第十四章 整式的乘法与因式分解 过关检测卷-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级上册数学同步训练方案(人教版)

第 17 页 第 18 页 第十四章追梦过关检测卷 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 　 分数: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. 计算-3a·2b,正确的结果是(　 　 ) A. -6ab　 　 B. 6ab　 　 C. -ab　 　 D. ab 2. 下列运算正确的是(　 　 ) A. 102 +102 = 104 B. 103 ×103 = 2×103 C. 106 ÷10 = 105 D. 3a2·2a3 = 6a6 3. 下列式子从左到右变形是因式分解的 是(　 　 ) A. 3x2 -3y2 = 3(x+y)(x-y) -3xy B. (y+2x) 2 -(x+2y) 2 = 3(x+y)(x-y) C. 3(x+y)(x-y)= 3x2 -3y2 D. (y+2x) 2 -(x+2y) 2 = 3x2 -3y2 4. 如果多项式 x2 -2mx+1 是一个完全平方式, 则 m 的值为(　 　 ) A. 1 B. ±1 C. -1 D. ±2 5. 若 a + b = 0, ab = - 11,则 a2 - ab + b2 的值 是(　 　 ) A. -11 B. 11 C. -33 D. 33 6. 8a6b5c÷( 　 　 ) = 4a2b2,则括号内应填的代 数式是(　 　 ) A. 2a3b3c B. 2a3b3 C. 2a4b3c D. 1 2 a4b3c 7. 若(x+m) ( x-8)的展开式中不含 x 的一次 项,则 m 的值为(　 　 ) A. 8 B. -8 C. 0 D. 8 或-8 8. 如图,从边长为(a+4) cm 的正方形纸片中 剪去一个边长为(a+1)cm 的正方形(a>0), 剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重 叠,无缝隙),则长方形的面积为(　 　 ) A. (2a2 +5a)cm2 B. (3a+15)cm2 C. (6a+9)cm2 D. (6a+15)cm2 9. 已知 M= 8x2 -y2 +6x-2,N= 9x2 +4y+13,则 M -N 的值(　 　 ) A. 为正数 B. 为负数 C. 为非正数 D. 不能确定 10. 将四个长为 a,宽为 b(a> b)的长方形纸片,按如图 的方式拼成一个边长为 (a+b) 的正方形,图中空 白部分的面积为 S1,阴影部分的面积为 S2,若 S1 = 2S2,则 a,b 满足(　 　 ) A. a= 2b B. a= 3b C. 2a= 3b D. 2a= 5b 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 已知 2m-3n= -4,则代数式 m(n-4) -n(m -6)的值为　 　 　 　 . 12. 甲、乙两名同学分解因式 x2 +ax+b 时,甲看 错了 b,分解结果为(x+2) (x+4);乙看错 了 a,分解结果为( x + 1) ( x + 9),则 a + b = 　 　 　 　 . 13. 如图,两个正方形的边长 分别为 a、b(a>b),如果 a +b= 17,ab = 60,则阴影部 分面积是　 　 　 　 . 14. 若 n 为正整数,则(n+5) 2 -(n-1) 2 一定能 被最大的正整数　 　 　 　 整除. 15. 将 4 个数 a,b,c,d 排成 2 行、2 列,两边各 加一条竖直线记成 a　 b c　 d ,定义 a　 b c　 d = ad- bc,上述记号就叫做 2 阶行列式. 若 x+1　 1-x 1-x　 x+1 = 8,则 x= 　 　 　 　 . 三、解答题(共 75 分) 16. (8 分)计算: (1)(4×104 ) ×(2×103 ) -(6. 5×103 ) ×(6× 103); (2)(16x3 -8x2 +4x) ÷( -2x) . 17. (8 分)因式分解: (1)xy2 -4xy+4x; (2)(x+2)(x-6) +16. 18. (7 分)先化简,再求值:(2a+b) (2a-b) + b(2a+b) -4a2b÷b,其中 a= - 1 2 ,b= 2. 19. (10 分)若 x+y= 3,且(x+2)(y+2)= 12. (1)求 xy 的值; (2)求 x2 +3xy+y2 的值. 第 19 页 第 20 页 20. (9 分)如图,某公园计划在长(3a+4b)米, 宽(2a+ 3b)米的长方形草坪上修建横、纵 各两条宽为 a 米的走道供行人散步,其余 部分仍然为草地. (1)求走道的面积; (2)若 a= 5,b= 12,求草地的面积. 21. (10 分)因式分解与整式乘法互为逆运算. 如对多项式 x2 -7x+12 进行因式分解: 首先,如果一个多项式能进行因式分解,则 这个多项式可看作是由两个较低次多项式 相乘得来的. 故可写成 x2 -7x+12 = ( x+a) (x+b),即 x2 -7x+12 = x2 +(a+b)x+ab(对任 意实数 x 成立),由此得 a+b = -7,ab = 12. 易得一组解:a= -3,b = -4,所以 x2 -7x+12 = (x-3)(x-4) . 像这种能把一个多项式进 行因式分解的方法,称为待定系数法. (1)因式分解:x2 -15x-34 = 　 　 　 　 . (2)因式分解:x3 -3x2 +4 = (x+a) (x2 +bx+ c),请写出一组满足要求的 a,b,c 的 值:　 　 　 　 . (3)请你运用待定系数法,把多项式 3m2 + 5mn-2n2 +m+9n-4 进行因式分解. 22. (10 分)小迪同学在计算 4×(5+1) ×(52 + 1)时,把 4 写成 5-1 后,得(5-1) ×(5+1) × (52 +1)= (52 -1) ×(52 +1)= 252 -1. 受此启 发,在求(2+1) ×(22 +1) ×(24 +1) ×(28 +1) …(232 +1) +1 的值时,先乘(2-1)得(2-1) ×(2+ 1) × ( 22 + 1) × ( 24 + 1) × ( 28 + 1) … (232 +1) +1 = (22 - 1) ×( 22 + 1) ×( 24 + 1) × (28 +1)…(232 +1) +1 = (24 -1) ×(24 +1) × (28 +1)…(232 +1) +1 = 264 -1+1 = 264 . 阅读上面的材料,解答下列问题: (1)计算:(1+ 1 2 ) ×(1+ 1 22 ) ×(1+ 1 24 ) ×(1+ 1 28 ) + 1 215 ; (2)借用上面的方法,逆用平方差公式计 算:(1- 1 22 ) × ( 1 - 1 32 ) × ( 1 - 1 42 ) …( 1 - 1 102 ) . 23. (12 分)去年,某校为提升学生综合素质推 出一系列校本课程,“蔬菜种植课” 上,张 老师用两条宽均为 y 米的小道将一块长 (3x+y)米,宽(3x-y)米的长方形土地分成 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分(如图①形状) . (1) 求图①中两条小道的面积之和并化 简; (2)由于去年学生报名人数有限,张老师 只要求学生们在Ⅰ部分土地上种植 A 型蔬菜,在Ⅳ部分土地上种植 B 型蔬 菜,已知种植 A 型蔬菜每平方米的产 量是 6 千克,种植 B 型蔬菜每平方米 的产量是 4 千克,求去年种植蔬菜的 总产量并化简; (3)今年“蔬菜种植课”反响强烈,有更多 学生报名参加,张老师不得不将该土 地分成如图②的形状,并全部种上 B 型蔬菜,如果今年 B 型蔬菜的产量与 去年一样,那么今年蔬菜总产量比去 年多多少千克? (结果要化简) CE,∴ ∠AFC= 90°,在△ACF 和△CBE 中, ∠ACF= ∠CBE ∠AFC= ∠CEB AC=CB { , ∴ △ACF≌△CBE(AAS),∴ CF = BE = 2,AF =CE= 5,∴ EF=CE-CF= 5-2 = 3; (2)△GEF 为等腰直角三角形;理由如下:连接 CG,由(1)知 AF =CE,∠CAF = ∠BCE. ∵ AC =BC,∠ACB= 90°,G 为 AB 中点,∴ AG =CG, ∠CAG = ∠GCB = 45°,CG⊥AB, ∴ ∠GAF = ∠GCE. 在 △AGF 和 △CGE 中, AG = CG, ∠GAF= ∠GCE,AF = CE,∴ △AGF≌△CGE (SAS),∴ ∠AGF = ∠CGE,GF = GE. ∵ CG⊥ AB, ∴ ∠AGC = ∠BGC = 90°. ∵ ∠AGF = ∠AGC+ ∠CGF,∠CGE = ∠BGC+ ∠BGE,∴ ∠CGF= ∠BGE,∴ ∠EGF = ∠BGE+∠FGD = ∠CGF+∠FGD= ∠BGC= 90°. ∴ △FGE 是等 腰直角三角形. 23. 解:(1)△ACP≌△BPQ. 理由如下:当 t = 1 时,AP = BQ= 1cm,BP = AC = 3cm,又∠A = ∠B = 90°, 在△ACP 和△BPQ 中, AP=BQ ∠A= ∠B AC=BP { ,∴ △ACP ≌ △BPQ ( SAS ) . ∴ ∠ACP = ∠BPQ, ∴ ∠APC + ∠BPQ = ∠APC + ∠ACP = 90°. ∴ ∠CPQ= 90°,即线段 PC 与线段 PQ 垂直. (2)存在. ①若△ACP≌△BPQ,则 AC =BP,AP = BQ, 即 3 = 4-t t= xt{ , 解得 t= 1 x= 1{ ; ② 若 △ACP ≌ △BQP,则 AC=BQ,AP =BP,即 3 = xt t= 4-t{ ,解得 t= 2 x= 3 2 { . 综上所述,存在 t= 1x= 1{ 或 t= 2 x= 3 2 { 使得 △ACP 与△BPQ 全等. 第十四章追梦过关检测卷 一、1. A　 2. C　 3. B　 4. B 5. D　 【解析】a2 -ab+b2 = (a+b) 2 -3ab = 02 -3×(-11)= 33. 故选 D. 6. C　 7. A 8. D　 【解析】(a+4) 2 -(a+1) 2 = (a+4+a+1)(a+4-a- 1)= 3(2a+5)= 6a+15. 故选 D. 9. B　 【解析】∵ M-N = 8x2 -y2 + 6x- 2-(9x2 + 4y+ 13)= -x2 +6x-y2 - 4y- 15 = -(x2 - 6x+ 9) -( y2 + 4y+ 4) - 2 = -(x-3) 2 -(y+2) 2 -2,∴ M-N 的值为负数. 故选 B. 10. A　 【解析】∵ S1 = 2× 1 2 b(a+b)+2× 1 2 ab+(a-b) 2 = a2 +2b2,S2 = (a+b) 2 -(a2 + 2b2)= 2ab-b2 . 又∵ S1 = 2S2,∴ a 2 +2b2 = 2(2ab-b2),整理,得(a-2b) 2 = 0,∴ a-2b= 0,∴ a= 2b. 故选 A. 二、11. 8 12. 15　 【解析】由题意得,甲:(x+2)(x+4)= x2 +6x+8, ∴ a= 6;乙:(x+1)(x+9)= x2 +10x+9,∴ b = 9. ∴ a+b = 6+9 = 15. 13. 109 2 　 【解析】 S阴 影 = a 2 + b2 - 1 2 a2 - 1 2 b ( a + b) = 1 2 (a2 +b2 -ab)= 1 2 (a+b) 2 - 3 2 ab= 109 2 . 14. 12　 【解析】(n+5) 2 -(n-1) 2 = (n+5+n-1)(n+5-n +1)= 12(n+2) . 15. 2　 【解析】由题意得(x+1) 2 -(1-x) 2 = 8,x= 2. 三、16. 解:(1)原式= 8×107 -3. 9×107 = 4. 1×107 . (2)原式= -8x2 +4x-2. 17. 解:(1)原式= x(y2 -4y+4)= x(y-2) 2 . (2)原式= x2 -4x-12+16 = x2 -4x+4 = (x-2) 2 . 18. 解:原式= 4a2 -b2 +2ab+b2 -4a2 = 2ab. 当 a= - 1 2 ,b= 2 时,原式= 2×(- 1 2 )×2 = -2. 19. 解:(1)∵ x+y= 3,(x+2)(y+2)= 12,∴ xy+2x+2y+4 = 12,∴ xy+2(x+y)= 8,∴ xy+2×3 = 8,∴ xy = 2; (2)∵ x+y= 3,xy= 2,∴ x2 +3xy+y2 = (x+y) 2 +xy = 32 +2 = 11. 20. 解:(1)∵ 草地的部分可以拼成一个长方形,∴ 长为 3a+4b-a-a= (a+4b)米,宽为 2a+3b-a-a = 3b(米),∴ 草地面积为(a+ 4b) × 3b = (3ab+ 12b2 )平方米,∴ 走道面积为(3a+ 4b) (2a+ 3b)-(3ab+12b2 ) = 6a2 + 9ab+ 8ab+ 12b2 - 3ab -12b2 = (6a2 + 14ab) 平方米,故走道的面积 为(6a2 +14ab)平方米. (2)由(1)可知草地面积为(a+ 4b) × 3b = (3ab+ 12b2 )平方米,将 a = 5,b = 12 代入,得:3×5× 12+12×122 = 1 908(平方米),即草地面积为 1 908 平方米. 21. 解:(1)(x-17)(x+2) (2)a= -2,b= -1,c= -2(或 a= 1,b= -4,c= 4) (3)原式= 3m2 +(5n+1)m-(2n2 -9n+4)= (3×1) m2 +[3×(2n-1) -(n-4)]m-(2n-1) (n-4) = (3m-n+4)(m+2n-1) 22. 解:(1)原式= 2×(1- 1 2 ) ×(1+ 1 2 ) ×(1+ 1 22 ) ×(1+ 1 24 )×(1+ 1 28 )+ 1 215 = 2×(1- 1 22 ) ×(1+ 1 22 ) ×(1+ 1 24 ) ×( 1+ 1 28 )+ 1 215 = 2×(1- 1 24 )×(1+ 1 24 )×(1+ 1 28 )+ 1 215 = 2×(1- 1 28 )×(1+ 1 28 )+ 1 215 = 2×(1- 1 216 )+ 1 215 = 2- 1 215 + 1 215 = 2. (2)原式=(1- 1 2 )×(1+ 1 2 )×(1- 1 3 )×(1+ 1 3 )×(1 - 1 4 )×(1+ 1 4 )×…×(1- 1 10 )×(1+ 1 10 ) = 1 2 × 3 2 × 2 3 × 4 3 × 3 4 × 5 4 ×…× 9 10 ×11 10 = 1 2 ×11 10 = 11 20 . 23. 解:(1)两条小道的面积之和为 y(3x+y)+y(3x-y) - —72— y2 = (6xy-y2 )平方米. (2)去年种植蔬菜的总产量为 6(x-y) 2 +4[(3x+ y)-(x-y+y)]·[(3x-y)-(x-y+y)] = 6(x- y) 2 +4(2x+y)(2x-y) = (22x2 - 12xy+ 2y2 )千 克. (3)今年蔬菜总产量为 4[(3x+y) -2y] ·[(3x- y)-y] = 4(3x-y)(3x-2y)= 4(9x2 -9xy+2y2 ) = (36x2 -36xy+8y2 )千克. 今年蔬菜总产量比去年多 　 (36x2 -36xy+8y2 )-(22x2 -12xy+2y2 ) = 14x2 -24xy+6y2(千克) . 第十五章追梦过关检测卷 一、1. C　 2. D　 3. D 4. D　 【解析】根据分式的基本性质,可知若 x,y 的值均 扩大为原来的 3 倍,A. 2 +3x 3x-3y ≠2 +x x-y ,错误;B. 6y 9x2 ≠ 2y x2 ,错误;C. 54y 3 27x2 ≠2y 3 3x2 ,错误;D. 18y 2 9(x-y) 2 = 2y 2 (x-y) 2 , 正确. 故选 D. 5. C 6. B　 【解析】∵ x +y 3x = 1 3 + 1 3 · y x = 1 2 ,∴ y x = 1 2 . 故选 B. 7. B　 【解析】由题意得 x2 -4 = 0 x2 -4x+4≠0{ ,∴ x= -2. 故选 B. 8. A　 【解析】方程两边同乘 x(x-2),得 3x-a+x = 2(x- 2),由题意得,当 x(x-2)= 0 时,x = 0 或 x = 2,当 x = 0 时,-a= -4,解得 a= 4,当 x = 2 时,6-a+2 = 0,解得 a= 8. 故选 A. 9. C　 10. C 二、11. x≠3 12. 14　 【解析】∵ (x+ 1 x ) 2 = x2 + 1 x2 + 2 = 42,∴ x2 + 1 x2 = 14. 13. 1 14. a>-1 且 a≠- 1 2 　 【解析】方程两边同乘(x-2)得, ax+1 = 2-x,解得 x = 1 a+1 . ∵ x>0,∴ 1 a+1 >0,解得 a> -1. 又∵ x-2≠0,∴ x≠2. 即 1 a+1 ≠2,解得 a≠- 1 2 , ∴ a 的取值范围是 a>-1 且 a≠- 1 2 . 15. 3　 【解析】去分母得:x-2x+6 = k,根据分式方程无 解,得到 x-3 = 0,即 x= 3,将 x= 3 代入整式方程得 3 -6+6 = k,解得 k= 3. 三、16. 解:(1)原式= -2(m-3) (m-3) 2 ÷ m+3-m+3 (m+3)(m-3) = -2 (m-3) ·(m +3)(m-3) 6 = -m+3 3 . (2)原式 = x +1 x × x 2 (x+1) 2 + 1 x-1 + 1 x+1 = x x+1 + 1 x-1 + 1 x+1 = x+1 x+1 + 1 x-1 = 1 + 1 x-1 = x-1 x-1 + 1 x-1 = x-1+1 x-1 = x x-1 . 17. 解:(1)方程两边同乘(2x-5)(2x+5)得 4x2 +10x-4x+10 = (2x) 2 -52 ,解得 x= -35 6 . 检验,当 x= -35 6 时,(2x-5)(2x+5)≠0, ∴ x= -35 6 是原分式方程的根. (2)两边同时乘以 2x(x+1)(x-1),得 3×2x-2×2(x+1)= 3(x-1),解得 x= -1, 检验:当 x= -1 时,分母为 0 无意义,故此方 程无解. 18. 解:原式 = y 2 -y(x+y) x+y ·(x +y)(x-y) x-y -(x2 +xy-2xy- 2y2 ) = y 2 -xy-y2 x+y · (x +y)(x-y) x-y - ( x2 + xy - 2xy-2y2 )= -xy-x2 +xy+2y2 = -x2 +2y2 , 当 x= -1,y= 2 时,原式= -(-1) 2 +2×22 = -1 +8 = 7. 19. 解:(1)设乙单独整理 x 分钟完工,根据题意得: 20 40 +20+20 x = 1,解得 x= 80, 经检验 x= 80 是原分式方程的解. 即乙单独整理 80 分钟完工. (2)设甲整理 y 分钟完工,根据题意,得 30 80 + y 40 ≥1,解得 y≥25, 即甲至少整理 25 分钟完工. 20. 解:(1)方程: 1 x-n+2 - 1 x-n+1 = 1 x-n-1 - 1 x-n-2 , 这个方程的解是 x=n; (2) 1 x-2 019 - 1 x-2 020 = 1 x-2 022 - 1 x-2 023 . 21. 解:(1)设一件文化衫 x 元,则一本相册(x-9)元,由 题意得,175 x = 130 x-9 ,解得 x= 35, 经检验,x= 35 是原分式方程的解,且符合题 意,则 x-9 = 35-9 = 26(元) . 即每件文化衫 35 元,每本相册 26 元. (2)设购买文化衫 m 件,购买相册(50-m)件,由 题意得, 1 500≤35m+26(50-m)≤1 530, 解得 22 2 9 ≤m≤25 5 9 , 共有 3 种方案:购买文化衫 23 件,购买相册 27 件;购买文化衫 24 件,购买相册 26 件;购 买文化衫 25 件,购买相册 25 件. 22. 解:(1)2x　 300 2x 　 300 x 　 【解析】设普快列车的速度 为 xkm / h, 则 动 车 组 列 车 的 平 均 速 度 是 2xkm / h,∴ 普快列车需用300 x h,动车组列车 需用 300 2x h; (2)依题意,得300 x - 300 2x = 1,解得 x = 150,经检 验,x= 150 是原方程的解,且符合题意. 所以 2x= 300. 故该列动车组列车的平均速度 300km / h. —82—