精品解析：陕西省西安市第八十九中学2024-2025学年九年级上学期开学测试数学试题

2024～2025学年度第一学期九年级定位测试 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程有一个根是，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，分别交直线于点，若，，，则的长是（ ） A. 5 B. 4.5 C. 3.25 D. 3.75 4. 在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到红色、黑色小球的频率分别稳定在和，则口袋中白球的个数可能是（　　） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 5. 要使成为矩形，下列添加的条件中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 学校组织春游，安排九年级三辆车，小明和小慧都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，小明和小慧同车的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论： ①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 将一元二次方程 化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为___________． 10. 如图，在矩形中，对角线相交于点，，是的中点，连接，则的度数为______． 11. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．若，则的长为______． 12. 如图所示，小军用如下方法测量教学楼的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离，当他与镜子的距离时，他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端，已知他眼睛距地面的高度为，则教学楼的高度为______． 13. 如图，在菱形中，，，点E、F分别是边上的两个动点，连接，若平分，则的最小值为______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 15. 如图，已知，，，，．求，的长． 16. 已知关于的方程，若方程有实数根，求m的取值范围． 17. 在某次数学活动中，有两个如图所示的转盘，转盘A被分成四个相同的扇形，分别标有数字1、2、3、4，转盘B被分成三个相同的扇形，分别标有数字5、6、7，指针固定不变，转动转盘（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止）．小滨自由转动A盘，小河自由转动B盘，当两个转盘停止后，记下各个转盘指针所指区域内对应的数字，请用画树状图或列表法求所得两数之和为的倍数的概率． 18. 如图，和在边长为1的正方形网格中，点均在格点上，试证这两个三角形相似． 19. 如图，在中，，点A关于的对称点为D，连接．求证：四边形是菱形． 20. 中国古代有着辉煌的数学成就，：《周髀算经》，：《九章算术》，：《海岛算经》，：《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献． （1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为___________； （2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中：《周髀算经》和：《海岛算经》的概率．（用树状图或列表的方法） 21. 如图，要使用长为27米的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为12米，靠墙的一面不用篱笆），围成中间隔有一道篱笆的长方形花在圃（中间的篱笆将长方形分成两个小长方形）．如果要围成面积为54平方米的长方形花圃，那么的长为多少米？ 22. 某数学兴趣小组在综合实践活动中测量古塔的高度． 【测量方案】在地面上选一点，垂直地面竖立标杆，后退2m到处，此时在一直线上；另选一点，垂直地面竖立标杆，后退4m到处，此时三点也在一直线上． 【测量数据】两次测量标杆之间的距离是为50m，两个标杆的高度均为m，且在同一直线上． 请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出古塔的高度． 23. 如图，在中，平分，交于点平分，交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求证：四边形是矩形． 24. 如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，如果点分别从两点同时出发，3秒后停止运动，设运动时间为秒． （1）当为何值时，的面积为？ （2）是否存在某一时间，使得和相似？若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由． 25. 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 26. 如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第一学期九年级定位测试 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，解题关键是掌握成比例线段并能运用求解． 根据成比例线段的顺序，得出比例式，再代入已知值求解． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， 即， ∵，，， ∴， 解得， 故选：B． 2. 若关于的一元二次方程有一个根是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入一元一次方程得，然后解一次方程即可．解题的关键是理解和掌握：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了解一元一次方程． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是， ∴， 解得：． 故选：D． 3. 如图，直线，分别交直线于点，若，，，则的长是（ ） A. 5 B. 4.5 C. 3.25 D. 3.75 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，关键是由平行线分线段成比例定理得到．由平行线分线段成比例定理推出，代入有关数据，即可得到答案． 【详解】解：， ， ，，， ， ． 故选：D． 4. 在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到红色、黑色小球的频率分别稳定在和，则口袋中白球的个数可能是（　　） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了摸球的概率，由题意求出白色小球的频率即可得出答案，牢记频率与概率的关系和概率的公式是解题的关键． 【详解】解：由题意知：摸到白色小球的频率为， 则口袋中白球的个数为：； 故选：． 5. 要使成为矩形，下列添加的条件中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定定理，矩形的判定方法有：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；由此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、添加，可以证明成为菱形，故此选项不符合题意； B、添加，可以证明成为菱形，故此选项不符合题意； C、添加，不可以证明是矩形，故此选项不符合题意； D、添加，可以证明是矩形，故此选项符合题意； 故选：D． 6. 学校组织春游，安排九年级三辆车，小明和小慧都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，小明和小慧同车的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可． 【详解】解：设三辆车分别用1，2，3表示， 根据题意，列表如下： 1 2 3 1 （1，1） （2，1） （3，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） 所有等可能的情况有9种，其中小明和小慧同车的情况有3种， 则P=． 故选B． 【点睛】此题考查了利用树状图求概率；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到在同一辆车的情况数是解决本题的关键． 7. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 由题意知，第一轮后感染台，第二轮后感染台，然后列方程即可． 【详解】解：依题意得，， 故选：D． 8. 如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论： ①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】延长，交于点，交于点，连接，交于点，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，再根据矩形的判定与性质可得，由此可判断①；先根据三角形全等的性质可得，再根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，由此可判断③；根据直角三角形的性质可得，从而可得，由此可判断②；先根据垂线段最短可得当时，取得最小值，再解直角三角形可得的最小值，从而可得的最小值，由此可判断④． 【详解】解：如图，延长，交于点，交于点，连接，交于点， 四边形是正方形，， ， 在和中，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，即结论①正确； ， ， ，即结论③正确； ， ， ， ，即，结论②正确； 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时在中，， 又， 的最小值与的最小值相等，即为，结论④错误； 综上，正确的结论为①②③，共有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 将一元二次方程 化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据题意正确得出一般式，即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程化成一般形式之后，二次项的系数是2， 化成的一般形式为， 一次项系数为， 故答案为：． 10. 如图，在矩形中，对角线相交于点，，是的中点，连接，则的度数为______． 【答案】##35度 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形中位线定理，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．由矩形的性质可得，可得，然后根据三角形外角的性质即可求得；再根据三角形中位线的性质可得，根据平行线的性质即可求得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ，， 是的中位线， ， ， ． 故答案为：． 11. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义；根据已知线段的比例关系与已知条件，设，代入转化一元二次方程求解即可． 【详解】解：设， 依题意，， ∴ ∴ 即 解得：或（舍去） ∴ 故答案为：． 12. 如图所示，小军用如下方法测量教学楼的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离，当他与镜子的距离时，他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端，已知他眼睛距地面的高度为，则教学楼的高度为______． 【答案】12.8 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，先根据题意得出，再由相似三角形的对应边成比例计算是解题的关键．先根据题意得出，再由相似三角形的对应边成比例计算即可． 【详解】解：依据题意，得， ，， ， ， ， ， 即， ， 教学楼的高度为． 故答案为：12.8． 13. 如图，在菱形中，，，点E、F分别是边上的两个动点，连接，若平分，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 过点作于点，由菱形的性质得出，求出．根据菱形的性质及角平分线得到，推出．得出当时，最小，即最小． 【详解】解：过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ， 平分， ， ， ， 当时，最小，即最小， 的最小值． 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】根据因式分解法求解即可． 【详解】解：， 因式分解，得， ∴或， ∴，． 15. 如图，已知，，，，．求，的长． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．根据即可得出，再把已知数据代入进行计算即可． 【详解】解：， ， ，，， ， 解得，． 16. 已知关于的方程，若方程有实数根，求m的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了不等式的解法．根据的意义得到，即，然后解不等式即可． 【详解】解：方程有实数根， ，即， 解得， 的取值范围是． 17. 在某次数学活动中，有两个如图所示的转盘，转盘A被分成四个相同的扇形，分别标有数字1、2、3、4，转盘B被分成三个相同的扇形，分别标有数字5、6、7，指针固定不变，转动转盘（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止）．小滨自由转动A盘，小河自由转动B盘，当两个转盘停止后，记下各个转盘指针所指区域内对应的数字，请用画树状图或列表法求所得两数之和为的倍数的概率． 【答案】所得两数之和为3的倍数的概率为 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解；解题的关键是掌握：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：根据题意画出树状图如下：  一共有12种情况，两数之和为3的倍数的情况有4种， ∴P（两数之和为3的倍数）， 答：所得两数之和为3的倍数的概率为． 18. 如图，和在边长为1的正方形网格中，点均在格点上，试证这两个三角形相似． 【答案】 证明：，，，，，， ，，， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和勾股定理是解题的关键．根据勾股定理和相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】略 19. 如图，在中，，点A关于的对称点为D，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：如图，连接交于点O． ∵点A关于的对称点为D， ∴垂直平分， ∴． 又∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，轴对称的性质，先根据A关于的对称点为D，得出，结合，得出，因为对角线互相平分且相等的四边形即为菱形，即可作答． 【详解】略 20. 中国古代有着辉煌的数学成就，：《周髀算经》，：《九章算术》，：《海岛算经》，：《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献． （1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为___________； （2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中：《周髀算经》和：《海岛算经》的概率．（用树状图或列表的方法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中《九章算术》只有一种情况，再根据概率公式详解即可； （2）此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解． 【小问1详解】 解：∵小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读， 则他选中《九章算术》的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：记恰好选中：《周髀算经》和：《海岛算经》为事件M． 根据题意可以画出如下的树状图： 由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，所有等可能的结果中，满足事件M的结果有2种， ∴ 21. 如图，要使用长为27米的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为12米，靠墙的一面不用篱笆），围成中间隔有一道篱笆的长方形花在圃（中间的篱笆将长方形分成两个小长方形）．如果要围成面积为54平方米的长方形花圃，那么的长为多少米？ 【答案】的长应为6米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，再找出题目中的等量关系，列出方程．设花圃的宽为米，用总长减去三个宽即为的长，则米，再利用矩形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：设花圃的宽为米，则米， ， 解得：，， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 答：的长应为6米． 22. 某数学兴趣小组在综合实践活动中测量古塔的高度． 【测量方案】在地面上选一点，垂直地面竖立标杆，后退2m到处，此时在一直线上；另选一点，垂直地面竖立标杆，后退4m到处，此时三点也在一直线上． 【测量数据】两次测量标杆之间的距离是为50m，两个标杆的高度均为m，且在同一直线上． 请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出古塔的高度． 【答案】古塔的高度为39米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．先证明得，即，再证明得，即，解出即可． 【详解】解：由题可知，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， 同理， ∴， 即：， 解得：，， ∴古塔的高度为39米． 23. 如图，在中，平分，交于点平分，交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 平分，平分， ，， ， ∴， 又， 四边形是平行四边形． （2） 证明：，平分， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得出，由角平分线的定义得出，则，可证出结论； （2）由等腰三角形的性质得出，则可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，如果点分别从两点同时出发，3秒后停止运动，设运动时间为秒． （1）当为何值时，的面积为？ （2）是否存在某一时间，使得和相似？若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）秒或秒 （2）秒或秒 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，解一元一次方程，解一元二次方程，相似三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解题的关键． （1）根据路程速度时间即可用含的代数式表示线段和，设经过秒钟，使的面积为，得到，，根据三角形的面积公式得出方程即可求解； （2）设经过秒钟，使和相似，根据两边成比例并且夹角相等的两三角形相似，分两种情况求出即可． 【小问1详解】 解：∵点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动， ∴，， ∴． 设经过秒钟，使的面积为， ∵，，， ∴， ∴， ∴解得：，， ∴如果，分别从，同时出发，经过秒或秒的面积为． 【小问2详解】 解：设经过秒钟，使和相似， ∵， 当使时，和相似， 即， 解得：； 当使时，和相似， 即， 解得：． ∴如果，分别从，同时出发，经过秒或秒和相似． 25. 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）10%；（2）每千克水果应涨价5元 【解析】 【分析】(1) 设这个降价率为，根据每千克40元经两次调价后调至每千克32．4，列出方程求解即可；  (2)根据商场要保证每天盈利6000元，列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值． 【详解】解：（1）设这个降价率为，由题意得 ； 解得：，（舍去） 答：这个降价率为10% （2）设每千克水果应涨价元， 依题意得方程：， 整理，得， 解这个方程，得，． 要使顾客得到实惠，应取． 答：每千克水果应涨价5元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程． 26. 如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）证明：如图，作于，于，则， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形． （2）6 【解析】 【分析】（1）如图，作于，于，根据正方形的性质可得，进而说明，再证明可得，再结合四边形是矩形即可证明结论； （2）同（1）的方法判断出得到，然后根据线段的和差即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的值是定值，定值为6，理由如下： 正方形和正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是定值． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、矩形的判定、三角形的全等的性质和判定、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $