即可； （2）由（1）知：，根据，，，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 平分， ， ， ； （2）解：说明如下： 由（1）知：， ， ∵平分 ∴ ∵ ， ∵ ． 50．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）（1）已知：如图1，．求证： 分析：方法①延长到D，过点C作射线（图2），这样就相当于把移到了的位置，把移到了位置． 方法②过点A作直线（图3），把三个角“凑”到A处． 从上面选一种你喜欢的方法写出证明过程． 解决问题： （2）如图4，外一点D，连接、．求证：． （3）如图5，外两点D、E，连接、、．沿着折叠得到图6，点E落在点F．则 （答案直接写在横线上）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明及应用，涉及四边形内角和，五边形内角和，折叠问题等，解题的关键是掌握平行线的性质． （1）方法①延长到D，过点C作射线，结合平行线的性质与平角的定义可得结论； 方法②过点A作直线，结合平行线的性质与平角的定义可得结论； （2）由（1）的结论可得，，再相加可得结论； （3）连接，由（1）知，，， 由（2）知，，再相加可得答案． 【详解】证明：（1）方法①延长到D，过点C作射线，如图： ∴，， ∵， ∴； 方法②过点A作直线，如图： ∴，， ∵， ∴； （2）由（1）知，，， ∴， ∴， 即； （3）连接，如图： 由（1）知，，， 由（2）知，， ∴ ， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$