精品解析：山东淄博第十一中学2025-2026学年高一第二学期5月期中考试数学试卷

2025-2026学年第二学期高一下05月期中（十一中） 一、单选题 1. 已知复数，其中i为虚数单位，则　　 A. B. C. D. 2. 已知两条不同直线，，两个不同平面，，有如下命题： ①若，，则或； ②若，，则； ③若，，，，则； ④若，，，则或与异面 以上命题正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④ 3. 已知，为单位向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面直角坐标系中，点，若为锐角，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 6. 如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（ ） A. 1小时 B. 0.3小时 C. 0.5小时 D. 0.2小时 7. 在中，点在边上，且的面积为2，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一点且．过点，，作该正方体的截面，记为，则截面为（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 二、多选题 9. （多选题）若，为复数，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，角，，的对边分别为，，，下列命题正确的有（ ） A. 是的充要条件 B. 若，则为等腰三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 已知，，若有两解，则的取值范围是 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点是棱上的一个动点（异于点，），若平面与棱交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 延长与直线交于点，延长与直线交于点，则、、三点共线 C. 当平面时，点的位置不唯一 D. 四棱锥的体积恒为定值 三、填空题 12. 向量，则实数的值为__________. 13. 正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为______. 14. 如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，则__________. 四、解答题 15. 已知复数，（，为虚数单位）． （1）若为纯虚数，求实数的值； （2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围． 16. 的内角的对边分别为，已知. （1）求的值； （2）若的面积为，求的周长. 17. 如图，已知在三棱柱中，平面，点是的中点． （1）求证：平面； （2）若，，，求三棱锥的体积． 18. 在中，角所对的边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围； （3）若角的角平分线交于点，求长度的最大值. 19. 如图1，在直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转180°后得到几何体W，如图2，其中，分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧，上，且∥. （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的余弦值等于，求P到平面的距离； （3）若平面与平面夹角的正切值为，求的长度. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高一下05月期中（十一中） 一、单选题 1. 已知复数，其中i为虚数单位，则　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用复数的除法运算求得复数z，再根据模的定义即可求得复数的模． 【详解】解： ∴ 即 故选C． 【点睛】本题考查复数模的求法，是基础的计算题． 2. 已知两条不同直线，，两个不同平面，，有如下命题： ①若，，则或； ②若，，则； ③若，，，，则； ④若，，，则或与异面 以上命题正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【详解】对于①，若，，则或，所以①正确； 对于②，若，，则与平行或异面，所以②错误； 对于③，缺少与相交的条件，无法推出，所以③错误； 对于④，若，，，则或与异面，所以④正确. 3. 已知，为单位向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以，即， 又因为，为单位向量，所以，即， 所以向量在向量上的投影向量为. 4. 已知平面直角坐标系中，点，若为锐角，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用模长公式及夹角范围得出数量积范围计算求解. 【详解】因为，所以，所以， 即得，，解得， 又因为为锐角，且， 所以且，即得且， 所以的取值范围是. 5. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果. 详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以, 因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 6. 如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（ ） A. 1小时 B. 0.3小时 C. 0.5小时 D. 0.2小时 【答案】B 【解析】 【分析】在中，先由正弦定理，求出；在中，根据余弦定理，求出的长，即可求出结果. 【详解】由题意，在中，，，，所以， 由正弦定理可得，， 则； 又在中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时. 故选：B. 7. 在中，点在边上，且的面积为2，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在中，，所以， 又因为，所以，所以为等腰直角三角形， 因为，所以， 因为，所以， 所以在中，，可得， 因为， 所以， 在中，由余弦定理可得， 所以. 8. 在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一点且．过点，，作该正方体的截面，记为，则截面为（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体的性质，结合已知条件，利用几何法推出截面的形状． 【详解】如图所示，在正方体中， 由于平面平面，且平面与平面的交线为， 故平面与平面的交线必过点，且与平行， 不妨设正方体的棱长为1，在矩形中，由题可知，； 在矩形中，，； ， 又， ，故， 平面与平面的交线就是， 平面平面，且平面与平面的交线为， 平面与平面的交线必过点，且平行于， 设，平面，平面平面，平面， 平面， ，则与的交点位于的延长线上， 位于上，连接， 则平面与平面的交线为， ，，，，五点共面， 截面为五边形，故C正确． 【点睛】 二、多选题 9. （多选题）若，为复数，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的四则运算及复数的模计算判断即可. 【详解】设，，， 对于A，， ， ， 所以，故A正确； 对于B，，，所以不恒成立，故B错误； 对于C，，，，所以，故C正确； 对于D，，， ， 又，所以， 即，也即， 所以，即，故D正确. 10. 在中，角，，的对边分别为，，，下列命题正确的有（ ） A. 是的充要条件 B. 若，则为等腰三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 已知，，若有两解，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用大角对大边、正弦定理可判断A选项；利用正弦函数的单调性与对称性可判断B选项；正弦函数性质结合锐角三角形定义可判断C；利用正弦定理判断D. 【详解】对于A选项，由和大角对大边， 得，A对； 对于B选项，因为、，则、， 因为，所以或或， 若，则；若，则； 若，则，这与的内角和定理矛盾. 综上所述，为等腰或直角三角形，B错； 对于C，若为锐角三角形，则，则， 因函数在上单调递增，所以， 同理可得， 则成立，故C正确； 对于D，， 根据正弦定理， 因为有两解， 则，解得， 则的取值范围是，故D正确． 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点是棱上的一个动点（异于点，），若平面与棱交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 延长与直线交于点，延长与直线交于点，则、、三点共线 C. 当平面时，点的位置不唯一 D. 四棱锥的体积恒为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】使用点、线、面的位置关系判断选项，等体积法，线面平行的性质定理判断选项. 【详解】因为平面平面，平面，但点不在直线上，故平面， 所以直线与直线是异面直线，选项正确； 延长与直线交于点，则点在平面内，也在平面内， 同理点在平面内，也在平面内，点在平面内，也在平面内， 故点、、在平面和平面的交线上，故、、三点共线，选项正确； 若平面，又平面，平面平面， 则，又因为，则四边形是平行四边形，所以， 由正方体的对称性，此时平面与棱、交于点、， ，，故点是的中点，选项C错误； ，因为三棱锥和三棱锥的底面积是定值（的面积），高等于点或点C到平面的距离为定值， 所以是定值，所以四棱锥的体积恒为定值，选项正确. 三、填空题 12. 向量，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，， 由可得，得. 13. 正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据台体的结构特征结合台体的体积公式运算求解. 【详解】如图，过A1作下底面的投影，垂足为M， 上底面对角线长，下底面对角线长，则， 可得正四棱台的高， 所以正四棱台的体积. 故答案为：. 14. 如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】建立直角坐标系，将几何点转化为坐标，从而利用向量的数量积公式求解. 【详解】以为原点，以为轴，为轴，建立平面直角坐标系， 则，，， 因为为的中点，所以， 因为为边上靠近的三等分点，，所以， 的横坐标与相同，即， 又因为，所以， 所以， 设，所以， 设，所以， 所以， ，则， 则，所以， ，， . 四、解答题 15. 已知复数，（，为虚数单位）． （1）若为纯虚数，求实数的值； （2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，化简得到，根据在复平面内所对应的点位于第四象限，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：由复数，， 可得， 因为复数为纯虚数，所以，解得． 【小问2详解】 解：由， 可得， 因为在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，解得 所以实数的取值范围为． 16. 的内角的对边分别为，已知. （1）求的值； （2）若的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题给条件及余弦定理、同角三角函数的基本关系即可求解. （2）根据三角形的面积公式可求，再根据余弦定理即可求，即可得的周长. 【小问1详解】 由余弦定理可知，. 因为，所以， 即. 由，且， 解得，则. 【小问2详解】 的面积，则. 因为，所以由， 可得， 则， 故的周长为. 17. 如图，已知在三棱柱中，平面，点是的中点． （1）求证：平面； （2）若，，，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）8 【解析】 【分析】（1）根据三棱柱的几何性质，利用线线平行推出线面平行； （2）根据三棱柱的几何性质，结合已知条件，利用等体积法求三棱锥的体积． 【小问1详解】 证明：如图，连接，设，连接， 四边形是矩形，则为的中点， 又是的中点， ， 又平面，平面， 平面． 【小问2详解】 ，是的中点， ， 在三棱柱中，底面，且， 平面， 平面， ， ，，平面， 平面，则是三棱锥的高， 在等腰中，，，则， 又， ． 18. 在中，角所对的边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围； （3）若角的角平分线交于点，求长度的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和差的正弦公式可得； （2）利用正弦定理化简得出，根据锐角三角形求出，求三角函数的值域即可； （3）利用余弦定理和基本不等式得出，再利用等面积得出，再利用基本不等式求解. 【小问1详解】 ， 则由和正弦定理可得，， 因为，所以，又，所以， 因为，所以，所以，所以. 【小问2详解】 由正弦定理，， 所以 . 由三角形为锐角三角形可知，，解得， 所以， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 由余弦定理，， 即，当且仅当时，等号成立. 又， 化简可得，. 所以，当且仅当时等号成立. 故长度的最大值为. 19. 如图1，在直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转180°后得到几何体W，如图2，其中，分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧，上，且∥. （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的余弦值等于，求P到平面的距离； （3）若平面与平面夹角的正切值为，求的长度. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直得线线垂直，再由线线垂直得线面垂直； （2）连接，由平面，得到，由∥平面，将问题转化为到平面的距离，再利用，即可求解. （3）分别取的中点，连接，利用平面∥平面，将问题转化为平面与平面夹角的正切值为，过点作，得到则为平面与平面夹角，结合等面积法和射影定理，即可求解. 【小问1详解】 ∵为上底面圆的直径，点在上底面圆周上， ∴，∵∥，∴， 又∵平面，且平面，∴， ∵，且平面， ∴平面. 【小问2详解】 连接，由（1）平面， ∴就是直线与平面所成的角， 即， ∴且，∴，， ∴为直角三角形，∴为弧的中点，∴ 又，∴， 又∵平面平面，且交线为，， ∴平面 ∴点到平面的距离为， ∵∥平面， ∴点到平面的距离等于点到平面的距离，设为， ∵，∴， ∵， ∴ ∴，∴点到平面的距离为. 【小问3详解】 分别取，的中点，，连接，，，则∥，∥， ∵且平面，，且平面， ∴平面∥平面， ∵平面与平面夹角正切值为， ∴平面与平面夹角的正切值为， ∵为的中点，， ∴，， 又∵且平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面， 连接，过点作于点， ∵平面平面，且平面， ∴平面， 平面，, 过点作于点，连接， ，平面， 平面，又平面，， ∴为平面与平面夹角，即， 设，则， ∵，∴， 直角三角形中，， 又∵∥，∴， 在中，由射影定理知，∴， 在直角中，，∴， 在直角中，， 整理得，解得，即， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $