第十三章 轴对称 过关检测卷-【追梦之旅·大先生】2024-2025学年八年级上册数学同步训练方案(人教版)

第 9 页 第 10 页 第十三章追梦过关检测卷 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 　 分数: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. 下列图形中,不是轴对称图形的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. B. C. D. 2. 如图,△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 对称,则 ∠B 的度数为(　 　 ) A. 30° B. 50° C. 90° D. 100° 　 第 2 题图　 　 　 　 　 　 第 4 题图　 3. 点 A ( - 3, 2) 关于 y 轴对称的点的坐标 为(　 　 ) A. ( -3,2) B. (3,2) C. ( -3,-2) D. (2,-3) 4. 如图,在△ABC 中,∠BAC= 120°,点 D 是 BC 上一点,BD 的垂直平分线交 AB 于点 E,将 △ACD 沿 AD 折叠,点 C 恰好与点 E 重合, 则∠B 等于(　 　 ) A. 28° B. 25° C. 20° D. 18° 5. 如图,D 是△ABC 中 BC 边上一点,且点 D 在 AC 边的垂直平分线上,若 AB= 8 cm,BC = 10 cm,则△ABD 的周长为(　 　 ) A. 13 cm B. 14 cm C. 17 cm D. 18 cm 第 5 题图 　 　 第 6 题图 6. 如图,在△ABC 中,分别以点 A、C 为圆心,以大 于 1 2 AC 的长为半径画弧,两弧交于点 D、E,直 线 DE 交 BC 于点 F,∠B = 64°,∠C = 36°,则 ∠BAF 的度数为(　 　 ) A. 40° B. 44° C. 46° D. 48° 7. 如图,已知每个小方格的边长为 1,A,B 两点都 在小方格的格点(顶点)上,请在图中找一个格 点 C,使△ABC 是以 AB 为腰的等腰三角形,这 样的格点 C 有(　 　 ) A. 7 个 B. 6 个 C. 5 个 D. 4 个 第 7 题图 　 　 　 　 第 8 题图 8. 在如图所示的坐标系中有 A(1,4),B(3,0)两 点,在 y 轴上有一点 P,若使得 PA+PB 取得最 小值,则 P 的坐标为(　 　 ) A. (1,0) B. (0,1) C. (0,2) D. (0,3) 9. 如图,在 Rt△ABC 中,CM 平分∠ACB 交 AB 于点M,过点M 作MN∥BC 交 AC 于点 N,且 MN 平分 ∠AMC, 若 AN = 1, 则 BC 的 长 为(　 　 ) A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 第 9 题图 　 　 　 　 第 10 题图 10. 如图,已知△ABC 中三个内角的平分线交于 点 O,点 D 在 CA 的延长线上,且 DC=BC,AD =AO,∠BAC=80°,则∠BCA 的度数是(　 　 ) A. 75° B. 80° C. 70° D. 60° 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 点 P(2,-1)关于直线 x = 1 对称的点 Q 的 坐标为　 　 　 　 . 12. 如图, 等腰 △ABC 中, AB = AC, ∠DBC = 15°,AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D, 则∠A 的度数是　 　 　 　 . 第 12 题图 　 　 　 第 13 题图 13. 如图,△ABC 中,BC 的垂直平分线 DP 与 ∠BAC 的平分线相交于点 D,垂足为点 P, 若∠BAC= 84°,则∠BDC= 　 　 　 　 . 14. 如图,△ABC 中,AB = AC,AD 平分∠BAC, D、E 是△ABC 内两点,且∠ECB = ∠E = 60°,若 CE= 8,DE= 2,则 BC= 　 　 　 　 . 第 14 题图 　 　 　 第 15 题图 15. 如图,在△ABC 中,AB = AC,BC = 6,△ABC 面积为 12,AD⊥BC 于点 D,直线 EF 垂直 平分 AB 交 AB 于点 E,交 BC 于点 F,P 为 直线 EF 上一动点,则△PBD 的周长的最 小值为　 　 　 　 . 三、解答题(共 75 分) 16. (8 分)如图,A、B 是两个蓄水池,都在河流 a 的同侧,为了方便灌溉作物,要在河边建 一个抽水站,将河水送到 A、B 两地,问该站 建在河边什么地方,可使所修的渠道最短? 试在图中确定该点. (保留作图痕迹及文字 说明) 17. (8 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,AB 边的垂直平分线 DE 交 BC 于点 D,交 AB 于点 E,连接 AD,AD 将∠CAB 分成两个 角,且∠1 ∶∠2 = 2 ∶5,求∠ADC 的度数. 第 11 页 第 12 页 18. (9 分)如图,平面直角坐标系中,△ABC 的 顶点 A( -1,5),B( -4,4),C( -3,2) . (1)画出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1, 并写出点 C 的对称点 C1 的坐标; (2)经过点 D(0,1)作平行于 x 轴的直线 l, 画出 △A1B1C1 关 于 直 线 l 对 称 的 △A2B2C2,并写出点 C1 的对称点 C2 的 坐标; (3)若点 M(a,b)是△ABC 内一点,经过以 上两次对称变换后,其对应点 N 落在 △A2B2C2 内,则 N 的坐标为　 　 　 　 . 19. (8 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°, AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于点 E,交 BC 的延长线于点 F,若∠F = 30°,DE = 1,求 BE 的长. 20. (10 分)如图,在△ABC 与△DCB 中,AC 与 BD 交于点 E,且∠A= ∠D,AB=DC. (1)求证:△ABE≌△DCE; (2)当∠AEB= 70°时,求∠EBC 的度数. 21. (10 分)如图,在△ABC 中,AB = AC,点 D、 E、F 分别在 AB、BC、AC 边上,且 BE = CF, AD+EC=AB. (1)求证:△DEF 是等腰三角形; (2)当∠A= 56°时,求∠DEF 的度数. 22. (10 分)如图,在△ABC 中,AB = AC,D 是 △ABC 外一点,且 ∠ABD = 60°, ∠ACD = 60°. 求证:BD+DC=AB. 23. (12 分)在△ABC 中,AB = AC,点 D 是直线 BC 上一点(不与 B,C 重合),以 AD 为一边 在 AD 的右侧作△ADE,使 AD = AE,∠DAE = ∠BAC,连接 CE. (1)求证:△ABD≌△ACE; (2)如图 1,当点 D 在线段 BC 上运动时. ①若∠BAC= 48°,则∠BCE= 　 　 　 ; ②猜想∠BAC 与∠BCE 之间的数量关 系,并证明你的结论; (3)当点 D 在线段 BC 的反向延长线上运 动时,(2) ②中的结论是否仍然成立? 若成立,试加以证明;若不成立,请你 给出正确的数量关系,并说明理由. 图 1 　 　 　 备用图 ∠FAC. ∵ AD=AF,∴ △GAD≌△CAF(SAS), ∴ ∠ACF = ∠AGC = 45°,∴ ∠BCF = ∠ACB+ ∠ACF= 45°+45° = 90°,即 CF⊥BC. 第十三章追梦过关检测卷 一、1. B　 2. D　 3. B　 4. C　 5. D　 6. B 7. B　 【解析】当 AB 为腰时,分别 以 A、B 点为顶点,以 AB 为半径 作圆,可找出格点 C 的个数有 6 个,如图所示. 故使△ABC 是以 AB 为腰的等腰三角形的格点 C 有 6 个. 