专题14等差数列性质归类（16题型提分练）-【上好课】2025年高考数学一轮复习知识清单

专题14 等差数列性质归类 目录 题型一：定义法判断等差数列 1 题型二：定义法求通项 2 题型三：等差中项 3 题型四：等差数列的“中点”性质 4 题型五：an与sn的关系‘ 4 题型六：双等差数列sn比值型 5 题型七：等差数列型函数和 6 题型八：奇数项与偶数项和型 6 题型九：等差数列的函数性质：单调性 7 题型十：等差数列的函数性质：sn最值 8 题型十一：等差数列的函数性质：正负不等式型 9 题型十二：等差数列的函数性质：恒成立型求参 10 题型十三：等差数列的函数性质：范围型 10 题型十四：等差数列的函数性质：sn与n比值型 11 题型十五：等差数列与三角函数 12 题型十六：等差数列思维第19题型综合 13 题型一：定义法判断等差数列 等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． 1．（2024·北京西城·三模）中国古代科学家发明了一种三级漏壶记录时间，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上底宽依次递减1寸（约3.3厘米），下底宽和深度也依次递减1寸.设三个漏壶的侧面与底面所成的锐二面角依次为，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·上海浦东新·期中）设，记，令有穷数列为零点的个数，则有以下两个结论：①存在，使得为常数列；②存在，使得为公差不为零的等差数列.那么（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 3．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用.斐波那契数列满足，.给出下列四个结论： ① 存在，使得，，成等差数列； ② 存在，使得，，成等比数列； ③ 存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列； ④ 存在正整数，且，使得. 其中所有正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（21-22浙江金华·阶段练习）已知各项均不为零的数列{an}，定义向量.下列命题中正确的是 A．若任意n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等比数列 B．若任意n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等比数列 C．若任意n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等差数列 D．若任意n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等差数列 5．（浙江·高考真题）如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，.（） 若    A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等差数列 D．是等差数列 题型二：定义法求通项 方法 解读 适合题型 定义法 为同一常数 ⇔是等差数列 解答题中的证明问题 等差中项法 成立⇔是等差数列 通项公式法 为常数）对任意的正整数都成立 ⇔是等差数列 选择、填空题中的判定问题 前项和公式法 验证为常数）对任意的正整数都成立⇔是等差数列 1．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知数列满足，数列满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知数列各项为正数，满足，，若，，则（ ） A． B． C． D． 3．（2024·山西·三模）已知数列对任意均有.若，则（    ） A．530 B．531 C．578 D．579 4．（2024·全国·模拟预测）已知，数列中，，，为数列的前项和，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知数列的前项和为，且满足，则（    ） A．110 B．200 C．65 D．155 题型三：等差中项 .等差中项的概念 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 1．（19-20高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）是公比不为1的等比数列的前n项和，是和的等差中项，是和的等比中项，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·黑龙江哈尔滨·一模）已知，在这两个实数之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为 A． B． C． D． 3．（23-24高二下·四川成都·期末）若等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 4．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列满足，则（    ） A． B．5 C．5或－5 D．或 5．（2022·全国·模拟预测）设，，若是与的等差中项，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 题型四：等差数列的“中点”性质 等差数列“中点”性质 若{an}为等差数列，且m+n=p+q,则 ，…仍是等差数列，公差为． 4.，…也成等差数列，公差为． 1．（2024·新疆·二模）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河南信阳·期末）数列满足，已知，则的前19项和（    ） A．0 B．8 C．10 D．1 3．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）设为等差数列的前项和，若，则（    ） A．5 B．10 C． D．15 4．（2024·全国·模拟预测）已知为等差数列的前n项和，，则（    ） A．100 B．250 C．500 D．750 5．（2021全国模拟）等差数列的前项和为，若的值为常数，则下列各数中也是常数的是（    ）． A． B． C． D． 题型五：an与sn的关系‘ ，…也成等差数列，公差为． 等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列 1．（2021·云南昆明·三模）已知数列的前n项和为，，，则（    ） A．414 B．406 C．403 D．393 2．（22-23高三上海金山·模拟）对于实数，表示不超过的最大整数. 已知正数数列满足，，其中为数列的前项和，则 A． B． C． D． 3．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知数列的前项和（为常数，且），则“是等差数列”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2023高三·全国·专题练习）设是数列的前n项和，且，则下列选项错误的是（ ） A． B． C．数列为等差数列 D．－5050 5．（22-23高三 重庆沙坪坝模拟）已知数列的前项和，设为数列的前项和.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型六：双等差数列sn比值型 若与为等差数列，且前项和分别为与，则. 1．（23-24高三·甘肃定西·阶段练习）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A．5 B．6 C．9 D．11 3．（23-24高三·江西抚州模拟）已知等差数列与的前项和分别为，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2022高三·全国·专题练习）已知Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，，设点A是直线BC外一点，点P是直线BC上一点，且，则实数λ的值为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高三·内蒙古包头·模拟）等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高按吉林长春·模拟）若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An、Bn，且满足，则的值为 A． B． C． D． 题型七：等差数列型函数和 1．（2022高三·全国·专题练习）已知数列为等差数列，且.设函数，记，则数列的前13项和为（    ） A． B． C．7 D．13 2．（22-23高三黑龙江哈尔滨·模拟）已知等差数列的公差为2020，若函数，且，记为的前项和，则的值为 A． B． C． D． 3．（20-21高三江苏泰州·模拟）已知等差数列的前9项和18，函数，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2023·甘肃兰州·模拟预测）已知是一个等差数列的前项和，对于函数，若数列的前项和为，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2022山东潍坊·模拟预测）已知等差数列，公差不为0，若函数对任意自变量x都有恒成立，函数在上单调，若，则的前500项的和为（    ） A．1010 B．1000 C．2000 D．2020 题型八：奇数项与偶数项和型 设数列是等差数列，且公差为， （1） 若项数为偶数，设共有项，则①； ② ； （2） 若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②. 1．（23-24高三·广东茂名·模拟）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则此数列的项数是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高三·上海徐汇·模拟）设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 3．（22-23高三·四川雅安·阶段练习）一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（    ） A．4 B．8 C．12 D．20 4．（2023·重庆·二模）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三·江苏南京·模拟）已知等差数列的前项和为，公差为，且单调递增，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型九：等差数列的函数性质：单调性 等差数列的增减性： 时为递增数列，且当时前n项和有最小值． 时为递减数列，且当时前n项和有最大值． 1．（23-24高三湖北·模拟）已知数列的前项和（为常数），则“为递增的等差数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高三·江西·阶段练习）设为等差数列的前n项和，则对，，是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2023·北京顺义·一模）已知是无穷等差数列，其前项和为，则“为递增数列”是“存在使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（20-21高三江苏无锡模拟）数列是等差数列，，数列满足，，设为的前项和，则当取得最大值时，的值等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 题型十：等差数列的函数性质：sn最值 在处理等差数列的前项和的最值时，往往转化为判定的符号变化： ①若，当时，则当且仅当最大； ②若，当时，则当且仅当最小； ③若最大，则. 1．（22-23高三上·海南省直辖县级单位模拟）已知是等差数列前项和，，，当取得最小值时（    ）． A．2 B．14 C．7 D．6或7 2．（22-23高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设为公差为的无穷等差数列的前项和，则“”是“数列有最大项”的 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（21-22高三·上海浦东新·模拟）设为等差数列的前n项和，若已知，则下列叙述中正确的个数有（　　） ①是所有中的最大值；②是所有中的最大值； ③公差一定小于0    ④一定小于 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（22-23高三湖北宜昌·阶段练习）已知数列为等差数列，若，且它们的前n项和有最大值，则使得的n的最大值为 A．19 B．20 C．21 D．22 5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）在等差数列中，，且，是其前项和，则（   ）. A．都小于0，都大于0 B．都小于0，都大于0 C．都小于0，都大于0 D．都小于0，都大于0 题型十一：等差数列的函数性质：正负不等式型 在等差数列中 （1）若，则满足的项数使得取得最大值； （2）若，则满足的项数使得取得最小值． 即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 1．（23-24高三·陕西·阶段练习）设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高三浙江金华模拟）已知公差为的等差数列，为其前项和，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（2022浙江杭州·模拟预测）设等差数列的前项和为，并满足：对任意，都有，则下列命题不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·重庆·模拟预测）若等差数列 的前n项和为S ，且满足 ，对任意正整数 ，都有 则 的值为（    ） A．21 B．22 C．23 D．24 5．（22-23高三·广东广州·模拟）已知数列满足，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十二：等差数列的函数性质：恒成立型求参 1．（21-22高三 ·福建南平·模拟）已知等差数列满足，，，若对任意正整数，恒有，则正整数的值是（   ） A．6 B．5 C．4 D．7 2．（23-24高三 ·云南昆明·模拟）等差数列的前n项和为，已知，若存在正整数k，使得对任意，都有恒成立，则k的值为（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 3．（22-23高三·广西河池·模拟）已知数列满足，数列的前项和为，若的最大值仅为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2021高三·江苏·专题练习）对于数列，定义为数列的“诚信”值，已知某数列的“诚信”值，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 5．（23-24高三·河北唐山·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，对任意，均有成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型十三：等差数列的函数性质：范围型 在等差数列中 （1）若，则满足的项数使得取得最大值； （2）若，则满足的项数使得取得最小值． 即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 1．（22-23高三·浙江·模拟）等差数列的公差不为0，其前n和满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高三·北京西城·开学考试）已知等差数列，是数列的前项和，对任意的，均有成立，则的值不可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（21-22高二上·浙江·期末）已知等差数列 的前n 项和为 Sn ，首项 a1 =1，若，则公差 d 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·新疆昌吉·模拟预测）已知数列满足，且前项和为，若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知数列是公差不为0的无穷等差数列，是其前项和，若存在最大值，则（    ） A．在中最大的数是 B．在中最大的数是 C．在中最大的数是 D．在中最大的数是 题型十四：等差数列的函数性质：sn与n比值型 若与为等差数列，且前项和分别为与，则. 1．（23-24高三 四川眉山·开学考试）在等差数列中， ，其前项和为，若，则（    ） A．2 023 B．-2 023 C．-2 024 D．2 024 2．（22-23高三·全国·开学考试）设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．18 B．36 C．40 D．42 3．（21-22高三·安徽蚌埠·模拟）已知数列是等差数列，其前n项和为，则下列说法错误的是（    ） A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等差数列 C．数列一定是等差数列 D．数列可能是常数数列 4．（17-18高三·甘肃张掖·模拟）在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，数列的前n项和为Sn，则取最大值时，n的值为（    ） A．8 B．8或9 C．9 D．17 5．（15-16高三·辽宁大连·模拟）设等差数列满足:,公差 , 若当且仅当时，的前项和取得最大值,则首项的取值范围 是 A． B． C． D． 题型十五：等差数列与三角函数 1．（2023·江西南昌·模拟）设等差数列满足：，公差．若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是 A． B． C． D． 2．（2022广东深圳·模拟）已知等差数列满足：，，公差，则数列的前项和的最大值为 A． B． C． D． 3．（2020·浙江宁波·一模）设等差数列满足：，公差，若当且仅当时，的前项和取得最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2023高三·江苏·专题练习）已知数列是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是 ． 5．（21-22高三·四川南充·模拟）等差数列满足：，,且公差，若当且仅当时，数列前项和取得最大值，则的取值范围是 ． 题型十六：等差数列思维第19题型综合 1．（24-25高三上·河北·开学考试）定义二元数，将所有的二元数按照从小到大排列后构成数列. (1)求； (2)对于给定的，是否存在，使得，成等差数列？若存在求出满足的条件；若不存在，请说明理由； (3)若，求. 2．（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”． (1)判断数列是否为“凹数列”，请说明理由； (2)已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围； (3)证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，当时，有”． 3．（24-25高三 ·广东·阶段练习）已知数列的前三项均为，且． (1)求的通项公式； (2)设数列的各项均为正整数，且． （ⅰ）若，，证明：为等差数列； （ⅱ）若，为递增等差数列，求的最小值． 4．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）若有穷数列满足：且，则称其为“阶数列”. (1)若“6阶数列”为等比数列，写出该数列的各项； (2)若某“阶数列”为等差数列，求该数列的通项（，用表示）； (3)记“阶数列”的前项和为，若存在，使，试问：数列能否为“阶数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 等差数列性质归类 目录 题型一：定义法判断等差数列 1 题型二：定义法求通项 4 题型三：等差中项 6 题型四：等差数列的“中点”性质 8 题型五：an与sn的关系‘ 10 题型六：双等差数列sn比值型 12 题型七：等差数列型函数和 14 题型八：奇数项与偶数项和型 17 题型九：等差数列的函数性质：单调性 18 题型十：等差数列的函数性质：sn最值 21 题型十一：等差数列的函数性质：正负不等式型 22 题型十二：等差数列的函数性质：恒成立型求参 26 题型十三：等差数列的函数性质：范围型 29 题型十四：等差数列的函数性质：sn与n比值型 31 题型十五：等差数列与三角函数 33 题型十六：等差数列思维第19题型综合 35 题型一：定义法判断等差数列 等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． 1．（2024·北京西城·三模）中国古代科学家发明了一种三级漏壶记录时间，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上底宽依次递减1寸（约3.3厘米），下底宽和深度也依次递减1寸.设三个漏壶的侧面与底面所成的锐二面角依次为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，过边的中点作，垂足为，则就是漏壶的侧面与底面所成锐二面角的一个平面角，记为，设漏壶上口宽为，下底宽为，高为，在中，根据等差数列即可求解. 【详解】三级漏壶，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上口宽依次递减1寸（约3.3厘米），下底宽和深度也依次递减1寸， 如图，在正四棱台中，为正方形的中心，是边的中点， 连结，过边的中点作，垂足为， 则就是漏壶的侧面与底面所成锐二面角的一个平面角，记为， 设漏壶上口宽为，下底宽为，高为， 在中，，， 因为自上而下三个漏壶的上口宽成等差数列，下底宽也成等差数列，且公差相等， 所以为定值， 又因为三个漏壶的高成等差数列，所以. 故选：． 【点睛】关键点点睛：对于情境类问题首先要阅读理解题意，其次找寻数学本质问题，本题在新情境的基础上考查等差数列的相关知识. 2．（23-24高三下·上海浦东新·期中）设，记，令有穷数列为零点的个数，则有以下两个结论：①存在，使得为常数列；②存在，使得为公差不为零的等差数列.那么（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【答案】C 【分析】对于①，列举验证，对于②，列举验证. 【详解】当时， ，此时， ，此时， ，此时， 故存在，使为常数列；①正确； 设，则有个零点， 则在的每个区间内各至少一个零点，故至少有个零点， 因为是一个次函数，故最多有个零点，因此有且仅有个零点， 同理，有且仅有个零点，，有且仅有个零点， 故，所以是公差为的等差数列，故②正确. 故选：C. 3．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用.斐波那契数列满足，.给出下列四个结论： ① 存在，使得，，成等差数列； ② 存在，使得，，成等比数列； ③ 存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列； ④ 存在正整数，且，使得. 其中所有正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由递推公式得性质后判断， 【详解】对于①，由题意得，故成等差数列，故①正确， 对于②，由递推公式可知，，中有两个奇数，1个偶数，不可能成等比数列，故②错误， 对于③，， 故当时，对任意，，，成等差数列；故③正确， 对于④，依次写出数列中的项为， 可得，故④正确， 故选：C 4．（21-22浙江金华·阶段练习）已知各项均不为零的数列{an}，定义向量.下列命题中正确的是 A．若任意n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等比数列 B．若任意n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等比数列 C．若任意n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等差数列 D．若任意n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等差数列 【答案】D 【详解】分析：利用平面向量垂直或平行的判定条件得到数列的递推公式，再利用累乘法求出通项，进而利用等差数列和等比数列的定义进行判定． 详解：若任意总有成立， 则， 即， 即 ， 则不是等比数列，也不是等差数列； 若任意总有成立， 则， 即， 即 ， 即是等差数列．故选D． 点睛：（1）熟记平面向量垂直和平行的判定条件： 已知， 则， （2）已知数列的递推公式求通项时，往往采用累乘法； 已知数列的递推公式求通项时，往往采用累加法． 5．（浙江·高考真题）如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，.（） 若    A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等差数列 D．是等差数列 【答案】A 【详解】表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度的一半， 即，由题目中条件可知的长度为定值， 那么我们需要知道的关系式， 由于和两个垂足构成了直角梯形， 那么， 其中为两条线的夹角，即为定值， 那么， ， 作差后：，都为定值，所以为定值．故选A． 题型二：定义法求通项 方法 解读 适合题型 定义法 为同一常数 ⇔是等差数列 解答题中的证明问题 等差中项法 成立⇔是等差数列 通项公式法 为常数）对任意的正整数都成立 ⇔是等差数列 选择、填空题中的判定问题 前项和公式法 验证为常数）对任意的正整数都成立⇔是等差数列 1．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知数列满足，数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件求解判断为等差数列，求出通项，得解. 【详解】由， ， 则，又， ，又， 所以数列为等差数列，则， . 故选：C. 2．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知数列各项为正数，满足，，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得，再结合，可得，进而可得数列是等差数列，即可求出的通项，从而可求出数列的通项，再利用裂项相消法求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，， 即， 所以数列是等差数列， 又，，所以， 所以数列的公差为，首项为， 所以，所以， 所以，则， 所以. 故选：C. 3．（2024·山西·三模）已知数列对任意均有.若，则（    ） A．530 B．531 C．578 D．579 【答案】C 【分析】根据等差数列可得，再利用累加法求. 【详解】因为，可知数列是以首项，公差的等差数列， 所以， 又因为，即， 可得， 累加可得， 则，所以. 故选：C. 4．（2024·全国·模拟预测）已知，数列中，，，为数列的前项和，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据，令，根据等差数列的定义和通项公式可得，再由等差数列前项和与通项关系即可得结论. 【详解】在中，令，可得，所以，又， 所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，则， 所以，所以． 故选：C． 5．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知数列的前项和为，且满足，则（    ） A．110 B．200 C．65 D．155 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义及通项公式求解即可. 【详解】因为， 所以是以为公差的等差数列， 又，所以， 故，所以， 故选：B 题型三：等差中项 .等差中项的概念 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 1．（19-20高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）是公比不为1的等比数列的前n项和，是和的等差中项，是和的等比中项，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由是和的等差中项，可得，又由是和的等比中项，同时令，得，由此即可得到本题答案. 【详解】设的公比为，由于，所以，，， 又是和的等差中项，所以，即， 化简得，由于，所以，， 所以，， 因为是和的等比中项， 所以， 即，所以，令， 则， 当，即时，取得最大值，最大值为.故选：D 【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，考查学生的转化求解能力和运算能力，属中档题. 2．（2022·黑龙江哈尔滨·一模）已知，在这两个实数之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，用表示这个等差数列后三项和为，进而设，利用三角函数的性质能求最大值． 【详解】设中间三项为，则，所以， ， 所以后三项的和为， 又因为，所以可令， 所以 故选 【点睛】本题主要考查等差数列的性质和三角函数的性质． 3．（23-24高二下·四川成都·期末）若等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【分析】先根据等比数列部分项成等差得出公比，再结合等比数列通项求值即可. 【详解】若等比数列的各项均为正数，所以公比， 且成等差数列，可得, 即得 可得， . 故选：C. 4．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列满足，则（    ） A． B．5 C．5或－5 D．或 【答案】C 【分析】根据式子的结构特征可进行组合与提取公因式，再利用等差数列性质和等差中项公式不断简化式子即可得解. 【详解】由题，解得， 故选：C. 5．（2022·全国·模拟预测）设，，若是与的等差中项，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】B 【分析】先由等差中项的概念得到，然后由基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为是与的等差中项， 所以，即， ∴，又，， ∴， 当且仅当，即，时等号成立. 故选：B. 题型四：等差数列的“中点”性质 等差数列“中点”性质 若{an}为等差数列，且m+n=p+q,则 ，…仍是等差数列，公差为． 4.，…也成等差数列，公差为． 1．（2024·新疆·二模）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合等差数列的性质求解即可，或根据题意利用等差数列的通项公式化简，再化简即可. 【详解】因为，所以，所以． 因为，所以． 另解：设等差数列的公差为， 由，得， 所以，即，得， 所以， 因为， ， ， ， 所以 故选：A． 2．（23-24高二下·河南信阳·期末）数列满足，已知，则的前19项和（    ） A．0 B．8 C．10 D．19 【答案】A 【分析】由等差中项得到数列为等差数列，再由等差数列的性质得到，由等差数列前项和公式结合等差中项得到 【详解】因为即，所以数列为等差数列， 因为且，所以，得， 所以. 故选：A. 3．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）设为等差数列的前项和，若，则（    ） A．5 B．10 C． D．15 【答案】B 【分析】利用等差中项性质得，再利用等差数列的下标和性质求解即可. 【详解】若，由等差中项性质得， 故，即，易知. 故选：B 4．（2024·全国·模拟预测）已知为等差数列的前n项和，，则（    ） A．100 B．250 C．500 D．750 【答案】B 【分析】本题考查等差数列通项公式、求和公式，直接利用通项公式和求和公式计算即可；也可利用等差数列的性质公式简化运算. 【详解】解法一：设等差数列的公差为d，则，即，所以，故， 故选：B. 解法二：因为，所以，得，故， 故选：B. 5．（2021全国模拟）等差数列的前项和为，若的值为常数，则下列各数中也是常数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，故的值是常数，进而利用等差下标性质可知代入前项的和的公式中求得，进而推断出为常数，有此可判断A，同理可判断BCD. 【详解】设等差数列的首项和公差分别为， 因为， 所以的值是常数， 对于A，也是常数，故A正确； 对于B，，故不为定值，故B错误； 对于C，， 故不为定值，故C错误； 对于D，， 故不为定值，故D错误.故选：A. 题型五：an与sn的关系‘ ，…也成等差数列，公差为． 等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列 1．（2021·云南昆明·三模）已知数列的前n项和为，，，则（    ） A．414 B．406 C．403 D．393 【答案】B 【分析】利用两式相减得，再利用两式相减可得，由此可得，进一步可得答案. 【详解】由，两式相减得，即. 再由，两式相减得，由，得， 故为以14为首项，8为公差的等差数列，故， 故. 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据递推关系求出数列的偶数项构成以14为首项，8为公差的等差数列，是解题的关键，属于较难题目. 2．（22-23高三上海金山·模拟）对于实数，表示不超过的最大整数. 已知正数数列满足，，其中为数列的前项和，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知数列递推式可得数列{Sn2}是首项为1，公差为1的等差数列，求得．由此可求 【详解】由，令 得，∵ ，得． 当 时， 即 ． 因此，数列 是首项为1，公差为1的等差数列， ∴，即 ． 则 . 故选B. 【点睛】本题考查等差关系的确定，考查数列求和，属难题． 3．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知数列的前项和（为常数，且），则“是等差数列”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据等差数列的定义及充分条件与必要条件定义判断即可． 【详解】若是等差数列，设其公差为，则， 所以， 若，则， 当时，，当时，，此时也满足， 所以，于是有是等差数列， 所以“是等差数列”是“”的充要条件． 故选：A 4．（2023高三·全国·专题练习）设是数列的前n项和，且，则下列选项错误的是（ ） A． B． C．数列为等差数列 D．－5050 【答案】A 【分析】由可得－＝－1，即数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列可判断C，由求出可判断A，B；由等差数列的前n项和公式可判断D. 【详解】是数列的前n项和，且， 则，  整理得－＝－1（常数）， 所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，故C正确； 所以，故． 所以当时，－，不适合上式， 故故B正确，A错误； 所以， 故D正确． 故选：A. 5．（22-23高三 重庆沙坪坝模拟）已知数列的前项和，设为数列的前项和.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的关系求出数列的通项公式，再根据裂项相消法求得，从而根据不等式恒成立求实数的取值范围. 【详解】当时，， 当时满足上式， 所以， 所以， 所以 所以，由可得， 即恒成立，因为对勾函数在单调递增， 所以当时有最小值为64，所以，故选:A. 题型六：双等差数列sn比值型 若与为等差数列，且前项和分别为与，则. 1．（23-24高三·甘肃定西·阶段练习）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A．5 B．6 C．9 D．11 【答案】C 【分析】根据等差数列下标和性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】因为等差数列和的前项和分别为和，且， 所以. 故选：C 3．（23-24高三·江西抚州模拟）已知等差数列与的前项和分别为，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质与求和公式，结合已知条件求解即可. 【详解】因为等差数列与的前项和分别为，且， 所以设， 所以 . 故选：D 3．（2022高三·全国·专题练习）已知Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，，设点A是直线BC外一点，点P是直线BC上一点，且，则实数λ的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可知P，B，C三点共线，从而有+λ=1，再由等差数列的性质可求解. 【详解】因为P，B，C三点共线，所以+λ=1，所以+λ=1，，所以+λ=+λ=1，λ=， 故选:B. 4．（22-23高三·内蒙古包头·模拟）等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的前项和公式，反凑等差数列的前项和公式，即可求得结果. 【详解】＝＝＝＝＝＝. 故选：. 【点睛】本题考查等差数列的前项和之比的问题，涉及等差数列的下标和性质，属基础题. 5．（22-23高按吉林长春·模拟）若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An、Bn，且满足，则的值为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析： 考点：等差数列性质及求和公式 题型七：等差数列型函数和 1．（2022高三·全国·专题练习）已知数列为等差数列，且.设函数，记，则数列的前13项和为（    ） A． B． C．7 D．13 【答案】D 【分析】化简函数的解析式，利用等差数列的性质结合三角函数即可求值. 【详解】因为， 因为数列为等差数列， 所以， 所以， 所以 ， 同理因为， 所以， 又， 所以数列的前13项和为13. 故选：D 2．（22-23高三黑龙江哈尔滨·模拟）已知等差数列的公差为2020，若函数，且，记为的前项和，则的值为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据等差数列的公差及函数解析式，由等差数列求和公式代入可得由余弦和角与差角公式的应用，变形可得，令，代入化简并构造函数，求得并判断符号，可证明为单调递增函数，且可得，从而，进而由等差数列前n项和公式即可求解. 【详解】等差数列的公差为2020，设 函数，且， 则， 即 对，由余弦的和角与差角公式化简可得 ，记，将化简可得 ， 即 令，由可得 ，所以在上单调递增，且，又由可知，所以，即， 所以，故选：A. 【点睛】本题考查了数列与函数的综合应用，等差数列求和公式的应用，余弦和角公式与差角公式的综合应用，换元法求值的应用，由导数判断函数单调性的应用，综合性强，属于难题. 3．（20-21高三江苏泰州·模拟）已知等差数列的前9项和18，函数，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】由等差数列性质求得，由函数的解析式计算得，然后对配对计算． 【详解】，，，， ，则， 所以． 故选：C． 4．（2023·甘肃兰州·模拟预测）已知是一个等差数列的前项和，对于函数，若数列的前项和为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题意求出，再利用裂项求和法即可求解. 【详解】是一个等差数列的前项和，则，解得， 所以， 所以， 所以的前项和为 ， 则. 故选：D 【点睛】本题考查了等差数列的前和公式的性质、裂项求和法，考查了计算求解能力，属于基础题. 5．（2022山东潍坊·模拟预测）已知等差数列，公差不为0，若函数对任意自变量x都有恒成立，函数在上单调，若，则的前500项的和为（    ） A．1010 B．1000 C．2000 D．2020 【答案】B 【分析】由已知得函数关于对称，因为，则，再由等差数列性质求得前500项的和. 【详解】对任意自变量x都成立，函数对称轴为 因为，， 故选：B 【点睛】本题考查函数对称性及利用等差数列性质求和.属于基础题. 函数 对任意自变量x都有，则函数对称轴为， 为等差数列，若，则 ． 题型八：奇数项与偶数项和型 设数列是等差数列，且公差为， （1） 若项数为偶数，设共有项，则①； ② ； （2） 若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②. 1．（23-24高三·广东茂名·模拟）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则此数列的项数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质与其前项和的性质求解即可. 【详解】设该等差数列中有项，其中偶数项有项，奇数项有项， 设等差数列的前项和为，则， 为等差数列，，，解得， ，此数列的项数是项. 故选：. 2．（21-22高三·上海徐汇·模拟）设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和公式解决即可. 【详解】由题知，奇数项有项，偶数项有项， 奇数项之和为， 偶数项之和为， 所以奇数项之和与偶数项之和的比为， 故选：D 3．（22-23高三·四川雅安·阶段练习）一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（    ） A．4 B．8 C．12 D．20 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质得到方程组，求出，从而求出数列的项数. 【详解】根据等差数列的性质得：，， 解得：，故该数列的项数为. 故选：B 4．（2023·重庆·二模）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，首项为， 则，所以， 因为，即，则， 等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得， 所以. 故选：B 5．（23-24高三·江苏南京·模拟）已知等差数列的前项和为，公差为，且单调递增，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分析可得，即数列从第二项开始，各项均为正数，结合等差数列的通项公式，列出不等式，即可求解． 【详解】解：由为等差数列，且，所以， 因为数列为递增数列，则，即从第二项开始，各项均为正数， 又因为恒成立，所以数列为常数数列或递增数列，所以， 则有，解可得， 综上可得，，所以实数的取值范围为． 故选：D． 题型九：等差数列的函数性质：单调性 等差数列的增减性： 时为递增数列，且当时前n项和有最小值． 时为递减数列，且当时前n项和有最大值． 1．（23-24高三湖北·模拟）已知数列的前项和（为常数），则“为递增的等差数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据等差数列前n项和公式函数性质、与的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由等差数列的前项和， 类比表达式，有. 当为递增等差数列时，有； 反之，当时，例如，可得； ，则， 此时数列从第二项开始才为递增的等差数列； 所以“为递增的等差数列”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（23-24高三·江西·阶段练习）设为等差数列的前n项和，则对，，是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由，推得数列为递增数列，进而得到成立，得出充分性成立；反之：由，得到数列为递增数列，举例说明必要性不成立，即可求解. 【详解】若对，都有，可得， 因为恒成立，所以，即数列为递增数列， ， 所以，即成立，所以充分性成立； 反之：若对，都有，即， 可得，解得，所以， 即数列为递增数列， 例如：数列为递增数列，可得， 此时不成立，即必要性不成立； 所以对，，是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2023·北京顺义·一模）已知是无穷等差数列，其前项和为，则“为递增数列”是“存在使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】解：因为是无穷等差数列，若为递增数列， 所以公差， 令，解得， 表示取整函数， 所以存在正整数，有，故充分； 设数列为5，3，1，-1，…，满足，但， 则数列是递减数列，故不必要， 故选：A 4．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数. 若为单调递增数列，则， 若，则当时，；若，则， 由可得，取，则当时，， 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”； 若存在正整数，当时，，取且，， 假设，令可得，且， 当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列. 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”. 所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C. 5．（20-21高三江苏无锡模拟）数列是等差数列，，数列满足，，设为的前项和，则当取得最大值时，的值等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【解析】由，得到首项和公差的关系以及公差的范围，然后求得通项公式，判断的正负，再利用通项与前n项和关系求解. 【详解】设数列的公差为d， 因为， 所以，即， 因为， 所以， 所以， 当时，，当时，， 所以， 又因为， 所以，故中最大 ， 故选：D 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式以及数列前n项和的最值问题，还考查逻辑推理的能力，属于中档题. 题型十：等差数列的函数性质：sn最值 在处理等差数列的前项和的最值时，往往转化为判定的符号变化： ①若，当时，则当且仅当最大； ②若，当时，则当且仅当最小； ③若最大，则. 1．（22-23高三上·海南省直辖县级单位模拟）已知是等差数列前项和，，，当取得最小值时（    ）． A．2 B．14 C．7 D．6或7 【答案】D 【分析】设等差数列的公差为，根据题意解出首项与公差d可得数列通项公式，根据数列的单调性可求出数列前7项小于等于0，可得当取得最小值的n值. 【详解】设等差数列的公差为，∵，， ∴，， 联立解得：，， ∴， 令，解得． 当取得最小值时或7． 故选：D． 【点睛】本题考查等差数列通项及性质，根据数列的单调性求最值问题，可以求出时的n值，或求解进行分析，属于中等题. 2．（22-23高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设为公差为的无穷等差数列的前项和，则“”是“数列有最大项”的 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】化简得到，分别判断充分性和必要性得到答案. 【详解】，对应的二次函数为. 故当时，函数有最大值，数列有最大项. 当数列有最大项时，需满足，故是充要条件. 故选：. 【点睛】本题考查了等差数列前项和，充要条件，意在考查学生的综合应用能力. 3．（21-22高三·上海浦东新·模拟）设为等差数列的前n项和，若已知，则下列叙述中正确的个数有（　　） ①是所有中的最大值；②是所有中的最大值； ③公差一定小于0    ④一定小于 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质求解． 【详解】由，可得， ，故③正确；②错误；最大，故①正确； ，故④正确． 故选：． 【点睛】本题主要考查命题真假的判断，属于中档题，解题时要认真审题，注意数列的性质的合理运用． 4．（22-23高三湖北宜昌·阶段练习）已知数列为等差数列，若，且它们的前n项和有最大值，则使得的n的最大值为 A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】A 【详解】由题意可得，又由有最大值，可知等差数列{an}的，所以，所以，即Sn＞0的n的最大值为19.选A. 5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）在等差数列中，，且，是其前项和，则（   ）. A．都小于0，都大于0 B．都小于0，都大于0 C．都小于0，都大于0 D．都小于0，都大于0 【答案】B 【分析】利用等差数列前项和的性质求解即可. 【详解】等差数列中，，故， 且，故， 所以, , 结合，可知， 都小于0，都大于0. 故选：B 题型十一：等差数列的函数性质：正负不等式型 在等差数列中 （1）若，则满足的项数使得取得最大值； （2）若，则满足的项数使得取得最小值． 即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 1．（23-24高三·陕西·阶段练习）设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据已知条件特征，构造函数，由函数的奇偶性和单调性性质可确定，的关系，再结合等差数列前n项和公式及其性质求解即可. 【详解】构造函数，， 则， 所以是奇函数，又与是增函数， 所以是上的增函数， 又， ， 所以即，且即， 又是等差数列的前n项和， 所以. 故选：C. 2．（23-24高三浙江金华模拟）已知公差为的等差数列，为其前项和，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】构造函数，借助导数与奇偶性的定义可得函数在定义域内单调递增且为奇函数，又由可得，从而得到，再借助，从而得到，即可得解. 【详解】令，则，故在定义域内单调递增， 又，故为奇函数， 由，可得， 故有，，又在定义域内单调递增且为奇函数， 故有，即，即， 故， 又，即， 故. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于构造函数，由函数的单调性与奇偶性结合所给数列的性质得到以及，从而得解. 3．（2022浙江杭州·模拟预测）设等差数列的前项和为，并满足：对任意，都有，则下列命题不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，对分、、三种情况讨论，在时验证即可；在时，取，可设，根据恒成立求得实数的取值范围，逐一验证各选项即可；同理可判断出时各选项的正误. 【详解】设等差数列的公差为，则. ①当时，则，，则对任意的恒成立， A、B、C、D四个选项都成立； ②当时，不妨取，记，则， 由可得，即， 则， 令，可得； 令，可得. ， 则， 解关于的不等式， 可得或， 所以或. 由于数列单调递减，该数列没有最小项； 由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增， 所以，数列单调递减，该数列的最大项为， . 对于A选项，，， 则， ， ， 则， 所以，，A选项成立； 对于B选项，， 则， ， ， 则， 所以，，B选项成立； 当时，； 当时，. 满足，. 对于C选项，，， ， ， 当时，， 所以，C选项不一定成立； 对于D选项，， ， 所以，， D选项成立； ③当时，由②同理可知，C选项不一定成立. 故选：C. 【点睛】本题考查数列不等式的验证，考查等差数列前项和的性质，考查推理能力与计算能力，属于难题. 4．（2024·重庆·模拟预测）若等差数列 的前n项和为S ，且满足 ，对任意正整数 ，都有 则 的值为（    ） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质及前n项和公式计算推理得解. 【详解】依题意，，则， 又，则，， 等差数列的公差，因此数列单调递减， ，且， 即任意正整数，恒成立， 所以对任意正整数，都有成立的. 故选：C 5．（22-23高三·广东广州·模拟）已知数列满足，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用退一作差法求得，求得的表达式，结合二次函数的性质求得的取值范围. 【详解】由， 当时，， 当时，由得， 两式相减并化简得， 也符合上式，所以， 令， 为常数， 所以数列是等差数列，首项，所以， 对称轴为，由于对任意的恒成立， 所以，解得，所以的取值范围是.故选：A 【点睛】与前项和有关的求通项的问题，可考虑利用“退一作差法”来进行求解，和类似.求解等差数列前项和最值有关的问题，可结合二次函数的性质来进行求解. 题型十二：等差数列的函数性质：恒成立型求参 1．（21-22高三 ·福建南平·模拟）已知等差数列满足，，，若对任意正整数，恒有，则正整数的值是（   ） A．6 B．5 C．4 D．7 【答案】A 【分析】利用等差性质研究数列项的变化，从而可得结果. 【详解】由等差数列满足，， 可知，即，且，，公差， ∴ 又， ∴当时，最大， ∴正整数的值是. 故选：A 2．（23-24高三 ·云南昆明·模拟）等差数列的前n项和为，已知，若存在正整数k，使得对任意，都有恒成立，则k的值为（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【分析】利用等差数列定义结合题意可得等差数列通项公式，再利用等差数列前n项和的性质结合等差数列通项公式计算即可得解. 【详解】设等差数列的公差为，则， 即有，则， 即， 令，解得，故当时，， 即恒成立，故k的值为20. 故选：B. 3．（22-23高三·广西河池·模拟）已知数列满足，数列的前项和为，若的最大值仅为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数列递推式求出的表达式，设，可求得其表达式，根据的最大值仅为，可判断数列单调性，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意， 令， 即数列是等差数列，前项和最大值仅为，则， 解得， 故选：C． 4．（2021高三·江苏·专题练习）对于数列，定义为数列的“诚信”值，已知某数列的“诚信”值，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，利用递推关系可得，利用等差数列的求和公式可得数列的前项和为根据对任意的恒成立，对分类讨论利用数列的单调性即可得出． 【详解】解：由，， 当时，， 时，由得， ，， 满足，故对任意的，. 数列的前项和为 ， 对任意的恒成立，， 化为， 时，，， 时恒成立， 时，，， 综上可得：实数的取值范围为． 故选：C． 5．（23-24高三·河北唐山·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，对任意，均有成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等差数列前n项和的函数性质得，再由等差数列通项公式得，即可求范围. 【详解】设等差数列的公差为， 由，又任意均有成立， 所以， 由，而，则. 故选：A 题型十三：等差数列的函数性质：范围型 在等差数列中 （1）若，则满足的项数使得取得最大值； （2）若，则满足的项数使得取得最小值． 即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 1．（22-23高三·浙江·模拟）等差数列的公差不为0，其前n和满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得出是的最大值，从而有，且，，由此得出的范围，推导出结论． 【详解】等差数列的公差不为0，其前n和满足，因此是的最大值，显然， 从而，即，，， ． 故选：C． 2．（21-22高三·北京西城·开学考试）已知等差数列，是数列的前项和，对任意的，均有成立，则的值不可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据题意，由恒成立可得是等差数列的前项和中的最大值，结合等差数列前项和的性质，分3种情况讨论，综合求出的取值范围，分析选项可得答案． 【详解】根据题意，等差数列，对任意的，均有成立，即是等差数列的前项和中的最大值， 必有，公差， 分3种情况讨论： ①，此时，、是等差数列的前项和中的最大值， 此时，则有， 则， ②，此时，、是等差数列的前项和中的最大值， 此时，则有， ， ③，，是等差数列的前项和中的最大值， 此时，，则，变形可得：， ，而，则有， 综合可得：.故选：A． 3．（21-22高二上·浙江·期末）已知等差数列 的前n 项和为 Sn ，首项 a1 =1，若，则公差 d 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该等差数列有最大值，可分析得，据此可求解. 【详解】，故，故有 故d 的取值范围为. 故选：A 4．（2022·新疆昌吉·模拟预测）已知数列满足，且前项和为，若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用递推关系可得，即数列是等差数列，结合条件得，再利用等差数列求和公式即得. 【详解】∵， 当时，， 又①，∴②， 由①－②，得，即， ∴数列是等差数列. 由，设为公差，则 ，解得， 则. 故选：A. 5．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知数列是公差不为0的无穷等差数列，是其前项和，若存在最大值，则（    ） A．在中最大的数是 B．在中最大的数是 C．在中最大的数是 D．在中最大的数是 【答案】A 【分析】 根据题意，由条件可得，由是以为首项，为公差的等差数列，即可判断AB，由可得在中最大的数是不确定的，即可判断CD. 【详解】设等差数列的公差为，则，由存在最大值可知，， 因为，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，且，则是递减数列，所以在中最大的数是，故A正确，B错误； 在中最大的数是不确定的，比如，由，可得，所以，即为最大值，故CD错误；故选：A 题型十四：等差数列的函数性质：sn与n比值型 若与为等差数列，且前项和分别为与，则. 1．（23-24高三 四川眉山·开学考试）在等差数列中， ，其前项和为，若，则（    ） A．2 023 B．-2 023 C．-2 024 D．2 024 【答案】C 【分析】设公差为，可得出也为等差数列，根据条件得出其公差，从而得出其通项公式，从而得出答案. 【详解】由是等差数列，设公差为，则 所以，（常数），则也为等差数列. 由，则数列的公差为1. 所以 所以，所以 故选：C 2．（22-23高三·全国·开学考试）设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．18 B．36 C．40 D．42 【答案】B 【分析】确定为等差数列，得到，代入数据计算得到答案. 【详解】，故为等差数列， 故，故，解得. 故选：B 3．（21-22高三·安徽蚌埠·模拟）已知数列是等差数列，其前n项和为，则下列说法错误的是（    ） A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等差数列 C．数列一定是等差数列 D．数列可能是常数数列 【答案】B 【分析】可根据已知条件，设出公差为，选项A，可借助等比数列的定义使用数列是等差数列，来进行判定；选项B，数列，可以取，即可判断；选项C，可设，表示出再进行判断；选项D，可采用换元，令，求得的关系即可判断. 【详解】数列是等差数列，设公差为， 选项A，数列是等差数列，那么为常数， 又，则数列一定是等比数列，所以选项A正确； 选项B，当时，数列不存在，故该选项错误； 选项C，数列是等差数列，可设（A、B为常数）， 此时，，则为常数， 故数列一定是等差数列，所以该选项正确； 选项D，，则， 当时，，此时数列可能是常数数列， 故该选项正确. 故选：B. 4．（17-18高三·甘肃张掖·模拟）在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，数列的前n项和为Sn，则取最大值时，n的值为（    ） A．8 B．8或9 C．9 D．17 【答案】B 【分析】结合已知条件求得，由此求得，进而求得，由求得正确答案. 【详解】依题意， 所以 所以是首项为，公差为的等差数列， 所以， 由， 所以取最大值时，n的值为或. 故选：B 5．（15-16高三·辽宁大连·模拟）设等差数列满足:,公差 , 若当且仅当时，的前项和取得最大值,则首项的取值范围 是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：将化简可得 ，∴其对称轴方程为：，有题意可知当且仅当n=9时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值， ∴，解得 考点：数列的应用 题型十五：等差数列与三角函数 1．（2023·江西南昌·模拟）设等差数列满足：，公差．若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析： 原式,,,则,由,对称轴方程为由题意当且仅当时, 数列的前项和取得最大值,,解得：,首项的取值范围是.故选B. 考点：1、同角三角函数之间的关系、两角和与差的三角函数；2、差数列的性质及前项和的最值. 【方法点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系、两角和与差的三角函数以及等差数列的性质及前项和的最值，属于难题.求等差数列前项和的最大值值的方法通常有两种：①将前前项和表示成关于的二次函数，，当时有最大值（若不是整数，等于离它较近的一个或两个整数时最大）；②可根据且确定最大时的值.本题根据方法①确定的取值范围的. 2．（2022广东深圳·模拟）已知等差数列满足：，，公差，则数列的前项和的最大值为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，解得，则 ， 又，，故，， 又公差，由，得，故或最大，最大值为，故选C． 3．（2020·浙江宁波·一模）设等差数列满足：，公差，若当且仅当时，的前项和取得最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据三角恒等变换公式和等差数列的性质，将已知等式化为，根据，可得，根据，，可得，根据余弦函数的单调性可得结果. 【详解】因为， 所以，所以， 所以，所以， 因为为等差数列，所以，所以，所以， 所以，，所以，，因为，所以， 因为当且仅当时，的前项和取得最大值，所以，， 所以，，所以，，即， 因为在上是增函数，所以，故选：A. 【点睛】本题考查了三角恒等变换公式，考查了等差数列的性质，考查了等差数列前项和的最值，考查了余弦函数的单调性的应用，属于中档题. 4．（2023高三·江苏·专题练习）已知数列是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是 ． 【答案】－4 【分析】根据等差数列前项和的性质求解即可. 【详解】设等差数列的项数为2m， ∵末项与首项的差为－28，∴，① ∵， ∴，② 由①②得， 故答案为：. 5．（21-22高三·四川南充·模拟）等差数列满足：，,且公差，若当且仅当时，数列前项和取得最大值，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先利用二倍角公式和同角三角函数基本关系式化简等式的左边，再利用等差中项进行化简，再利用数列通项的符号变化确定答案. 【详解】由， 得， 即， 即， 即，即，因为， 所以，则，即， 又，得；若当且仅当时，数列前项和取得最大值， 则，解得. 题型十六：等差数列思维第19题型综合 1．（24-25高三上·河北·开学考试）定义二元数，将所有的二元数按照从小到大排列后构成数列. (1)求； (2)对于给定的，是否存在，使得，成等差数列？若存在求出满足的条件；若不存在，请说明理由； (3)若，求. 【答案】(1)，，， (2)存在， (3)， 【分析】（1）根据的条件，以及所求的各项，分别取值，即可逐一求解； （2）由等差中项公式得到等式，然后分、和三类讨论，然后得出时，满足题意，从而得解； （3）利用已知条件得到等式由（2）相同的方法，得出，从而得到，结合，得出，由二次数定义知，从而得到. 【详解】（1）令，得 令，得， 令，得， 令，得， 令，得， 令，得. （2）若成等差数列， 则，即. 当时，①式两边同时除以得：，此时左边为奇数，右边为偶数，不成立； 当时，①式两边同时除以得：，此时左边为奇数，右边为偶数，不成立； 当时，成立. 所以. （3）， ，即 当时，②式两边同时除以得：，此时左边为奇数，右边为偶数，不成立； 当时，②式两边同时除以得：，此时左边为奇数，右边为偶数，不成立； 当时，，即， ， ， 当且仅当即时取等号， 又因为， . 【点睛】关键点点睛：第（2）小问关键点是利用等差中项得出一个等式关系，然后根据二次数的定义分三类讨论，再证明等式关系时，两边同时除以与，结合左右两边数的奇偶性，得出的结论，从而得解；第（3）小问的关键是，借助了第（2）小问的方法，得出，从而得到，借助，及指数函数的单调性，得出的值，最后利用二次数的定义得，即可求解. 2．（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”． (1)判断数列是否为“凹数列”，请说明理由； (2)已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围； (3)证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，当时，有”． 【答案】(1)数列是“凹数列”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）计算出，故满足“凹数列”的定义； （2）利用等差数列通项公式得到，由题意得对任意恒成立，化简得到，得到答案； （3）先证明出必要性，放缩得到，故，再证明充分性，取，则有，即，所以为“凹数列”. 【详解】（1）因为，则， 又，故，即，数列是“凹数列”． （2）因为等差数列的公差为， 所以， 因为数列是凹数列， 所以对任意恒成立， 即 所以，即， 因为， 解得． 所以的取值范围为． （3）先证明必要性： 因为为“凹数列”所以对任意的，都有，即， 所以对任意的，当时，有 ， 所以， 又， 所以．必要性成立， 再证明充分性： 对于任意的，当时，有， 取，则有， 即，所以为“凹数列”. 【点睛】方法点睛：数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题. 3．（24-25高三 ·广东·阶段练习）已知数列的前三项均为，且． (1)求的通项公式； (2)设数列的各项均为正整数，且． （ⅰ）若，，证明：为等差数列； （ⅱ）若，为递增等差数列，求的最小值． 【答案】(1)，. (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）8095 【分析】（1）由已知递推关系多求几项探索数列项的规律，归纳通项，再加以证明即可； （2）（ⅰ）由关系式得，由数列各项为正整数递增，可得，进而，再由，可得，由此故等差得证； （ⅱ）由，为递增等差数列，通过通项公式分析出，可得从第2项起后面各项构成等差数列，再由公差范围，确定数列使取最小， 并求出取最小值时的即可. 【详解】（1）由，, 可得，解得， 同理依次可得，，，，，，， 归纳可得数列的通项公式为，. 下面证明该通项公式满足题意. 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 综上可知，对任意正整数，都成立，满足题意. 故满足题意的数列的通项公式为，. （2）（ⅰ）由（1）可知，，由，可得 ，， 由数列的各项均为正整数，且， 可知，则，，， 由，，任意，，满足， 都有； 故，由，可得为等差数列； （ⅱ）若， 则， 且数列的各项均为正整数，且，即数列递增. 所以当时，，又为递增等差数列，则， 由可知， 则任意，，即，使， 并且，可得，即. 当时，， 因为为递增等差数列，所以数列为递增等差数列，且公差相等. 由，则，则数列的公差， 即递增等差数列数列的公差， 故. 当且仅当，时，取到最小值. 此时，， 当时，也满足，是等差数列，满足题意. 故的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题目属数列综合题型，解决关键有以下几点：一是数列通项的规律探索，如第（1）问中由四项型的递推数列关系求通项，知三求一，依次多求解几项，观察规律从而归纳出通项公式再加以证明；二是正整数数列的子数列问题，要注意正整数数列任意两项之差都为整数的特性. 4．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）若有穷数列满足：且，则称其为“阶数列”. (1)若“6阶数列”为等比数列，写出该数列的各项； (2)若某“阶数列”为等差数列，求该数列的通项（，用表示）； (3)记“阶数列”的前项和为，若存在，使，试问：数列能否为“阶数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由. 【答案】(1)或 (2)答案见解析 (3)不是，理由见解析 【分析】（1）根“阶数列”的定义求解即可； （2）结合“阶数列”的定义，首先得，然后分公差是大于0、等于0、小于0进行讨论即可求解； （3）记中非负项和为，负项和为，则，进一步，结合前面的结论以及“阶数列”的定义得出矛盾即可求解. 【详解】（1）设成公比为的等比数列，显然， 则有，得，解得， 由， 得，解得， 所以数列或为所求； （2）设等差数列的公差为， ， ，即， 当时，矛盾， 当时，， ，即，由得， 即， ， 当时，同理可得，即， 由得，即， ， 综上所述，当时，， 当时，； （3）记中非负项和为A，负项和为，则， 得，即， 若存在，使，可知： ，且， 时，时， ， 又与不能同时成立， 数列不为“阶数列”. 【点睛】 关键点点睛：第三问的关键是得到，，，，，，，，且，由此即可顺利得解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$