浙江省名校协作体2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

2024学年第一学期浙江省名校协作体联考参考答案 高二年级数学学科 首命题：学军中学次命题兼审校：温岭中学审核：春晖中学 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B D B 二、多选题 题号 9 10 11 答案 BC ACD ABD 三、填空题 题号 12 13 14 答案 2 81 11:7 四、解答题 15.(1)a<0,a(x+a)(x+2)>0 所以(x+a)(x+2)<0,解得-2<x<-a 所以A={x-2<x<-@}..5分 (Ⅱ)B={xl≤x<2 ①当a<0时，因为BsA,所以-a≥2，得a≤-2：·7分 ②当a=0时A=D不合；.9分 ③当0<a≤2时，A={<-2或x>-a}成立，所以BcA成立；....1分 ④当a≥2时时，A={xx<-a或x>-2}成立，所以BcA成立： 综合得a≤-2或a>0..13分 16,解析：(I)由已知，志愿者服务时间不低于18小时的概率为1-(0.02+0.06×4=0.68 ---一4分 (Ⅱ)由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20：——7分 由(0.02+0.06+0.075+a+0.025)×4=1,解得a=0.07, (0.02+0.06)×4=0.32,且(0.02+0.06+0.075)×4=0.62， 平均数为(0.02×12+0.06×16+0.075×20+0.07×24+0.025×28)×4=20.32：—--11分 ()又.(0.02+0.06+0.075)×4=0.62，(0.02+0.06+0.075+0.07)×4=0.9， ∴.第75%位数位于22~26之间，设第75%位数为y, 则名品-050g解得y=2号236 -15分 第1页共4页 17.(1)解析：fx)=2sin(x+). 3分 6 r+[2x+52+ 3π 得2kπ+≤x2kx+4 4 f)的单调减区间为写+2k元，行π+2k,k∈Z -6分 （D样折：由整意得g6国=2m2x-令：则g@)=2sn2a-名= -8分 6 5 4 所以cos(2a-乃)=4 11分 61 5 cos2a=cos(2a-I+ 66 15分 -cos(2)cosin(2)sin 6 6 610 18.(I)解析：由题意，在三角形PAB与三角形PAD中用余弦定理可得： AB=AD=27,- 2分 取BD中点M,连AM,PM,由AB=AD,PB=PD,可得BD⊥AM,BD⊥PM, 故BD⊥平面APM,因为APC平面APM,所以BD⊥PA -一4分 (IⅡ)因为BD⊥平面APM,所以平面PAM⊥平面ABCD,故点P在平面ABCD上的投影在两平 面的交线AM上，所以∠PAM为所求线面角，———5分 在RtAPBD中，有BM=DM=PM=2N2;在RtAADM中，可得AM=2V5, -7分 故在三角形PAM中：cos∠PAM=PA+AM2-PM_25 2PA·AM ,所以mPW1-5 即所求线面角的正弦值为5 -8分 (IⅢ)解析：因为平面PAM⊥平面ABCD,故点P,A,M,C四点共面， 所以点A,M,C三点共线， -10分 第2页共4页 所以在APAC中，cos∠PAC=25 所以PC2=P+AC2-2PAAC-cos∠PAC=9, 即36+4C2-24 C=9,解得4C=95或AC=35, 12分 5 若AC=95 则四边形ABCD为凹四边形，矛盾.所以AC=3√5 -13分 因为，所以Sn-) AC.BD=610, -15分 所以ar-m写SPA:sin∠PM=125. 17分 19.（1)解析：是.理由如下： -1分 x>0,16>0, In 16 .innx In -3分 (log,16.log.Inmsm ，x=f(x) 1 故f)=logx1og,16是“反比例对称函数” 4分 (II)解析：设h(x)=f(x)-g(x),x∈(0，+o), 由(1)知/9=f,验证知g(9)=g) 故)=S -6分 由题意函数f(x)与g(x)的图像恰有一个交点，即(x)恰有一个零点， 故由对称性零点只能为4. -7分 由4=0，得m=20 3 一8分 下检验此时(x)恰有一个零点。 由对勾函数性质知，g(x)在(0,4]上单调递减，[4，+0)上单调递增. (x)=Inx(nnx ()un16- In2In8 In2In8 f(x)关于u在(0，n4上单调递增，[n4,+o)上单调递减， 因此f(x)在(0,4上单调递增，[4，+∞)上单调递减。 故(x)在(0,4]上单调递增，[4，+o)上单调递减. 故此时h(x)恰有一个零点4. 10分 注：充分必要性步骤交换亦可。充分性也可通过不等式的方法 第3页共4页 n162 f(x)=hx血l16-nD 、2 4结合取等条件得到 In2In8 n2h838(x)2 4 3 法二：g(日)=x+16-m在(0,4]为减函数，在[4，∞)为增函数 f)=ogx(4-1ogx)在(0,4为增函数，[4，+∞)为减函数 记h(x)=f(x)-g(x)则h(x)在(0,4]为增函数[4，+o)为减函数 x→0时h(x)→-o,x→+o时h(x)→-o h(x)只有一个零点 所以(4)-=号(8-刚=m-9-0 3 所以m=20 3 ()解析：f(x)在[4，+o∞)上单调递减，g(x)在 4 ,+0 上单调递增，a>1 44, 故h(x)在[4，+∞）上单调递减. -11分 h(x)在[4，+o)上至多有一个零点. 不妨设x<x2,下分情况讨论： ①0<x<63≤4，x53<16结论成立： 12分 ②0<x<4≤x2,则h(x)=h(x)=0 设H)-A-9） 14分 0<<4得到)>0，也即4)》>9] :h(s)=h(x)=0,h(x)>h 16 -15分 “5≥416≥4， 由（创在4+切）上单调递减，得到<后，<16，得证 -17分 第4页共4页 2024学年第一学期浙江省名校协作体试题 高二年级数学学科 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号. 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一､选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1．已知集合，，则（ ▲ ） A. B. C. D. 2．记复数的共轭复数为，若，则（ ▲ ） A．1 B． C．2 D． 3．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为， 且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（ ▲ ） A．两人都中靶的概率为 B．两人都不中靶的概率为 C．恰有一人中靶的概率为 D．至少一人中靶的概率为 4．已知向量，，若，则（ ▲ ） A. B. C. D. 5．已知是两个互相垂直的平面，是两条直线，则“” 是“”的（ ▲ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6. 设函数 ，则不等式的解集是（ ▲ ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，值域为， 则的取值范围是（ ▲ ） A． B． C． D． 8．如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点， 且平面，则下列说法正确的个数有（ ▲ ） ①二面角的大小为常数 ②二面角的大小为常数 ③二面角的大小为常数 A．个 B．个 C．个 D．个 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某次校十佳歌手评比中，10位评委给出的分数分别为，计算得平均数，方差 ，现去掉一个最高分10分和一个最低分5分后，对新数据下列说法正确的是（ ▲ ） A．极差变大 B．中位数不变 C．平均数变小 D．方差变大 10．已知a，b，c分别是△三个内角A，B，C的对边，则下列命题中正确的是（ ▲ ） A．若，则 B．若，，，则 C．若O是△所在平面内的一点，且， 则△是直角三角形 D．若，，则的最大值是 11．四面体中,，，，记四面体外接球的表面积为， 当变化时，则（ ▲ ） A. 当时， B. 当四面体体积最大时， C. 可以是 D. 可以是 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是 ▲ . 13．已知且，则的最小值为 ▲ . 14．在正四面体中，分别为的中点，，截面将四面体分成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比是 ▲ . 四、解答题：(共5大题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）． 15．已知,,． (Ⅰ)当时求集合； (Ⅱ)若，求的取值范围. 16．为了了解某项活动的工作强度，随机调查了参与活动的100名志愿者，统计他们参加志愿者服务的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图． (Ⅰ) 估计志愿者服务时间不低于18小时的概率； (Ⅱ) 估计这100名志愿者服务时间的众数，平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (Ⅲ) 估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数（结果保留两位小数）． 17．已知函数. (Ⅰ)求函数的单调递减区间； (Ⅱ)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位， 得到函数的图象，若，且，求的值. 18．如图，已知四棱锥中，，，，且， (Ⅰ)求证：； (Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值； (Ⅲ)若平面与平面垂直，，求四棱锥的体积． 19．已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，都有，则称是“反比例对称函数”.设，. (Ⅰ)判断函数是否为“反比例对称函数”，并说明理由； (Ⅱ)当时，若函数与的图象恰有一个交点，求m的值； (Ⅲ)当时,设，已知在上有两个零点，证明：. 命题： 学军中学 温岭中学（审校） 审核：春晖中学 试卷第 4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$