精品解析：2024年广东省广州市海珠区中考模拟测试数学试题

2023学年第二学期九年级 数学综合练习 本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共6页，满分120分，考试时间120分钟，不可以使用计算器． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、座位号、考号；再用2B铅笔把对应号码的标号涂黑． 2，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列几何体中，圆锥是（ ） A. B. C. D. 2. 点位于第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3. 若与是同类项，则等于（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象过点 B. 其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到 C. 随着的增大而增大 D. 图象经过第一、二、四象限 9. 在，，，是边上的中线，若的周长为45，的周长是（ ） A. 47 B. 43 C. 38 D. 25 10. 如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行17m到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为，那么这棵木棉树的高度约（ ）m．（结果精确到1m）（参考数据：，，） A. 22 B. 21 C. 20 D. 19 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 如果，那么的逆命题是________. 12. 因式分解：________． 13. 在中，已知，则__________°． 14. 某班同学完成了10道选择题后，班长将答对题数的情况绘制成条形统计图，根据图中信息，该班同学答对题数的平均数为__________道．（保留1位小数点） 15. 刺绣是我国独有的一门传统艺术，它承载着大量中国民族文化的意义．圆形刺绣作品展示木架的设计简图如图所示，已知、、分别与圆相交于点A、点E、点D，，，，，则圆形刺绣作品的半径为__________． 16. 如图，在边长为8的正方形中，对角线、交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点A恰好与上的点F重合，展开后折痕分别交、于点E、G，连接，给出下列结论，①；②四边形是菱形；③；④．其中正确的是__________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17. 解方程（组）：． 18. 如图，已知，，．求证：． 19. 甲、乙两位同学玩扑克游戏，甲从一副扑克中抽出两张扑克，分别是梅花5和红桃Q． （1）甲同学混合两张扑克后让乙同学随机抽取一张，乙同学抽到红桃Q的概率为 ． （2）甲同学将这两张扑克从中间剪断得到四张形状相同的纸片，混合后让乙同学随机摸取一张，不放回接着再随机摸取一张，请用列表法或画树状图法，求这两张纸片恰好合成一张完整扑克牌的概率． 20. 先化简，再求值：，其中的值为菱形的面积，已知菱形，，． 21. 如图，是的直径，点C、D在圆上，，平分，与相交于点E． （1）在的延长线上找一点F，使，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：是的切线． 22. 今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． （1）求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ （2）乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 23. 已知一次函数的图象直线与反比例函数的图象双曲线相交于点和点，且直线与轴、轴相交于点、点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点为直线AB上的动点，过作轴垂线，交双曲线于点，交轴于点，请选择下面其中一题完成解答： ①连接DE，若，求的值； ②点在点上方时，判断关于的方程的解的个数． 24. 我们定义：过三角形的一个顶点的线段将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，且相似比为，则原三角形叫做“友好三角形”； （1）如图1，已知在中，，，求证：是“友好三角形”； （2）如图2，在的网格图中，点A、B在格点上，请在图中画出一个符合条件的“友好三角形”，要求点在格点上； （3）如图3，在（1）的条件中，作的外接圆，点是上的一点，，连接DE； ①设，，求关于的函数关系式； ②当时，求的半径． 25. 已知一次函数的图像经过点，与轴相交于点，与轴相交于点，点，记， （1）求的值； （2）点在直线上，且在点的下方，以为直径的与线段CD有交点，求的面积的取值范围． （3）在（2）的条件下，将线段绕点按逆时针旋转得到线段，再将线段绕点按顺时针旋转得到线段，再将线段绕点按逆时针旋转得到线段，若抛物线经过A、B、、四点，求该抛物线顶点的纵坐标的最大值与最小值的差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第二学期九年级 数学综合练习 本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共6页，满分120分，考试时间120分钟，不可以使用计算器． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、座位号、考号；再用2B铅笔把对应号码的标号涂黑． 2，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列几何体中，圆锥是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了认识立体图形，根据每一个几何体的特征即可判断． 【详解】A、是圆锥，符合题意； B、是四棱柱，不符合题意； C、是圆柱，不符合题意； D、是三棱柱，不符合题意； 故选：A． 2. 点位于第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据点在各象限内的坐标符号即可解答． 【详解】平面直角坐标系内的点位于第四象限． 故选：D． 3. 若与是同类项，则等于（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类项，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，由此解答即可． 【详解】若与是同类项， 则， 故选：B． 4. 如图，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，利用两直线平行，同位角相等求解． 【详解】∵， ， ， ． 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂除法，合并同类项，单项式乘以单项式等等，熟知相关计算法则是解题的关键．根据合并同类项计算法则可判断A；根据积的乘方计算法则可判断B；根据幂的乘方和同底数幂除法计算法则可判断C；根据单项式乘以单项式的计算法则可判断D． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法和在数轴上表示不等式组的解集是解题的关键．先求出不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】不等式组的解集是： 解不等式，可得， 解不等式，可得， 不等式组的解集为：， 在数轴上表示不等式组的解集： 故选：C． 7. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，先根据勾股定理求出，再根据在直角三角形中锐角三角函数的定义解答． 【详解】在中，，，， ， ． 故选：A． 8. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象过点 B. 其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到 C. 随着 的增大而增大 D. 图象经过第一、二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换，一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，根据一次函数图象上点的坐标特征，平移的规律以及一次函数的性质逐个判断即可． 【详解】A、当时，， 一次函数的图象经过点，选项A错误，不符合题意； B、由的图象向下平移2个单位长度得到，故选项B错误，不合题意 C、， 随 的增大而减小，选项C错误，不符合题意； D、，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，选项D正确，符合题意； 故选：D． 9. 在，，， 是边上的中线，若的周长为45，的周长是（ ） A. 47 B. 43 C. 38 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的中线以及三角形的周长，掌握三角形的中线的定义是解题的关键．根据的周长为45，可得，再结合三角形中线的定义，即可求解． 【详解】解：的周长为45， ， 是边上的中线， ， ， ， ， 的周长是． 故选：B． 10. 如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行17m到达点 时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为，那么这棵木棉树的高度约（ ）m．（结果精确到1m）（参考数据：，，） A. 22 B. 21 C. 20 D. 19 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，米，再根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算可得米，米，最后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，，米， 斜坡的坡度， ， 设米，则米， 在中，（米， 米， ， 解得：， 米，米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， ， 解得：， （米， 这棵木棉树的高度约为20米， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 如果，那么的逆命题是________. 【答案】若，则 【解析】 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题， 【详解】解：命题“如果，那么a＝b”的条件是如果，结论是a＝b， 故逆命题是：如果a＝b，那么． 故答案为若a＝b，那么． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解中的提公因式法，解题的关键是找出各项的公因式．观察的各项，公因式为即可求解． 【详解】解：， ． 故答案为：． 13. 在中，已知，则__________°． 【答案】60 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的邻角互补作答． 【详解】在中，，，则． 故答案为：60． 14. 某班同学完成了10道选择题后，班长将答对题数的情况绘制成条形统计图，根据图中信息，该班同学答对题数的平均数为__________道．（保留1位小数点） 【答案】8.6 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和加权平均数，根据加权平均数的定义求解即可． 【详解】该班同学答对题数的平均数为． 故答案为：8.6． 15. 刺绣是我国独有的一门传统艺术，它承载着大量中国民族文化的意义．圆形刺绣作品展示木架的设计简图如图所示，已知、、分别与圆相交于点A、点E、点D，，，，，则圆形刺绣作品的半径为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 设圆心为O，连接，，，交于点F，证明四边形是矩形，得是切线，在求出，设，则有，解方程可得结论． 