精品解析：湘教版2024-2025学年八年级数学上册开学测试试题

2024年八年级数学开学摸底考（秋季湘教版） 数 学 （考试范围：湘教版七下 考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中不是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，解为的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. 2 D. 4. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列结论不一定正确的是（ ） A. 邻补角的平分线互相垂直 B. 平行于同一直线的两条直线互相平行 C. 相等的角是对顶角 D. 能被4整除的数就能被2整除 6. 如图，，则下列条件中不能推出的是（ ） A. 与互余 B. C. 且 D. 7. 某县准备选购平均高度较一致的1000株樱花风景树来进行新修道路边的绿化，有四个苗圃生产商投标（单株樱花风景树的价格都一样）．绿化人员从四个苗圃中都任意抽查了30株树苗的高度，得到的数据如统计表所示： 甲苗圃 乙苗圃 丙苗圃 丁苗圃 树苗平均高度/m 1.8 1.8 2.0 2.0 方差 1.8 3.6 0.36 0.04 根据表中数据，请你帮绿化人员出谋划策，应选购（ ） A. 甲苗圃树苗 B. 乙苗圃的树苗 C. 丙苗圃的树苗 D. 丁苗圃的树苗 8. 为庆祝“五一”国际劳动节，某学校举行了劳动技能比赛，经过初赛，小明和另外五名学生进入了决赛，通过实践操作、现场答辩两个环节，评委会根据这六名学生表现，经过认真评判，给出了每个学生的成绩，小明想提前知道自己的成绩，老师告诉了他两条信息：①其他五名学生的成绩（单位：分）分别为83，86，88，91，93；②你的成绩在这六个分数中既是众数，又是中位数，请你思考，小明的成绩是（ ） A. 83分 B. 86分 C. 88分 D. 91分 9 若，则（ ） A. 15 B. 75 C. 125 D. 150 10. 在开展弘扬劳动精神、奉献精神的社会实践中，小亮所在年级到某地参加志愿者活动，车上准备了5箱矿泉水，每箱的瓶数相同，到达目的地后，先从车上搬下2箱，分发给每位志愿者1瓶矿泉水，有8位未领到；接着又从车上搬下3箱，继续分发，最后每位志愿者都领到2瓶矿泉水，还剩下8瓶．若设志愿者共有x人，每箱矿泉水共有y瓶，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共24分） 11. 如图，将左边的图案变成右边的图案的操作是_____． 12. 是关于，的二元一次方程，则_____． 13. 若二元一次方程组的解为，则的值为____． 14. 若是完全平方式，则常数值为________． 15. 分解因式：________． 16. 直线，相交于点，射线平分，若，则_______． 17. 如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为_________． 18. 在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息：样本的容量是；样本的中位数是；样本的众数是；样本的平均数是．则说法正确的有__________． 三、解答题（本大题共8小题，其中第19、20题各6分，第21、22、23题各8分，第24、25、26题各10分，共66分） 19. 解下列方程组． （1）； （2）． 20. （1）因式分解； （2）先因式分解再求值，其中． 21. 阅读下列文字：我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如，由图可以得到 ．请解答下列问题： （1）小明同学打算用如图的x张边长为a的正方形纸片A和y张边长为b的正方形纸片 B，z张相邻两边长分别为a、b的长方形纸片 C拼出一个面积为的长方形，那么他总共需要 张纸片A、 张纸片B、 张纸片 C； （2）写出图中所表示的数学等式 ； （3）利用（2）中所得到的结论，解决下面的问题：已知 求的值． 22. 如图，是的角平分线，，，，求，的度数． 23. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需80万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需95万元． （1）问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利1.2万元，销售1辆B型汽车可获利0.8万元．假如这些新能源汽车全部售出，请设计出符合要求的一种购买方案．并求出此方案所获得的利润． 24. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留作图痕迹． （1）画出将向上平移4格后得到的． （2）画出将绕点A旋转后得到的． （3）若点在格点上，将沿直线l翻折，点B恰好与点重合，先画出直线l，再画出翻折后的． 25. 某校了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息： 平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 85.5 m 87 八年级参赛学生成绩 85.5 85 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________； （2）七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，请判断___________（填“”“”或“”）； （3）若要从七八年级选一个年级代表学校参加比赛，你认为应该选哪个年级？ 为什么？ 26. 问题背景：如图①，已知，点P的位置如图所示，连接，求证：． 类比探究：如图②，已知点D在直线上，线段与相交于点F，点B在点A右侧．若，则的度数为 °． 拓展延伸：如图③，已知，若与的角平分线相交于点F，直接写出与之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年八年级数学开学摸底考（秋季湘教版） 数 学 （考试范围：湘教版七下 考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中不是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义判断选择即可．本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵是轴对称图形， ∴不符合题意； ∵是轴对称图形， ∴不符合题意； ∵不是轴对称图形， ∴符合题意； ∵是轴对称图形，， ∴不符合题意； 故选：C． 2. 下列方程中，解为是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把代入每个方程组中的每一个方程，看看左右两边是否相等即可． 【详解】解：A.把代入方程组中两个方程，左右两边均不相等，故本选项不符合题意； B. 把代入方程组中的方程，左边，右边，左右两边不相等，故本选项不符合题意； C. 把代入方程组中的两个方程，左右两边均不相等，故本选项不符合题意； D. 把代入方程组中的两个方程，左右两边均相等，故本选项符合题意； 故选：D 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方的逆运用以及同底数幂相乘的逆运用，先整理，再运用积的乘方的逆运用进行计算，即可作答． 【详解】解： 故选：D 4. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的判断，根据把一个多项式分成几个整式的积的形式，叫做因式分解，进行判断即可． 【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意； B、等式右边不是整式的积的形式，不符合题意； C、等式的左侧不是多项式，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选D． 5. 下列结论不一定正确的是（ ） A. 邻补角的平分线互相垂直 B. 平行于同一直线的两条直线互相平行 C. 相等的角是对顶角 D. 能被4整除的数就能被2整除 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整除的性质、邻补角的定义、对顶角的定义及平行线的判定等知识． 利用整除的性质、邻补角的定义、对顶角的定义及平行线的判定等知识分别判断后，即可确定正确的选项． 【详解】解：A、邻补角的平分线互相垂直，故选项正确，不符合题意； B、平行于同一条直线的两直线互相平行，故选项正确，不符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，故选项错误，符合题意； D、能被4整除的数就能被2整除，故选项正确，不符合题意． 故选：C． 6. 如图，，则下列条件中不能推出的是（ ） A. 与互余 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养“执果索因”的思维方式与能力．结合图形分析选项中的角与已知角之间的关系，根据平行线的判定方法判断． 【详解】解：若，又已知，则，则； 若且，又已知，所以，则； 若，则．因为，所以，则． 只有与互余无法判定． 故选：A 7. 某县准备选购平均高度较一致的1000株樱花风景树来进行新修道路边的绿化，有四个苗圃生产商投标（单株樱花风景树的价格都一样）．绿化人员从四个苗圃中都任意抽查了30株树苗的高度，得到的数据如统计表所示： 甲苗圃 乙苗圃 丙苗圃 丁苗圃 树苗平均高度/m 1.8 1.8 2.0 2.0 方差 1.8 3.6 0.36 0.04 根据表中数据，请你帮绿化人员出谋划策，应选购（ ） A. 甲苗圃的树苗 B. 乙苗圃的树苗 C. 丙苗圃的树苗 D. 丁苗圃的树苗 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用方差和平均数作决策，根据方差的意义：反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．再根据树苗的高度的平均数，选择丁苗圃的树苗． 【详解】解：∵ ∴丁苗圃的方差最小，波动小，树苗较整齐； 且丁苗圃高度的平均数也大于甲苗圃高度与乙苗圃的高度， ∴应选购丁苗圃的树苗， 故选∶ D． 8. 为庆祝“五一”国际劳动节，某学校举行了劳动技能比赛，经过初赛，小明和另外五名学生进入了决赛，通过实践操作、现场答辩两个环节，评委会根据这六名学生表现，经过认真评判，给出了每个学生的成绩，小明想提前知道自己的成绩，老师告诉了他两条信息：①其他五名学生的成绩（单位：分）分别为83，86，88，91，93；②你的成绩在这六个分数中既是众数，又是中位数，请你思考，小明的成绩是（ ） A. 83分 B. 86分 C. 88分 D. 91分 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查众数和中位数．原数据的中位数为88，当小明的成绩为88分时，新数据的中位数为88，众数为88，据此可得答案． 【详解】解：原数据的中位数为88，当小明的成绩为88分时，中位数为，此时众数为88，符合题意， 所以小明的成绩为88分， 故选：C． 9. 若，则（ ） A. 15 B. 75 C. 125 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘．根据同底数幂乘法法则计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C 10. 在开展弘扬劳动精神、奉献精神的社会实践中，小亮所在年级到某地参加志愿者活动，车上准备了5箱矿泉水，每箱的瓶数相同，到达目的地后，先从车上搬下2箱，分发给每位志愿者1瓶矿泉水，有8位未领到；接着又从车上搬下3箱，继续分发，最后每位志愿者都领到2瓶矿泉水，还剩下8瓶．若设志愿者共有x人，每箱矿泉水共有y瓶，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设志愿者共有x人，每箱矿泉水共有y瓶，根据“2箱矿泉水每人分1瓶少8瓶，5箱矿泉水每人分2瓶多8瓶”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设志愿者共有x人，每箱矿泉水共有y瓶， 根据题意得：， 故选：C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共24分） 11. 如图，将左边的图案变成右边的图案的操作是_____． 【答案】旋转 【解析】 【分析】根据图形旋转的性质即可得出结论． 【详解】解：将左边的图案绕图案中的长方形中心逆时针旋转即可得到右边的图案． 故答案为：旋转． 【点睛】本题考查的是几何变换的类型，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键． 12. 是关于，的二元一次方程，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，即可求得m的值． 【详解】解：根据题意，得且， 解得， 故答案：1． 13. 若二元一次方程组的解为，则的值为____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出的值． 把x、y的值代入方程组，再将两式相加即可求出的值． 【详解】将代入方程组，得：， ，得：， 则， 故答案为1． 14. 若是完全平方式，则常数的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点，进行求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．根据提公因式因式分解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 16. 直线，相交于点，射线平分，若，则_______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等，掌握以上知识是解题的关键． 根据角平分线的定义求得，进而根据对顶角相等即可求得的度数． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查轴对称最短问题，坐标有图形性质，正方形的性质等知识，作点关于的对称点，连接，过点作于点．证明，再根据，求出，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点． 平分， 点关于的对称点在上， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故答案为：4． 18. 在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息：样本的容量是；样本的中位数是；样本的众数是；样本的平均数是．则说法正确的有__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方差，掌握样本容量的概念、方差、中位数、众数及平均数的定义是关键． 先根据小华所列方差计算公式得出这组数据为2、3、3、4，再分别根据样本容量的概念、中位数、众数及平均数的定义逐一判断即可． 【详解】解：由题意知，这组数据为2、3、3、4，样本容量为4，故①说法正确； 样本的中位数是，故②说法正确； 样本的众数为3，故③说法正确； 样本的平均数为，故④说法错误； 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题共8小题，其中第19、20题各6分，第21、22、23题各8分，第24、25、26题各10分，共66分） 19. 解下列方程组． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握方程组解法，根据未知数系数的特点，选择合适的方法． （1）运用代入消元法求解即可； （2）先将方程组整理后，再运用代入法求解即可． 【小问1详解】 解：， 由②得，， 把③代入①得，， ∴ 把代入③得，， 所以，方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 由①得， 由②得，， ∴， 将代入③得，， ∴， 把代入，得， ∴方程组的解为． 20. （1）因式分解； （2）先因式分解再求值，其中． 【答案】（1）；（2）； 96． 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解： （1）提出公因式，即可求解； （2）先利用提公因式法解答，再把代入，即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 当时，原式． 21. 阅读下列文字：我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如，由图可以得到 ．请解答下列问题： （1）小明同学打算用如图的x张边长为a的正方形纸片A和y张边长为b的正方形纸片 B，z张相邻两边长分别为a、b的长方形纸片 C拼出一个面积为的长方形，那么他总共需要 张纸片A、 张纸片B、 张纸片 C； （2）写出图中所表示的数学等式 ； （3）利用（2）中所得到的结论，解决下面的问题：已知 求的值． 【答案】（1）12；35；41 （2） （3）29 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，完全平方公式的几何背景，通过不同的方法计算图形的面积，得到一个数学等式，利用此方法解答是解题的关键． （1）利用多项式乘以多项式的方法将式子展开，利用计算结果即可得出结论； （2）利用图形通过不同的方法计算图形的面积，可以得到数学等式； （3）利用（2）中的等式适当变形计算即可得出结论． 【小问1详解】 解： ， 拼出了一个面积为的长方形，它总共需要12张纸片、35张纸片、41张纸片． 故答案为：12；35；41； 【小问2详解】 解：图2中的图片是边长为的正方形， 图2中的面积为：． 又图2中由1个边长为正方形，1个边长为 的正方形，1个边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，2个长为宽为的长方形，2个长为宽为的长方形组成， 图2中的面积为：． 图2中所表示的数学等式为：． 故答案为：； 【小问3详解】 解：， ． ，， ． 22. 如图，是的角平分线，，，，求，的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形角平分线的定义，平行线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先利用三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，进而由平行线的性质求得，由三角形的内角和定理求得． 【详解】解：， ， 是的角平分线， ， ， ， ． 23. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需80万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需95万元． （1）问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利1.2万元，销售1辆B型汽车可获利0.8万元．假如这些新能源汽车全部售出，请设计出符合要求的一种购买方案．并求出此方案所获得的利润． 【答案】（1）A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为25万元，10万元 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用： （1）设A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为x万元和y万元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购进m辆A型号的新能源汽车，购进n辆B型号的新能源汽车，根据题意，列出二元一次方程，求出正整数解，即可． 【小问1详解】 解：设A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为x万元和y万元，根据题意可列方程组为， 解得， 所以A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为25万元，10万元 【小问2详解】 设购进m辆A型号的新能源汽车，购进n辆B型号的新能源汽车， 根据题意得：，且m，n均为正整数， ∴或或． 共有三种购买方案： 方案一：购进2辆A型号的新能源汽车，购进13辆B型号的新能源汽车，获得的利润为（万元） 方案二：购进4辆A型号的新能源汽车，购进8辆B型号的新能源汽车，获得的利润为（万元） 方案三：购进6辆A型号的新能源汽车，购进3辆B型号的新能源汽车，获得的利润为（万元） 24. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留作图痕迹． （1）画出将向上平移4格后得到的． （2）画出将绕点A旋转后得到的． （3）若点在格点上，将沿直线l翻折，点B恰好与点重合，先画出直线l，再画出翻折后的． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3）图见解析 【解析】 【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出点、、的对应点即可； （2）利用网格特点和中心对称的性质关于画出点、的对应点即可； （3）利用网格特点作的垂直平分线得到直线，然后作出点关于直线的对称点即可． 本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换． 【小问1详解】 解：如图， 为所作； 【小问2详解】 解：如图， 为所作； 【小问3详解】 解：如图，直线和为所作． 25. 某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息： 平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 85.5 m 87 八年级参赛学生成绩 85.5 85 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________； （2）七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，请判断___________（填“”“”或“”）； （3）若要从七八年级选一个年级代表学校参加比赛，你认为应该选哪个年级？ 为什么？ 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查数据的分析．熟练掌握众数，中位数的确定方法，利用中位数作决策，是解题的关键． （1）找到七年级学生的10个数据中出现次数最多的即为的值，将八年级的10个数据进行排序，第5和第6个数据的平均数即为的值； （2）根据折线统计图得到七年级的数据波动较大，根据方差的意义，进行判断即可； （3）利用平均数和中位数或众数作决策即可． 【小问1详解】 解：七年级的10个数据中，出现次数最多的是：80， ∴； 将八年级的10个数据进行排序：； ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由折线统计图可知：七年级的成绩波动程度较大， ∵方差越小，数据越稳定， ∴； 故答案为：． 【小问3详解】 解：选择八年级参赛，因为七年级和八年级的平均成绩相同，但是八年级的众数比八年级的大，所以八年级参赛学生的成绩较好，从方差角度看，八年级的方差比七年级的小，所以八年级的成绩更稳定．选八年级代表学校参加比赛．（或七年级和八年级的平均成绩相同，但是七年级的中位数比八年级的大，所以七年级参赛学生的成绩较好，选七年级代表学校参加比赛．） 26. 问题背景：如图①，已知，点P的位置如图所示，连接，求证：． 类比探究：如图②，已知点D在直线上，线段与相交于点F，点B在点A右侧．若，则度数为 °． 拓展延伸：如图③，已知，若与的角平分线相交于点F，直接写出与之间的数量关系． 【答案】问题背景：见解析；类比探究：125；拓展延伸： 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，作辅助线构造平行线段，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 问题背景：过点P作，根据平行于同一直线的两直线平行，得到，再根据两直线平行，内错角相等，得到，，进而得到，据此进行填空即可得到答案； 类比探究：过点F作，根据平行线的性质得到，，进而得到，，结合图形即可得到答案； 拓展延伸：由（2）同理得：，根据角平分线的定义，得到，过点F作，根据平行线的性质，得到，，进而得到，即可得到答案． 【详解】问题背景：解：过点P作， ， ， ，， ． ∴； 类比探究：解：如图，过点F作， ，， ，， ，， ， 故答案为：； 拓展延伸：解：由（2）同理得：， ，分别是，的平分线， ，， ， 如图，过点F作， 则， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$