故选 B. 8. D　 9. B 　 【解析】 由题意,得 ∴ ∠AMN = ∠NMC = ∠B, ∠NCM= ∠BCM= ∠NMC,∴ ∠ACB= 2∠B,NM =NC, ∴ ∠B= 30°. ∵ AN = 1,∴ MN = 2,∴ AC = AN+NC = 3, ∴ BC= 6. 故选 B. 10. D　 【解析】∵ △ABC 三个内角的平分线交于点 O, ∴ ∠BAO= ∠CAO,∠ABO = ∠CBO,而∠BAC = 80°, ∴ ∠OAC= 40°,∵ AD=AO,∴ ∠D= ∠AOD,∴ ∠OAC = ∠D + ∠AOD = 2 ∠D,∴ ∠D = 20°. 在 △BCO 与 △DCO 中,BC = DC,∠BCO = ∠DCO,CO = CO,∴ △BCO≌△DCO(SAS),∴ ∠OBC = ∠D = 20°,∠ABC = 40°,∴ ∠BCA= 180°-80°-40° = 60°. 故选 D. 二、11. (0,-1)　 12. 50° 13. 96°　 【解析】过点 D 作 DE⊥AB,交 AB 延长线于点 E,DF⊥AC 于 F,∵ AD 是∠BAC 的平分线,∴ DE = DF. ∵ DP 是 BC 的 垂 直 平 分 线, ∴ BD = CD, 在 Rt△DEB 和 Rt △DFC 中, DB = DC, DE = DF. ∴ Rt△DEB≌ Rt △DFC ( HL) . ∴ ∠BDE = ∠CDF,∴ ∠BDC= ∠EDF,∵ ∠DEB = ∠DFC = 90°,∴ ∠EAF+ ∠EDF= 180°,∵ ∠BAC = 84°,∴ ∠BDC = ∠EDF = 96°. 14. 10　 【解析】延长 ED 交 BC 于 M,延 长 AD 交 BC 于 N,∵ AB = AC,AD 平 分∠BAC,∴ AN⊥ BC,BN = CN,∵ ∠ECB= ∠E= 60°,△CEM 为等边三 角形. ∵ CE = 8,DE = 2,∴ DM = 6. ∵ △CEM 为等边三角形,∴ ∠EMC = 60°,∵ AN⊥BC,∴ ∠DNM = 90°,∴ ∠NDM = 30°,∴ NM= 3,CN= 8-3 = 5,∴ BN= 5,∴ BC= 2BN= 10. 15. 7 三、16. 解:如图所示,作点 A 关于直线 a 对称的点 C,连接 BC 交 a 于点 P,则点 P 就是抽水站的位置. 17. 解:设∠1 = 2x,则∠2 = 5x. ∵ DE 是 AB 的垂直平分 线,∴ DA=DB,∴ ∠B= ∠2 = 5x. ∵ ∠ADC = ∠B+ ∠2 = 10x,∠C= 90°,∴ ∠ADC+∠1 = 90°,即 10x +2x= 90°,∴ x= 7. 5°,∴ ∠ADC= 10x= 75°. 18. 解:(1)如图　 C1(3,2) (2)如图　 C2(3,0) (3)N(-a,-b+2) 19. 解: ∵ ∠ACB = 90°,FD⊥AB, ∴ ∠ACB = ∠FDB = 90°,∵ ∠F= 30°,∴ ∠A = ∠F = 30°. 又∵ DE 垂 直平分 AB,∴ ∠EBA= ∠A= 30°. ∵ DE= 1,∴ BE = 2DE= 2. 20. (1)证明:在△ABE 和△DCE 中,∠A= ∠D,∠AEB = ∠DEC,AB=CD,∴ △ABE≌△DCE(AAS); (2)解:∵ △ABE≌ △DCE,∴ BE = CE. ∴ ∠EBC = ∠ECB. 又∵ ∠AEB= 70°,∴ ∠EBC = 1 2 ∠AEB = 35°. 21. (1)证明:∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠C. ∵ AB = AD+BD, AB=AD+EC,∴ BD =EC. 在△DBE 和△ECF 中, BE=CF,∠B = ∠C,BD =EC,∴ △DBE≌△ECF (SAS),∴ DE=EF,∴ △DEF 是等腰三角形; (2)解:∵ ∠A= 56°,∴ ∠B = ∠C = 1 2 ×(180°- 56°) = 62°,∴ ∠BDE+ ∠DEB = 118°. 又∵ △DBE≌ △ECF,∴ ∠BDE = ∠FEC,∴ ∠FEC+ ∠DEB = 118°,∴ ∠DEF= 62°. 22. 证明:延长 BD 到 F,使 BF =BA,连接 AF,CF,∵ ∠ABD = 60°, ∴ △ABF 为 等 边 三 角 形,∴ AF = AB = AC = BF, ∠AFB = 60°, ∴ ∠ACF = ∠AFC. 又∵ ∠ACD= 60°, ∴ ∠AFB = ∠ACD = 60°, ∴ ∠DFC= ∠DCF,∴ DC = DF,∴ BD+DC = BD+ DF=BF=AB,即 BD+DC=AB. 23. ( 1) 证明: ∵ ∠BAC = ∠DAE, ∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE-∠DAC,即∠BAD = ∠CAE. 在△ABD 与 △ACE 中,AB=AC,∠BAD = ∠CAE,AD = AE,∴ △ABD≌△ACE(SAS); (2)解:①132° ②∠BAC+∠BCE = 180°. 理由如下:由(1)可知 △ABD≌ △ACE ( SAS ), ∴ ∠B = ∠ACE. ∵ ∠BAC+∠ABD+∠BCA= 180°,∴ ∠BAC+∠BCE = ∠BAC+∠BCA+∠ACE = ∠BAC+∠BCA+∠B = 180°; (3)解:不成立. 当点 D 在线段 BC 的 反 向 延 长 线 上 时, ∠BAC = ∠BCE. 理 由: ∵ ∠DAE = ∠BAC, ∴ ∠DAB= ∠EAC, 在 △ADB 和 △AEC 中, AB = AC, ∠BAD = ∠CAE, AD = AE,∴ △ADB ≌ △AEC ( SAS ), ∴ ∠ABD = ∠ACE. ∵ ∠ABD = ∠BAC + ∠ACB, ∠ACE = —52— ∠BCE+∠ACB,∴ ∠BAC= ∠BCE. 追梦期中过关检测卷 一、1. C　 2. C 3. A　 【解析】AB=AC,AD = AE,A. 若∠ABD = ∠ACE,则 不能判定 △ABD ≌ △ACE; B. 若 BD = CE,则根据 “SSS”,△ABD≌△ACE;C. 若∠BAD = ∠CAE,则根据 “SAS”, △ABD ≌ △ACE; D. 若 ∠BAC = ∠DAE, 则 ∠BAC-∠DAC = ∠DAE- ∠DAC,即∠BAD = ∠CAE, 根据“SAS”,△ABD≌△ACE. 故选 A. 4. C　 【解析】过点 P 作 PE⊥BC 于 E,∵ AB∥CD,PA⊥ AB,∴ PD ⊥ CD. ∵ BP 和 CP 分 别 平 分 ∠ABC 和 ∠DCB,∴ PE=PA=PD. ∵ PA+PD =AD = 8,∴ PA =PD = 4,∴ PE= 4. 故选 C. 5. C 6. B　 【解析】由题意可得:AM 平分∠CAB,∴ ∠MAC = ∠MAB. ∵ AB∥CD,∴ ∠ACD+∠CAB = 180°,∵ ∠ACD = 110°,∴ ∠CAB= 70°,∴ ∠MAB= 35°. 故选 B. 7. A　 【解析】∵ AB 的垂直平分线交 BC 于点 D,∴ AD= BD. ∵ BC = 4,AC = 3,∴ CD+AD = CD+BD = BC = 4, ∴ △ACD 的周长为:4+3 = 7. 故选 A. 8. C　 【解析】∵ △ABC,△BDE 是等边三角形,∴ AB = BC, BD = BE, ∠ABC = ∠DBE = 60°, ∴ ∠ABD = ∠CBE,在 △ABD 和 △CBE 中, AB=CB ∠ABD= ∠CBE BD=BE { ,∴ △ABD≌△CBE,∴ AD = CE = 3. ∴ BC = AC = 3+ 1 = 4. 故选 C. 9. A　 【解析】与△ABC 成轴对称的三 角形有:① △FCD 关于 CG 对称;② △GAB 关于 EH 对称;③△AHF 关于 AD 对称;④△EBD 关于 BF 对称;⑤ △BCG 关于 AG 的垂直平分线对称. 共 5 个. 故选 A. 10. B 二、11. 55°　 12. 40° 13. 10cm　 【解析】设 CD 与 OA 的交点为 E,与 OB 的交 点为 F,∵ OA、OB 分别是线段 MC、MD 的垂直平分 线,∴ ME =CE,MF =DF,∴ 小蚂蚁爬行的路径最短 =CD= 10cm. 14. (2,3)　 【解析】过点 C 作 y 轴的垂线交 OB 的延长 线于点 D,∵ ∠OBA+∠BAO= 90°,∠DBC+∠OBA= 90°,∴ ∠BAO = ∠DBC,∵ ∠BOA = ∠BDC = 90°,BA =BC,∴ △BOA≌△CDB(AAS),∴ BD=OA= 1,DC = OB= 2,故点 C 坐标为:(2,3) . 15. 10 　 【解析】 ∵ 由题意可得 ∠1 = ∠2,而∠1 = ∠3,∴ ∠2 = ∠3,∴ ED = EB,又∵ AE = 3,AB= 4,BE= 5,∴ DE = 5,∴ 重叠部分△BDE 的面积 = 1 2 DE×AB= 1 2 ×5×4 = 10. 三、16. 解:∵ ∠B+∠C+∠BAC = 180°,∠B = 75°,∠C = 45°, ∴ ∠BAC = 60°. ∵ AE 平分 ∠BAC, ∴ ∠BAE = ∠CAE = 1 2 ∠BAC = 1 2 × 60° = 30°, ∴ ∠AEC = 180°-∠C-∠CAE = 180°-45°-30° = 105°. ∵ AD 是 BC 上的高,∴ ∠BAD = 90°-∠B = 90°- 75° = 15°,∴ ∠DAE= ∠BAE-∠BAD= 30°-15° = 15°. 17. 证明:∵ BE=CF,∴ BE+EF =CF+EF,即 BF =CE,在 △ABF 和△DCE 中, AB=DC ∠B= ∠C BF=CE { , ∴ △ABF≌ △DCE(SAS),∴ ∠A= ∠D. 18. (1)解:如图所示,l 即为所求; (2)证明:∵ ∠ACB= 90°,∠ABC= 30°,∴ AC= 1 2 AB, ∠A= 60°. ∵ EF 是 AB 的垂直平分线,∴ AE = 1 2 AB,∠AEF= 90°,∴ AE = AC,∴ △AEC 是等边 三角形, ∴ ∠AEC = ∠ACE = 60°, ∴ ∠FEC = ∠AEF + ∠AEC = 150°. ∵ CD 平分 ∠ACB, ∴ ∠ACF = 1 2 ∠ACB = 45°, ∴ ∠ECF = ∠ECA - ∠FCA= 15°,∴ ∠EFC = 180°-∠FEC-∠ECF = 15°,∴ ∠EFC= ∠ECF,∴ EF=EC. 19. 解:(1)∵ DM、EN 分别垂直平分 AC 和 BC,∴ AM = CM,BN = CN,∴ △CMN 的周长 = CM+MN+ CN=AM+MN+BN = AB,∵ △CMN 的周长为 15cm,∴ AB= 15cm; (2)∵ ∠MFN = 70°,∴ ∠MNF+ ∠NMF = 180° - 70° = 110°, ∵ ∠AMD = ∠NMF, ∠BNE = ∠MNF,∴ ∠AMD+∠BNE = ∠NMF+∠MNF = 110°, ∴ ∠A + ∠B = 90° - ∠AMD + 90° - ∠BNE= 180°- 110° = 70°. ∵ AM = CM,BN = CN,∴ ∠A = ∠ACM,∠B = ∠BCN,∴ ∠MCN = 180°-2(∠A+∠B)= 180°-2×70° = 40°. 20. 解:(1) (2,-3)　 (2)(-2,1)　 (3) (1,-3) (1)(2)(4)如图 21. (1)解:∵ ∠ACB = 90°,AD 平分∠BAC,DE⊥AB,∴ DE=DC,∴ ∠DEC = ∠DCE = 25°,∴ ∠BDE = 50°. 又∵ DE⊥AB,∴ Rt△BDE 中,∠B = 90°-∠BDE= 90°-50° = 40°; (2) 证明: ∵ DE ⊥ AB, ∴ ∠AED = 90° = ∠ACB, 又∵ DE=DC, AD = AD, ∴ △AED ≌ △ACD(HL),∴ AE=AC,∴ 点 D、A 在 CE 的垂直平分线上,∴ 直线 AD 是线段 CE 的垂直平分线. 22. 解:(1)∵ BE⊥CE,∴ ∠BEC = 90°,∵ ∠ACB = 90°, ∴ ∠BEC= ∠ACB,∴ ∠ACF+∠BCE = ∠BCE +∠CBE = 90°, ∴ ∠ACF = ∠CBE. ∵ AF ⊥ —62—