精品解析：湖南省长沙市北雅中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

2024年秋季学期长沙市北雅中学九年级入学练习 数学科目试卷 满分：120分 考试时间：120分钟 一、单选题 1. 要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x=2 2. 今年“五一”假期，湖南省文旅市场持续升温，文旅经济强劲复苏．根据全省十四个市州综合测算情况汇总，2023年“五一”假期全省共接待游客万人次，同口径比2022年“五一”假期增长了，其中数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 不等式组的解在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 4. 将直线 向下平移1个单位得到的直线是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，已知点，，分别是， ，的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 5，12，13 D. 1，， 8. 若，，则的值为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 9. 在中，若，则∠B的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 一次函数的图像经过第（　　）象限． A. 一、二、三 B. 一、二、四 C. 一、三、四 D. 二、三、四 11. 如果m、n是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是（　　） A. 12 B. 10 C. 7 D. 5 12. 如图，抛物线的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点坐标为，如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是 ；③；④当时，x的取值范围是；⑤当时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 13. 分解因式：x2－9＝______． 14. 已知菱形的两条对角线的长分别是10cm和24cm，那么菱形的每条边长是_____． 15. 如图，直线 与抛物线 交于点、 ，且点在 轴上，点 在 轴上，则不等式的解集为______． 16. 如图，矩形纸片中，已知，点 落在点处，折痕为 ，，则的长为_________． 17. 若关于 的分式方程的解是正数，则 的取值范围是_________． 18. 设是关于x的方程的两个根，且，则_______． 三、解答题 19. 解下列方程： （1）； （2）； 20. 先化简，再求值：，其中 ． 21. “让我们携起手来，构建网络空间命运共同体，让互联网更好造福世界各国人民，共同创造人类更加美好的未来！”11月8日上午，国家主席习近平向2023年世界互联网大会乌镇峰会开幕式发表视频致辞，科学分析全球互联网发展治理面临的新形势新要求，为携手推动构建网络空间命运共同体提供了重要指引。与会人士纷纷表示，习近平主席的致辞凝聚合作共识、激发奋进力量，为共同推动构建网络空间命运共同体迈向新阶段进一步指明了方向。为了共同推动构建网络空间命运共同体发展，某高校计划在图书馆引进计算网络书籍，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型（．网络安全， ．计算软件计算，、计算数学，．通信技术）数据后，绘制出两幅不完整的统计图． （1）本次抽样调查的样本容量是_____； （2）请补全条形统计图； （3）求出扇形统计图中类型所对应的扇形的圆心角的度数； （4）请你估计该校参加调查的1000名学生中喜欢类型的学生人数． 22. 如图，等腰直角三角形和等腰直角三角形 ，、、三点共线， ，延长交于点． （1）求证： ； （2）若 ， ，求 的长度． 23. 如图，平行四边形的对角线， 交于点 ，于点，点在延长线上，且 ． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接 ，若tan∠ABC=2，， ，求 的长． 24. 2020年，我国脱贫攻坚在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平，重庆市深度贫困地区脱贫进程明显加快，作风治理和能力建设初见成效，精准扶贫、精准脱贫取得突破性进展．为助力我市脱贫攻坚，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，该村在今年1月份销售256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400包． （1）若设2、3这两个月销售量的月平均增长率为a%，求a的值； （2）若农产品礼包每包进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？ 25. 定义：如果抛物线与 轴交于点，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离 称为抛物线的雅礼弦长． （1）求抛物线的雅礼弦长； （2）求抛物线的雅礼弦长的取值范围； （3）设 ， 为正整数，且，抛物线的雅礼弦长为，抛物线的雅礼弦长为，，试求出 与 之间的函数关系式，若不论 为何值，恒成立，求 ， 的值． 26. 已知抛物线 （a，b为常数， ）交x轴于，两点，交y轴于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P为第四象限内该抛物线上一点，连接 ，过点C作CQ//BP交x轴于点Q，连接 ，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线 向右平移经过点时，得到抛物线．设E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使得以A，P，E，F为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季学期长沙市北雅中学九年级入学练习 数学科目试卷 满分：120分 考试时间：120分钟 一、单选题 1. 要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x=2 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴2x﹣4≥0，解得：x≥2，则实数x的取值范围是：x≥2． 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件． 2. 今年“五一”假期，湖南省文旅市场持续升温，文旅经济强劲复苏．根据全省十四个市州综合测算情况汇总，2023年“五一”假期全省共接待游客万人次，同口径比2022年“五一”假期增长了，其中数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：万． 故选：A． 3. 不等式组的解在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元一次不等式组的解法先求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可得到答案． 【详解】解：， 由①得； 由②得； 原不等式组的解集为， 在数轴上表示该不等式组的解集如图所示： ， 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组解集的求法及在数轴上的表示，熟练掌握不等式组解集的求解原则“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”是解决问题的关键． 4. 将直线 向下平移1个单位得到的直线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平移时 的值不变，只有的值发生变化，而值变化的规律是“上加下减”． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知， 直线 向下平移1个单位，得到直线是： ． 故选：D． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】合并同类项的法则:把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断即可. 【详解】解：A．与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； B．，故本选项符合题意； C．与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； D．与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了合并同类项，解题的关键是熟记合并同类项法则. 6. 在中，已知点 ，，分别是， ，的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由于D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，可判断出AD、BE、CE、BF为△ABC、△ABD、△ACD、△BEC的中线，根据中线的性质可知将相应三角形分成面积相等的两部分，据此即可解答． 【详解】解：∵由于D、E、F分别为BC、AD、CE的中点， ∴△ABE、△DBE、△DCE、△AEC的面积相等， 故可得：S△BEC=（S△ABD+S△ADC）=S△ABC=4cm2， ∴S△BEF=S△BEC=×4=2cm2， 故选A． 【点睛】此题考查了面积与等积变换及三角形的面积，解答本题的关键是根据三角形中线将三角形的面积分成相等的两部分解答，有一定难度． 7. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 5，12，13 D. 1，， 【答案】A 【解析】 【分析】判断是否能构成直角三角形，需验证两个较小边的平方和是否等于最长边的平方．根据三角形的三边关系及勾股定理的逆定理逐一判断即可得答案． 【详解】解：A.1+2=3，不能构成三角形，故该选项符合题意， B.32+42=52，能构成直角三角形，故该选项不符合题意， C.52+122=132，能构成直角三角形，故该选项不符合题意， D.，能构成直角三角形，故该选项不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，注意题干要求找出不能构成直角三角形的选项． 8. 若，，则的值为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，利用完全平方公式展开，将和的值代入计算即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴ ∵，， ∴ ， 故选：B． 9. 在中，若，则∠B的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得： ， ，再由，可得，即可求解． 【详解】解：∵如图，四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 【点睛】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 10. 一次函数的图像经过第（　　）象限． A. 一、二、三 B. 一、二、四 C. 一、三、四 D. 二、三、四 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的图像与系数的关系解答即可．解题的关键是掌握：对于一次函数图像有如下结论：图像经过一、二、三象限；图像经过一、三、四象限；图像经过一、二、四象限；图像经过二、三、四象限． 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴函数图像经过一、二、三象限． 故选：A． 11. 如果m、n是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是（　　） A. 12 B. 10 C. 7 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，即，然后根据根与系数的关系得到，，再利用整体代入的方法计算可得：． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∴， 故选：A 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，同时也考查了一元二次方程的解． 12. 如图，抛物线的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点坐标为，如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是 ；③；④当时，x的取值范围是；⑤当时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数的图象和所给的条件解题，通过对称轴直线 ，可得到a、b的关系，再结合与x轴的一个交点坐标为，可得另一个交点坐标，再结合函数图象解决问题即可． 【详解】解：由图象可知，图象与x轴有两个交点， ∴ ，即，故①正确； ∵对称轴为直线 ， ∵与x轴的一个交点坐标为， ∴与x轴的另一个交点坐标为， ∴ ，故②正确； ∴，即，故③正确； 由函数图象可得，当时，x的取值范围是；故④正确． 由图象可知，当时，y随x增大先增大后减小，故⑤错误． 故选；D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练理解掌握相应性质，并做到数形结合是解决此问题的关键． 二、填空题 13. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 14. 已知菱形的两条对角线的长分别是10cm和24cm，那么菱形的每条边长是_____． 【答案】##13厘米 【解析】 【分析】因为菱形的对角线互相平分且垂直，所以是直角三角形，且易得． 【详解】解：如图， ∵四边形 是菱形， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴菱形的边长为． 故答案为． 【点睛】本题考查了菱形的性质与勾股定理．掌握菱形的对角线互相垂直且互相平分是解答本题的关键． 15. 如图，直线与抛物线 交于点、 ，且点在 轴上，点 在 轴上，则不等式的解集为______． 【答案】或 【解析】 【分析】不等式的解集，即为二次函数抛物线在一次函数直线下方的 的取值范围，将两线的交点坐标求出，即可． 【详解】解：直线与抛物线 交于点、 ，且点在 轴上， 点为 令， 即 ， 则， ， 或， ， 所以点 坐标为， ，即抛物线在直线下方，由图可得解集为： 或， 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与一次函数图象结合的问题，求解两线的交点并根据函数图像解答是解题的关键． 16. 如图，矩形纸片 中，已知，点 落在点处，折痕为，，则的长为_________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质及翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键． 先根据矩形的特点求出的长，再由翻折变换的性质得出是直角三角形，利用勾股定理即可求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形 是矩形，， ， 是 翻折而成， ， ，是直角三角形， ， 在 中，， 设， 在 中，， 即， 解得 ， 则． 故答案为：12． 17. 若关于 的分式方程的解是正数，则 的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查分式方程的解，根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解，根据解为正数，可得不等式，根据解不等式，可得答案． 【详解】解：， 解得：， 关于 的分式方程解为正数， ， 又 的取值范围是且； 故答案为：且． 18. 设是关于x的方程的两个根，且，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k的值即可． 【详解】解：由根与系数的关系可得：，， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴; 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对于一元二次方程，其两根之和为 ，两根之积为． 三、解答题 19. 解下列方程： （1）； （2）； 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）利用直接开平方法求解即可． 【小问1详解】 ∵，，， ∴ ∴， ∴， 【小问2详解】 ∵， ∴， 则， ∴， 【点睛】本题考查一元二次方程的求解，灵活运用公式法等求解方法即可． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题可先对括号内的式子进行化简，再将除法转化为乘法，对分子分母进行因式分解后约分，最后将 的值代入化简后的式子求值．本题主要考查了分式的化简求值，涉及分式的通分、因式分解以及分式的乘除法运算．熟练掌握分式的运算法则和因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： 当时，原式． 21. “让我们携起手来，构建网络空间命运共同体，让互联网更好造福世界各国人民，共同创造人类更加美好的未来！”11月8日上午，国家主席习近平向2023年世界互联网大会乌镇峰会开幕式发表视频致辞，科学分析全球互联网发展治理面临的新形势新要求，为携手推动构建网络空间命运共同体提供了重要指引。与会人士纷纷表示，习近平主席的致辞凝聚合作共识、激发奋进力量，为共同推动构建网络空间命运共同体迈向新阶段进一步指明了方向。为了共同推动构建网络空间命运共同体发展，某高校计划在图书馆引进计算网络书籍，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型（．网络安全， ．计算软件计算， 、计算数学， ．通信技术）数据后，绘制出两幅不完整的统计图． （1）本次抽样调查的样本容量是_____； （2）请补全条形统计图； （3）求出扇形统计图中类型 所对应的扇形的圆心角的度数； （4）请你估计该校参加调查的1000名学生中喜欢类型 的学生人数． 【答案】（1） （2） 类型 的人数为 （人）， 类型 的人数为（人）， 补全统计图如下： （3） （4）人． 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，还考查了样本估计总体等知识，读懂题意，正确计算是解题的关键． （1）用类型A的人数除以对应的百分比即可得到答案； （2）求出D类型和C类型的人数，再补全统计图即可； （3）利用周角的度数乘以D类型的百分比即可得到答案； （4）用总人数乘以样本中类型 的百分比即可得到答案． 【小问1详解】 解： （人） ∴本次抽样调查的样本容量是， 故答案为： 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 ， ∴扇形统计图中类型 所对应的扇形的圆心角的度数为 ； 【小问4详解】 （人） ∴估计该校参加调查的1000名学生中喜欢类型 的学生人数为人． 22. 如图，等腰直角三角形和等腰直角三角形 ，、 、 三点共线， ，延长交于点． （1）求证： ； （2）若 ， ，求 的长度． 【答案】（1） 和是等腰直角三角形， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点； （1）由等腰三角形的性质，证明全等即可； （2）先证明是等腰直角三角形，求出 ，再利用勾股定理求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ， ， 设 ， 在 中，， ， ， ． 23. 如图，平行四边形 的对角线， 交于点，于点，点在延长线上，且 ． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接 ，若tan∠ABC=2，， ，求 的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到 且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）解直角三角形得到 ，由矩形的性质得到．根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 ∵平行四边形 ， ∴ ，， ∵ ， ∴， 即， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 在 中， ， ，， ∴， ∴ ， ∵四边形为矩形， ∴． ∵ ， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形及勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 24. 2020年，我国脱贫攻坚在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平，重庆市深度贫困地区脱贫进程明显加快，作风治理和能力建设初见成效，精准扶贫、精准脱贫取得突破性进展．为助力我市脱贫攻坚，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，该村在今年1月份销售256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400包． （1）若设2、3这两个月销售量的月平均增长率为a%，求a的值； （2）若农产品礼包每包进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？ 【答案】（1）a的值是25；（2）当农产品每袋降价4元时，该农产品在4月份可获利4620元． 【解析】 【分析】（1）根据题意，可知1月销量×（1＋x）2＝3月的销量，然后计算，即可得到a的值； （2）先设当农产品每袋降价m元时，该农产品在4月份可获利4620元，然后根据“利润＝（售价−进价）×数量”列出方程并解答即可． 【详解】解：（1）设2、3这两个月的月平均增长率为x． 由题意得：256（1+x）2＝400， 解得：x1＝25%，x2＝﹣225%（舍去）， 即2、3这两个月的月平均增长率为25%， 即a的值是25； （2）设当农产品每袋降价m元时，该农产品在4月份可获利4620元． 根据题意可得：（40﹣25﹣m）（400+5m）＝4620， 解得：m1＝4，m2＝﹣69（舍去）， 答：当农产品每袋降价4元时，该农产品在4月份可获利4620元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，找出等量关系，列出相应的方程是解答本题的关键． 25. 定义：如果抛物线与 轴交于点，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离 称为抛物线的雅礼弦长． （1）求抛物线的雅礼弦长； （2）求抛物线的雅礼弦长的取值范围； （3）设 ， 为正整数，且，抛物线的雅礼弦长为，抛物线的雅礼弦长为，，试求出 与 之间的函数关系式，若不论 为何值，恒成立，求 ， 的值． 【答案】（1）4 （2） （3）， 或， 【解析】 【分析】（1）根据定义求得抛物线与x轴的交点坐标即可求解； （2）根据（1）的方法求得，根据 的范围，即可求解． （3）根据题意，分别求得，根据，求得出 与 之间的函数关系式，根据恒成立，可得，根据 ， 为正整数，且，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ，， 雅礼弦长； 【小问2详解】 ，， ， ，， ， ， 当时，最小值为， 当 时，最大值小于， ； 【小问3详解】 由题意，令， ，， 则， 同理， ， ， 要不论 为何值，恒成立， 即：恒成立， 由题意得：，， 解得：， ， 为正整数，且， 则， 或，． 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，综合运用以上知识是解题的关键． 26. 已知抛物线 （a，b为常数， ）交x轴于，两点，交y轴于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P为第四象限内该抛物线上一点，连接 ，过点C作CQ//BP交x轴于点Q，连接 ，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线 向右平移经过点时，得到抛物线．设E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使得以A，P，E，F为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）面积的最大值为8，此时P的坐标为； （3）点F的坐标为，，， 【解析】 【分析】（1）根据题意，直接运用待定系数法求解即可； （2）连接PC，PB，BC，过P点作平行于y轴的直线交BC于H点，根据CQ//BP可得，从而求面积的最大值即可，通过设P的坐标，得到H的坐标，从而建立关于面积的二次函数表达式，最终结合二次函数的性质求解即可； （3）通过（2）的结论首先确定出平移后抛物线的解析式，设出E，F的坐标，运用勾股定理进行分类讨论即可． 【小问1详解】 解：将，代入 ， 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为： ； 【小问2详解】 如图所示，连接PC，PB，BC，过P点作平行于y轴的直线交BC于H点， ∵CQ//BP， ∴，即求面积的最大值即可， 由（1）可知抛物线与y轴交点C坐标为， 设直线BC的解析式为：， 将，代入得：，解得：， ∴直线BC的解析式为：， 设，则， ∴， ∴， 根据二次函数的性质可得： 当时，取得最大值为8， 将代入，得到此时P的坐标为， ∴面积的最大值为8，此时P的坐标为； 【小问3详解】 存在，理由如下： 由（2）可知，当面积的最大值为8时，P的坐标为， ∵， ∴，则， ∵原抛物线解析式为：， ∴设向右平移后的解析式为：， 将代入求得：或（舍负值）， ∴平移后抛物线的解析式为：，其对称轴为直线， ∴设，，则结合A、P的坐标可得： ，，， 进行如下分类讨论： ①当AP⊥PE时，如图所示， 此时根据勾股定理得：， 即：，解得：，即：， 此时根据A、P、E、F四点的相对位置关系可得： ，解得：， ∴； ②当AP⊥AE时，如图所示， 此时根据勾股定理得：， 即：，解得：，即：， 此时根据A、P、E、F四点的相对位置关系可得： ，解得：， ∴； ③当AE⊥PE时，如图， 根据勾股定理得：， 即：， 整理得：， ∵， 即： ， 此时根据A、P、E、F四点的相对位置关系可得： ，解得：， 或，解得：， ∴，； 综上所述，所有可能的点F的坐标为，，，． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，以及矩形的性质，准确求得抛物线的解析式，并灵活根据矩形的性质进行分类讨论是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $