精品解析：山东省泰安市肥城市2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

高三数学试题 本试卷共19题，满分150分，共6页．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上．用2B铅笔将试卷类型A填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可. 【详解】因为集合，， 所以， 所以. 故选：A. 2. 若复数满足，则复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算求出，再根据共轭复数的概念及复数的几何意义即可求解. 【详解】因为，所以. 所以，对应的点为，位于第三象限. 故选:C. 3. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，，再由平行向量的坐标表示求解即可得出答案. 【详解】因为，， 所以，， 因为，所以， 则 故选：B. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. 5 D. -5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用两角和与差的正弦公式，联立方程组求得的值，结合，即可求解. 【详解】根据题意，由两角和与差的正弦公式，可得： ，， 联立方程组，可得， 又由. 故选：D. 5. 已知两个圆台甲、乙的上底面半径均为r，下底面半径均为2r，圆台的母线长分别为3r和5r，则圆台甲、乙的体积之比为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设甲圆台的高为，乙圆台的高为，利用勾股定理求出，，再由圆台的体积公式计算可得. 【详解】设甲圆台的高为，乙圆台的高为，则， ， 所以圆台甲的体积， 圆台乙的体积， 所以圆台甲、乙的体积之比为. 故选：B 6. 若函数（其中，且）的最小值是3，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用分段函数的性质，结合对数的运算法则，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数（其中，且）的最小值是3， 当时，函数为单调递减函数，所以， 则当时，函数为单调递增函数，则 且满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：D. 7. 曲线与交点个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】作出曲线与图象，结合图象即可得出答案. 【详解】作出曲线与大致图象，可知，而， 由曲线与图象知，曲线与有个交点. 故选：A. 8. 已知函数，的定义域为R，的图象关于直线对称，且，，若，则（ ） A. －5 B. －6 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由的图象关于直线对称，得，由，得，结合，得，进而代入相关值求结果即可. 【详解】因为的图象关于直线对称，则①， 又， 即， 结合①得②， 因为，则， 结合②得，则， 令，得， 令，得， 由，得， 由，得， 则， 所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在某市举行的一次期末质量检测中，经抽样分析，该市某学校的数学成绩X近似服从正态分布，且．该校有1000人参加此次考试，则（ ） A. B. C. 估计成绩不低于90分的有200人 D. 估计成绩不低于86分的有300人 【答案】BC 【解析】 【分析】通过数学成绩近似服从正态分布，可以看出数学成绩关于对称，通过，可以计算出，由此可判断A，B；再求出，，由此可判断C，D. 【详解】因为数学成绩近似服从正态分布， 所以数学成绩关于对称，已知， 所以 ， ，故A错误； 所以，故B正确； 估计成绩不低于90分的有人，故C正确； ，估计成绩不低于90分的有人，故D错误； 故选：BC. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，是上减函数 B. 当时，是的极小值点 C. 当时，取到最小值 D. 当时，恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，当时，即可；对于BC，由导数判断函数的单调性即可求解；对于D，由导数判断函数的单调性，并求函数最小值，再通过导数证明即可. 【详解】由题意，函数，定义域为， 则导函数为， 对于A，当时，，则函数在上单调递减，故A正确； 对于B，当时，令，解得， 当时，，则函数在单调递增； 当时，，则函数在单调递减； 所以为的极小值点，故B错误； 对于C，当时，令，解得， 当时，，则函数在单调递增； 当时，，则函数单调递减； 所以函数的最小值为，故C正确； 对于D，由B选项知，函数在取最小值， 则， 假设，则， 即在恒成立， 令， 则， 令，则，单调递增， 令，则，在单调递减， 所以， 所以恒成立， 所以当时，恒成立，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过点作斜率为直线与交于，两点．若直线经过点，则（ ） A. B. C. D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先求出，从而得到，判断A，联立直线与抛物线方程，由根的判别式和韦达定理可判断B,C，由焦半径公式化简可得：，结合二次函数的最值问题即可判断D. 【详解】因为抛物线的焦点为，且直线经过点， 所以，则，解得：，故A正确； 所以抛物线方程为：，则， 设过点作斜率为直线的方程为：， 联立：，消去可得：， 显然，，解得或，故C错误； 由韦达定理可得：，，故B正确； 因为，， 所以， 令，则，则， 所以的取值范围是，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若双曲线的一个焦点，一条渐近线方程为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件列出关于的方程，解方程可得的值，由此可得结论. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 又为双曲线的一条渐近线， 所以， 设双曲线的半焦距为，因为为其一个焦点， 所以，又， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 若函数为奇函数，则曲线在点处的切线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】由奇函数的性质求出，再由导数的几何意义求出曲线在点处的切线的斜率，由点斜式方程即可得出答案. 【详解】函数为奇函数， 则，所以， 所以，， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为：， 则化简为：. 故答案为：. 14. 为了将课堂所学的专业理论知识与实际生活相结合，提升学生的个人综合素质，增强社会责任感和使命感，某知名大学的校团委安排该校一个大学生志愿服务团体在暑假期间开展“环境保护”、“社区文化”、“便民服务”、“法律援助”、“教育服务”、“公益慈善”六项社区服务活动，并对活动开展顺序提出了如下要求，重点活动“法律援助”必须排在前三位，且“便民服务”和“教育服务”两项活动必须排在一起，则这六项活动完成顺序的不同安排方案种数是________． 【答案】 【解析】 【分析】分别在“法律援助”排第一位，第二位，第三位时，结合捆绑法及分步乘法计数原理求解即可. 【详解】根据题意,由于活动“法律援助”必须排在前三位，分种情况讨论: ①“法律援助”排在第一位，活动“便民服务”和“教育服务”必须排在一起， 则活动“便民服务”和“教育服务”相邻的位置有个,考虑两者的顺序，有种情况， 将剩下的个活动全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法， 则此时有种安排方案； ②“法律援助”排在第二位，活动“便民服务”和“教育服务”必须排在一起， 则活动“便民服务”和“教育服务”相邻的位置有个，考虑两者的顺序,有种情况， 将剩下的个活动全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法， 则此时有种安排方案； ③“法律援助”排在第三位，活动“便民服务”和“教育服务”必须排在一起， 则活动“便民服务”和“教育服务”相邻的位置有个,考虑两者的顺序，有种情况， 将剩下的个活动全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法， 则此时有种安排方案； 故符合题意的安排方案有种. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，且． （1）求的面积； （2）若时，求边c和角B． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由数量积的定义可得，由同角三角函数的基本公式求出，再由面积公式即可得出答案. （2）由余弦定理结合，可求出，再由正弦定理求解即可. 【小问1详解】 由已知可得，可得 由，可求得， 所以. 【小问2详解】 因为，可得. 由余弦定理得，可得. 由正弦定理,可得 ， 由于，所以，可得 . 16. 设椭圆的左右焦点分别为，，点在C上，且轴． （1）求C的方程． （2）过左焦点作倾斜角为60°的直线l．直线l与C相交于A，B两点，求的周长和面积． 【答案】（1） （2）周长为，面积为 【解析】 【分析】（1）由且求出，由椭圆的定义求出，即可得到椭圆的方程； （2）联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系求出的值，由弦长公式求出，由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可求出的面积. 【小问1详解】 由已知轴且，知，， 由椭圆的定义， 所以，，的方程为. 【小问2详解】 可知直线的斜率，的方程为. 设，联立方程组， 消去得， 可得，可得， 点到直线的距离， 所以的周长为，. 17. 如图，在三棱柱中，为的中点，，，，. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接、，利用等腰三角形性质及线面垂直判定定理得平面，利用等边三角形的性质及线面垂直判定定理得平面，进而证得平面，即可利用线面垂直的定义可得证明； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式及同角三角函数关系求解即可. 【小问1详解】 取的中点，连接、， 为的中点，，， ，， 又因为，平面，因此平面， 又是三棱柱，是平行四边形， ，， 、均为等边三角形，，则，， ， ，平面，平面， 平面，， ，在中，，，，又， ，即， 又平面，平面， 平面，. 【小问2详解】 由（1）可知、、两两垂直，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 由于是的中点，得，又由可得， ，，， 设平面的法向量为，则， 即，令，得， 设平面的法向量为，则，即， 令，得， 设平面与平面的夹角为， 则， ， 即平面与平面夹角的正弦值为. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，对进行分类讨论，判断的正负作答即可； （2）把代入不等式，化简转化为，构造新函数，对新函数求导，并求出其最小值为，即可判断原不等式成立. 【小问1详解】 函数的定义域是，可得. 当时，可知，所以在上单调递增； 当时，由得， 可得时，有，时，有， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 证明：当时，要证成立， 只需证成立， 只需证即可. 因为，由（1）知，. 令， 则， 可得时，有；时，有， 所以在上单调递减，在上单调递增， 可知，则有，所以有， 所以当时，成立. 【点睛】方法点睛：不等式证明问题往往转化为函数恒成立问题解决. 19. 数列满足是常数． （1）当时，求及的值； （2）数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由； （3）求的取值范围，使得存在正整数m，当时总有． 【答案】（1）；； （2）数列不可能为等差数列，详见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据条件代入递推关系即得； （2）假设存在使数列为等差数列，根据等差数列的定义结合条件即得； （3）记，，结合条件可得满足，进而即得. 【小问1详解】 由于，且， 所以当时，得， 解得， 从而； 【小问2详解】 数列不可能为等差数列，证明如下： 由，， 得，，， 若存在，使为等差数列，则，即， 解得， 于是，， 这与为等差数列矛盾， 所以，对任意，都不可能是等差数列； 【小问3详解】 记，根据题意可知，且，即，且， 这时总存在，满足：当时，，当时，， 所以由及可知， 若为偶数，则，从而当时，； 若为奇数，则，从而当时； 因此“存在，当时总有”的充分必要条件是：为偶数， 记，则满足， 故的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学试题 本试卷共19题，满分150分，共6页．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上．用2B铅笔将试卷类型A填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. 5 D. -5 5. 已知两个圆台甲、乙的上底面半径均为r，下底面半径均为2r，圆台的母线长分别为3r和5r，则圆台甲、乙的体积之比为（ ） A. B. C. D. 3 6. 若函数（其中，且）最小值是3，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 曲线与交点个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知函数，的定义域为R，的图象关于直线对称，且，，若，则（ ） A －5 B. －6 C. 5 D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在某市举行的一次期末质量检测中，经抽样分析，该市某学校的数学成绩X近似服从正态分布，且．该校有1000人参加此次考试，则（ ） A. B C. 估计成绩不低于90分的有200人 D. 估计成绩不低于86分的有300人 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，是上的减函数 B. 当时，是极小值点 C. 当时，取到最小值 D. 当时，恒成立 11. 已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过点作斜率为直线与交于，两点．若直线经过点，则（ ） A. B. C. D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若双曲线的一个焦点，一条渐近线方程为，则________． 13. 若函数为奇函数，则曲线在点处的切线方程为________． 14. 为了将课堂所学的专业理论知识与实际生活相结合，提升学生的个人综合素质，增强社会责任感和使命感，某知名大学的校团委安排该校一个大学生志愿服务团体在暑假期间开展“环境保护”、“社区文化”、“便民服务”、“法律援助”、“教育服务”、“公益慈善”六项社区服务活动，并对活动开展顺序提出了如下要求，重点活动“法律援助”必须排在前三位，且“便民服务”和“教育服务”两项活动必须排在一起，则这六项活动完成顺序的不同安排方案种数是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，且． （1）求的面积； （2）若时，求边c和角B． 16. 设椭圆的左右焦点分别为，，点在C上，且轴． （1）求C的方程． （2）过左焦点作倾斜角为60°的直线l．直线l与C相交于A，B两点，求的周长和面积． 17. 如图，在三棱柱中，为的中点，，，，. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 18. 已知函数. （1）讨论单调性； （2）证明：当时，. 19. 数列满足是常数． （1）当时，求及的值； （2）数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由； （3）求的取值范围，使得存在正整数m，当时总有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$