【详解】解：如图，设圆心为O，连接，，，交于点F． ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 是切线， ， ， ， 设，则有， ， 故答案为：10． 16. 如图，在边长为8的正方形中，对角线、 交于点O，折叠正方形纸片，使落在 上，点A恰好与 上的点F重合，展开后折痕分别交、于点E、G，连接，给出下列结论，①；②四边形是菱形；③；④．其中正确的是__________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠问题，由正方形的性质得到，由折叠的性质得到：，，，，求出，由，判定，由，推出，得到，推出四边形是菱形，由等腰直角三角形的性质求出，得到，由，推出，即可证明． 【详解】四边形是正方形， ， 由折叠的性质得到：，，，， ， 故①符合题意； ，， ， ， ∴， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故②符合题意； 在边长为8的正方形中， ∵是等腰直角三角形， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ， 故③不符合题意， 四边形是菱形， ∴， ∴， ， ， ， 故④符合题意， 其中正确的是①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17. 解方程（组）：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法的计算是关键． 根据题意，消去未知数，解一元一次方程得到，再把代入①即可求解． 【详解】解：， 得，， 解得， 把代入①得， 解得， ∴原方程组的解为． 18. 如图，已知 ， ，．求证：． 【答案】 证明：∵ ， ， ， ， 即， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，由全等三角形的判定证得，根据全等三角形的性质即可证得． 【详解】略 19. 甲、乙两位同学玩扑克游戏，甲从一副扑克中抽出两张扑克，分别是梅花5和红桃Q． （1）甲同学混合两张扑克后让乙同学随机抽取一张，乙同学抽到红桃Q的概率为 ． （2）甲同学将这两张扑克从中间剪断得到四张形状相同的纸片，混合后让乙同学随机摸取一张，不放回接着再随机摸取一张，请用列表法或画树状图法，求这两张纸片恰好合成一张完整扑克牌的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率和列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据题意列表，得到情况总数，以及两张纸片恰好合成一张完整扑克牌的情况数，再根据概率公式求概率即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，共两张扑克，分别是梅花5和红桃Q． 乙同学抽到红桃Q的概率为； 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意可列表如下： 梅花5 梅花5 红桃Q 红桃Q 梅花5 梅花5、梅花5 梅花5、红桃Q 梅花5、红桃Q 梅花5 梅花5、梅花5 梅花5、红桃Q 梅花5、红桃Q 红桃Q 红桃Q、梅花5 红桃Q、梅花5 红桃Q、红桃Q 红桃Q 红桃Q、梅花5 红桃Q、梅花5 红桃Q、红桃Q 由表可知，共有12种等可能结果，其中凑成一张完整扑克牌的有4种， 这两张纸片恰好合成一张完整扑克牌的概率为． 20. 先化简，再求值：，其中的值为菱形的面积，已知菱形，，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值、菱形的性质，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．过点B作于E，根据正弦的定义求出，根据菱形的面积公式求出a，根据分式的除法法则、加法法则把原式化简，把a的值代入计算即可． 【详解】解：原式． 过 作于点， 菱形中，， ， 为等边三角形，， 中，， ． 原式． 21. 如图，是的直径，点C、D在圆上，，平分，与相交于点E． （1）在的延长线上找一点F，使，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：是的切线． 【答案】（1） 解：根据题意，作图如下： 则点、为所求． （2） 证明：连接． 是的直径， ， 平分， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ． ，， ， ， ， ． 又为半径， 是切线． 【解析】 【分析】（1）根据基本作图的基本要求作图解答即可． （2）连接．根据直径，得到，进而得出，再由圆周角定理，得到，， 从而推出，得到，即可证明是的切线． 本题考查了基本作图，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，切线的判定定理，熟练掌握作图，切线的判定定理是解题的关键． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 22. 今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． （1）求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ （2）乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【答案】（1）甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 （2）的值为 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是 千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于 的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 设甲步行的平均速度是 千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； 【小问2详解】 根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 23. 已知一次函数的图象直线与反比例函数的图象双曲线相交于点和点，且直线与 轴、轴相交于点、点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点为直线AB上的动点，过作 轴垂线，交双曲线于点，交 轴于点，请选择下面其中一题完成解答： ①连接DE，若，求的值； ②点在点上方时，判断关于 的方程的解的个数． 【答案】（1）， （2）①； ②当时，，方程有2个实数解， 当，且时，，即，方程有2个实数解， 当时，，即，方程无实数解， 当时，，方程有两个相等实数解， 当时，方程有一个实数解． 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，一元二次方程根的判别式等知识． （1）把代入得，知反比例函数的解析式为；把代入得一次函数的解析式为； （2）①求出，，可知，，，，故，解出，的值，可得，，的坐标，从而求出，得到答案； ②观察图象可知，点在点上方时，或；①当时，方程为一元一次方程，只有一个实数根；②当时，方程为一元二次方程；△，再分类讨论即可． 【小问1详解】 把代入得：， ， 反比例函数的解析式为； 把代入得， ； 把，代入得： ， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 ①与 轴、轴相交于点、点，求得，， ， ， ， ， 连接， ． ， ，． ，点在线段EF外，如图， ． ②由图象可知，点在点上方时， 或， 当时，方程为一元一次方程， 方程有一个实数根． 当时，方程为一元二次方程， ． 当时，，方程有2个实数解， 当，且时，，即，方程有2个实数解， 当时，，即，方程无实数解， 当时，，方程有两个相等实数解， 当时，方程有一个实数解． 24. 我们定义：过三角形的一个顶点的线段将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，且相似比为，则原三角形叫做“友好三角形”； （1）如图1，已知在中，，，求证：是“友好三角形”； （2）如图2，在的网格图中，点A、B在格点上，请在图中画出一个符合条件的“友好三角形”，要求点在格点上； （3）如图3，在（1）的条件中，作的外接圆，点是上的一点，，连接DE； ①设，，求关于 的函数关系式； ②当时，求的半径． 【答案】（1） 证明：， ，，， ， ， ， 是友好三角形； （2） 如图所示，即为所求； （3）①；② 【解析】 【分析】（1）先求出，再证明，再由，即可证明； （2）如图所示，取与格线的交点D，易证明，再由，则可证明； （3）①由相似三角形的性质得到，，则，再证明，得到，接着证明，得到，则，即可得到；②连接，证明是等边三角形，得到，则，解得，（不合题意，舍去），得到， ， ， 过点 作于点， ， ∴，， 在中，， ， 的半径为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：易求出， ∴， 再由，则可证明； 【小问3详解】 解：①， ，， ， ， ， 四边形内接于， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 与 的函数关系式为：； ②连接、， ， ， 是等边三角形， ， ， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ， ， ， 过点 作于点， ， ∴，， 在中，， ， 的半径为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键． 25. 已知一次函数的图像经过点，与 轴相交于点，与轴相交于点，点，记， （1）求的值； （2）点在直线上，且在点 的下方，以为直径的与线段CD有交点，求的面积的取值范围． （3）在（2）的条件下，将线段绕点按逆时针旋转得到线段，再将线段绕点按顺时针旋转得到线段，再将线段绕点按逆时针旋转得到线段，若抛物线经过A、B、、四点，求该抛物线顶点的纵坐标的最大值与最小值的差． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把点B的坐标代入一次函数解析式中即可求解； （2）当经过点时，此时圆的半径最大，过点A，B分别作 轴的垂线，垂足为K，H，证明，设点，由相似求出m的值，从而求得最大直径的值；当与线段相切于点经过点时，连接，与前面类似可求得最小直径的值；最后即可求得面积的范围； （3）设，，由（2）得的范围；连接，过点A作于点H，由旋转知，，则可求得点的坐标；由旋转性质易得四边形和四边形都是平行四边形．点 、关于点对称，抛物线的对称轴为直线，从而设抛物线的解析式为顶点式，即；由抛物线经过A、B两点，则得方程组，整理得，即可求得抛物线顶点纵坐标的最大值与最小值，从而求得结果． 【小问1详解】 解：直线经过点， ， ． 【小问2详解】 解：（i）当经过点时， 为直径， ，过点A，B分别作 轴的垂线，垂足为K，H， ， ∴， ， ． 设点，，解得， ，， 当与线段相切于点经过点时，连接，因为直径，所以圆心必在直线上， 设，则点，则， 连接，过点A，B分别作 轴的垂线，垂足为K，H，则点， 同理可得， ， 整理得：， 解得，（舍去）， ，． ， ， 即， 的面积的取值范围是：． 即． 【小问3详解】 解：设，， ，即，而，． 如图，连接，过点A作于点H，由旋转知，， 则，， ∴轴， 即轴， 则， ； 由旋转知，，， ， 即∥，；∥，， 四边形和四边形都是平行四边形． 轴，点 、关于点对称，轴， 抛物线经过A、B、、四点，即对称轴经过 、的中点， 抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的解析式为， 图像经过和， ， 化简得， ∵， ，即； ， ， ， ， ， ． 抛物线的顶点的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差为． 【点睛】本题是函数与几何的综合问题，考查了圆的知识，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，平行四边形的判定与性质，一次函数与二次函数等知识，综合性强，运算量较大，对学生的运算能力提出了较高的要求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $