第十三章 轴对称（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（人教版）

第十三章 轴对称（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．等腰三角形的一个底角是，它的顶角是（    ） A． B． C．或 D． 2．如图，在中，，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．平面直角坐标系中，点关于轴对称的点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．在中，，点在上，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．第 24 届冬季奥林匹克运动会，将于 2022 年 02 月 04  日 ~ 2022 年 02 月 20  日在中华人民 共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（       ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，平分，若，则点到的距离是（ ） A． B． C． D． 7．如图，锐角中，边的垂直平分线相交于点O，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，和关于直线对称，连接，，，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段，，被直线垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线上 9．如图，在锐角中，，点D在边上，点P、Q分别在线段上运动，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，的平分线相交于F，过点F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的是①都是等腰三角形；②；③的周长为；④．（    ） A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，与关于直线对称，则的度数为 ． 12．如图，已知，如果，，那么的度数为 ．    13．如图，在中，的垂直平分线分别交和于点和点，若的周长，的周长，则的长为 ． 14．如图，在中，是腰上的高，则 ． 15．如图，等边三角形的边上有一点P，过点P作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于点D，若，则 ． 16．如图，在中，，，点，分别是，上的动点，将沿直线翻折，点的对点恰好落在上，若是等腰三角形，那么的大小为 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．在中，． (1)求m的取值范围． (2)若是等腰三角形，则的周长为 ． 18．如图，在中，． (1)作的垂直平分线，交于点M，交于点N； (2)在（1）的条件下，连接，若的周长是，求的长． 19．如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且． (1)若，求的度数： (2)若周长，求长． 20．如图，在中，，，点D是的中点，点E为边上一点，连接，，以为边在的左侧作等边三角形，连接．    (1)求证：为等边三角形； (2)求证：． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于．    (1)求证：； (2)连接，试判断与的位置关系，并说明理由． 22．如图，是等腰三角形，，点D，E分别在边，上，将沿着折叠，点C的对应点恰好落在上，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接交于点F，若，，求的长度． 23．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交（或的延长线）于点． (1)如图1，若，则______． (2)如图2，若，则______． (3)若，其余条件不变，求的度数． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．如图，在边长为的等边中，、两点分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针方向运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动．设运动时间为秒．求： (1)为何值时，、两点第一次重合？ (2)为何值时，为等边三角形？ (3)当点、在边上运动时，是否存在以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． 25．【基础巩固】（1）如图1，在与中，，，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，，，B、D、E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点， ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】（3）如图3，与中，，，，与交于点F，，，的面积为18，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 轴对称（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．等腰三角形的一个底角是，它的顶角是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等腰三角形两底角相等得出另外一个底角的度数为，根据三角形内角和定理求出顶角的度数即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角是， ∴另外一个底角度数为， ∴它的顶角为． 故选：B． 2．如图，在中，，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】根据等角对等边求边长 【分析】此题考查等腰三角形的性质．根据等腰三角形的等角对等边解答即可． 【详解】解：， 是等腰三角形， ， 故选：C． 3．平面直角坐标系中，点关于轴对称的点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】此题主要关于轴对称的点的坐标特点．根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为， 故选：B． 4．在中，，点在上，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，三角形内角和定理，先根据等边对等角和三角形内角和定理得到，再由等边对等角得到，则由三角形外角的性质可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5．第 24 届冬季奥林匹克运动会，将于 2022 年 02 月 04  日 ~ 2022 年 02 月 20  日在中华人民 共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A、B、C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 选项D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：D． 6．如图，在中，，，平分，若，则点到的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】含30度角的直角三角形、角平分线的性质定理 【分析】根据直角三角形的性质，可得的度数，，根据角平分线的性质，可得，再根据可求得答案．本题考查了含角的直角三角形，角平分线的性质，掌握直角三角形的性质，角平分线的性质是解本题的关键． 【详解】解：如图，作于，   ，， ，， 平分， ， ， ， 即点到的距离是． 故选：D． 7．如图，锐角中，边的垂直平分线相交于点O，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质．连接，根据三角形内角和定理可得，    从而得到，再由线段垂直平分线的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵边的垂直平分线相交于点O， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B 8．如图，和关于直线对称，连接，，，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段，，被直线垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线上 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】此题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质依次分析判断，正确掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A、和关于直线对称， ， ，正确，不符合题意； B、和关于直线对称， 线段，，被直线垂直平分，正确，不符合题意； C、和关于直线对称， 是线段的垂直平分线， 为等腰三角形，正确，不符合题意； D、和关于直线对称， 线段所在直线的交点一定在直线上，原说法错误，符合题意． 故选：D． 9．如图，在锐角中，，点D在边上，点P、Q分别在线段上运动，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】角平分线性质定理及证明、含30度角的直角三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题、角平分线的性质定理，的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短路径问题，作点关于的对称点M，连接，当时．此时取得最小值． 【详解】解：∵， ∴是的平分线， 作点关于的对称点M，连接， 由对称的性质可知，, ∴， ∵, ∴, ∵, ∴M在上 由垂线段最短可知：当时．取得最小值， ∴此时也取得最小值． ∵， ∴， ∵ ∴ ∴的最小值为：． 故选：B． 10．如图，的平分线相交于F，过点F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的是①都是等腰三角形；②；③的周长为；④．（    ） A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的定义及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ，， 是的平分线，是的平分线， ，， ，， ，都是等腰三角形．故①正确， ，，即有，故②正确， 的周长．故③正确， 不一定相等，故④错误， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，与关于直线对称，则的度数为 ． 【答案】/100度 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理，根据轴对称的性质得出，再由三角形内角和定理进行计算即可，熟练掌握三角形内角和为是解此题的关键． 【详解】解：与关于直线对称， ∴， ， ∴， 故答案为：． 12．如图，已知，如果，，那么的度数为 ．    【答案】/35度 【知识点】等边对等角、三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据平行线的性质得到，再根据等边对等角以及外角定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．如图，在中，的垂直平分线分别交和于点和点，若的周长，的周长，则的长为 ． 【答案】9 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长， ， 的周长， ， ， 故答案为：9． 14．如图，在中，是腰上的高，则 ． 【答案】1 【知识点】等边对等角、含30度角的直角三角形、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及含角的直角三角形的性质等知识，由等腰三角形的性质得，再由三角形外角的性质得，然后由含角的直角三角形的性质可得的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是腰上的高， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 15．如图，等边三角形的边上有一点P，过点P作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于点D，若，则 ． 【答案】4 【知识点】等边三角形的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．过点Q作的延长线的垂线于点，根据等边三角形性质和对顶角的性质可得，再根据，，可证得，从而证得，得到，，从而求得等边三角形的边长，再根据等边三角形的性质即可解题． 【详解】解：如图，过点Q作的延长线的垂线于点， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 故答案为：4． 16．如图，在中，，，点，分别是，上的动点，将沿直线翻折，点的对点恰好落在上，若是等腰三角形，那么的大小为 ． 【答案】或或 【知识点】折叠问题、根据成轴对称图形的特征进行求解、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查直角三角形中的折叠问题，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形性质，分类讨论． 由，，得，分三种情况讨论：①当时，可得；②当时，即得，即得；③当时，可得． 【详解】解：，， ， 分三种情况讨论： ①当时，如图： ， ； ②当时，如图： ， ； ③当时，如图： ， ； 综上所述，为或或， 故答案为：或或． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．在中，． (1)求m的取值范围． (2)若是等腰三角形，则的周长为 ． 【答案】(1) (2) 【知识点】等腰三角形的定义、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，等腰三角形的性质．熟练掌握三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边，等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系列出关于m的不等式，然后求解作答即可； （2）分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，即， ∴， 解得，， ∴m的取值范围为． （2）解：∵是等腰三角形， ∴或（舍去）， ∴的周长为， 故答案为：． 18．如图，在中，． (1)作的垂直平分线，交于点M，交于点N； (2)在（1）的条件下，连接，若的周长是，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】作已知线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质 【分析】该题主要考查了尺规作图-垂直平分线，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的作法进而得出即可； （2）由线段的垂直平分线的性质可得：，从而将的周长转化为：，即，依此可求． 【详解】（1）解：如图所示：直线为所求． （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵， ∴． 19．如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且． (1)若，求的度数： (2)若周长，求长． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形外角性质的应用，主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度适中． （1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出，求出和，即可得出答案； （2）根据三角形的周长，结合线段之间数量关系，推出，进而计算即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ， ∵， ； （2）解：周长，， ， ∵， ∴，即， ． 20．如图，在中，，，点D是的中点，点E为边上一点，连接，，以为边在的左侧作等边三角形，连接．    (1)求证：为等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）由，，可得出，，结合已知可得出，即可得出为等边三角形； （2）根据，可得出，再结合即可得出，根据全等三角形的性质即可得出． 【详解】（1）证明：∵在中，，， ∴，， 又∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 又∵， ∴为等边三角形； （2）证明：由（1）可知为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴ ， 即， 在和中， ， ∴ ， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形、直角三角形斜边上的中线．解题的关键是证明三角形全等． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于．    (1)求证：； (2)连接，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 【知识点】线段垂直平分线的判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，可得，，根据补角的性质，可得，根据全等三角形的判定与性质，可得答案． （2）由，可得点B，F在AC的垂直平分线，即可得出结论 【详解】（1）在和中， ∵， ∴≌， ∴， ∴． ∵， ∴， 即 ∴． （2）． 理由：由（1）得， ∴点B在AC的垂直平分线上． ∵， ∴点F在AC的垂直平分线， ∴BF垂直平分AC，即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，利用了全等三角形的判定与性质，补角的性质． 22．如图，是等腰三角形，，点D，E分别在边，上，将沿着折叠，点C的对应点恰好落在上，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接交于点F，若，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】折叠问题、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，特殊角的直角三角形的应用． （1）利用折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定证明即可． （2）利用等边三角形的判定和性质，特殊角的直角三角形性质计算即可． 【详解】（1）根据折叠的性质，得． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故是等腰三角形． （2）∵，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 根据折叠性质，得， ∴． 23．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交（或的延长线）于点． (1)如图1，若，则______． (2)如图2，若，则______． (3)若，其余条件不变，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】此题考查了等边对等角、三角形内角和定理等知识． （1），，，由垂直平分线得到，即可求出答案； （2），，，由垂直平分线得到，即可求出答案； （3），，，由垂直平分线得到，即可求出答案； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线交， ∴ ∴ 故答案为： （2）解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线交， ∴ ∴ 故答案为： （3）解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线交， ∴ ∴ 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．如图，在边长为的等边中，、两点分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针方向运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动．设运动时间为秒．求： (1)为何值时，、两点第一次重合？ (2)为何值时，为等边三角形？ (3)当点、在边上运动时，是否存在以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【知识点】等腰三角形的定义、等边三角形的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据与的运动时间相等，利用的路程的路程列方程，可得结论； （2）根据列方程，可得结论； （3）先证明，得，列方程可得结论． 【详解】（1）解：由题意得， ， 为12时，、两点第一次重合； （2）解：如图1所示： 是等边三角形， ， 当时，是等边三角形， ， ； （3）解：存在以为底边的等腰， 如图2所示： 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，几何动点问题，全等三角形的判定和性质，正确理解两个动点的路程是本题的关键，并与一元一次方程相结合解决问题． 25．【基础巩固】（1）如图1，在与中，，，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，，，B、D、E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点， ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】（3）如图3，与中，，，，与交于点F，，，的面积为18，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；②2；（3）6 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题、根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）由证即可； （2）①同（1）得，得，即可得出结论； ②过点A作于点G，证，得，，再由等腰直角三角形的性质得，则，然后由三角形面积关系即可得出结论； （3）连接，同（2）得，则，，得，再证，得，，然后证，得，进而由，得，则，即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：①，， ， ， 同（1）得：， ， ； ②如图2，过点A作于点G， 则， 由①可知，， ， 点F为中点， ， 又， ， ，， ，， ， ， ； （3）解：如图3，连接， 同（2）得：， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 负值舍去， 即的长为6． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$