精品解析：辽宁省七校协作体2024-2025学年高三上学期期初联考数学试题

2024—2025学年度（上）七校协作体高三期初联考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题校：兴城高中 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是等比数列的前n项和，，，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 4. 已知x，y为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 12 B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1 B. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0 C. 对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是. D. 已知随机变量服从二项分布，若，则. 6. 已知函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 有三个零点 D. 有三个极值点 7. 某公司的两名同事计划今年国庆节期间从大理、丽江、洱海、玉龙雪山、蓝月谷这个著名旅游景点中随机选择一个游玩.若在两人中至少有一人选择大理的条件下，求两人选择的景点不同的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的导函数，若函数有一极大值点为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 已知均为正数，则使得“”成立的充分条件可以为（ ） A. B. C. D. 10. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 是函数的极大值点 C. 的单调递减区间是 D. 函数的最小值为 11. 甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学相互做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外5人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外5人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住.记第次传球之后球在乙手中的概率为.则下列正确的有（ ） A. B. 为等比数列 C. 设第次传球后球在甲手中的概率为 D. 三､填空题（本小题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，若，则实数的取值为______. 13. 已知等差数列共有项，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则____. 14. 任意一个三次多项式函数的图象的对称中心是的根，是的导数.若函数图象的对称中心点为，且不等式对任意恒成立，则的取值范围是__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知函数在处取得极小值为1． （1）求的值； （2）求函数在区间上的值域． 16. 已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，. （1）求数列和的通项公式； （2）设，求使取得最大值时的值. 17. 某高中举办诗词知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从类道题中任选道进行答题，答完后正确数超过两道否则终止比赛才能进行第二轮答题；第二轮答题从类道题中任选道进行答题，直到答完为止．类题每答对一道得10分，类题每答对一道得分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜．总分分或分为三等奖，分为二等奖，分为一等奖．某班小张同学类题中有5道会做，类5题中，每题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响． （1）求小张同学被终止比赛的概率； （2）现已知小张同学第一轮中回答的类题全部正确，求小张同学第二轮答完题后总得分的分布列及期望； （3）求小张同学获得三等奖的概率． 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程; （2）若函数在区间上不是单调函数，求的取值范围; （3）若无零点，求的取值范围. 19. 已知数列的首项，且满足，的前项和为. （1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）在数列中，，，求数列的通项公式及. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度（上）七校协作体高三期初联考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题校：兴城高中 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可. 【详解】命题为全称量词命题， 其否定为：. 故选：A 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值. 【详解】因为随机变量，且， 则. 故选：B. 3. 已知是等比数列的前n项和，，，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合等比数列性质求得，，即可得结果. 【详解】设等比数列的公比为q，可得， 则， 所以． 故选：B. 4. 已知x，y为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助“1”的活用将分式其次化后结合基本不等式计算即可得. 【详解】由，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：C. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1 B. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0 C. 对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是. D. 已知随机变量服从二项分布，若，则. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两个随机变量的线性相关性的强弱与相关系数的关系即可判断A，B；利用线性回归方程必过样本中心点，即可判断选C；利用二项分布的数学期望计算公式以及期望的运算性质，即可判断D． 【详解】对于A，B：若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故A，B错误； 对于C：因为线性回归直线过样本点中心，所以，可得，故C正确； 对于D：因为随机变量服从二项分布，所以， 则， 因为，则，所以，故D错误． 故选：C. 6. 已知函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 有三个零点 D. 有三个极值点 【答案】A 【解析】 【分析】根据导函数图像得到单调性和极值，进而推出极值点个数，比较函数值大小即可. 【详解】根据导函数图像知道： 正 0 非正 0 正 增 极大值 减 极小值 增 对于A，，单调递减，则，则A正确； 对于B，自变量在不同区间，都比小，但不能比较它们大小，则B错误； 对于C，不能确定零点个数，则C错误； 对于D，函数有两个极值点，则D错误. 故选：A． 7. 某公司的两名同事计划今年国庆节期间从大理、丽江、洱海、玉龙雪山、蓝月谷这个著名旅游景点中随机选择一个游玩.若在两人中至少有一人选择大理的条件下，求两人选择的景点不同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设事件两人中至少有一人选择大理为，事件两人选择的景点不同为，求，，结合条件概率公式求解结论. 【详解】设事件两人中至少有一人选择大理为，事件两人选择的景点不同为，则 ，， ， 故选：B. 8. 已知函数的导函数，若函数有一极大值点为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明当恒成立时，为的极小值点，由此可得有两个不同的零点，利用导数判断函数单调性，进而求参数范围. 【详解】由题意，令， 若恒成立，则 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以是的极小值点，不合题意， 若函数的最小值为，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，当且仅当时取等号， 所以函数在上单调递增， 所以为函数的极小值点，不合题意； 故函数有两个不同零点． 设函数的两个零点分别为，且， 则， 若，则当时，，与为函数的极大值点矛盾， 若，则当时，，与为函数的极大值点矛盾， 若，则 当时，，函数在上单调递减， 当， ，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时， ，函数在上单调递增， 所以为函数的极大值点，满足要求， 因为函数有两个不同零点，， 所以， 所以， 所以实数的取值范围为． 故选：D. 【点睛】结论点睛：可导函数在点处取得极值的充要条件是，且存在，使得当时，当时． 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 已知均为正数，则使得“”成立的充分条件可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由不等式的性质可判断AD；取特值可判断B；可化为，结合的单调性可判断C. 【详解】对于A，因为均为正数，根据不等式的性质，所以可得，故A正确； 对于B，取，此时满足，但，故B错误； 对于C，可化为，也即，因为函数在上不单调，故C错误； 对于D，由可得，即，因为均为正数，所以，故D正确； 故选：AD 10. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 是函数的极大值点 C. 的单调递减区间是 D. 函数的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导，确定函数的单调性、极值与最值，逐项判断即可得结论． 【详解】，， ， 令，则， 令，解得，令，解得， 在上单调递减，在上单调递增，是函数的极小值点，故A、C正确，B错误； 又，故D正确． 故选：ACD. 11. 甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学相互做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外5人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外5人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住.记第次传球之后球在乙手中的概率为.则下列正确的有（ ） A. B. 为等比数列 C. 设第次传球后球在甲手中的概率为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题意可得，且，即可得到，结合等比数列的定义求出的通项公式，即可得到的通项公式，即可判断A、B、D，同理求出，再利用作差法判断C. 【详解】依题意，， 第次传球之后球在乙手中，则当时，第次传球之后球不在乙手中，其概率为， 第次传球有的可能传给乙，因此， 于是，而，则是以为首项，公比为的等比数列， 所以，则，故A、B、D正确； 因为，，当时， 则，又， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以，所以， 则，， 所以， 所以，故C错误. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出（），利用构造法求出、的通项公式. 三､填空题（本小题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，若，则实数的取值为______. 【答案】 【解析】 【分析】解二次方程化简集合，即可根据分别求解. 【详解】， 由，可得，故， 当时，， 当时，， 当时，， 故实数的取值为. 故答案为：. 13. 已知等差数列共有项，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则____. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列等差中项的性质，结合等差数列求和可得解. 【详解】设等差数列的所有奇数项之和为，所有偶数项之和为， 由题知， ， 两式相减，可得， 故答案为：. 14. 任意一个三次多项式函数的图象的对称中心是的根，是的导数.若函数图象的对称中心点为，且不等式对任意恒成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求得，，而原不等式等价于，可以利用不等式放缩即可求解． 【详解】，，， 因为图象的对称中心点为，所以，所以， 由，所以， 原不等式为， 因为，所以， 设，则， 当时，，当时，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，即， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以其最小值为，故． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题涉及的是函数含参不等式求参数取值范围问题，解决问题的关键是利用参变分离结合指数运算变形将不等式转化为，从而利用切线放缩不等式得最值. 四､解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知函数在处取得极小值为1． （1）求的值； （2）求函数在区间上的值域． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据函数的极值求. （2）由（1）得，利用导数分析在区间上的单调性，从而求出值域. 【小问1详解】 由题设，函数在处取得极小值为1， 则， 即，解得， 检验，当时，， ， 当时，， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，满足题意. 所以. 【小问2详解】 由（1）得， ， 令，得；令，得或， 在上的单调递减区间是，单调递增区间为， ， 函数在区间上的值域为. 16. 已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，. （1）求数列和的通项公式； （2）设，求使取得最大值时的值. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项及前项和公式求出首项与公差，即可求出数列的通项公式，再求出数列的首项与公比，即可得的通项公式； （2）先求出的通项，再利用作差法判断数列的单调性，根据单调性即可得出答案. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则，解得， 所以， 设等比数列的公比为， 则，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 则， ， 当时，， 当时，， 当时，， 所以当或时，取得最大值. 17. 某高中举办诗词知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从类道题中任选道进行答题，答完后正确数超过两道否则终止比赛才能进行第二轮答题；第二轮答题从类道题中任选道进行答题，直到答完为止．类题每答对一道得10分，类题每答对一道得分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜．总分分或分为三等奖，分为二等奖，分为一等奖．某班小张同学类题中有5道会做，类5题中，每题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响． （1）求小张同学被终止比赛的概率； （2）现已知小张同学第一轮中回答的类题全部正确，求小张同学第二轮答完题后总得分的分布列及期望； （3）求小张同学获得三等奖的概率． 【答案】（1） （2） ． （3） 【解析】 【分析】． （1）根据题意，第一轮中小张只答对2道则被终止比赛，计算概率即可； （2）分析得的所有可能取值，分别求出概率，即可得出分布列，进而得出数学期望； （3）分析出小张同学获得三等奖的所有情况，再计算概率即可． 【小问1详解】 从类道题中任选道，其中2道会做，2道不会做，则被终止比赛， 所以小张同学被终止比赛的概率为． 【小问2详解】 由题意可知，的所有可能取值为40,60,80,100， 则， ， ， ， 所以的分布列为： 所以． 【小问3详解】 小张获得三等奖，共有两种情况， ①第一轮得30分（答对3道），则第二轮得40分（对2道）， 概率为； ②第一轮得40分（答对4道），则第二轮得40分（对2道）， 概率为， 所以小张同学获得三等奖的概率为． 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程; （2）若函数在区间上不是单调函数，求的取值范围; （3）若无零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数求得，可求切线方程； （2）由已知可得在上有变号解，可得结论； （3）求导函数，按照和分类讨论，利用函数的单调性研究函数零点个数即可. 【小问1详解】 时，， 所以在处的切线方程为 【小问2详解】 因为在区间上不是单调函数， 所以在上有变号解，即在上有变号解. 因为，所以，所以 【小问3详解】 因为， 当，即时，， 所以在上单调递减， 因为， 所以在上无零点，符合题意;. 当时，令，则， 当时，，当时，， 所以的单调递减区间是;单调递增区间是， 所以的最小值为 当，即时，无零点，符合题意; 当时，有一个零点，此时，不符合题意; 当时，的最小值， 因为， 所以，使得，不符合题意; 综上所述，当时， 无零点. 【点睛】思路点睛：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方. 19. 已知数列的首项，且满足，的前项和为. （1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）在数列中，，，求数列的通项公式及. 【答案】（1）证明见及解析， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）依据等比数列的定义构造等比数列，再求解通项即可. （2）利用裂项相消法求出，结合分离参数法求解参数范围即可. （3）结合题意求出，再利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 ∵，∴， 即，又， ∴数列是以2为首项，1为公差的等差数列， ∴，. 【小问2详解】 ， ∴， 由，得， ∴恒成立，， 当且仅当时取等，此时解得， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 由，， ∴， 数列的奇数项是以2为首项，4为公比的等比数列， 偶数项为以2为首项，4为公比的等比数列， ， 设， ， 两式相减得， ∴， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $