精品解析：湖南省长沙市怡海中学2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题

怡海中学2024年下学期初三第一次随堂检测数学卷 满分：120分 时间：120分钟 命题人：张海艳 审题人：严青，刘贵顺 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的意义，即可解答． 【详解】解：的相反数是6， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． 2. 下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 2，3，4 B. 1，1， C. 1，，2 D. 8，15，17 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：A、，不能作为直角三角形的三边长，符合题意； B、，能作为直角三角形的三边长，不符合题意； C、，能作为直角三角形的三边长，不符合题意； D、，能作为直角三角形的三边长，不符合题意； 故选A． 3. 我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：用科学记数法将数据1290000000表示为， 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查同底数幂的除法、二次根式的加减、幂的乘方、完全平方公式的运算，解题的关键是熟知运算法则． 【详解】解：A、 ，计算正确； B、不能合并，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算错误； 故选A． 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数顶点为，开口向下即可判断． 【详解】解：函数开口向下，顶点为． 故选：B． 6. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 【解析】 【详解】∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3， ∴当x=0时，y=-1，故选项A错误， 该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误， 当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误， 当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 7. 将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（　　） A. y=（x+2）2﹣5 B. y=（x+2）2+5 C. y=（x﹣2）2﹣5 D. y=（x﹣2）2+5 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0）， 先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5）， 所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣5． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答本题的关键． 8. 如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，各彩条的宽度相等，如果要使彩条所占面积是图案面积的六分之一.设彩条的宽为cm，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设彩条的宽为xcm，根据要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，如果要使彩条所占面积是图案面积的六分之一，可列方程． 【详解】解：设彩条的宽度是x cm，则 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找等量关系，构建方程解决问题． 9. 如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是平行四边形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据三角形的中位线性质证明四边形为平行四边形，然后根据矩形、菱形的判定与性质逐项即可解答． 【详解】解：∵点分别是四边形边的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ①若，则， ∴四边形为菱形，即①错误； ②若，则，即， ∴四边形为矩形，即②错误； ③与是否互相平分均能得到四边形是平行四边形，即③错误； ④若四边形是正方形，则，， ∴，，即与互相垂直且相等，故④正确， 故正确的个数是1个． 故选：A． 10. 如图，在中，是的中点，作，垂足在线段上连接，则下列结论中一定成立的是（ ） ①；②；③；④． A. ①②③ B. ①③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】由在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，易得AF=FD=CD，继而证得∠DCF=，可判断①；然后延长EF，交CD延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），可得再证明，可判断②；由EF=FM，可得，结合MC＞BE， ＜，可判断③；设∠FEC=x，则∠FCE=x，再分别表示：，从而可判断④． 【详解】解：①∵F是AD的中点， ∴AF=FD， ∵在▱ABCD中，AD=2AB， ∴AF=FD=CD， ∴∠DFC=∠DCF， ∵， ∴∠DFC=∠FCB， ∴∠DCF=∠BCF， ∴；故①正确； ②延长EF，交CD延长线于M， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴∠A=∠MDF， ∵F为AD中点， ∴AF=FD， 在△AEF和△DFM中， ， ∴△AEF≌△DMF（ASA）， ∴FE=MF，∠AEF=∠M， ∵CE⊥AB， ∴∠AEC=90°， ∴∠AEC=∠ECD=90°， ∴EF=CF，故②正确； ③∵EF=FM， ∴， ∵MC＞BE， ∴＜，故③错误； ④设∠FEC=x， ∠FCE=x， ∴∠DCF=∠DFC=， ∴∠EFC=， ∴ ∵， ∴∠DFE=3∠AEF，故④正确． 综上可知：一定成立的是①②④， 故选：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题关键． 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 为了比较甲、乙、丙三种水稻秋苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，由此可知____种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：∵， ∴甲种秧苗长势更整齐， 故答案为：甲． 12. 一元二次方程的两个根是，，那么二次函数与轴的交点坐标是________． 【答案】， 【解析】 【分析】令二次函数y=0，求出方程的解，确定二次函数图象与x轴的交点坐标． 【详解】解：∵二次函数与x轴的交点坐标的纵坐标是0，即的两根是该函数与x轴交点的横坐标， ∴二次函数与轴的交点坐标是，， 故答案为，． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，根据二次函数图象与x轴交点进行求解是解题关键． 13. 若关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及解法和方程的解，熟练掌握基础概念并进行正确计算是解决问题的关键． 将一个根0代入，得，解得，由一元二次方程定义，可知，解得，进而求出k值． 【详解】解：由题意， 将一个根0代入，得 ， 解得， 由一元二次方程定义，可知， 解得， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质．解题的关键在于熟练掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．由角平分线的性质可得，根据求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，若E为的中点，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】证明，则，是等边三角形，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， E为的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形等知识．熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形是解题的关键． 16. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②③；④（为实数）．其中结论正确的为______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象判断式子的符号，根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①，特殊点结合对称轴判断②，特殊点结合平方差公式判断③，最值判断④即可． 【详解】解：由图象可知：， ∴， ∴；故①错误， 当时，， ∴；故②正确； ∵时，函数有最小值，且由图象可知最小值为：， ∴，故③正确； ， ∴；故④正确； 故答案为：②③④ 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别计算有理数的乘方，算术平方根，零指数幂，化简绝对值，然后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，算术平方根，零指数幂，化简绝对值．熟练掌握有理数的乘方，算术平方根，零指数幂，化简绝对值是解题的关键． 18. 解下列一元二次方程 （1）； （2）； 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， 解得，，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴或， 解得，，． 19. 已知，是关于x的一元二次方程的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系； （1）根据根的判别式得出关于m的不等式，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得出，，根据，得出，然后解方程即可； 一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．，． 【小问1详解】 解：∵，是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵，， 又∵， ∴， ∴， 解得（舍去），， ∴． 20. 2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表： 成绩统计表 组别 成绩x（分） 百分比 A组 B组 C组 a D组 E组 成绩条形统计图 根据所给信息，解答下列问题： （1）本次调查的成绩统计表中________%，并补全条形统计图； （2）这200名学生成绩的中位数会落在________组（填A、B、C、D或E）； （3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数． 【答案】（1）20， 补全条形统计图如图所示： （2）D （3）300人 【解析】 【分析】（1）用1减去其余各组人数所占的百分数即可得a的值，进而可求出C组人数，补全条形统计图即可． （2）按照中位数的定义解答即可． （3）用总人数乘以D组人数所占百分比即可． 【小问1详解】 ， C组人数为：， 【小问2详解】 ， ， ∴200名学生成绩的中位数会落在D组． 【小问3详解】 （人） 估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人． 【点睛】本题主要考查了统计表和统计图的综合运用、用样本估计总体等知识．综合运用所学知识并且正确计算是解题的关键． 21. 如图直线：经过点，． （1）求直线的表达式； （2）若直线与直线相交于点M，与x轴相交于点D．求四边形的面积； （3）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将，代入得，，可求，进而可得直线的表达式； （2）联立，可求，即，当时，，可求，即，根据，求解作答即可； （3）根据关于x的不等式的解集为直线在直线上方部分，直线在轴以及轴上方部分所对应的的取值范围，结合图象作答即可． 【小问1详解】 解：将，代入得，， 解得，， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：联立， 解得，， ∴， 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； 【小问3详解】 解：由题意知，关于x的不等式的解集为直线在直线上方部分，直线在轴以及轴上方部分所对应的的取值范围， 由图象可知，不等式的解集为． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，两直线的交点，坐标与图形，一次函数与不等式等知识．熟练掌握一次函数解析式，两直线的交点，坐标与图形，一次函数与不等式是解题的关键． 22. 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数，且x=65时，y=55；x=75时，y=45． （1）求一次函数的表达式； （2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）利润W与销售单价x之间的关系式是，当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元； 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可以求得一次函数的表达式； （2）根据题意可以得到利润W与销售单价x之间的关系式，并求得销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元； 【小问1详解】 解：销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数，且x=65时，y=55；x=75时，y=45． ， 解得，k＝﹣1，b＝120， 即一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由题意可得， ， ∵销售单价不低于成本单价，且获利不得高于， ，得， ∴当x＝87时，W取得最大值，此时， 答：利润W与销售单价x之间的关系式是，当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元； 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和不等式的性质解答． 23. 如图，在平行四边形中，平分，交于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形，可得，则，由平分，可得，则，进而可证； （2）由题意得，，，证明，则，如图，连接，由，可得，，，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【小问1详解】 证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵平行四边形， ∴， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 如图，连接， ∵， ∴，，， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形等知识．熟练掌握平行四边形的性质，角平分线，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形是解题的关键． 24. 我们不妨约定：若某函数图象上存在横纵坐标相等的点，则把该函数称为“和谐函数”，其图象上这一点，称为“和谐点”，例如：“和谐函数”，其“和谐点”为． （1）在下列关于x的函数中，是“和谐函数”的，请在相应的题目后面括号中打“√”． ①________； ②_______； ③________． （2）若点A、点B是“和谐函数”（其中）上的“和谐点”，且，求m的取值范围； （3）若“和谐函数”的图象上存在唯一的一个“和谐点”，且当时，n的最小值为k，求k的值． 【答案】（1）②√；③√ （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）按照题意令，解方程，然后判断作答即可； （2）设，由题意知，，整理得，，则，，，，由，可得，计算求解即可； （3）由“和谐函数”的图象上存在唯一的一个“和谐点”可得，整理得，，则，即得，，关于的二次函数图象开口向下，对称轴为直线，分①当，即时，当时，n取最小值k，则，计算求出满足要求的解即可；②当，，即时，当时，n取最小值k，则，计算求出满足要求的解即可；③当，，即时，当时，n取最小值k，则，计算求出满足要求的解即可；④当，即时，当时，n取最小值k，则，计算求出满足要求的解即可． 【小问1详解】 解：①令，即，方程无解， ∴不是“和谐函数”； ②令，即，解得，， ∴是“和谐函数”； ③令，即，解得，或， ∴是“和谐函数”； 故答案为：②√；③√； 【小问2详解】 解：设， ∵点A、点B是“和谐函数”（其中）上的“和谐点”， ∴，整理得，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴m的取值范围为； 【小问3详解】 解：∵“和谐函数”的图象上存在唯一的一个“和谐点” ∴，整理得，， ∴， 解得，， ∴关于的二次函数图象开口向下，对称轴为直线， ①当，即时， 当时，n取最小值k， ∴， 解得，（舍去），（舍去）； ②当，，即时， 当时，n取最小值k， ∴， 解得，，（舍去）； ③当，，即时， 当时，n取最小值k， ∴， 解得，，（舍去）； ④当，即时， 当时，n取最小值k， ∴， 解得，（舍去），（舍去）； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．理解题意，熟练掌握解一元一次方程，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，二次函数的图象与性质，二次函数的最值是解题的关键． 25. 如图，抛物线与x轴交于点与点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）在点P的运动过程中，是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）当点P在第一象限时，连接，设的面积为，的面积为，求的取值范围． 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）将，，代入得，，可求，进而可得抛物线的解析式； （2）如图①，连接，过作直线，使，过作于，过作轴于，作于，则，，证明，则，设，则，，，，，，可求，即，待定系数法求直线的解析式为，联立，计算求出满足要求的解即可； （3）如图②，过作轴于，设，则，，，即，由题意知，，进而可得，，计算求解然后作答即可． 【小问1详解】 解：将，，代入得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图①，连接，过作直线，使，过作于，过作轴于，作于， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 设，则，，，， ∴，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立， 解得，或， ∴， ∴存在点P，使，； 【小问3详解】 解：如图②，过作轴于， 设，则， ∴，， ∴， 由题意知，， ∴，， ∴， ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，二次函数与角度综合，二次函数与面积综合等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，二次函数与角度综合，二次函数与面积综合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 怡海中学2024年下学期初三第一次随堂检测数学卷 满分：120分 时间：120分钟 命题人：张海艳 审题人：严青，刘贵顺 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 2. 下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 2，3，4 B. 1，1， C. 1，，2 D. 8，15，17 3. 我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 7. 将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（　　） A. y=（x+2）2﹣5 B. y=（x+2）2+5 C. y=（x﹣2）2﹣5 D. y=（x﹣2）2+5 8. 如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，各彩条的宽度相等，如果要使彩条所占面积是图案面积的六分之一.设彩条的宽为cm，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是平行四边形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在中，是中点，作，垂足在线段上连接，则下列结论中一定成立的是（ ） ①；②；③；④． A. ①②③ B. ①③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 为了比较甲、乙、丙三种水稻秋苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，由此可知____种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）． 12. 一元二次方程的两个根是，，那么二次函数与轴的交点坐标是________． 13. 若关于x一元二次方程有一个根是0，则k的值为________________． 14. 如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若，，则的长为_________． 15. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，若E为的中点，则的长为________． 16. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②③；④（为实数）．其中结论正确的为______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解下列一元二次方程 （1）； （2）； 19. 已知，是关于x的一元二次方程的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 20. 2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表： 成绩统计表 组别 成绩x（分） 百分比 A组 B组 C组 a D组 E组 成绩条形统计图 根据所给信息，解答下列问题： （1）本次调查的成绩统计表中________%，并补全条形统计图； （2）这200名学生成绩的中位数会落在________组（填A、B、C、D或E）； （3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数． 21 如图直线：经过点，． （1）求直线的表达式； （2）若直线与直线相交于点M，与x轴相交于点D．求四边形的面积； （3）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 22. 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数，且x=65时，y=55；x=75时，y=45． （1）求一次函数的表达式； （2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ 23. 如图，在平行四边形中，平分，交于点E，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 24. 我们不妨约定：若某函数图象上存在横纵坐标相等的点，则把该函数称为“和谐函数”，其图象上这一点，称为“和谐点”，例如：“和谐函数”，其“和谐点”为． （1）在下列关于x的函数中，是“和谐函数”的，请在相应的题目后面括号中打“√”． ①________； ②_______； ③________． （2）若点A、点B是“和谐函数”（其中）上“和谐点”，且，求m的取值范围； （3）若“和谐函数”的图象上存在唯一的一个“和谐点”，且当时，n的最小值为k，求k的值． 25. 如图，抛物线与x轴交于点与点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）在点P的运动过程中，是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）当点P在第一象限时，连接，设的面积为，的面积为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $