第2章 一元二次方程自我检测-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

一、 选择题 （每小题 2 分， 共 16 分） 1. 已知 x=2 是一元二次方程 x 2 +mx+2=0 的一个解， 则 m 的值是 （ ） A. -3 B. 3 C. 0 D. 0 或 3 2. 已知方程 x 2 －3x+m=0 的一个根是 －1 ， 那么另一个根和 m 的值分别是 （ ） A. 4 ， 4 B. 2 ， －2 C. 2 ， 2 D. 4 ， －4 3. 方程（ x-3 ）（ x+1 ） ＝x-3 的解是 （ ） A. x=0 B. x=3 C. x=3 或 x=-1 D. x=3 或 x=0 4. 方程（ x－1 ） 2 =9 的根是 （ ） A. x 1 =2 ， x 2 =4 B. x=4 C. x 1 =4 ， x 2 =－2 D. x 1 =－4 ， x 2 =2 5. 已知一元二次方程： ①x 2 +2x+3=0 ， ②x 2 －2x－3=0． 下列说法正确的是 （ ） A． ①② 都有实数根 B． ① 无实数根， ② 有实数根 C． ① 有实数根， ② 无实数根 D． ①② 都无实数根 6. 某毕业班的每一名同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念， 共送 了 2 550 张相片 . 如果全班有 x 名学生， 根据题意， 列出方程为 （ ） A. x （ x+1 ） =2 550 B. x （ x－1 ） =2 550 C. 2x （ x+1 ） =2 550 D. x （ x－1 ） =2×2 550 7. 关于一元二次方程 49x 2 －98x－1=0 的解， 下列叙述正确的是 （ ） A． 有一正根及一负根 B． 有两正根 C． 有两负根 D． 无解 8. 若等腰 △ABC 两边的长分别是一元二次方程 x 2 -5x+6=0 的两个根， 则这个等腰三角 形的周长是 （ ） A. 7 B. 8 C. 7 或 8 D. 无法确定 二、 填空题 （每小题 2 分， 共 14 分） 9. 一元二次方程 （ x－1 ）（ x+2 ） －3=0 的一般形式是 ， 它的二次项系 数是 ， 一次项系数是 ， 常数项是 . 10. 关于 x 的一元二次方程 mx 2 +4x+m 2 －2m=0 的一个根为 0 ， 则 m 的值为 . 11. 将方程 x 2 +2x－7=0 配方为（ x+m ） 2 =n 的形式为 . 12. 方程 x 2 =3x 的解为 . 13. 方程（ x－5 ） 2 =3x （ 5－x ）的解是 . 第二章自我检测 （时间： 90 分钟 满分： 100 分） 第二章自我检测 177 九年级上册 （北师大版）数学 14. 有一间长 20 m 、 宽 15 m 的会议室， 在它的中间铺一块地毯， 地毯的面积是会议 室面积的 1 2 ， 四周未铺地毯的部分留空宽度相同， 那么留出的宽度是 . 15. 某商场 2023 年一月份商品的销售额是 560 万元， 从二月份起延长了营业时间， 因此到第一季度末该商场的商品销售总额为 1 850 万元 . 问： 二、 三月份平均每月的增长 率是多少？ 若设二、 三月份平均每月的增长率为 x ， 则可列出方程为 . 三、 解答题 （每小题 4 分， 共 32 分） 16. 用适当方法解下列方程 . （ 1 ） x 2 +7x+12=0 ； （ 2 ） （ 3x－2 ） 2 =5x （ 2－3x ）； （ 3 ） x 2 +2x－4=0 ； （ 4 ） （ 1－x ） 2 =1－x 2 ； （ 5 ） 2y 2 +7y+3=0 ； （ 6 ） （ 3x+2 ） 2 －4 （ x－3 ） 2 =0 ； （ 7 ） 5x 2 +8x+2=0 ； （ 8 ） 6x 2 －14x－7=0. 四、 列方程解应用题 （第 17 — 20 题各 6 分， 第 21 、 22 题各 7 分， 共 38 分） 17. 某工厂今年一月份的产值为 60 万元， 二月份由于种种原因经营不善， 产值下降 10% ， 以后加强管理， 节能增效， 月产值又大幅度上升， 到四月份产值猛增到 96 万元 . 求 三、 四月份平均每月增长的百分率是多少 . （精确到 0.1% ） 178 18. 某商店将进价为 8 元的商品按每件 10 元售出， 每天可售出 200 件， 现在采取提 高商品售价减少销售量的办法增加利润， 如果这种商品每件的销售价每提高 0.5 元， 其销 售量就减少 10 件， 问： 应将每件售价定为多少元时， 才能使每天利润为 640 元？ 19. 某电厂规定： 该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 A 度， 那么这个 月这户只要交 10 元电费； 如果超过 A 度， 则这个月除了仍要交 10 元电费外， 超过部分 还要按每度 A 100 元交费 . （ 1 ） 该厂张师傅家二月份用电 90 度， 超过了规定的 A 度， 那么超过部分应交电费多 少元？ （用 A 表示） （ 2 ） 上表是张师傅家三、 四月份的用电情况和交费情况， 根据表中的数据， 求电厂规 定的 A 度为多少 . 20. 个体户小张发现一种服装的样式和做工很好， 于是用 20 000 元购进一批 . 他本着 薄利多销的原则， 一个月后这批服装就全部卖出 . 他从服装销售款中拿出 10 000 元用作其 他用途， 用剩下的 10 000 元及利润又购进一批同样的服装， 一个月后又全部售出， 获销 售额 13 200 元 . 如果两次销售这批服装的利润率相同， 求他销售这批服装的利润率是多少 . 月份 用电量 / 度 交电费总数 / 元 三月份 80 25 四月份 45 10 第二章自我检测 179 九年级上册 （北师大版）数学 21. 某中学有一块长为 a m 、 宽为 b m 的矩形场地， 计划在该场地上修筑宽都为 2 m 的两条互相垂直的道路， 余下的四块矩形小场地建成草坪 . （ 1 ） 如图， 请分别写出每条道路的面积 （用含 a 或 b 的代数式表示） . （ 2 ） 已知 a ∶ b=2 ∶ 1 ， 并且四块草坪的面积之和为 312 m 2 ， 试求原来矩形场地的长与宽 各为多少米 . （ 3 ） 在 （ 2 ） 的条件下， 为进一步美化校园， 根据实际情况， 学校决定对整个矩形场 地作如下设计 （要求同时符合下述两个条件）： 条件 ① ： 在每块草坪上各修建一个面积尽可能大的菱形花圃 （花圃各边必须分别与 所在草坪的对角线平行）， 并且其中有两个花圃的面积之差为 13 m 2 ； 条件 ② ： 整个矩形场地 （包括道路、 草坪、 花圃） 为轴对称图形 . 请你画出符合上述设计方案的一种草图 （不必说明画法与根据）， 并求出每个菱形花 圃的面积 . 22. 如图， 一艘轮船以 20 n mile/h 的速度由西向东航行， 途中接到台风警报， 台风 中心正以 40 n mile/h 的速度由南向北移动， 距台风中心 20 10 姨 n mile 的圆形区域 （包 括边界） 都属台风区 . 当轮船到达 A 处时， 测得台风中心移到位于点 A 正南方向 B 处， 且 AB=100 n mile. （ 1 ） 若这艘轮船自 A 处按原速度继续航行， 在途中会不会遇到台风？ 若会， 试求轮 船最初遇到台风的时间； 若不会， 请说明理由 . （ 2 ） 现轮船自 A 处立即提高船速， 向位于北偏东 60° 方向相距 60 n mile 的 D 港口驶 去 . 为在台风到来之前到达 D 港口， 船速至少应提高多少？ （提高的船速取整数， 13 姨 ≈3.6 ） 第 21 题图 b a 60° A D B 东 北 第 22 题图 180 九年级上册 （北师大版）数学 PF⊥AD 交 DA 的延长线于点 F ， 交 BE 于点 G ， ∴∠AFP=90° . ∵ 四边形 ABCD 是正方形 ， ∴∠BAD=∠ABC= ∠BAF=∠ABG=90°. ∴ 四边形 ABGF 为矩形 . ∴∠BGF=90° ， BG=AF. ∵∠DBC=45° ， ∴∠PBG=45° . ∴∠BPG= 45° . ∴PG=BG=AF. ∵∠APE=90° ， ∴∠APF+∠EPG=90°. 又 ∵∠APF+∠PAF=90° ， ∴∠EPG=∠PAF. 又 ∵∠PFA= ∠PGE=90° ， ∴△APF≌△PEG （ ASA ） . ∴PA=PE. 第二章自我检测 1. A 2. D 3. D 4. C 5. B 6. B 7. A 8. C 9. x 2 +x-5=0 1 1 -5 10. 2 11. （ x+1 ） 2 =8 12. x 1 =0 ， x 2 =3 13. x 1 =5 ， x 2 = 5 4 14. 2.5 m 15. 560+560 （ 1+x ） +560 （ 1+x ） 2 =1 850 16. （ 1 ） x 1 =-3 ， x 2 =-4 （ 2 ） x 1 = 2 3 ， x 2 = 1 4 （ 3 ） x=-1± 5 姨 （ 4 ） x 1 =0 ， x 2 =1 （ 5 ） y 1 =- 1 2 ， y 2 =-3 （ 6 ） x 1 =-8 ， x 2 = 4 5 （ 7 ） x= -4± 6 姨 5 （ 8 ） x= 7± 91 姨 6 17. 解： 设三、 四月份平均每月增长的百分率为 x ， 则 60 （ 1-10% ）（ 1+x ） 2 =96 ， 解得 x 1 = 1 3 ， x 2 =- 7 3 （舍去）， x≈ 33.3%. 18. 解： 设商品售价提高 x 元， 则（ 10-8+x ） 200- x 0.5 ×1 1 ( 0 =640. 整理得 x 2 -8x+12=0. 解得 x 1 =6 ， x 2 =2. 则每件 商品定价 12 元或 16 元 . 19. 解： （ 1 ） A 100 （ 90-A ） . （ 2 ） 由题意， 10+ A 100 （ 80-A ） =25. 解得 A 1 =30 ， A 2 =50. 由四月份用电情况知 A≥ 45 ， 故 A=50. 20. 解： 设这批服装的利润率是 x ， 则 ［ 20 000 （ 1+x ） -10 000 ］（ 1+x ） =13 200. 解得 x 1 =0.1=10% ， x 2 =- 8 5 （舍去） . 21. 解： （ 1 ） 这两条道路的面积分别为 2a m 2 与 2b m 2 . （ 2 ） 设 b=x m ， a=2x m ， 由题意， 得 x · 2x- （ 2x+4x- 4 ） =312 ， 整理得， x 2 -3x-154=0 ， 解得 x 1 =14 ， x 2 =-11 （舍去）， 则 b=14 ， a=2x=28. （ 3 ） 符合设计方案的草图如图： 方法 1 ： 设 AE=x ， 则 FB=14-2-x=12-x ， AG=13 m ， 由题意， 得 1 2 ×13x- 1 2 × （ 12-x ） ×13=13. 解得 x=7. ∴ 大菱 形花圃的面积为 1 2 ×13×7=45.5 （ m 2 ）， 小菱形花圃的面积为 1 2 ×13×5=32.5 （ m 2 ） . 方法 2 ： 设大菱形花圃的面积为 x m 2 ， 小菱形花圃的面积为 y m 2 ， 则面积之和 x+y= 1 2 ×13AE+ 1 2 ×13FB= 1 2 ×13 （ AE+FB ） = 1 2 ×13×12=78 （ m 2 ） . 则 x+y=78 ， x-y=13 3 . 解得 x=45.5 ， y=32.5 3 . 22. 解： （ 1 ） 设轮船会遇到台风， 需 t h ， 此时轮船位于 C 处， 台风中心移到 E 处， 则 AC=20t ， AE=100-40t ， EC=20 10 姨 . 在 Rt△ACE 中， AC 2 +AE 2 =EC 2 ， 即 （ 20t ） 2 + （ 100- 40t ） 2 = （ 20 10 姨 ） 2 . 整理得 t 2 -4t+3=0. 解得 t 1 =1 ， t 2 =3. 故最初遇到台风的时间为 1 h. （ 2 ） 设台风抵达 D 港口的时间为 t h ， 此时台风中心到达 M 处， 过点 D 作 DF⊥AB ， 垂足为点 F ， 连接 DM ， AF=30 ， DF= 60 2 -30 2 姨 =30 3 姨 . 又 FM=FA+ （ AB-MB ） =130-40t ， MD=20 10 姨 . 由 FD 2 +FM 2 =MD 2 ， 有 （ 30 3 姨 ） 2 + （ 130 -40t ） 2 = （ 20 10 姨 ） 2 ， 即 4t 2 -26t +39 =0. 解 得 t 1 = 13- 13 姨 4 ≈2.35 ， t 2 = 13+ 13 姨 4 ≈4.15. 故台风到达 D 港口的时间约为 2.35 h ， 从 A 处到达 D 港口的船速为 60÷2.35≈25.53 （ n mile/h ）， 所以船速至少应提高 25.53-20≈6 （ n mile/h ） . 第 21 题答图 1 2 3 4 A G H D E F B C 1 2 3 4 1 3 2 4 1 3 42 第 22 题答图 A D B 东 北 C F M E 244