第4章 图形的相似自我检测-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

参考答案与提示 由表格知， 共有 20 种可能情况， 每种结果出现的可能性相同 . （树状图略） （ 2 ） 由 （ 1 ） 知， ∵ 使电路形成通路的有 12 种可能情况， ∴ 使电路形成通路的概率为 12 20 = 3 5 . 21. 解： （ 1 ） 三辆车出现的先后顺序有 6 种可能： （上、 中、 下）， （上、 下、 中）， （中、 上、 下）， （中、 下、 上）， （下、 中、 上）， （下、 上、 中） . （ 2 ） 由于不知道任何信息， 所以只能假定 6 种顺序出现的可能性相同 . 我们来研究在各种可能性的顺序之下， 甲、 乙二人分别会上哪一辆汽车： （上、 中、 下） 甲： 上， 乙： 下； （上、 下、 中） 甲： 上， 乙： 中； （中、 上、 下） 甲： 中， 乙： 上； （中、 下、 上） 甲： 中， 乙： 上； （下、 中、 上） 甲： 下， 乙： 中； （下、 上、 中） 甲： 下， 乙： 上； 于是甲乘上、 中、 下三辆车的概率都是 1 3 ； 而乙乘上等车的概率是 1 2 ， 乘中等车的概率 是 1 3 ， 乘下等车的概率是 1 6 ， ∴ 乙乘上等车的可能性大 . 第四章自我检测 1. B 2. D 3. C 4. A 5. C 6. A 7. C 8. 4 9. 1 2 10. 2 姨 ∶ 1 11. 4 3 12. 30 13. 18 cm 2 ， 27 cm 2 14. 15 cm. 15. （ 1 ） （ 2 ） 略 （ 3 ） （ -3 ， 1 ） 16. AD DB = BF FC 成立， 理由略 . 17. 解 ： 在四边形 ABCD 中 ， ∵AD∥BC ， ∴∠MAD=∠BCM ， ∠MDA=∠MBC. ∴△AMD∽△CMB. ∵AD=10 ， BC=20 ， ∴ S △AMD S △BMC = 10 20 0 ' 2 = 1 4 ． ∵S △AMD = 500 10 =50 ， ∴S △BMC =200 （ m 2 ） . 还需要资金 200×10=2 000 （元）， 而剩余资金为 2 000－500=1 500＜2 000 ， ∴ 资金不够用 ． 18. 解： ∵AB∥DC ， ∠B=90° ， ∴∠AEB+∠BAE=90° ， ∠C=90°. ∵AE⊥ED ， ∴∠AEB+∠DEC=90°. ∴∠BAE= ∠DEC. ∴△EAB∽△DEC. ∴ AB EC = BE CD . 又 ∵ BE EC = 1 2 ， BC=12 ， DC=7 ， ∴ AB 8 = 4 7 ， 即 AB= 32 7 . 19. 提示： 连接 AC ， 过 D 点作 DE∥AC 交 AB 于点 E ， AB=10 m. 20. （ 1 ） 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC ， AB∥CD. ∴∠ADF=∠CED ， ∠B+∠C=180°. ∵∠AFE+ ∠AFD=180° ， ∠AFE=∠B ， ∴∠AFD=∠C ， ∴△ADF∽△DEC. （ 2 ） AF=2 3 姨 . 21. 解： （ 1 ） 经过 1 s 或 2 s 后， △AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 1 9 . （ 2 ） 存在 . 假设经过 t s 时， 以 A ， M ， N 为顶点的三角形与 △ACD 相似， 则有 AM AN = DC DA 或 AM AN = DA DC ， 即 t 6-2t = 3 6 或 t 6-2t = 6 3 . 解得 t= 3 2 或 t= 12 5 ， 经检验， 都符合题意 . 第五章自我检测 1. A 2. C 3. B 4. C 5. C 6. B 7. D 8. A 9. 中间的上方 10. 球体或正方体 11. 4 12. 远 13. 12 14. （ 5 ， 0 ） 15. 如图所示 . 16. 解： （ 1 ） 如图 1 ， CD 是木杆在阳光下的影子 . （ 2 ） 如图 2 ， 点 P 是影子的光源； EF 就是人在光源 P 下 的影子 . 主 视 图 俯 视 图 左 视 图 主 视 图 俯 视 图 左 视 图 图 1 图 2 第 15 题答图 247 一、 选择题 （每小题 2 分， 共 14 分） 1. 下列说法中正确的个数是 （ ） ① 所有的直角三角形都相似； ② 所有的等腰三角形都相似； ③ 所有的等腰直角三角 形都相似； ④ 所有的等边三角形都相似 . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 如图， AB∥CD∥EF ， 则下列关系式一定成立的是 （ ） A. AC CE = DF BD B. BD AC = CE DF C. AC AE = DF BF D. AC BD = CE DF 3. 如图， P 是 Rt△ABC 斜边 AB 上任意一点 （ A ， B 两点除外）， 过 P 点作一直线， 使截得的三角形与 Rt△ABC 相似， 这样的直线可 以作 （ ） A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条 4. 把 1 m 的线段进行黄金分割， 则分成的较短的线段长为 （ ） A. 3- 5 姨 2 m B. 5 姨 -1 2 m C. 5 姨 +1 2 m D. 3+ 5 姨 2 m 5. 如图， △ABC 与 △DEF 是位似图形， 相似比是 2 ∶ 3 ， 已知 AB=4 ， 则 DE= （ ） A. 8 3 B. 5 C. 6 D. 9 6. 如图， 已知 DE∥BC ， CD 和 BE 相交于点 O ， S △DOE ∶ S △COB ＝4 ∶ 9 ， 则 AE ∶ EC 为 （ ） A. 2 ∶ 1 B. 2 ∶ 3 C. 4 ∶ 9 D. 5 ∶ 4 7. 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠C=90° ， 放置边长分别为 4 ， 6 ， x 的三个正方形， 则 x 的值 为 （ ） A. 24 B. 12 C. 10 D. 8 E F A B C D 第 2 题图 A B C P 第 3 题图 x A B C 4 6 第 7 题图 E O A B C D 第 6 题图 E F O A B C D 第 5 题图 第四章自我检测 （时间： 90 分钟 满分： 100 分） 第四章自我检测 187 九年级上册 （北师大版）数学 二、 填空题 （每小题 3 分， 共 18 分） 8. 已知 a 2 = b 3 = c 4 ， 且 a+b+c=18 ， 则 a= . 9. 如图， AD 是 △ABC 的中线， AE=EF=FC ， BE 交 AD 于点 G ， 则 AG AD = . 10. 把一矩形纸片对折， 如果对折后的矩形与原矩形相似， 则原矩形纸片的长与宽之 比为 . 11. 如图 ， 在 Rt△ABC 中 ， ∠C 为直角 ， CD⊥AB 于点 D ， BC=3 ， AB=5 ， △ADC∽△CDB 的相似比为 . 12. 如图， 小李站在 C 处看甲、 乙两楼楼顶上的点 A 和点 E. C ， E ， A 三点在同一条直线上， 点 B ， D 分别在点 E ， A 的正下方， 且 D ， B ， C 三点在同一条直线上 . B ， C 相距 20 m ， D ， C 相距 40 m ， 乙楼高 BE 为 15 m ， 甲楼高 AD 为 （小李身高忽略不计） m. 13. 两个相似三角形面积之差为 9 cm 2 ， 对应中线的比是 ２ 姨 ∶ 3 姨 ， 这两个三角形的面积分别是 . 三、 解答题 （第 14 题 4 分， 第 15 — 19 题各 8 分， 第 20 、 21 题各 12 分， 共 68 分） 14. 四条线段 a ， b ， c ， d 成比例， 其中 a=5 cm ， c=4 cm ， d=12 cm ， 求线段 b 的长 . 15. 如图， 已知 △ABC 三顶点的坐标分别为 A （ 0 ， 2 ）， B （ 3 ， 3 ）， C （ 2 ， 1 ） . （ 1 ） 画出 △ABC. （ 2 ） 以 B 为位似中心， 将 △ABC 放大到原来的 2 倍， 在下面的网格图中画出放大后 的 △A 1 BC 1 . （ 3 ） 写出点 A 的对应点 A 1 的坐标： . E A B C D 甲 乙 第 12 题图 x y O 1 第 15 题图 第 11 题图 第 9 题图 E F A B C D G A B C D 188 16. 如图， 在 △ABC 中， 已知 DE∥BC ， EF∥AB ， 试判断 AD DB = BF FC 是否成立， 并说明 理由 . 17. 某社区拟筹资金 2 000 元， 计划在一块上、 下底分别是 10 m ， 20 m 的梯形 ABCD （ AD∥BC ） 空地上种植花木 （如图所示）， 他们想在 △AMD 和 △BMC 地带种植单价为 10 元 /m 2 的太阳花， 当 △AMD 地带种满花后， 已经花了 500 元， 若继续在 △BMC 地带种 植同样的太阳花， 资金是否够用？ 请说明理由 ． 18. 如图， 在梯形 ABCD 中， AB∥CD ， ∠B=90° ， E 为 BC 上一点， 且 AE⊥ED ， 若 BC=12 ， DC=7 ， BE ∶ EC=1 ∶ 2 ， 求 AB 的长 . M A B C D 10 20 第 17 题图 E A B C D 第 18 题图 E F A B C D 第 16 题图 第四章自我检测 189 九年级上册 （北师大版）数学 A B C D 第 19 题图 19. 如图， 小张和小李想测量学校旗杆的高度， 她们来到操场， 小张测得小李身高 1.6 m ， 在阳光下的影子长度为 2.4 m ， 她想立刻测量旗杆的影长时， 因旗杆靠近一教学 楼， 影子不全落在地面上， 有一部分落在墙上， 测得落在地面上的影长为 12 m ， 留在墙 上的影高为 2 m ， 求旗杆的高度 . 20. 如图， 在 荀ABCD 中， 过点 A 作 AE⊥BC ， 垂足为 E ， 连接 DE ， F 为线段 DE 上 一点， 且 ∠AFE＝∠B. （ 1 ） 求证： △ADF∽△DEC. （ 2 ） 若 AB＝4 ， AD＝3 3 姨 ， AE＝3 ， 求 AF 的长 . 21. 如图， 已知矩形 ABCD 的边长 AB=3 cm ， BC=6 cm. 某一时刻， 动点 M 从 A 点出 发沿 AB 方向以 1 cm/s 的速度向 B 点匀速运动； 同时， 动点 N 从 D 点出发沿 DA 方向以 2 cm/s 的速度向 A 点匀速运动， 问： （ 1 ） 经过多少时间， △AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 1 9 ？ （ 2 ） 是否存在时刻 t ， 使以 A ， M ， N 为顶点的三角形与 △ACD 相似？ 若存在， 求出 t 的值； 若不存在， 请说明理由 . E F A B C D 第 20 题图 M N A B C D 第 21 题图 190